Содержание к диссертации
Введение 5
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 14
2. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА НА ЭЛЛИПТИЧЕ СКОЙ ОРБИТЕ В СЛУЧАЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПРЕЦЕССИИ 19
2.1. Постановка задачи 19
2.2. Линейная задача 20
2.2.1. Нормализация функции Гамильтона 20
2.2.2. Случай параметрического резонанса 24
2.2.3. Численное построение областей устойчивости в первом приближении 29
2.3. Нелинейный анализ 36
3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА, БЛИЗКОГО К ДИНАМИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОМУ, В ОКРЕСТНОСТИ ГИ ПЕРБОЛОИДАЛЬНОЙ ПРЕЦЕССИИ 49
3.1. Постановка задачи 49
3.2. Преобразование гамильтониана 51
3.3. Периодические движения спутника при резонансе U2/O, = 2 55
3.3.1. Нормализация гамильтониана 55
3.3.2. Изоэнергетическая редукция. Построение периодических решений 58
3.3.3. Исследование устойчивости 64
3.4. Периодические движения спутника при отсутствии резонансов ,/О = 27V, г = 1,2 и их устойчивость 65
3.4.1. Построение периодических движений 65
3.4.2. Исследование устойчивости 68
4. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВРАЩЕНИЙ СПУТНИКА ПРИ РЕЗОНАН СЕ МЕРКУРИАНСКОГО ТИПА 71
4.1. Постановка задачи 71
4.2. Изложение метода 72
4.3. Изложение результатов 76
5. УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОГО ПЛОСКОГО РЕЗОНАНСНОГО ДВИ ЖЕНИЯ СПУТНИКА ПРИ НАЛИЧИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ 86
5.1. Постановка задачи 86
5.2. Линейная задача 87
5.3. Нелинейный анализ 90
6. НОРМАЛИЗАЦИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ГАМИЛЬТОНИАНА В СИСТЕМЕ С ТРЕМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 99
6.1. Постановка задачи 99
6.2. Алгоритм нормализации периодического гамильтониана 100
6.2.1. Построение отображения 100
6.2.2. Линейная нормализация отображения 102
6.2.3. Нелинейная нормализация отображения 104
6.2.4. Нормальная форма гамильтониана 109
Заключение 111 Литература 113
ПРИЛОЖЕНИЯ 120
Приложение 1 120
Приложение 2 122
Приложение 3 124
Приложение 4 127
Введение к работе
В диссертационной работе рассматривается движение спутника — твердого тела относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле. Орбита центра масс спутника может быть как эллиптической, так и круговой. Данная задача интересна не только с прикладной точки зрения, но и имеет самостоятельный теоретический интерес, поскольку охватывает большой раздел динамики твердого тела. К практическим вопросам, связанным с данной задачей, можно отнести вопросы, касающиеся гравитационной стабилизации искусственных спутников, их ориентации, вопросы о резонансных вращениях планет Солнечной системы (Луны, Меркурия, Венеры и др.).
В середине XX века в связи с запуском первых искусственных спутников Земли возник повышенный интерес к исследованию движения небесных тел. Так, в пятидесятые-шестидесятые годы появился ряд работ В.В. Белецкого [3-5] и Г.Н. Дубошииа [11,13], где были опубликованы полные уравнения поступательно-вращательного движения тяготеющих тел и их первые интегралы. В.В. Белецким была предложена постановка задачи [3], называемая теперь «ограниченной постановкой», при которой размеры спутника полагаются малыми по сравнению с расстоянием до притягивающего центра, орбита считается кеплеровской и рассматривается независимое от поступательного движение около центра масс. В это же время Г.Н. Дубошиным [12] и В.Т. Коидурарем [15] были получены стационарные режимы для симметричных спутников. При этом Г.Н. Дубошиным впервые был проведен линейный анализ устойчивости этих стационарных режимов. Дальнейшие исследования устойчивости некоторых стационарных движений проводились В.Томсоиом [62] и Т.Кейном [59].
Значительный вклад в исследование задачи устойчивости стационарных движений симметричного спутника внесла работа Ф.Л. Черноусь-ко [52], в которой были приведены достаточные условия всех стационарных режимов и установлено, что, помимо найденных в [12, 15] трех стационарных режимов для динамически симметричного спутника на круговой орбите, других не существует. В работе П.Ликинса [60] впервые были введены термины гиперболоидальная, цилиндрическая и коническая прецессии соответственно, в зависимости от вида поверхности второго порядка, описываемой осью симметрии в абсолютном пространстве.
В работе В.А.Сарычева [41] впервые было показано, что решение, соответствующее цилиндрической прецессии динамически симметричного спутника, существует и на эллиптической орбите. Устойчивость цилиндрической прецессии динамически симметричного спутника на эллиптической орбите исследована в статье [64]. Отметим, что в работе [41] также найдены решения уравнений двилсения динамически симметричного спутника на эллиптической орбите, переходящие в стационарные при нулевом эксцентриситете (в коническую и гиперболоидальную прецессии). Данные решения представлены в виде рядов по степеням эксцентриситета. Обширная библиография по данной тематике дана в обзоре [42].
Следующим существенным этапом в исследовании явился цикл работ А.П. Маркеева [21,23,24], в которых при помощи разработанных методов теории гамильтоновых систем был проведен подробный нелинейный анализ колебаний симметричного спутника в окрестности стационарных движений, а также получены результаты о резонансных движениях спутника. В статье А.П.Маркеева, Т.Н.Чеховской [38] был подробно рассмотрен случай цилиндрической прецессии не закрученного вокруг своей оси спутника, проведено полное нелинейное исследование, причем орбита спутника предполагалась эллиптической, а не круговой. Продолжением работ по данной тематике также служит работа О.В.Холостовой [51], в которой задача об устойчивости цилиндрической прецессии спутника решена в предположении, что геометрия масс спутника отвечает тонкой пластинке.
В последние годы исследования в области устойчивости стационарных режимов динамически симметричных спутников ведутся, в частности, в направлении изучения кратных резонансов, а также особых случаев параметрического резонанса, когда характеристическое уравнение невозмущенной линейной системы дифференциальных уравнений имеет две пары совпадающих между собой чисто мнимых корней (работа А.П.Маркеева [33]).
Существование периодических движений спутника, близкого к динамически симметричному, с периодом 27Гп/Г2 (п — целое число), аналитических по б и при є = 0 переходящих в гиперболоидальную прецессию, доказано в статье А.П.Маркеева [27]. Для динамически симметричного спутника существование периодических движений (короткопериодических и долгопериодических) при начальных условиях, мало отличающихся от начальных условий гиперболоидальной прецессии, показано в работе А.Г.Сокольского, С.А.Хованского [44]. Там же в строгой нелинейной постановке проведено исследование их орбитальной устойчивости. В работе [45] для упомянутых короткопериодических движений найдено их численное продолжение по двум безразмерным инерционным параметрам и по постоянной энергии. Для цилиндрической прецессии в случае резонанса 3 :1 задача об устойчивости движений, рождающихся из нее, решена в работе Б.С.Бардина [2]. Дифференциальные уравнения движения спутника — твердого тела относительно центра масс в центральном ньютоновском гравитационном поле допускают решения, отвечающие так называемым плоским движениям, когда одна из главных центральных осей инерции тела перпендикулярна плоскости орбиты во все время движения. Впервые уравнение, описывающее данный тип движения, было получено В.В.Белецким в работе [3], и поэтому часто называется уравнением Белецкого. После работы [3] появился целый ряд работ, посвященных исследованию этого уравнения. Так, в [65] В.А.Златоустовым и А.П.Маркеевым проведено нелинейное исследование устойчивости нечетных 27Г—периодических решений уравнения Белецкого, существование которых было показано в статье А.П.Торжевского [46], и линейное исследование которых проведено в [14] группой авторов. Продолжением данной тематики служит работа А.П.Маркеева [36], в которой изложены результаты нелинейного исследования задачи о плоских периодических колебаниях спутника относительно фиксированного в абсолютном пространстве направления (линейная задача исследована также в [14]), в ней отдельно изучены вопросы, касающиеся случаев малого эксцентриситета, почти симметричного спутника, а также случай произвольных значений параметров. В работе А.П.Маркеева [37] решена нелинейная задача об орбитальной устойчивости плоских колебаний и вращений спутника около центра масс в предположении, что имеют место одновременно и плоские, и пространственные возмущения; в работе [34] решена линейная задача об устойчивости плоских колебаний малой амплитуды по отношению к пространственным возмущениям, причем особое внимание уделено случаю наличия в системе кратного резонанса.
Частным случаем плоских движений спутника является движение меркуриансккого типа (движение с соотношением 3:2 между периодами орбитального и осевого вращения соответственно). Впервые 27г и 47г периодические решения уравнения Белецкого, отвечающие такому движению, были найдены и в линейной постановке исследованы на устойчивость в работе В.В.Белецкого и Э.К.Лавровского [7]. Впоследствии результаты линейного исследования данной задачи были уточнены в работах [43,63]. В работе [7] также произведена оценка моментов инерции планеты Меркурий, движение которой хорошо поддается описанию при помощи уравнения Белецкого, и при движении которой имеет место указанный резонанс 3 : 2. В работе А.Д.Брюно [9] сопоставлены различные как упомянутые здесь ранее, так и вновь полученные результаты, касающиеся периодических решений уравнения Белецкого; выявлены общие закономерности строения обобщенно периодических решений; помимо этого в данной работе приведена подробная библиографическая справка по данному вопросу.
В данной диссертационой работе проводится исследование устойчивости некоторых частных случаев движений для цилиндрической прецессии спутника, движений, рождающихся из гиперболоидальной прецессии динамически симметричного спутника, а также исследование устойчивости плоских движений в том случае, когда спутник вращается в плоскости орбиты, совершая в абсолютном пространстве три оборота за время, равное двум периодам обращения центра масс по орбите. При исследовании применялись такие классические и современные методы, как метод Пуанкаре [17], метод нормальных форм [26], метод Депри—Хори [26]. Были использованы известные результаты по устойчивости гамильтоновых систем при резонансах [26] и результаты КАМ-теории [1].
При решении одной из задач в диссертации (глава 4) использовался алгоритм исследования устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем, предложенный в работе А.П.Маркеева [32]. Алгоритм основан на построении и анализе симплектического отображения окрестности положения равновесия на себя. При этом осуществляется нормализация не самой функции Гамильтона, а производящей функции отображения. В данной работе приведены также условия устойчивости и неустойчивости, выраженные через коэффициенты производящей функции. В работе [35] упомянутый алгоритм обобщен на системы с двумя степенями свободы, в которой помимо нормализации производящей функции отображения по ее нормальной форме восстанавливается нормальная форма функции Гамильтона. Алгоритм нормализации [35] использовался в диссертации при решении задачи об устойчивости цилиндрической прецессии (глава 2). В главе 6 диссертационной работы разработан алгоритм, аналогичный алгоритму [35], но для систем с тремя степенями свободы, проведена нормализация производящей функции отображения, получены формулы, явно выражающие коэффициенты нормальной формы через коэффициенты производящей функции отображения в различных случаях (как при наличии резонансов третьего или четвертого порядка, так и при их отсутствии).
Исследования периодических движений в окрестности гиперболои-дальной прецессии, проведенные в диссертации (глава 3), опирались на теорию периодических движений систем, близких к системам с циклической координатой, разработанную в работах О.В.Холостовой [49,50]. При этом исследование устойчивости периодических движений систем со многим числом переменных, согласно этой теории, на некотором этапе требует исследования модельной системы с одной степенью свободы при резонансе в вынужденных колебаниях. Системы с таким гамильтонианом и различные вопросы их динамики рассмотрены в работах [8,39,40,48,58].
Данная диссертационная работа структурно состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и приложений.
Первая глава диссертации является вводной. В ней даны основные обозначения и выписаны все виды уравнений, используемых далее.
Вторая глава диссертации посвящена нелинейному исследованию устойчивости цилиндрической прецессии динамически симметричного спутника в двух частных случаях прямых и обратных вращений, когда он, совершив оборот по орбите, возвращается в начальное положение в своем вращении относительно оси динамической симметрии, которые ранее в нелинейной постановке не исследованы. В областях устойчивости в первом приближении построены кривые резонаисов четвертого порядка, проверены условия устойчивости и неустойчивости по Ляпунову, получены области формальной устойчивости, найдены кривые вырождения, на которых могут нарушаться условия устойчивости для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий. Отметим здесь, что полученные результаты об устойчивости цилиндрической прецессии согласуются с результатами исследований А.П.Маркеева [22,29].
В главе 3 диссертационной работы в предположении, что спутник не является динамически симметричным (по близок к нему) и что движение его центра масс происходит по круговой орбите, построены новые классы периодических движений в окрестности известного частного реше-ния невозмущенной задачи — гиперболоидалыюй прецессии динамически симметричного спутника. В резонансном случае, при котором отношение одной из частот малых колебаний приведенной системы с двумя степенями свободы в окрестности устойчивого положения равновесия к частоте изменения циклической координаты близко целому числу, существуют одно или три семейства периодических движений спутника, аналитических по дробным степеням малого параметра. При помощи КАМ-теории решен вопрос об их устойчивости. В случае отсутствия описанного резонанса имеется единственное семейство периодических движений, аналитических по целым степеням малого параметра. Проведено исследование устойчивости этих движений. Выделены случаи параметрического резонанса, резонан сов третьего и четвертого порядков, нерезонансный случай. Заметим, что аналогичные построения проведены ранее О.В.Холостовой [50] для случая конической прецессии.
В главе 4 данной диссертационной работы решена задача об устойчивости 27Г-периодических движений динамически несимметричного спутника на эллиптической орбите (в строгой нелинейной постановке), которые описываются решениями уравнения Белецкого. Рассмотрен случай движения меркурианского типа, т.е. когда отношение между периодами орбитального обращения и осевого вращения равно 3 : 2 соответственно.
Краевая задача, задающая данный тип движения, не имеет аналитического решения и решается численно на ЭВМ. В областях устойчивости в первом приближении построены кривые резонансов третьего и четвертого порядков, на которых проведено исследование устойчивости движения. Помимо этого проведено нелинейное исследование устойчивости при отсутствии указанных резонансов, а также на границах областей устойчивости в первом приближении.
В главе 5 диссертации решена нелинейная задача об устойчивости частного случая плоского движения, когда спутник вращается в плоскости орбиты, совершая в абсолютном пространстве три оборота за время, равное двум периодам обращения центра масс по орбите. При этом возмущения предполагаются одновременно и плоскими, и пространственными. Численно получены области неустойчивости по Ляпунову и области устойчивости в первом приближении. Границы этих областей при малых значениях эксцентриситета найдены аналитически. В областях устойчивости в первом приближении построены резонансные кривые третьего и четвертого порядков, на которых проведено исследование устойчивости. Отметим, что в работе А.П.Маркеева [32] решена аналогичная задача, однако возмущения предполагались плоскими. Для проведения нелинейной нормализации в данной задаче при значениях параметров из областей устойчивости в первом приближении применялся алгоритм получения коэффициентов нормальной формы функции Гамильтона для системы с тремя степенями свободы, изложенный в главе 6. Алгоритм основан на построении симплектического отображения окрестности положения равновесия на себя. Проводится нормализация не самой периодической по времени функции Гамильтона, а производящей функции отображения за период, порождаемого соответствующей этой функции Гамильтона канонической системой дифференциальных уравнений шестого порядка. Затем по нормальной форме производящей функции восстанавливается нормальная форма функции Гамильтона. Формулы, задающие явный вид коэффициентов нормальных форм через коэффициенты разложения в ряд производящей функции отображения, приведены в приложениях.
В заключении сформулированы основные результаты диссертации.
Результаты диссертационной работы опубликованы в [53-55], а также доложены и обсуждены на ряде международных и всероссийских конференций, симпозиумов, среди которых
• XII Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 2003);
• Пятый и шестой международные симпозиумы по классической и небесной механике (Великие Луки, 2004, 2007);
• IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006);
• 5-ая и 6-ая международные конференции "Авиация и космонавтика" (Москва, 2006, 2007);
• XXXII академические чтения по космонавтике (Москва, 2008).
