О полных и равномерно совершенных отображениях и их обратных спектрах Касымова, Тумар Джапашевна

Введение к работе

Актуальность темы. Равномерные пространства - одна из бурно развивающихся ветвей топологии. Исторически равномерные пространства возникли как естественная необходимость, обобщающая метрический подход.

В настоящее время равномерные пространства имеют стройную и далеко продвинутую теорию, благодаря основополагающим работам А.Вейля, Н.Бурбакн, П.Самюэля, Ю.М.Смирнова, В.А.Ефремовича, Дж.Исбелла, КМориты, А.А.Борубасва, Б.А.Пасынкова, В.В.Федорчука, З.Фролика, М.М.Чобана, а также работам П.С.Александрова, М.Я.Антоновского, А.В.Архангельского, Д.Дойчинова, А.А.Иванова, М.Катетова, В.Кульпы, В.И.Пономарева, Е.В.Щспина и др., имеющую приложение в различных областях математики.

Теория равномерных пространств может благополучно развиваться лишь в единстве с теорией их равномерно непрерывных отображений. Обратные спектры как пространств (топологических и равномерных), так и отображений (непрерывных и равномерно непрерывных) могут быть и объектом и методом самостоятельного исследования. Таким образом, обратные спектры могут применяться как в синтетическом (для построения новых объектов с тонко сбалансированными свойствами), так и в аналитическом (для изучения свойств уже построенных объектов посредством спектральной аппроксимации) методе изучения.

Б.А.Пасьшков'' поставил общую задачу охарактеризовать те пространства, которые являются пределами обратных спектров, удовлетворяющих некоторому свойству.

В случае равномерных пространств ее можно переформулировать следующим образом:

Каковы те равномерные пространства, которые являются пределами всевозможных обратных спектров, составленных из равномерных пространств со свойством Р?

Эта задача (при естественных ограничениях) решена А.А.Борубаевым²', и им же поставлена аналогичная задача для отображений.

'ТІасьшков Б.А. О спектральной разложимости топологических пространств //Матсм.сб.-1965.-ІЗьга. 108,№l.-C.3-79.

^_> Борубаев А.А. Равномерные пространства и равномерно непрерывные отображениї.-Фрунзе: Илим, 1990.

Хорошо известно, что всякое пространство, как топологическое, так и равномерное, можно рассматривать как частный случай отображения (непрерывного или равномерно непрерывного, соответственно), отождествляя это пространство с отображением его в точку. Естественным образом возникает идея распространения на отображения понятий и утверждений³', имеющихся для пространств. В этом направлении для отображений определены, например, база⁵⁾, размерность²' и другие понятия и построены содержательные теории. Поэтому на повестку дня стала задача изучения равномерно непрерывных отображений, которые являются пределами всевозможных обратных спектров, составленных из равномерно непрерывных отображений, имеющих базы, состоящие из покрытий с некоторым свойством Р.

Цель работы. Целью работы является изучить класс полных, равномерно совершенных отображений, а также пределы обратных спектров, составленных из равномерно непрерывных отображений, имеющих базы, состоящие из покрытий с некоторым свойством Р.

Методы исследования. Основным методом исследования является метод покрытий, метод обратных спектров и метод распространения на отображения понятий и утверждений, касающихся пространств, разработанный Б.А.Пасынковьш³' и А.А.Борубаевым²'.

Няучняя новизна. Все результаты являются новыми, многие утверждения и понятия, касающиеся равномерных пространств, распространены на равномерно непрерывные отображения, а именно:

1. Получена характеристика г-ограниченных равномерно непрерывных отображений веса »(/) s г в терминах отображения, параллельного объекту категории Umf(Y,V).

2. Показано, что равномерно открытые равномерно полные по Чеху отображения сохраняют индекс полноты как в сторону образа, так и в сторону прообраза.

3. Построены г-пополнения .равномерно непрерывного отображения и равномерно непрерывных гомоморфизмов. Найдены их категорные характеристики.

' Пасынков Б.Л. О распространении на отображения некоторыл понятий и утверждений, касающихся пространств//Отображения и фнсторы.-Москва: Изд-во Моск.тос.ун-та.1984.-С.72-102.

4. Найдены условия равномерной совершенности и полноты предельного отображения обратных спектров равномерно непрерывных отображений и предельного гомоморфизма обратных групповых спектров.

5. Найден критерий разложения в обратные г-спектры Р-компактных и г-полных отображений.

Практическая н теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и выводы могут быть использованы при ігзучеиюі теории равномерных пространств, равномерных групп и их равномерно непрерывных отображений и гомоморфизмов.

Апробация результатов работы.. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры алгебры и геометрии КГНУ и кафедры высшей математики КГПУ им.И.Арабаева, на универсіггетстких конференциях профессорско-преподавательского состава КГПУ им.И.Арабаева, г.Бишкек, 1995-1997гг., на I Региональной научной конференции "Проблемы алгебры, геометрии и их приложений", ОшГУ, Ош, 1996, ГУ Республиканской научно-методической конференции "Компьютеры в учебном процессе и современные проблемы математики", г.Бишкек, 1996.

Публикации, Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[1R5].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав (разделенных на 7 параграфов) и списка использованной литературы, включающего 42 наименования. Полный объем диссертации - 97 страниц машинописного текста.