Введение к работе
Актуальность темы. Теория равномерных пространств является одним из основных направлении теоретико-множественной топологии, а равномерные пространства давно заняли важное место как а самой: теоретпко-мнокестЕекной топология, так и з ее применениях.
В 1906 г. М.Фрэпе ввел понятие метрического пространства - равномерного пространства спешіального типа. Теория метрических пространств далеко ігролвшута Ф.Хэусдорфом з его книге "Crunfeiige cler Mengenlehre" (1914 г.), где были сформулированы такие основные понятия, как полнота, пополнение и равномерно непрерывное отображение метрическая яростракств. Теория метрических пространств приобрела особую закность после 1920 г. благодаря фундаментальным работам С.Банаха и его дколы по теории нормированных пространств и их приложениям.
Когда з математику вопли яеметрпзуемые пространства, стало необходимым сосданне естественней структуры, зырахаг-сдеИ идея равнемерксстп. связанной, в первую очередь, с понятием полноты и равясмерно непрерывного отображения, а так:;:е создание аппарата исследования. сбобсакдего метрический подход. Это привело А.Зейдя''в 1937 г. к понятию равномерного пространства и создании основ теории равномерных пространств.
В настоящее зремя разномерные пространства имеют
I) A.'.Veil. Actual. Sclent, et Ir.d., a 551,Paris (Неппапгл, 1937.
логически обоснованную, стройную и далеко продвинутую теорию, имеюзую приложения в различных областях математики, благодаря фундаментальным работам А.Вейля, Н.Бурбаки, Ж.Дьедонне, Ю.М.Смирнова, Б.А.Ефремовича. Яз.Исбелла, М.Катетова, К.Мориты, Б.А.Пасынкова, П.Самюэля, Дж.Тыоки, В.В.Федорчука, З.Фролпка. Интересные результаты по теории равномерных пространств полученк в работах М.Я.Антоновского, А.В.Архангельского, Д.ДоЯчинова, А.А.Иванова, В.Кульпы, Е.Майкла, А.С.іМишенко, Я.Педанта, В.И.Пономарева, Н.Д.Раиса, М.М.Чобана," 2.3.Щепина и др.
С равномерными структурам: тесно связаны структуры слпоссти, структури смежности и меротоппческие структуры.
Хотя теория равномерных пространств имеет независимый характер, она особенно тесно связана с теорией топологических пространств, и меззу ниш существует глубокая аналогия. Многие топологические результаты имеют равномерносткую природу, а равномерные структуры являются более тонкими, чем топологические. Поэтому исследование равномерных аналогов топологических свойств, о одной стороны, часто позволяет обобщить и уточнить топологические результаты, а с другой стороны, позволяет применить аппарат теории равномерных пространств к решении чисто топологически (по формулировке) задач. Так, в работах * Ю.М.Смирнова"} и Дж.йсбелла3' развита теория размерности равномерных и олизостных пространств и дано ее приложение к теории размерности тихоновских пространств.
-
Ю.М.Смирнов. Мат.сб.1956. Т.40, №2. С.137-156.
-
J.R.Isbell. Dnllorm Spaces. Providence, 1264-.
1 )
А.С.Мшєеко ввел и исследовал равномерные аналога некоторых классов непрерывных отображений и применил их при нахождении таких непрерывных отображений, для которых вес образа не превосходит веса просораза. Этот список можно продолкить и дальше. Для развития исследований в этом направлении З.Фроляксм в 1983 г. на семинаре по топологии Карлова университета (Прага) поставлена следующая сспая задача:
I. Найти и исследовать равномерные аналоги важнейших классов топологических пространств и непрерывных отображений.
Одним из основных методов теоретико-множественной топологии является метод взаимной классификации пространств и отображений. Его суть отражена в следующих общих проблемах, поставленных П.С.Александровым1":
II. Даны класс А топологических пространств и класс М
отображения. Какими внутренними свойствами выделяются те
топологические пространства, которые можно получить как
образы пространств класса А яри отображениях из класса М?
III. Как описываются прообразы пространств из класса А
при отображениях из класса а?
IV. Какие свойства топологических пространств сохраняются
при отображениях из класса .Т?
К настоящему времени ос^ге проблемы II и III, в основном, можно считать ревенными благодаря, прежде всего, фундаментальным работам А.З.Архангельского, Ъ.'Л.Пономарева и
-
А.С..\!нденко. Fund. Uazh. 1966. Т.53. С. 185-208.
-
P.S.Alsxandroff. Prcc. 5улр. Gen. Topology, Prague, 1962. P. 4-1-54.
их учеников.
Однако, эти проблеми 11-17 в классе, равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений крайне мало исследованы.
М.Стоун в основополагающей работе ' отмечал, что одной из интересных и трудных проблем общей топологии является изучение всех расширений данного топологического пространства. П.С.Александровым'' была поставлена проблема классификации компактных расширений и сформулированы различные общие задачи о расширениях топологических пространств. Исходя из общей проблемы :.!. Стоуна,
Q \
Б.Банашевский' следующим образом систематизировал общие задачі! теории расширений:
V. При каких условиях существует расширение данного пространства с заданными наперед свойствами?
71. Указать общий способ построения расширений с заданными свойствами.
711. Если К - класс расширений пространства X, то при каких условиях в К существует максимальный элемент?
Классические результаты Ю.М.Смирнова , исследования А.А.Иванова1 ' и К.Моритаг**, связанные с задачами V-7II, показывают естественность и универсальность испсльзования
-
M.H.Stone. Trans. Arner. Math. Soc. 1937. 7.41. P.375-481.
-
П.С.Александров. Матем. сб. 1939. Т.5. С.403-424.
8) B.Sanaschevsfcl. Canad. Math. Bull. 1964. 7.7. J 1. P.1-22.
9) Ю.М.Смирнов. Матем. сб. 1952. Т.ЗІ. С.543-547.
-
А.А.Иванов. Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1973.Т.36.С.50-125.
-
K.Morlta. Sci. Rep. Tokyo Куоіки Dalgaku (A). 1S70. 7.10. P.271-288.
понятия равномерной структуры при решении этих -задач.
Диссертационная работа состоит из нескольких циклов результатов, охватываемых изложенными выше общими постановками I-VTI.
Цель работы. Целью работы является, во-первых, нахождение и исследование равномерных аналогов некоторых важных свойств топологических пространств и их непрерывных отображений, во-вторых, выяснение равкомерностной прігрода некоторых топологических результатов, и, в-третьих, применение аппарата теории равномерных пространств к решению чисто топологических задач.
Методика исследования. Основным методом исследования является метод покрытий, а гзкке используются метод обратных спектров и метод взаимной классификации пространств и отображений.
Научная новизна. Основные результаты работы следующие:
1. Найдена внутренняя характеристика равномерных
пространств, являющихся пределами обратных спектров,
составленных из равномерных пространств веса $т и :&:еклззх
Сазы, состоящие из покрытий с заданным свойством Р.
2. Определен индекс полноты для полных равномерных
пространств, показывающий их "степень полноты"; дана его
спектральная характеристика и установлена его
непосредственная связь с весом полных равномерных
пространств посредством совершенных равномерно непрерывных
отображений.
3. Найдены равномерные аналоги параксмпактннх, перистых,
псевдскс.млактных (и других) пространств и их основных
свойств.
-
Найдена внутренняя характеристика образов равномерных пространств веса ut (в частности, метризуемых равномерных пространств) при равномерно факторных (и других) отображениях. Доказано, что каждое равномерное пространство является образом некоторого нульмерного равномерного пространства того ае веса и тсго же индекса ограниченности при равномерно открытых отображениях.
-
Найден равномерный аналог совершенных отображения -равномерно совершенные отстранения. Основные факты теории совершенных отображений распространены на равномерно совершенные отображения.
Є. .Теория Глисона-Пономарева об абсолютах топологических пространств распространена на равномерные пространства.
7. Посредством равномерных структур построены все паракомпактные, сильно параксмпактные, линделефовы и родственные им расширения произвольного тихоновского пространства. Аналогичные расширения построены з классе топологических групп и в классе линейно упорядоченных пространств.
S. Даны внутренние характеристики равномерных пространств, поддающихся равномерному вложению в евклидовы пространства о?".
Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применение в теории равномерных и топологических пространств, а также в теории.топологических групп.
Апробация результатов работы. Результаты диссертации
докладывались на оСщемосковском топологическом семинаре им. П.С.Александрова в 1990 г., на семинаре кафедры обшей топологии и геометрии (МГУ, 1987-1990), на семинарах по топологии проф. В.В.Федорчука (МГУ, 1987, 1989), проф. В.И.Пономарева (МГУ, 1986,1988), проф. З.Фролика (Карлов университет, Прага, 1983), проф. Д.Дойчіїнова (Софийский университет, 1988), проф. Л.Г.Замбахидзе (ТГУ, 1988, IS89). Результаты работы докладывались на международном топологическом симпозиуме (Прага, 1981), на международной топологической конференции (Ленинград, IS82), на международной летней топологической школе (Болгария, Приморено, 1984), на V Тирзспольсксм симпозиуме по обшей топологии (Тирасполь, 1985), на международной топологической конференции (Баку, 1987), на топологическом коллоквиуме (Венгрия, Печь, 1989), на международной конференции по алгебре (Новосибирск, 1989), на международной топологической конференции (Болгария, Варна, 1990).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы з работах Ш-СІ6] и в монографии [17].
Структура и объем работа. Диссертация состоит из введения, четырех глав (разделенных на 17 параграфов) и списка использованной литературы, включающего 143 наименования. Полный объем диссертации - 193 странзшы машинописного текста.
