Содержание к диссертации
Введение
1 Строение конечных локальных колец характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре 16
1.1 Предварительные сведения 1G
1.2 Строение конечных локальных колец характеристики р 18
1.3 Теорема о классификации конечных локальных колец характеристики р 23
2 Классификация конечных локальных колец порядка р6 и характери стики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре 29
2.1 Предварительные замечания 29
2.2 Конечные локальные кольца с условием: dimF J{R)/J{R)2 = 3, d\mFJ{R)2/J(R):i = l, d\mFJ(Rf = l 29
2.3 Конечные локальные кольца с условием: dimFJ(R)/J(R)2 = 2, dimF J{R)2/J(Rf = 2, dimFJ{R)3 = l 46
2.3.1 Основные определения 46
2.3.2 Кольца характеристики рф2 47
2.3.3 Кольца характеристики р = 2 75
2.3.4 Формулировка основного результата 82
Список литературы
- Строение конечных локальных колец характеристики р
- Теорема о классификации конечных локальных колец характеристики р
- Конечные локальные кольца с условием: dimF J{R)/J{R)2 = 3, d\mFJ{R)2/J(R):i = l, d\mFJ(Rf
- Кольца характеристики рф2
Введение к работе
Актуальность темы. Одной из актуальных проблем современной алгебры является задача описания и классификации конечных колец малых порядков. Каждое конечное кольцо с единицей единственным образом представимо в виде прямой суммы колец, порядки которых есть степени некоторых простых чисел, то есть R = ф ^2 Rp, где
р Rp = {х Є R | рпх = 0 для некоторого п > 1}. Поэтому при классификации конечных
колец достаточно рассматривать только кольца порядка рп. За последние десятилетия удалось полностью описать некоторые из таких типов колец. Так, В.Г. Антипкин и В.П. Елизаров полностью описали кольца порядка рп для п < 3 (см. [1, 2]). В частности, В.П. Елизаров классифицировал все ненильпотентные кольца порядка рА (см. [2]). При этом число неизоморфных колец, полученных ими, различно для р = 2 и. р ф 2. В работе [3] В.А. Ратиновым частично описаны кольца порядка р4, при этом различались случаи р = 2, рф2\\р = l(mod 3), р ф l(mod 3). Д. Дерр, Г. Орр, П. Пек в 1994 году впервые указали исчерпывающий список некоммутативных колец порядка р4 (см. [6]). Авторы ограничили себя некоммутативным случаем в связи с тем, что конечное коммутативное кольцо является прямой суммой локальных колец, а конечные локальные кольца порядка р4 были к тому времени наиболее изучены (см. также [27]).
Б. Горбас и Г. Вилльямс в 2000 году в работе "Rings of order р5" (см. [16, 17]) классифицировали с точностью до изоморфизма все конечные кольца порядка р5. Более того, ими были полностью описаны все конечные кольца порядков р, р2, р3 и р4, при этом их результаты совпали с полученными ранее. Метод, использующий теорию полусовершенных колец и теорию графов, позволил им по сути свести проблему к классификации конечных локальных колец, то есть колец с условием R/J(R) = F, где F — поле. Авторы указали также на то, что их метод открывает перспективы для изучения строения колец более высоких порядков. Здесь важно отметить, что согласно их замыслу, необходимо сначала полностью классифицировать все конечные локальные кольца рассматриваемого порядка, а затем уже, рассматривая соответствующие разложения в прямые суммы полусовершенных колец, получить окончательный результат.
Данная работа посвящена описанию локальных колец. Чтобы понять ее значимость для теории конечных колец, кратко опишем технику классификации конечных локальных колец.
Пусть R — локальное кольцо порядка рп, J(R) — радикал Джекобсона кольца R
и R/J(R) = GF{pr) = F. Заметим, что J(R) является множеством всех пилыю-
тентных элементов кольца R или, что равносильно, множеством всех делителей ну
ля. Рассмотрим последовательность R — J{R) D J{R) D J(R)2 D Если s* =
dinii? J(R)l/J(R)1+1, то r ^2 Si = n и, в частности, r\n. Если n является простым чи-
i=0
слом, то либо J(R) = 0 и R = J(R), либо г = 1. Если же, к примеру, п = 6, то возможны также случаи г = 2 и г = 3.
Далее, так как R является конечным кольцом, то его радикал J(R) нилыютентен. Следовательно, йдг = 0 тогда и только тогда, когда J(R)N — 0, причем Sj = 0 для всех г > N. Если N — наименьшее из всех таких чисел, то есть J(R)N~1 ф 0, то N называется индексом нильпотентности радикала J(R). Так как S; > 1 (0 < і < N — 1), то п > rN. Заметим, что \-р Є J(R) (т.к. р = charGF(pT), GF(pr) = R/J(R)), а значит, pN = 0 и характеристика кольца R равна рк для некоторого к < N. Следовательно, п > гк. Случай п = гк был исследован в работах [21, 22, 24]. А именно, с точностью до изоморфизма существует только одно конечное локальное кольцо R порядка ргк и характеристики рк. Это кольцо называется кольцом Галуа GR(prh,pk) и представимо в виде Zpk[x]/(f), где / является многочленом степени г, неразложимым по модулю р. Тривиальные случаи — GR(pn,pn) = Zpn и GR(pn,p) = GF(pn). Кроме того, полностью классифицированы конечные локальные кольца следующих типов (далее s = ^ Sj):
i=0
\R\ =pn, charR = pk, J{Rf = 0 для любого к (см. [12, 11]);
IЛ| = pST, charR = p, JiR)^1 ф 0, то есть 1 = si > s2 > s3 > ... > 0 (см. [24]);
|Л| = psr, charR = ps_1, J(R)"~l ф 0, то есть так называемые (см. [24]) почти кольца Галуа (near Galois rings);
|Я| =ps, г = 1, charR = рк, J(R)S-1 ф 0 для любого к (см. [16, 17]);
\R\ = pk+1 = р charR (см. [16, 17]).
Итак, в силу сказанного выше, каждому конечному локальному кольцу соответствует некоторая последовательность (к, г, s\,S2,.. ). Б. Горбас и Г. Вилльямс [16, 17]) при классификации колец порядка ръ перебрали все возможные комбинации значений (k,r,si,s2,...) для рассматриваемого числа п. Так, при п = 4 и к = 1 им пришлось последовательно описать кольца следующих типов:
(1,1,1,1,1,0,...), (1,1,2,1,0,...), (1,1,3,0,...), (1,2,1,0,...), (1,4,0,...).
Более подробно рассмотрим ситуацию, когда п — G и к = 1. Типы колец, соответствующих этим значениям п и к, приведены в таблице 1.
Таблица 1.
Кольца типа (1,6,0,0,0,0,0) (строка 13) изоморфны конечному полю GF(pG), а кольца типа (1,1,1,1,1,1,1) (строка 1) изоморфны кольцу R — Zv[X]/(xb) (см. [16]). Типы (1,1,5,0,0,0,0),(1,2,2,0,0,0,0), (1,3,1,0,0,0,0) (строки 9, 11, 12) соответствуют кольцам с J(R)2 — 0 и классифицировании в работах [12, 11]. В работе [8] полностью классифицированы кольца типа (1,2,1,1,0,0,0) (строка 10). Кроме того, в ней указано количество иеизоморфных колец типов (1,1,2,3,0,0,0),(1,1,3,2,0,0,0) (строки б, 7) в случаях \F\ ~ \GF(p)\ < 5. Одним из результатов настоящей работы является полная классификация, с точностью до изоморфизма, колец типов (1,1,2,2,1,0,0), (1,1,2,1,2,0,0),(1,1,3,1,1,0,0).
Кольца типов (1,1,2,1,1,1,0), (1,1,4,1,0,0,0) (строки 2, 8) остаются пока неисследованными. Заметим лишь, что задача классификации колец типа (1,1,4,1,0,0,0) равносильна задаче о нахождении представителей классов эквивалентности, определенной на матрицах А, В M4(F) по правилу:
А ~ В & ЗР GL(4,F), 3teF* : A=^t-PT В P.
Аналогичные задачи для матриц А, В Є M2(F) и А, В Є M3(F) были решены в работах [5, 13, 18, 19, 28, 29].
Каждому типу колец соответствует определенный индекс нильпотентности радикала. Поэтому естественным образом возникает необходимость в информации о строении конечных локальных колец, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности 2, 3 и 4, и о необходимых и достаточных условиях существования изоморфизма между такими кольцами.
В работах [12, 11] Б. Горбас указал конструкцию конечного локального кольца с радикалом Джекобсона индекса нильпотентности 2.
Конструкция А1 ([12]): Кольцо R называется "кольцом с несколькими делителями пуля" ("ring with few zero divisors"), если оно содержит в точности п+1 делитель пуля и \R\ = (п+1)2. Пусть R0 является либо конечным полем, либо кольцом с несколькими делителями пуля, М — единственный максимальный идеал R, V — конечномерное векторное пространство над Rq/M и <р : Rq/M —> Endi^/міу) — гомоморфизм колец. На аддитивной группе і?о Ф V определим умпооїсеиие по правилу
(г, и) (s, v) = (rs, (г + M)v + (p(s + M)(u)).
Относительно введенного умпооїсепия группа Rq ф V превращается в кольцо. Теорема ([12]): В конечном кольце R с единицей произведение любых двух делителей нуля равно пулю тогда и только тогда, когда R изоморфно одному из колец конструкции Al.
В 1999 году Ч. Чикунджи описал строение колец с условием J(R)3 = 0 (см. [7]). Им были получены следующие результаты.
Конструкция А2 ([7]): Пусть F = GF(pr) — поле Галуа. Для натуральных чисел s, t, X (I < t < s2, X > 0), пусть U, V, W будут соответственно s, t, Х-мерпые векторные пространства над полем F с базисами {щ}, {vfl}, {w^}. Пусть также Ai = (ajA, Ai = (a2,),... ,At = (a\j) — квадратные матрицы порядка s над полем F, удовлетворяющие условиям:
(ajj), (afj),..., (a\j) — линейно независимы;
для каоїсдого г Є {1,..., s} существуют числа к Є {1,...,2} и j Є {1,..., s}, такие, что а*,- ф 0 или а^ф 0.
Пусть {o"i,...,
Рассмотрим прямую сумму R=F@UVW и определим па R умпооїсеиие по правилу
а0, ^ctiUi, ^2/3^, ^2»кЩ] Ы0, ^а'іЩ, ^Р'цУц, ^v'kwk\ =
г ц к / \ і ц к /
Относительно введенной операции аддитивная группа R превращается в ассоциативное кольцо.
Теорема ([7]): Кольцо R конструкции А2 является конечным локальным кольцом характеристики р, радикал Доісекобсона которого имеет индекс нильпотентности три. Обратно, каждое такое кольцо изоморфно одному из колец конструкции А.
Ч. Чикунджи в работах [7, 8] были также получены необходимые и достаточные условия существования изоморфизма между двумя кольцами конструкции А2 в случае, когда автоморфизмы {о\,..., as}, {тї, ..., тЛ}, {0\,...,0t}, обусловливающие их строение, являются тождественными или, что равносильно, когда F = GF{pT) С Z(R), где Z{R) — центр кольца R.
Теорема ([7, 8]): Пусть R{A\,...,At) и R'(А[,..., A't) — кольца конструкции А2, центры которых содероісат максимальные подполя Галуа F.
R(Au...,At)^R\A\,...,A\)
тогда и только тогда, когда существуют В = {/Зкр) Є GL(t,F), С Є GL(s,F) и
а Є Aut(F), такие, что
Dp = Y,PkPCTAlC>.
Эти результаты сыграли важную роль в классификации колец порядка ръ (см. [14, 15]). Заметим, что с увеличением значения п (\R\ = рп) увеличивается и индекс нильпотентности радикала Джекобсона рассматриваемого кольца. Так, для классификации
локальных колец порядка рп, п < 5 и характеристики р достаточно перечисленных выше результатов, но для колец R порядка р6 необходимо иметь сведения о строении конечных локальных колец с радикалом Джекобсона индекса нильпотентности четыре (для колец порядка р7 соответственно индекса нильпотентности пять и т.д.).
Цель работы. Основной целью работы является описание с точностью до изоморфизма всех конечных локальных колец порядка р6 и характеристики р, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории колец и компьютерной алгебры. В частности автор использовал систему компьютерной математики Matlab 7.0 (см. [30]).
Научная новизна. Все результаты работы являются новыми и состоят в следующем:
Строение конечных локальных колец характеристики р
Все кольца, рассматриваемые в данной работе, являются конечными, ассоциативными и содержат единицу. Кроме того, будем предполагать, что все гомоморфизмы сохраняют единицу. Далее нам потребуются следующие хорошо известные результаты из теории конечных колец (см. [7, 23, 24, 25, 26]).
Предложение 1.1 Пусть R — конечное кольцо. Тогда каждый элемент кольца является либо делителем нуля, либо обратимым элементом и в кольце не существует различия между правыми и левыми делителями пуля (обратимыми элементами).
Предложение 1.2 Пусть R — конечное кольцо, в котором все делители нуля образуют идеал М. Тогда существует простое число р и натуральные числа п, г, такие, что 1. \R\=pnr; 2. М — J(R) — радикал Джекобсона кольца R и Мп = 0; 3. \М\ = р(п-х ; 4. R/M S GF{pr); 5. char R = pk, где 1 k n;
Кроме того, пусть р, п, к являются числами с указанными выше свойствами. Тогда справедливы следующие утверждения: 6. если п — к, то R является кольцом Галуа и обозначается GR(pkr,pk). В частности, М — pR, Aut(R) = Aut(R/pR) и R = Zpk[b], где b — элемент R мультипликативного порядка pr — 1; 7. если char(R) =pk, mo R содержит максимальное подкольцо Галуа RQ = Zpk[b] = GR(pkr,pk), и если R Q — другое максимальное подкольцо Галуа кольца R, то существует обратимый элемент х Є R, такой, что R 0 = xR0x г. Пусть К0 — b U{0}. Тогда каоїсдьій элемент кольца R0 мооїсет быть записан един fc-i ствепным образом в виде ]Г) plXi, где Aj Є Ко; і=0 8. если т Є М и р1 является аддитивным порядком элемента т для некоторого полооїсительного целого t к, то Rom = Ro/ptRo и \ Rom = pir; 9. существуют элементы ті,...,ть Є М и о\,. ..,Oh Є Aut(Ro), такие, что R раскладывается в прямую сумму левых Ro-модулей R = R0 ф R0mi Ф ... ф Romh, где m,To = r mi для всех і = 1,..., h и для любого элемента г о Є RQ. Отсюда, в частности следует, что М — pR0 Ф R0mi ф ... ф Romh. Заметим, что конечное локальное кольцо с радикалом Джекобсона индекса нильпотентности четыре, в силу предложения 1.2, может иметь характеритику р, р2, р3 или рА. Максимальное подкольцо Галуа Ro — GR(pkr,ph), k = 1,2,3,4, такого кольца обладает свойствами: char(R) = char(R0) и R0/pRo — R/M. Далее, будем всегда предполагать, что R является конечным ассоциативным кольцом, J{R)4 = О, J(R)3 /OnF = R/J{R) — конечное иоле GF{pT). Предложение 1.3 Предположим, что dimp J(R)/J(R)2 — s\ и dux\p J(R)2/J(R)3 = S2- Тогда верны следующие неравенства: 1. dimF{J(R)2) s2 + Sls2; 2. dhnF(J(R)2/J(R)3) s2; 3. d\mF(J(R)3) s . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пустьx\,...,xsi,yl,...,ys —фиксированный базис J(R)/J(R)3 над F, {xi,..., xSl} Є J(R) \ J(R)2 и {у\,- ,yS2} Є J(R)2. Для доказательства леммы осталось заметить, что: 1. J{R)2 порождается элементами X{Xj, Xiyj или x,Xj, yjXf, 2. J(R)2/J(R)3 порождается элементами XiXj + J(R)3; 3. J(R)3 порождается элементами xiyj или УіХу Предложение доказано. Следствие 1.1 Из леммы следует, что 1. s\ ф 0, si ф О, так как иначе J(R)3 = 0; 2. если Si — 1, то s2 = 1 и dim J{R)3 = 1.
Осталось показать, что кольцо R является локальным и имеет радикал Джекобсопа индекса нильпотентности четыре. Очевидно, что U, V и W можно рассматривать как подмножества R. Пусть М = U ф V ф W. Из определения умножения на R следует, что М2 С V ф W, М3 С W и МW = WM = 0. Следовательно, МА = 0. Аналогично получаем, что RM = MR С М, то есть М является идеалом R. Далее, М С J(R). Следовательно, каждый элемент множества F + М = {/(1 + /-) / Є F , т Є М} является обратимым. Так как \М\ = рФі+ + з) и \р + щ = (pr _ 1)pr(51+.2+S3)) то F + М = R \ М. Следовательно, R/M = GF(pr). Итак, R является локальным кольцом и J{R)A = 0, J{Rf ф 0. Обратное утверждение очевидно. Теорема доказана.
Предложение 1.4 Пусть R — кольцо конструкции А. Поле F леоісит в центре R тогда и только тогда, когда автоморфизмы {ai,...,aSl, 0і,...,0в2, TI,...,TS3} являются тоо/сдествепными. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть F С Z(R) и Ь является примитивным элементом F. Тогда (О, щ, Vj,wk) (Ь, О,0,0) = (0, Ь" щ, bivj, bTkwk) = = (О, Ьщ, bvj, bwk) = (6,0,0,0) (0, щ, Vj, wk), где і = 1, si, j = 1,52, к = l,s3. Отсюда следует, что bai = b0j = bTk = b, то есть автоморфизмы {o\,..., aSl, 0\,..., 0S2, т\,..., rS3} являются тождественными. Обратно, если автоморфизмы {а\,... ,crSl, 0i,...,0S2, ТЇ,...,ТЯЗ} являются тождественными, то поле F лежит в центре R в силу определенного в конструкции А умножения. Предложение доказано. Предложение 1.5 Пусть R кольцо конструкции А. Тогда R является коммутативным тогда и только тогда, когда 1. все автоморфизмы {au...,,aSl, 0і,...,в32, Ti,...,rS3} тооїсдествешше; 2. матрицы (a j), {Ькц), i,j = l,Si, k\ = l,S2, / = 1,$з являются симметрическими; 3. матрицы (с ) it (rfy) = l si» 3 = 1 S2 равны для каждого k = l,s3 . 1.3 Теорема о классификации конечных локальных колец характеристики р Назовем целые числа г, Si, S2, $з инвариантами кольца R (так как они сохраняются при изоморфизме). Если A = (() — матрица над полем F, а о — автоморфизм поля F, то в дальнейшем символом А" будем обозначать матрицу (о{ац)). Пусть А и В — матрицы над полем F размерностей т х п и п х к соответственно, и c i,..., ат Є Aut(F), п,т,к Є N. Обозначим через H,B](Qlv.. am) матрицу С = (cij)mxk, где ( = ацЬ + ai2&2j + + ainbj, і = 1,т, j = 1, к. Если «і = ... = a, = а, то [Л, 5](ab...,Qm) = Ла. Пусть С={(4) = 1,... вз}, D={(dtj)\k=l,...,s3}. Обозначим через R(A, В, С, D, а Oj, тк) и R(A , В , С, D , а[, 0 j,r k) два кольца конструкции А (с одинаковыми инвариантами). Справедлива следующая теорема. Теорема 1.2 R(A1B,C,D,ai,Oj1Tk) R(A tB,tC tD ia,iie jiT,k) тогда и только тогда, когда существуют невырожденные матрицы Р = (ру)в1хві Р = (rij)s2xs2 Т = (Uj)s3x83 некоторые матрицы Q = (qij)S2xsi, S = {sij)S3XS2 и автоморфизм р поля F, такие, что
Теорема о классификации конечных локальных колец характеристики р
Пусть (Л, B,C,D), (A,B ,C,D) — некоторые фиксированные элементы множества X. На множестве M2{F) определим с помощью матриц A,C,D вспомогательное отношение эквивалентности по правилу: В В , если (Л, В, С, D) (Л, В , С, D).
Наша цель — перечислить представителей всех классов эквивалентности, определенной на четверках матриц (A,B,C,D). Как будет показано в дальнейшем, эти сведения помогут нам классифицировать локальные кольца с определенными выше условиями.
Итак, элементы in, Гц, q\2, 13, sn единственным образом выражаются через элементы матрицы Р, a qu является произвольным элементом поля. В связи с этим всюду далее мы будем говорить, что матрица В эквивалентна матрице В относительно матрицы Р, учитывая при этом, что R, Т, S, Q определяются указанными выше ра венствами (через элементы матрицы Р). Таким образом, если В = первом месте нижеприведенного списка указана пара эквивалентных матриц с условими на их коэффициенты, а также условие на характеристику поля F, если результат, приведенный в соответствующей строке, не справедлив для полей произвольной характеристики. На втором месте расположена невырожденная матрица Р, относительно которой осуществляется эквивалентность ( 22) 23) 31) 32) 33 Є F). Эквивалентность проверяется непосредственно, исходя из равенств вышеприведенной системы.
Четверки матриц, представленные в предыдущей теореме, определяют все попарно пеизоморфиые конечные локальные кольца порядка р6 с условиями: charR = р, J(fi)4 = 0, dimF J(R)/J(R)2 = 3, dimF J(R)2/J{R)3 = 1, dimF J(R)3 = 1, где R/J(R) = F. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как F = Zp, то все автоморфизмы поля F являются тождественными. Следовательно, в силу следствия из теоремы 1.2, проблема классификации таких колец (с точностью до изоморфизма) сводится к нахождению представителей классов эквивалентности, определенной ранее на четверках матриц (A,B,C,D). Теорема доказана.
Рассмотрим множество X, состоящее из пятерок квадратных матриц (Лі, А2, С, D, В) порядка 2 над полем F, обладающих следующими условиями: 1. Лі и А2 линейно независимы, 2. C OuD O, 3. для любых чисел а,/3,7 Є {1,2} справедливо равенство Наша цель — перечислить представителей всех классов эквивалентности, определенной на пятерках матриц (Ai,A2,C,D,B). Как будет показано в дальнейшем, эти сведения помогут нам классифицировать локальные кольца с определенными выше условиями. Последовательно рассмотрим два случая. 2.3.2 Кольца характеристики рф2 Следуя определениям работы [9], назовем матрицы М, N Є GL2(F) стабилизаторами для пары (Лі,Л2), если МТАХМ = ппА\ + щ2А2,
МТА2М = п2\Ах + п22А2. Введем следующие обозначения. Пусть 8 — некоторый фиксированный элемент из F , такой, что 8 . F 2, 8 ф 1. Если є = 1 (соотв. є = 8), то для каждого Є F (соотв. Є F ) найдем ненулевое решение (а, /3) уравнения а2 — є/З2 = . Обозначим через П — множество найденных таким образом элементов из F х F. Рассмотрим эквивалентность, определенную выше на парах линейно независимых матриц. Одним из основных результатов работы [9] является следующая таблица, в которой содержится множество всех пар матриц (Лі, Л2) — представителей классов эквивалентности вместе с их стабилизаторами (для случая char F ф 2).
Конечные локальные кольца с условием: dimF J{R)/J{R)2 = 3, d\mFJ{R)2/J(R):i = l, d\mFJ(Rf
Если є = S, то с? — 6/32 = для некоторого f Є F . Отсюда det = — 16e ф 0. Следовательно, система имеет единственное нулевое решение. Но матрицы С и D отличны от нуля. Получаем противоречие. Этот случай невозможен.
Пусть є = 1, тогда а2 — /З2 = для некоторого Є F. Если ф 0, то мы также получаем противоречие. Если же = 0, то в силу того, что (а, (3) является произвольным ненулевым решением уравнения а2 — /З2 = 0, будем полагать a = ft = 1. В этом случае det = 0 и система имеет ненулевые решения. Строки 1-6, 8 матрицы системы линейно независимы. Выбирая d22 свободной переменной, мы получаем вектор (1,-1,-1,1,1,-1,-1,1), который является фундаментальной системой решений данной системы. Следовательно, матрицы С и D имеют вид
В этом случае все результаты получены вычислениями над полем GF(2) с использованием системы компьютерной математики Matlab 7.0 (см. [30]). Далее Программа 1 может быть применена для любого значения р, а не только для р = 2. Для этого достаточно изменить присваемое значение переменной р в теле программы. Кроме того, после некоторых непринципиальных изменений программа может быть применена для классификации конечных локальных колец с другими значениями индекса нильпотентности радикала и порядка кольца. Например, для колец R с условиями \R\ — р7, S\ = 3, S2 = 2, S3 = 1, S4 = 0. Заметим также, что программу 1 можно использовать для проверки основных результатов данной работы (в частных случаях). Формулировка основного результата
Итак, доказана следующая теорема:
Замечание: В формулировке теоремы 2.3 выбраны иные представители классов эквивалентности, чем те, которые были приведены в качестве результата работы программы 1. Эквивалентность соответствующих пятерок матриц легко проверить. Для этого достаточно упростить программу 1, заметив, что одна из частей ее алгоритма проверяет эквивалентность двух пятерок матриц.
Теорема 2.4 Пятерки матриц, представленные в предыдущей теореме, определяют все попарно неизоморфные конечные локальные кольца порядка р6 с условиями: charR = р, J(R)4 = О, dimF J(R)/J{R)2 = 2, dim/, J{R)2/J(R)3 = 2, dimF J(R)3 = 1, где R/J{R) = F. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как F = Zp, то все автоморфизмы ноля F являются тождественными. Следовательно, в силу следствия из теоремы 1.2, проблема классификации таких колец (с точностью до изоморфизма) сводится к нахождению представителей классов эквивалентности, определенной ранее на пятерках матриц (Лі, А2, С, D, В). Теорема доказана. приведена программа, выполняющая основные вычисления. Программа 1.
Кольца характеристики рф2
Одной из актуальных проблем современной алгебры является задача описания и классификации конечных колец малых порядков. Каждое конечное кольцо с единицей единственным образом представимо в виде прямой суммы колец, порядки которых есть степени некоторых простых чисел, то есть R = ф 2 Rp, где р Rp = {х Є R рпх = 0 для некоторого п 1}. Поэтому при классификации конечных колец достаточно рассматривать только кольца порядка рп. За последние десятилетия удалось полностью описать некоторые из таких типов колец. Так, В.Г. Антипкин и В.П. Елизаров полностью описали кольца порядка рп для п 3 (см. [1, 2]). В частности, В.П. Елизаров классифицировал все ненильпотентные кольца порядка рА (см. [2]). При этом число неизоморфных колец, полученных ими, различно для р = 2 и. р ф 2. В работе [3] В.А. Ратиновым частично описаны кольца порядка р4, при этом различались случаи р = 2, рф2\\р = l(mod 3), р ф l(mod 3). Д. Дерр, Г. Орр, П. Пек в 1994 году впервые указали исчерпывающий список некоммутативных колец порядка р4 (см. [6]). Авторы ограничили себя некоммутативным случаем в связи с тем, что конечное коммутативное кольцо является прямой суммой локальных колец, а конечные локальные кольца порядка р4 были к тому времени наиболее изучены (см. также [27]).
Б. Горбас и Г. Вилльямс в 2000 году в работе "Rings of order р5" (см. [16, 17]) классифицировали с точностью до изоморфизма все конечные кольца порядка р5. Более того, ими были полностью описаны все конечные кольца порядков р, р2, р3 и р4, при этом их результаты совпали с полученными ранее. Метод, использующий теорию полусовершенных колец и теорию графов, позволил им по сути свести проблему к классификации конечных локальных колец, то есть колец с условием R/J(R) = F, где F — поле. Авторы указали также на то, что их метод открывает перспективы для изучения строения колец более высоких порядков. Здесь важно отметить, что согласно их замыслу, необходимо сначала полностью классифицировать все конечные локальные кольца рассматриваемого порядка, а затем уже, рассматривая соответствующие разложения в прямые суммы полусовершенных колец, получить окончательный результат.
Данная работа посвящена описанию локальных колец. Чтобы понять ее значимость для теории конечных колец, кратко опишем технику классификации конечных локальных колец.
Пусть R — локальное кольцо порядка рп, J(R) — радикал Джекобсона кольца R и R/J(R) = GF{pr) = F. Заметим, что J(R) является множеством всех пилыю тентных элементов кольца R или, что равносильно, множеством всех делителей ну ля. Рассмотрим последовательность R — J{R) D J{R) D J(R)2 D Если s = dinii? J(R)l/J(R)1+1, то r 2 Si = n и, в частности, r\n. Если n является простым чи i=0 слом, то либо J(R) = 0 и R = J(R), либо г = 1. Если же, к примеру, п = 6, то возможны также случаи г = 2 и г = 3.
Далее, так как R является конечным кольцом, то его радикал J(R) нилыютентен. Следовательно, ЙДГ = 0 тогда и только тогда, когда J(R)N — 0, причем Sj = 0 для всех г N. Если N — наименьшее из всех таких чисел, то есть J(R)N 1 ф 0, то N называется индексом нильпотентности радикала J(R). Так как S; 1 (0 і N — 1), то п rN. Заметим, что \-р Є J(R) (т.к. р = charGF(pT), GF(pr) = R/J(R)), а значит, pN = 0 и характеристика кольца R равна рк для некоторого к N. Следовательно, п гк. Случай п = гк был исследован в работах [21, 22, 24]. А именно, с точностью до изоморфизма существует только одно конечное локальное кольцо R порядка ргк и характеристики рк. Это кольцо называется кольцом Галуа GR(prh,pk) и представимо в виде Zpk[x]/(f), где / является многочленом степени г, неразложимым по модулю р. Тривиальные случаи — GR(pn,pn) = Zpn и GR(pn,p) = GF(pn). Кроме того, полностью классифицированы конечные локальные кольца следующих типов (далее s = Sj): i=0 1. \R\ =pn, charR = pk, J{Rf = 0 для любого к (см. [12, 11]); 2. IЛ = pST, charR = p, JiR) 1 ф 0, то есть 1 = si s2 s3 ... 0 (см. [24]); 3. Л = psr, charR = ps_1, J(R)" l ф 0, то есть так называемые (см. [24]) почти кольца Галуа (near Galois rings); 4. Я =ps, г = 1, charR = рк, J(R)S-1 ф 0 для любого к (см. [16, 17]); 5. \R\ = pk+1 = р charR (см. [16, 17]).
Итак, в силу сказанного выше, каждому конечному локальному кольцу соответствует некоторая последовательность (к, г, s\,S2,.. ). Б. Горбас и Г. Вилльямс [16, 17]) при классификации колец порядка ръ перебрали все возможные комбинации значений (k,r,si,s2,...) для рассматриваемого числа п. Так, при п = 4 и к = 1 им пришлось последовательно описать кольца следующих типов:
