Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка задач 18
2. Описание методов 38
3. Непрерывные управления 45
4. Дискретные управления 50
5. Погрешности в информации о параметрах системы 58
6. Стабилизация по части переменных и непрямое регулирование 61
7. Результаты в приложениях 70
1. Электромеханические системы, описываемые уравнениями Лагранжа второго рода 70
2. Твердое тело с неподвижной точкой, управляемое приложенным к нему моментом сил 71
3. Твердое тело, управляемое установленными на нем маховиками 78
4. Твердое тело, управляемое установленными на нем спаренными двухстепенными силовыми гироскопами (гиродинами) 85
5. Твердое тело, управляемое установленными на нем спаренными трехстепенными силовыми гироскопами вконирующем подвесе 92
Приложение 93
8. Уравнения, описывающие вращательное движение твердого тела, управляемого моментом внешних сил; параметры Родрига-Гамильтона 93
9. Уравнения, описывающие вращательное движение твердого тела, содержащего маховики; вспомогательные утверждения 106
1. Расчетный вариант 106
2. Случай с погрешностями в изготовлении носителя, маховиков и установке маховиков относительно носителя 112
3. Случай с малыми упругими колебаниями осей вращения маховиков, обусловленными упругой податливостью подшипников, в которых вращаются валы маховиков 119
10. Уравнения, описывающие вращательное движение твердого тела, содержащего двухстепенные силовые гироскопы 136
1. Расчетный вариант 136
2. Уравнения, описывающие движение механической системы, состоящей из носителя и s спарок гиродинов 142
3. Случай с рассогласованием поворотов гирокамер спарок, обусловленным малыми упругими деформациями растяжения лент, синхронизирующих эти повороты 145
4. Случай с отклонениями скоростей собственного вращения роторов гиродинов от расчетных, обусловленными конструктивными особенностями приводов 149
11. Уравнения, описывающие вращательное движение твердого тела, содержащего спаренные трехстепенные
силовые гироскопыв конирующем подвесе 153
Заключение 166
Список основных обозначений 168
Список литературы
- Электромеханические системы, описываемые уравнениями Лагранжа второго рода
- Твердое тело, управляемое установленными на нем спаренными двухстепенными силовыми гироскопами (гиродинами)
- Случай с погрешностями в изготовлении носителя, маховиков и установке маховиков относительно носителя
- Уравнения, описывающие движение механической системы, состоящей из носителя и s спарок гиродинов
Электромеханические системы, описываемые уравнениями Лагранжа второго рода
Спарка состоит из двух идентичных гироузлов. Каждый гироузел образован пятью телами: JJ - внутренняя лира, Т2 - гирокамера, Т3 - ротор, Г4 - малая внешняя лира, Т5 -большая внешняя лира. Роторы гироузлов вращаются с постоянными одинаковыми по величине и противоположными по направлению в начальный момент времени скоростями, так что начальный суммарный кинетический момент спарки нулевой. Повороты больших и малых внешних лир гироузлов спарки синхронизированы в противоположных направлениях при помощи колес и гибких стальных лент. Это дает возможность, поворачивая только большие или только малые лиры гироузлов обеспечивать изменение кинетического момента спарки вдоль фиксированных в носителе осей. При этом обеспечивается многократное усиление прикладываемого к ним вращающего момента за счет энергии предварительно раскрученных роторов.
Использование силовых гироскопических устройств (СГУ) для целей управления ориентацией космических аппаратов сулило и по-прежнему оставляет многообещающие перспективы в связи с возможностями высокоточного регулирования кинетического момента, малым энергопотреблением, габаритами и весом [16, 40, 59, 92, 155]. Вместе с тем при использовании СГУ на этапе разработки системы управления вращательным движением носителя исследователю приходится столкнуться с целым «букетом» задач, которые в общих чертах описаны выше и будут подробно сформулированы в 1. Именно, управление при помощи описанных СГУ предполагает: непрямое регулирование и стабилизацию по части переменных, когда желаемое воздействие гироскопов на носитель должно быть обеспечено надлежащим управлением поворотами гирокамер СГУ; ограничения в изменении кинетического момента СГУ, обусловленные невозможностью произвольных поворотов гирокамер («упоры» ограничивают повороты больших и малых лир); импульсный характер воздействия на СГУ шаговых двигателей приводов гирокамер; непостоянство скоростей собственного вращения роторов гироскопов, обусловленное конструктивными особенностями асинхронных двигателей постоянного тока, приводящих их движение; учет конструктивной «расцентровки» больших и малых лир подвеса, приводящая к погрешностям СГУ как инструментов управления (инструментальным погрешностям); малые упругие деформации элементов подвеса гироскопов; неточности изготовления, сборки, установки СГУ в носителе и др.
Необходимо отметить также, что хотя описанные выше задачи стабилизации схожи по постановке и используемым для решения методам (метод функций Ляпунова) с классическими задачами обеспечения устойчивости программных движений, они не укладываются в последние, отличаясь в первую очередь нелокальным характером. По-существу, это другие задачи, которые до конца 70-х годов не имели приемлемого теоретического решения.
Как и многие другие задачи, связанные с управлением движением механических систем, исторически первыми задачи стабилизации формулировались и решались применительно к управлению движением космических аппаратов. Проблемная в начале 70-х годов [57], задача построения прикладываемых к носителю внешних управляющих моментов, обеспечивающих заданное вращательное движение носителя, благодаря усилиям российских математиков среди которых В.И.Зубов, А.М.Летов, Б.В.Раушенбах, Е.Я.Смирнов, Е.Н.Токарь и другие к началу 80-х годов, была в основном решена. Из работ названных авторов выделим работы В.И.Зубова [31, 24, 32] и развивающие его работы Е.Я.Смирнова [101-106]. В этих работах на основе метода функций Ляпунова [61] построены управления, обеспечивающие решение поставленной задачи в «большом». В работах Е.Я.Смирнова, кроме того, решены вопросы синтеза управлений, обеспечивающих решение задачи стабилизации заданной ориентации твердого тела в условиях неопределенности, когда тензор инерции тела и приложенные к нему внешние управляющие моменты известны лишь с некоторой необязательно малой ограниченной погрешностью.
Необходимые для управления вращательным движением носителя вращающие моменты могут создаваться внешними управляющими органами (реактивными двигателями, магнитными катушками) или содержащимися в носителе приборами управления (инерционными маховиками и силовыми гироскопами). Оставляя в стороне вопрос о целесообразности использования магнитных катушек в рассматриваемых задачах [22], отметим, что управление вращательным движением при помощи реактивных двигателей связано с расходом рабочего тела. Кроме того, реактивные двигатели как правило реализуют управляющие моменты релейного типа и, следовательно, имеют ограниченные возможности с точки зрения точности ориентации. Эти обстоятельства делают целесообразным в соответствующих случаях непрямое регулирование вращательного движения твердого тела, когда необходимые управляющие моменты создаются при помощи содержащихся в носителе вращающихся маховиков или гироскопов, которые обладают преимуществами с точки зрения габаритов, веса, потребляемой энергии [92]. Принципиальный ответ на вопросы, связанные с непрямым регулированием дает работа В.И.Зубова [24], в которой указана аналитическая конструкция закона регулирования, осуществляющего управление вращательным движением твердого тела при непрямом регулировании. Непрямое регулирование в тех или иных аспектах рассматривается также в работах [2, 4, 17, 18, 22, 26, 31-34, 50-52, 70, 73, 79, 92-95].
Инерционные маховики как органы управления наиболее просты из систем, содержащих вращательные массы поэтому достаточно хорошо изучены [2, 4, 18, 22, 31, 32, 50-52, 57, 92, 98]. Они могут быть использованы как для активного управления вращательным движением носителя, так и для пассивной стабилизации. Вместе с тем, они обладают рядом существенных недостатков: большой энергоемкостью при сравнительно небольшом быстродействии, большими габаритами, весом и как следствие, сравнительно небольшой [16] точностью обеспечения заданной ориентации носителя.
Среди систем управления ориентацией с использованием вращающихся масс весьма перспективными считаются системы, содержащие двухстепенные и трехстепенные силовые гироскопы: спаренные и неспаренные [16, 40, 59, 70, 79, 92, 100, 127, 155]. Спарка гироскопов представляет собой пару идентичных гироскопов, повороты гирокамер которых синхронизированы в противоположных направлениях при помощи механической связи, например, гибких стальных лент, а роторы закручены в противоположных направлениях с постоянными одинаковыми по величине и противоположными по направлению в начальный момент времени скоростями. Спарки двухстепенных или трехстепенных силовых гироскопов обладают существенными преимуществами перед инерциальными маховиками: они обеспечивают многократное усиление прикладываемого к ним вращающего момента так, что для создания необходимого для обеспечения ориентации носителя управляющего момента моно использовать приборы, имеющие меньший вес, габариты, большее быстродействие и что, немаловажно, дающие значительную экономию энергии по сравнению с маховиками [16, 40, 92, 155]. Конечно, законы управления гироскопами сложнее, чем маховиками, однако это обстоятельство несколько компенсируется за счет использования в спарках противоположно ориентированных гиророторов и наличия в контуре управления бортовой ЭВМ. Трудности же связанные с синхронизацией поворотов гирокамер трехстепенных гироскопов устраняются при использование подвесов «конирующего» [16, 40, 59, 155] типа.
Твердое тело, управляемое установленными на нем спаренными двухстепенными силовыми гироскопами (гиродинами)
Анализ различных способов построения функций Ляпунова можно найти в [6]. Один из подходов к конструированию функций Ляпунова в связи с задачами обеспечения глобальной устойчивости программных движений предложен в [88]. Новый подход к построению функций Ляпунова по правой части управляемой системы дан в [85-87]. В этих работах даны критерии построения функций Ляпунова по правой части системы, а также Приведено краткое описание численного построения искомой функции.
В задачах стабилизации по части переменных при непрямом регулировании использование описанной выше методики синтеза управлений возможно после предварительного выделения дополнительных стабилизируемых переменных - обозначим их через % - и введение в рассмотрение функций Ляпунова вида указанные выше функции, к - выбираемый положительный параметр. Дело в том, что в этих задачах управляющее воздействие, стабилизирующее программное движение при «прямом» регулировании, должно быть создано за счет надлежащего управления исполнительными органами, динамика которых описывается собственными дифференциальными уравнениями. Интуитивно понятно, что если создаваемое этими органами управляющее воздействие через ограниченный промежуток времени окажется близким к какому-либо управлению, стабилизирующему программное движение при «прямом» регулировании, то задача будет решена и при регулировании «непрямом». Таким образом, отклонение управляющего воздействия, создаваемого исполнительными органами, от желаемого стабилизирующего закона управления - выше мы обозначили его через % -должно быть стабилизировано в окрестности нуля.
Для дополнительных стабилизируемых переменных на основе исходной системы уравнений и выбранного управления, стабилизирующего программное движение при «прямом» регулировании, выписываются уравнения, которые используются при построении искомых управлений в основном режиме (1), когда регулирование осуществляется за счет использования лишь компонент вектора управления, соответствующих переменным, не подлежащим стабилизации, т.е. переменным, описывающим динамику исполнительных органов.
При возникновении угрозы нарушения ограничений на переменные, не подлежащие стабилизации, от основного режима переходят к режиму разгрузки, когда исполнительные органы приводятся в состояние, близкое к исходному (стабилизация!), а управление, осуществляющее «прямое» регулирование, обеспечивает стабилизацию программного движения и парирование воздействия не подлежащих стабилизации переменных.
Для индикации необходимости перехода от основного режима к режиму разгрузки можно использовать функции Ляпунова, подобные функциям (6) и (7), но относительно переменных, не подлежащих стабилизации. Достижение выбранной функцией задаваемого уровня в основном режиме, учитывая неравенства (2), служит признаком возникновения угрозы нарушения ограничений для переменных, не подлежащих стабилизации, и, следовательно, - признаком перехода на режим разгрузки. Аналогично, в режиме разгрузки достижение желаемой близости к нулю значений выбранной функции является основанием для перехода на основной режим управления.
Конкретные выражения для функций Ляпунова, используемых для индикации переходов от основного режима к режиму разгрузки для анализируемых в диссертации управляемых динамических систем указаны ниже.
Описанные выше методы работы с предложенными функциями Ляпунова позволяют строить непрерывные и различного рода дискретные (по уровню и времени) управления, решающие задачу стабилизации при наличии погрешностей р є Р из заданных диапазонов. Основными факторами, определяющими возможность применения описанных методов, является независимость вектора т] от погрешностей/» и получение оценок (3) для норм векторов и 77 в (1) через известные границы диапазонов погрешностей и параметры начального множества.
При учете «динамических» погрешностей, которые описываются собственными дифференциальными уравнениями и являются скорее конструктивными особенностями управляемой системы, указанные оценки получить не удается из-за появления в уравнениях системы и, как следствие, в выражении для старших производных этих погрешностей.
При наличии «динамических» погрешностей, вектор погрешностей имеет структуру p = col(p],p2,p2), где символом р1 обозначены не зависящие от времени погрешности с априорными оценками диапазонов их возможных значений, а символом р2 «динамические» погрешности, описываемые собственными дифференциальными уравнениями. Если бы каким-либо преобразованием исходной системы удалось из ее уравнения убрать вектор р2, то в предположении об ограниченности вектора р2 описанная выше методика использования подходящих функций Ляпунова и мажорант для них позволила бы построить стабилизирующие управления. Последующий анализ уравнений для р2 должен дать условия на параметры системы, при которых предположения о принадлежности р2 выбранным диапазонам справедливо.
Для управляемых систем, описываемых уравнениями Лагранжа второго рода, указанную манипуляцию удается осуществить, когда обусловленный погрешностями р2 вектор входит в выражение для обобщенного кинетического момента системы линейно: непрерывная функция своих аргументов, ограниченная как функция времени и обращающаяся в нуль, при р2 = 0. Это имеет место, например, для твердого тела с упруго присоединенными элементами. Для вращающегося твердого тела с маховиками и гироскопами подобные ситуации имеют место в случаях, когда, имеются малые упругие деформации элементов подвеса маховиков и гироскопов, когда учитывается динамика приводов и т.д. (см. Приложение).
Линейная неособая замена переменных выделяет из сложного движения изучаемой системы некоторую составляющую его «быстрой» части, определяемую погрешностями. Из уравнений системы и вектора в (1) в результате этой замены удаляются производные динамических погрешностей р2. Необходимо отметить также, что в результате предложенной замены переменных коррекции подвергается и стабилизируемое движение системы, которое при достаточно малых величинах погрешностей будет близко к программному. По отношению к используемым для построения стабилизирующих управлений функциям Ляпунова сказанное означает, что для синтеза стабилизирующих управлений можно использовать функции (5)-(9), в которых стабилизируемые переменные заменены на «близкие» преобразованиями вида (11).
В ряде случаев, как например для трехстепенных силовых гироскопов в конирующих подвесах, при построении стабилизирующих управлений представление вида (10) удобно применить и в расчетном (без погрешностей) варианте, рассматривая отклонения центров инерции элементов подвеса от осей вращения как инструментальные погрешности.
В первом параграфе было отмечено, что по ряду причин а именно из-за стремления построить стабилизирующие управления по возможности наиболее простыми как функции измеряемых характеристик движения, задачи стабилизации программных вращательных движений твердого тела с неподвижной точкой целесообразно формулировать и решать, используя в качестве математической модели уравнения Эйлера-Пуассона. Использование уравнений Лагранжа второго рода в этом случае, хотя и является привлекательным из-за возможности применения для описания взаимного расположения опорных и ориентируемых осей независимых переменных типа самолетных углов, приводит к управлениям весьма сложной структуры. Конкретный вид стабилизирующих управлений, получающихся при решении задачи трехосной стабилизации вращательного движения твердого тела на основе уравнений Лагранжа второго рода приведен в [113, 4].
Случай с погрешностями в изготовлении носителя, маховиков и установке маховиков относительно носителя
В соответствии со сказанным в 1 при стабилизации по части переменных программное движение задается только для части фазовых переменных системы, называемых стабилизируемыми. Для остальных - нестабилизируемых переменных -задаются допустимые диапазоны их изменения. Задача стабилизации движения динамической системы по части переменных состоит в выборе управлений, при которых стабилизируемые переменные за ограниченное время переводятся из заданной начальной окрестности программного движения в заданную целевую его окрестность и в дальнейшем этой окрестности не покидают. Если ставится дополнительное условие, чтобы в течение всего времени, пока не возникает угроза нарушения допустимых диапазонов для нестабилизируемых переменных, соответствующие этим переменным управления должны быть равны нулю, говорят о стабилизации движения по части переменных при непрямом регулировании.
При решении задачи стабилизации программных движений по части переменных при непрямом регулировании в приложениях [117] возникают две характерные ситуации, которые мы проиллюстрируем на примере управляемых систем, описываемых уравнениями вида (1.5). Эти ситуации не исчерпывают всех возможных для систем вида (1.5), и мы не ставим целью абстрактное рассмотрение всех этих ситуаций. Теоремы данного параграфа мы дадим в качественной формулировке, а структуру искомых управлений укажем по ходу доказательства теорем.
В первой ситуации исходные уравнения удается преобразовать к виду хх = Ах (t)xx + их+В2 (t)u2 +угх х2 = А (t)x2 + и2+Вх (t)ux + у/2 в котором разделены старшие производные векторов хх и х2, причем матрица коэффициентов при векторе управлений и =(и ,и2) неособая. Напомним, что в соответствии с соглашениями 1 х =(x ,xj), хх- вектор стабилизируемых, а х2- прочих переменных, щ и и2 - соответствующие этим векторам составляющие вектора управлений и в исходных уравнениях величины Ai,Bi,y/i (г =1,2) являются вещественными непрерывными и ограниченными функциями времени, а векторы у/і, кроме того, непрерывны как функции фазового вектора х.
Теорема 6.1. Пусть матрица В2В 2 определенно положительна, тогда все результаты 3-5 переносятся на случай задачи стабилизации по части переменных. Доказательство. Построение стабилизирующих управлений, как и всюду в данной работе, осуществим с использованием метода функций Ляпунова. Очевидно, что подсистемы являются стабилизируемыми, поскольку существуют управления ui = Mixi, делающие матрицы АІ=АІ+МІ экспоненциально устойчивыми. Пусть wi=x Wixi обозначают определенно отрицательные, a v; = x Vixi - соответствующие им определенно положительные квадратичные формы, связанные на решениях подсистем і. = А.х(. соотношениями vt = и ..
Процесс построения стабилизирующих управлений начнем с указания правила чередования основного и разгрузочного режимов. Пусть
Мы будем строить стабилизирующие управления таким образом, чтобы решения замкнутой системы с течением времени не покидали окрестностей: Q,x - для стабилизируемых переменных х,, и Gg - для прочих переменных х2. Решение задачи стабилизации будет осуществлено посредством перевода всех начинающихся в множестве G\ решений в множество, где v, vEl, целиком лежащее внутри G\. Будем считать, что процесс управления начинается в основном режиме, т.е. в начальный момент времени щ = 0, причем будем полагать, что в этот момент времени v2 vpe . Основной режим продолжается до тех пор, пока не выполнится соотношение v2 = Vg . С этого момента времени начинается режим разгрузки, в котором вектор щ может иметь, вообще говоря, ненулевые компоненты. В режиме разгрузки нестабилизируемые переменные должны быть переведены в окрестность G] с G]. Признаком, что это произошло, является равенство v2 = \рє . По окончании режима разгрузки вновь начинается основной режим. Отметим, что выполнение условия v2 vf в начальный момент времени выбрано нами в целях удобства изложения и не умаляет общности. Рассмотрим основной режим управления. В этом режиме щ = О. По условию матрица В2В 2 определенно положительна и, следовательно, неособая. Положим иг = В\{ВгВ\Т\Мххх -glD ) Cl где 77, = 2 х, , gr - положительный параметр, Z), - квадратная матрица с определенной положительной симметризованной D1 + D . Таким образом, в основном режиме 0Л
Индикатором перехода от основного режима к режиму разгрузки служит, как уже отмечалось, функция v2. Поведение этой функции в основном режиме описывается уравнением (6). Если решения этого уравнения, соответствующие начальному множеству Gsl х Gs , с течением времени не превысят уровня v2 = v/, то режима разгрузки не будет. Если же в некоторый момент времени t = tH значение функции v2 окажется равным v/, наступит режим разгрузки.
Уравнения, описывающие движение механической системы, состоящей из носителя и s спарок гиродинов
Матрица 9 =6n(p,rn,R) не зависит от вектора q углов поворота маховиков относительно их осей вращения и непрерывно зависит от указанных погрешностей, обращаясь в нуль прир = О, гп = О, R = 0. Матрица в\ = в\ (g, р, rnR) зависит от вектора q и погрешностей. Для нас будет важно, что эта матрица ограничена как функция q, непрерывно дифференцируема по его компонентам и непрерывна как функция погрешностей, причем матрицы d9ln/dqj обладают такими же свойствами.
Матрица в, естественно, является определенно положительной. В соответствии со сказанным выше мы будем предполагать известной оценку сверху на норму матрицы 9п = 9п + 9\ и оценки - положительные числа - на собственные числа матрицы 9.
Рассмотрим вектор L. Используя формулы (3), (24)-(29) и представление C0j = gyn0., нетрудно установить, что которой известна. Мы этого делать не будем, чтобы не загромождать изложения, тем более, что развиваемая в диссертации методика учета различных отклонений от расчетного варианта позволяет без труда исследовать и данную ситуацию. Отметим лишь, что погрешности такого рода включены в модель (1.8) системы иерархической структуры с разбросом коэффициентов, описанную в 1. Будем полагать, что компоненты векторов F и Мд известны нам с некоторой погрешностью и являются ограниченными величинами. Тогда такими же свойствами будет обладать и вектор Мв. Таким образом, мы предполагаем, что вектор Мв ограничен и в представлении Ме - Мвр + Мт вектор Мвр - известная точно, а Мвп - известная с точностью до оценки сверху по норме его составляющие. Подставляя выражения (33),(39) в уравнение (1), получим: (9ю + N 0Jq)" +сох(9(0 + N 0Jq) = Му+Мв. (40)
Относительное движение маховиков в носителе в рассматриваемом случае с учетом соотношений (2),(3) описывается уравнениями:
Рассмотрим входящие в эти уравнения величины. Для выражения под знаком производной справедливы представления: Второе слагаемое в левой части уравнений (41) с учетом равенств (17),(18) преобразуется к виду где, как и в 8, F(d) - матрица векторного произведения. Величина п0]М, как и в расчетном варианте, есть сумма управления Q. и возмущения Q.. Относительно последнего будем предполагать, что оно является ограниченным и известно в некоторой погрешностью, оценку на которую мы знаем. В отношение вектора F} будем считать выполненными такие же условия. В сделанных предположениях правая часть уравнений (41) представляется в виде: Можно было бы, конечно, положить Qyj = (і + &) Qyjp, где & - скалярная величина, оценка на которую известна. Мы этого делать не будем по тем же причинам, что и для вектора Му. Введем обозначения Отметим, что вектор Рп =Д,{a ,q,q,R,px,...,p ) является однородной формой второго порядка относительно со и q с коэффициентами, ограниченными как функции q, непрерывными по погрешностям R,pv...,ps и обращающимися в нулевые, если при У/ Pj-- Напомним также, что матрица J является постоянной диагональной матрицей, элементы которой суть осевые моменты инерции маховиков (положительные числа).
Итак, при наличии погрешностей в изготовлении носителя, маховиков и установке маховиков относительно носителя вращательное движение механической системы «носитель - маховики» описывается уравнениями (40), (42). Преобразуем эти уравнения к удобному для исследования виду.
Как следует из свойств матриц и #л2, матрицы и в2п являются линейными однородными формами вектора q, матрицы коэффициентов которых обладают такими же свойствами, как и сами матрицы и 9гп. Разрешим уравнения (43) относительно старших производных векторов со и q, умножив эти уравнения слева на матрицу
Векторы ух,у2 могут быть представлены в виде y/t -ц/ір +у/ы (г = 1,2), где у/ір - векторы, определяемые формулами (20) для расчетного варианта, а векторы у/іп обусловлены погрешностями. Как следует из формул (46), векторы цііп могут быть представлены следующим образом: y/in = y/in + у/ы , где у/ы - вектор, оценка сверху на норму которого известна, а ц/іп =y/in (co,q,q,p,r,R) является однородной формой второго порядка относительно со,q с коэффициентами, ограниченными как функции q, непрерывными как функцииp,r,R и обращающимися в нуль при/ =0, r=0, R=0. Лемма 3. Матрицы 9Х и 92 определенно положительны. Доказательство. Матрицы J и N 0J, учитывая формулы (34), (35),(29), могут быть представлены в виде: J = (6N0) 9 49NA, N 0J = E9N0, где 9 = diag{9l,...,9s], N = diag{n0l,...,n0s] - блочно-диагональные матрицы размерностей 3sx3s и 3sxs, 119 диагональными блоками которых являются матрицы 9j и столбцы n0j соответственно, а Е = (Е3,...,ЕЪ) - 3х35-матрица, составленная из s матриц Е2. С использованием указанных представлений матрица 92 может быть записана следующим образом: 92 = Йо 0(в-1 -E0-lE)0No.
По лемме 1 35 х 35-матрица 9 1 -Е9 1Е является определенно положительной, так как определенно положительными являются матрицы 9, в и 9-Е6Е =9 (см. (6)). Следовательно, sxs -матрица 92 также определенно положительна: ранг N0 равен s.
Для доказательства определенной положительности матрицы 9Х=9-N QJN Q достаточно, учитывая лемму 1, показать, что этим свойством обладает матрица J l - N 0 9 хN 0 (определенная положительность матриц J и 9 1 очевидна). Но это следует из представления определенно положительной матрицы 02 в виде
Доказанное свойство матриц 9Х и 92, как и в расчетном варианте, влечет неособеность матрицы E3+s + R и определенную положительность матрицы при старших производных в уравнениях (43).
Завершая рассмотрение случая, когда имеются погрешности в изготовлении носителя, маховиков и установке их относительно носителя, отметим, что в 7 мы предполагаем известными оценки снизу и сверху на собственные числа матриц 9Х и в2, а также оценки сверху на нормы отклонений этих матриц от рас- четных. Указанные оценки могут быть получены, например, с использованием специальных представлений обратных матриц, полученных при доказательстве леммы 1.
3. Случай с малыми упругими колебаниями осей вращения маховиков, обусловленными упругой податливостью подшипников, в которых вращаются валы маховиков. Для простоты изложения будем полагать, что погрешности в изготовлении носителя, маховиков, и установке их относительно носителя отсутствуют.
Уравнения, описывающие вращательное движение носителя и маховиков, будем, как и в предыдущих пунктах, получать, исходя из закона об изменении кинетического момента механической системы. Для получения уравнений, описывающих поступательное движение маховиков относительно носителя, обусловленное упругой податливостью их подшипников, воспользуемся законом об изменении количества движения.
Смещение оси вращения маховика, обусловленное упругой податливостью подшипников, в которых вращается вал маховика, будем описывать с помощью радиус-вектора р. точки Oj относительно неподвижной в носителе точки Oj, с которой совпадает точка Oj при отсутствии упругих смещений. Радиус-вектор точки Oj относительно точки О будем обозначать г!. В рассматриваемом варианте г = rjp.
Повороты оси Ojiij, обусловленные упругой податливостью подшипников вала маховика, будем описывать с помощью двух углов q\ и q2j (рис.4). Угол q\ представляет собой угол поворота маховика вокруг оси О70-, a q - угол поворота вокруг оси (направляющий орт ее обозначим через k j), в которую переходит ось Ojk0J в результате первого поворота. Движение маховика вокруг оси Ojnoj, как и выше, будем описывать с помощью угла поворота q.. Будем полагать, что углы отсчитываются от положения, в котором тройки ортов k0j,l0j,n0j и kj,ljtrij совпадают.
