Введение к работе
Актуальность темы. Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки занимает исключительное место в динамике. По своей известности она уступает лишь проблеме трех тел. Дело в том, что эта задача описывается простой системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений (уравнениями Эйлера-Пуассона), для которой известны три общих интеграла. Кроме того, доказано (теорема Якоби), что для сведения задачи к квадратурам достаточно найти еще только один первый интеграл, не . зависящий от времени. Многие исследования были направлены на поиски этого интеграла. В некоторых специальных случаях Эйлеру, Лагранжу, Ковалевской удалось найти дополнительный интеграл и свести уравнения к квадратурам.
Точные решения обычно выражаются достаточно сложно и не да- .-,; ют наглядного представления о движении тела. Большое значение имеет качественное исследование, одним из основных результатов которого является теорема Лиувилля. Согласно этой теореме, неособая компактная совместная поверхность уровня первых.интегралов вполнеинтегрируемой гамильтоновой системы есть объединение торов, заполненных условно-периодическими-траекториями. Полезны- .<. ми здесь оказались применения аппарата дифференциальной топологии. Одна из работ в этом направлении принадлежит С.Смейлу, в которой с -топологической точки зрения изучена проблема трех тел и намечена топологическая программа для исследования классических механических систем, в частности, натуральных систем с сим- „ метрией. Эти результаты сразу нашли отражение в динамике твер- : дого тела (А.Якоб1, С.Б.Каток2и др). Я.В.Татариновым исследова- . ны бифуркации двух первых интегралов. Идеи Смейла были развиты М.П. Харламовым, в частности, им детально проведен топологический анализ классических интегрируемых задач динамики твердого тела3.
Топологический анализ интегрируемых гамильтоновых систем . начато интенсивно развиваться благодаря работам А.Т.Фоменко и
1 A.Jakob. Invariant manifolds in the motion of a rigid body about a fixed point II Rev. Roum. Math. Pures et Appl. — 1971. — V. 16. — №10. — P. 1497-1521.
2С.Б.Каток. Бифуркационные множества и интегральные многообразия в за
даче о движении тяжелого твердого тела // Успехи мат. наук. — 1972. — Т. 27.
— №2. — С. 126-133. . ,....-.
3М.П. Харламов. Топологический анализ интегрируемых задач динамики,,, твердого теяа. — Л.: Изд-во Ленинградского ун-та,-1988. — 200с.
его' научной школы. В работах автора4,5 построена теория типа Морса для боттовских интегралов, определенных на изоэнергетиче-ских поверхностях вполне интегрируемых гамильтоновых систем. В частности, описаны все типы критических многообразий таких интегралов, перестройки (бифуркации) торов Лиувилля для систем, интегрируемых в классе боттовских интегралов и дана топологическая классификация изоэнергетических поверхностей Q. В последующих работах6,7 построен инвариант I(H,Q) интегрируемого боттовско-го нерезонансного гамильтониана Н. Снабдив инвариант I(H, Q) некоторыми числовыми метками, т.е. рассмотрев меченый инвариант I(H,Q)*, доказан критерий эквивалентности интегрируемых боттовских систем: такие системы топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда их топологические инварианты совпадают. В механике часто встречаются интегрируемые гамилътоновы системы с двумя степенями свободы, изоэнергетическая поверхность которых является S3, не исключением оказался случай интегрируемости Ковалевской - Яхьи. Нгуен Тьен Зунгом, А.Т.Фоменко дана полная классификация на языке "молекул" таких систем. Тонкая топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых невырожденных (т.е.боттовских) систем с двумя степенями свободы на основе оснащенных графов W* с числовыми метками, названных мечеными молекулами, изложена в работе А.В.Болсинова, С.В.Матвеева, А.Т.Фоменко 8. Построены новые топологические инварианты 9, которые дают классификацию таких систем уже с точностью до траекторной эквивалентности. Все инварианты эффективно вычисляются, например, для классических задач динамики твердого тела. Результаты этого направления отражены в работах А.В.Болсинова,
4 А.Т.Фоменко. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // ДАН
СССР. — 1986. — Т. 287. №5. — С. 1071-1075.
5 А.Т.Фоменко. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых
гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР.
Сер.мат. — 1986. — Т. 50. — №6.— С. 1276-1307.
6 А.Т.Фоменко. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегри
руемых по Лиувиллю // Функц.аналго и его прил. — 1988.— Т. 22 — №4. — С.
. 38-51. :
7А.Т.Фоменко. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи мат. наук. — 1989. — Т. 44.— №1. — С. 145-173.
8А.В.Болсинов, С.В.Матвеев, А.Т.Фоменко. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности // Успехи мат .наук. — 1990. — Т. 45. — №3. — С. 49-77. 9А.В.Болсинов, А.Т.Фоменко. Траєкторная эквивалентность интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема классификации. I, II // Матем. сб. — 1994. — Т. 185. №4,5. — С. 27-80, 27-78.
А.А.Ошемкова, О.Е.Орел. ЇЇ.Топалова и других.
В динамике твердого тела наиболее сложным случаем интегрируемости является решение, указанное С.В.Ковалевской. Это решение упоминается в классических трактатах по механике Е.Т.Уиттекера, Г.К.Суслова, П.Алпеля, Т.Леви-Чевита, У.Амальди и других. Ему посвящены монографии В.В.Голубева, Г.Г.Аллельрота, А.Ф.Ипатова. Результаты С.В.Ковалевской были переработаны Кёттером. В.Б.Делоне пашел частное решение для случая С.В.Ковалевской. Геометрический подход к изучению волчка С.В.Ковалевской использовал Н.Е.Жуковский. Эти результаты были развиты Г.Г.Аппельро-том, который выделил все классы вырождений ультраэллиптических квадратур в эллиптические. М.П.Харламов определил бифуркационное множество и исследовал фазовую топологию этого интегрируемого случая. Топологический инвариант I(Q, h) и неоснащенные слова-молекулы W(Q, Л) для случая Ковалевской были вычислены А.Т.Фоменко, А.А.Ошемковым. Слово-молекула W(Q,h) полностью определяется значением топологического инварианта I{Q, h) и характеризует систему с точностью до грубой эквивалентности. Две интегрируемые гамильтоновы системы на Q\ и Qz называются грубо эквивалентными8,9, если лиувиллево слоение на Qj можно получить, разрезая Qi по лиувиллеву тору и склеивая возникшие граничные торы по некоторому диффеоморфизму. Кроме того, слова-молекулы, инвариант I*(Q, h) содержат множество числовых меток »"j >»>«*! которые описывают правила склеивания лнувиллевых торов. Числовые параметры г, для инварианта I*(Q,h) определены А.В.Болсиновьш10. П.Топаловым11 найдены n-меткн, и тем самым получена тонкая топологическая классификация для динамических систем типа Ковалевской.
Исследования последних лет показали, что целесообразно рассматривать задачу о движении твердого тела с неподвижной точкой как частный случай более общей задачи — задачи о движении тяжелого гиростата с постоянным гиростатическим моментом, в постановке которой важные результаты принадлежат Н.Е.Жуковскому, П.В.Харламову и другим. Почти все классические результаты динамики твердого тела в том или ином виде обобщены на задачу о
10A.V.Bolsinov. Methods of calculation of the Fomenko-Zieschacg Invariant // Ser.: Advances in Soviet Mathematics. AMS. — 1991-— Vol. 6. — P. 147-183.
11П.Топалов. Вычисление тонкого инварианта Фоменко-Цишавга для основных интегрируемых случаев движения твердого тела // Матем. сб. — 1996. — Т. 187. — №3."—С. 143-160.
движении гиростата.
Гиростату С.В.Ковалевской посвящено не так много работ. П.В.Харламов предложил рассмотреть гиростат, распределение масс которого подчинено условиям С.В.Ковалевской, а гиростатический момент направлен по оси динамической симметрии. Им указано инвариантное соотношение, позволяющее в эллиптических функциях проинтегрировать этот частный случай 12. Как показал Х.М.Яхья13, интеграл С.В.Ковалевской может быть обобщен на гиростат при условиях, указанных П.В.Харламовым. Г.В.Мозалевская, П.В.Харламов обобщают случай Б.К.Млодзеевского. Е.И.Харламовой найдено уравнение поверхности подвижного годографа угловой скорости тяжелого гиростата при условиях Ковалевской. И.Н.Гашененко1 при одном дополнительном ограничении на параметры уравнения движения сведены к эллиптическим квадратурам и дана классификация движений в этом случае. Представление Лакса для волчка Ковалевской и его обобщений на произвольную размерность получено A.M.Переломовым. Построенное им лаксово представление не содержит спектрального параметра. А.Й.Бобенко, А.Г.Рейманом, М.А.Семеновым-Тян-Шанским 15 найдено представление Лакса со спектральным параметром для случая Ковалевской и его обобщений на гиростат. Л.Гавриловым16 доказана теорема, согласно которой уравнения движения тяжелого гиростата допускают дополнительный алгебраический интеграл только в случаях Жуковского, Лагранжа и Яхьи.
Настоящая диссертационная работа отражает результаты по фазовой топологии задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в случае интегрируемости Ковалевской - Яхьи.
Цель работы состоит в определении и детальном исследовании бифуркационного множества fck которое играет основную
12П.В. Харламов. Один случай интегрируемости уравнений движения твердого тепа, имеющего неподвижную точку // Механика твердого тела. — Киев: Наукова думка, 1971. — Вып. 3. — С. 57-64.
13Н.М. Yehia. New integrable cases in dynamics of rigid bodies // Mech. Res. Corn.
— 1986. — Vol. 13(3). — P. 169-172.
14И.Н. Гатененко. Новый класс движений гиростата // ДАН СССР. — 1991.
— Т. 318 — №1. — С. 66-68.
lsA.I.Bobenko,A.G.Reyman,M.A.Semenov-Tian-Shansky The Kowalewski Top 99
Years Later: A Lax pair, generalizations and explicit solutions // Commun. Math. Phys. — 1989. — V. 122. — P. 321-354.
16Gavrilov L. Non-integrability of the equation of heavy gyrostat // Сотр. Math.
— 1992. — V. 82. — P. 275-291.
роль в классификации топологического и дифференцируемого типа интегральных многообразий, порождаемых системой первых интегралов, а также в изучении топологических свойств интегрируемого случая Ковалевской - Яхьи, одного из наиболее сложного в динамике твердого тела.
Методика исследования. Исследования, проводимые в диссертационной работе, основаны на методах дифференциальной геометрии и топологии, с привлечением качественной теории дифференциальных уравнений. Использованы методы топологического анализа интегрируемых гамильтоновых систем, развитые М.П.Харламовым 3 для классических задач динамики твердого тела. Для вычисления графов А.Т.Фоменко и определения неоснащенных молекул была использована теория топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, построенная А.Т.Фоменко, А.В.Болсиновым и другими.
Научная новизна. По количеству независимых параметров случай Ковалевской - Яхьи занимает одно из первых мест среди интегрируемых задач аналитической механики. Отсутствие удобных вспомогательных переменных, разделяющего преобразования и простых квадратурных формул делают этот интегрируемый случай уникальным. Соединение аналитических методов и численного моделирования позволило автору самостоятельно получить новые научные результаты в этой задаче. Они заключаются в следующем.
-
Вычислены бифуркационное множество Sgh интегралов энергии и площадей, критические значения *к отображения К х G : М5 — Ж2, где К - дополнительный интеграл.
-
Обобщены классы Г.Г.Аппельротаи найдены критические значения интегрального отображения в частных случаях.
-
Доказано, что все критические значения интегрального отображения в задаче Ковалевской - Яхьи принадлежат множеству 71 U72-
-
Найдено множество 0(д, А), которое состоит из тех значений,
При переходе Через КОТОрые меняется ВИД сеЧеНИЯ fr к плоскостью
(і?, A) = const.
-
Дана полная классификация бифуркационных диаграмм в задаче Ковалевской - Яхьи.
-
Доказана теорема об отсутствии критических движений для части бифуркационной кривой 72-
-
Исследован случай нулевой постоянной площадей: указан топологический инвариант, найдены все неоснащенные молекулы для системы Ковалевской - Яхьи. Для ненулевой постоянной площадей
приведены примеры вычисления графов А.Т.Фоменко, при этом были использованы методы компьютерного моделирования.
Практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют теоретическое значение, на практике они могут быть использованы по изучению возмущений для исследования систем, близких к интегрируемому случаю Ковалевской.,- Яхьи, для общей теории топологического описания интегрируемых гамильтоновых систем.
Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложенына "14-ой Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности" (г.Волгоград, 1995), на Международной конференции "Современные проблемы математики и механики" (МГУ, 1996), на Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела"(г.Донецк, Украина, 1996г), на семинаре "Современные геометрические методы" под руководством А.Т.Фоменко (МГУ, 1996г).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ.
Структура диссертации. Работа состоит из шести глав, заключения, списка литературы из 100 наименований и содержит 143 страницы машинописного текста, включая 44 рисунка и 6 таблиц.
