Содержание к диссертации
0.1. Введение 4
0.2. Список основных сокращений и обозначений 15
1. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным запаздыванием 16
1.1. Постановка задачи. Предельные уравнения 17
1.2. Знакопостоянные и немонотонные функционалы Ляпунова в задачах о полной устойчивости 22
1.3. Устойчивость по части переменных 47
1.4. Случай автономного, периодического и почти периодического по времени уравнения 63
2. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с бесконечным запаздыванием 69
2.1. Фазовое пространство 70
2.2. Теоремы существования и единственности. Предельные уравнения 72
2.3. Знакоопределенные функционалы Ляпунова 74
2.4. Знакопостоянные функционалы Ляпунова 79
2.5. Исследование устойчивости по части переменных 86
2.6. Следствия для периодического уравнения 89
3. Методы исследования задач о стабилизации движений управляемых механических систем 92
3.1. Стабилизация движений управляемых механических систем с обратной связью с запаздыванием 93
3.2. Оптимальная стабилизация движений 107
3.3. Стабилизация с гарантированной оценкой качества 126
4. Некоторые задачи об устойчивости и стабилизации движений механических систем 134
4.1. Исследование стабилизации положения равновесия управляемых механических систем. Конечное запаздывание 135
4.2. Исследование стабилизации положения равновесия управляемых механических систем. Бесконечное запаздывание 163
4.3. Устойчивость движений эредитарных механических систем 172
4.4. О стабилизации положения относительного равновесия 176
4.5. О стабилизации программного движения 178
4.6. Задача о стабилизации маятника в верхнем неустойчивом положении 181
4.7. Задачи о стабилизации твердого тела 186
4.8. Стабилизация по части переменных при допущении неограниченности неконтролируемых координат 198
А. Исследование устойчивости функционально дифференциальных уравнений нейтрального типа с конечным запаздыванием 203
А.1. Основные определения 204
А.2. Принцип инвариантности для автономных уравнений 206
А.З. Построение предельных систем 208
А.4. Локализация положительного предельного множества 211
А.5. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости 213
А.6. Равномерная асимптотическая устойчивость 217
А.7. Знакопостоянный по ядру функционал Ляпунова 224
А.8. Исследование устойчивости НФДУ по части переменных 229
Литература 234
Введение к работе
Простейшая гипотеза, принимаемая при математическом описании физических явлений предполагает, что рассматриваемая система подчиняется закону причинности, т. е. будущее состояние не зависит от прошлых состояний и определяется только настоящим. Однако в многочисленных задачах механики, техники, теории автоматического регулирования, экономики, биологии, экологии PI т. д., для адекватного описания реальных процессов необходим учет запаздывания, "предыстории" процесса. В этих случаях, в качестве математических моделей, используются функционально-дифференциальные уравнения. Согласно [114], функционально-дифференциальные уравнения — это уравнения относительно неизвестной функции x(t) и ее производных, вычисленных в различные моменты времени .
Впервые в достаточно общей форме такие уравнения были представлены и исследованы в трудах В. Вольтерра [21].
Одним из важнейших разделов качественной теории функционально-дифференциальных уравнений является теория устойчивости. Метод функционалов Ляпунова, предложенный Н.Н. Красовским [58], является в настоящее время одним из основных в исследовании устойчивости систем с запаздыванием.
Многие ученые внесли существенный вклад в развитие теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Н.Н. Красовским [58] доказаны теоремы об устойчивости PI асимптотической устойчивости для уравнения запаздывающего типа. Теорему о неустойчивости получил С.Н. Шиманов [121]. Устойчивость решений уравнения нейтрального типа исследовалась в работах [46, 47, 115, 146]. Частичная устойчивость функционально-дифференциального уравненрія исследовалась в работах [24]-[26], [35, 143, 156]. Функционально-дифференциальные уравненрія Вольтерра, введенные в [21, 22], исследовались далее в работах [107, 108, 110, 109]. Другріе значительные результаты классического типа при исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений вторым методом Ляпунова были получены в работах В.Б. Колмановского, В.Р. Носова, Дж. Хейла, Л. Хатвани и других ученых [38]-[40], [44]-[50], [75, 114], [137]-[139], [144]-[147], [155]-[158], [164].
Постановка новых задач об устойчивости и стабилизации движений различных систем и процессов (в том числе механических), отсутствие универсального способа построения функционалов Ляпунова, удовлетворяющих условиям тех или иных общих теорем об устойчивости, приводит к необходимости модификации и обобщения известных ранее таких теорем, в частности в направлении модификации и обобщения теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости путем ослабления знакоопределенности функционала Ляпунова и его производной. В работах [29, 43, 44, 52] было предложено использовать для исследования устойчивости уравнения запаздывающего типа знакопостоянные и немонотонные функционалы Ляпунова. Для автономных функционально-дифференциальных уравнений теорему Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости [19] с использованием функционала Ляпунова со знакопостоянной производной обобщил Дж. Хейл [146]. Исследование устойчивости неавтономных уравнений представляет собой большую трудность. Один из методов исследования опирается на идею построения предельной системы для заданного уравнения с последующим использованием качественных свойств решений предельной системы. Если для обыкновенных дифференциальных уравнений эта задача решалась в работах [3]-[6], [130]—[134, 166], то для функционально-дифференциальных уравнений она исследовалась в [12]—[15, 69], [80]-[86, 117, 118, 119]. В работах [106, 143, 144, 145, 148, 156, 157, 161] с помощью метода предельных уравнений исследовались уравнения запаздывающего типа с бесконечным запаздыванием, для чего вводилось особое фазовое пространство начальных функций. В работах А.С. Андреева и Д.Х. Хусанова [14, 15] для функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа были получены методы исследования асимптотической устойчивости и неустойчивости, предельного поведения решений неавтономной системы, основанные на использовании предельных уравнений и знакоопределенных функционалов Ляпунова со знакопостоянной производной. Теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости из [14] есть обобщение теоремы Барбашина-Красовского для неавтономного функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа. К исследованию устойчивости ФДУ сводятся задачи об устойчивости эредитарных механических систем, о стабилизации регулируемых систем, о стабилизации движений механических систем с учетом запаздывания в структуре обратной связи. Изучением этих задач, в том числе с использованием функционалов Ляпунова, занимались Н.Н. Красовский, Ю.С. Осипов, СМ. Белоцерковский, В.Б. Колмановский, И.М. Ананьевский, Дж. Хейл, B.C. Сергеев, А.А. Ким и другие ученые.
Теоремы об асимптотической устойчивости нулевого решения неавтономной системы ФДУ с конечным запаздыванием, при условии существования знакоопределенного функционала со знакопостоянной производной, позволили решить ряд интересных задач об устойчивости и стабилизации движения механической системы с запаздыванием [7]. Эти результаты определили, по существу, новое направление в теории устойчивости ФДУ Однако многие проблемы этого направления до настоящего времени оставались малоисследованными или неисследованными.
Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию новых методов исследования устойчивости и стабилизации механических систем.
