Введение к работе
Актуальность темы. Топологическое пространство называется разложимым, если оно содержит два дизъюнктных плотных подмножества, и неразложимым в противном случае. Эти и близкие к ним понятия были введены в работах Хьюитта [14] 1943 г. и Катетова [6] 1947 г Свойство разложимости тесно связано с проблемой Катетова "Существует ли плотное в себе пространство, на котором всякая ве-щественнозначпая функция является непрерывной в некоторой точке7" Очевидно, что ответ на вопрос Катетова нужно искать в классе неразложимых прострагтв.
К настоящему времени доказана разложимость многих классов пространств, а также построены примеры неразложимых пространств
Разложимость метрических и локально компактных хаусдорфо-вых пространств была доказана Хьюиттом [14] в 1943 г., им же построены примеры плотных в себе неразложимых пространств (в частности счетных неразложимых) Падмавалли (Padmavally) [1б| в 1953 г построил пример неразложимого связного хаусдорфова пространства. Андерсон Д.Р. [12] в 1965 г. показал, что для всякого бесконечного кардинала к существует пример связного неразложимого хаусдорфова пространства, дисперсионный характер которого равен к.
А.Г. Елькин [4] доказал, что пространство (X, т) неразложимо, если и только если топология т содержит базис какого-нибудь ультрафильтра на множестве X. Это утверждение он обобщил в [5] следующим образом: пространство (X, т) не является (к + 1)-разложимым (где к — натуральное число), если и только если топология г содержит базис какого-нибудь фильтра на множестве X, являющегося пересечением не более к ультрафильтров. В классе урысоновских пространств А.Г. Елькиным для всех натуральных чисел к были построены примеры связных А:-разложимых пространств, не являющихся (к + 1)-разложимыми, что усилило упомянутые выше результаты Падмавалли и Андерсона. Широкий класс максимально разложимых простраств был выделен А.Г. Елькиным в [3] и назван им ^"-пространствами (например, такими являются пространства точеч-
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ ,
БИБЛИОТЕКА )
но счетного типа) В И Малыхиным [8] и А Г Епькиным построены примеры, показывающие, что ^-пространства не исчерпывают класса всех максимально разложимых пространств Несколько условий для максимальной разложимости пространств дано Пирсоном [18]
В И Малыхиным [9] в 1975 г, была доказана разложимость произведения двух пространств при дополнительных предположениях Им же [7j в предположении континуум гипотезы доказана максимальная разложимость произведения счетного пространства на пространство мощности не более CJi
Н В Величко [2] в 1976 г доказана разложимость плотных в себе fc-пространств Для доказательства разложимости таких пространств им было введено понятие корректного пространства Е Г Пыткеев [11] в 1983 г определил понятие 7г!Я-пространства и доказал максимальную разложимость лг!Я-лространств. В частности поскольку класс тгЭТ-пространств включает fc-пространства, им была доказана максимальная разложимость fc-пространств Позднее PL Sharma и S Sharma [19] в 1988 г доказали ш-разложимость fc-пространств, но они использовали другую идею.
Разложимость ближайших обобщений компактов — тихоновских счетно компактных пространств и регулярных сг-компактных пространств несчетного дисперсионного характера доказана относительно недавно в 1996 г В Комфортом [13] и в 1998 г В.И Малыхиным соответственно. В 2001 г. Б Г. Пыткеевым доказана Ші-разложимость регулярного счетно компактного пространства, дисперсионный характер которого несчетен.
В И Малыхиным [10] [13] была посгавлена следующая проблема "Разложимо ли регулярное финально компактное пространство несчетного дисперсионного характера?"
Поскольку еще Хьюиттом построены примеры совершенно нормальных счетных неразложимых пространств, то требование несчетности дисперсионного характера вполне естественно В И Малыхиным [10] и О Павловым [17] независимо построены примеры неразложимых хаусдорфовых финально компактных пространств несчетного дисперсионного характера.
В И Мальгхин в [10] доказал разложимость регулярных Л-мно-
і - -
жеств несчетного дисперсионного характера в счетно компактном Т\-пространстве. Поскольку Л-множество в компакте является финально компактным пространством, то этот результат дает частичное решение упомянутой выше проблемы
В И Малыхиным [10) доказана максимальная разложимость финально компактной группы несчетного дисперсионного характера
О Павловым, при изучении разложимости пространств экстенд которых "мал" по сравнению с дисперсионным характером, в частности, доказана о;-разложимость линделефова пространства, дисперсионный характер которого не меньше 0 Им же в отрицании континуум гипотезы, доказана oj-разложимость (максимальная разложи-моеіь) связного (наследственно) линделефова пространства, а также сформулирована проблема о разложимости наследственно линделефова пространства
В 2003 г. [23] была доказана разложимость Е-линделефовых и к-аналитических пространств несчетного дисперсионного характера
Цель работы. Диссертация посвящена решению проблемы В И Малыхина и родственных к ней задач, а также исследованию свойств корректных пространств.
Основной метод исследования. В диссертации используются методы общей топологии и теории множеств, развитые в работах отечественных и зарубежных математиков.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следущем
I. Решена проблема В И Малыхина о разложимости линделефова
пространства несчетного дисперсионного характера.
II. Доказала ш-разложимость наследственно финально компакт
ного пространства, дисперсионный характер которого несчетен.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер Полученные результаты и предложенные в работе методы могут быть использованы при дальнейшем изучении вопросов о разложимости топологических пространств
Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на молодежной конференции "Проблемы теоретической
и прикладной математики" (г Екатеринбург 1999), на международной топологической конференции, посвященной памяти Л В Келдыш (г Москва, 2004), топологическом семинаре в ИММ УрО РАН (г Екатеринбург) и других
Публикации. Основные результаты опубликованы в пяти работах, список которых приведен в конце автореферата. Первые ррзуль-таты (касаюшиеся корректных пространств), опубликованы в журнале "Известия института математики Удмуртского университета" [22] и тезисах двух конференций [20], [21] Результаты о разложимости Е-линделефовых fc-аналитических, а также результат о разложимости линделефова пространства, всякое открытое подмножество которого не является наследственно линделефовым опубликованы в журнале Тюменского государственного университета "Математический и прикладной анализ" в 2003 г [23] Там же вопрос о разложимости линделефова пространства сведен к вопросу о разложимости наследственно линделефова пространства. Результат о разложимости наследственно финально компактного пространства содержится в тезисах [24] международной топологической конференции, посвященной памяти Л В. Келдыш, Москва, 2004 Статья 'Разложимость линделефовых пространств" подготовлена и принята в печать редакцией журнала "Фундаментальная и прикладная математика".
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Ссылка на теорему 1 3.5 означает, что эта теорема находится в параграфе 3 главы 1. Объем диссертации составляет 55 страниц машинописного текста и содержит 41 библиографическую ссылку.