Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Группы, порожденные двумя дробно линейным преобразованиям 11
1. Определения и теоремы, необходимые для дальнейшего изложения 11
2. Свободные группы АА 16
3. Дополнительные результаты о свободных точках 34
ГЛАВА 2. Несвободные группы, горозденные двумя дробно-линейным преобразованиям 48
1. Построение областей несвободных точек 48
2. Несвобода корней из единицы 63
3. Рациональные несвободные точки 68
ГЛАВА 3. Свободные группы, порожденные тремя дробно-линейные преобразованиям 75
Заключение 84
Список литературы 86
- Определения и теоремы, необходимые для дальнейшего изложения
- Дополнительные результаты о свободных точках
- Построение областей несвободных точек
- Рациональные несвободные точки
Введение к работе
В самых различных областях науки с успехом применяются матричные представления изучаемых объектов. В связи с этим особый интерес всегда представляло и представляет изучение одного из основных разделов теории групп - линейных групп, с которых по существу и начиналась современная теория групп. В частности, большое значение имеет такой раздел, как свободные линейные группы, особенно в свете альтернативы Титса[2б] . В настоящей диссертации рассматривается вопрос, в каком случае дробно-линейные преобразования расширенной комплексной плоскости, которые можно задать квадратными матрицами второго порядка, являются свободными образующими порожденной ими. группы.
В 1940 году Д.И.Фукс-Рабинович [18] получил матричное представление-свободной группы ранга 2. Элементами группы являлись квадратные матрицы второго порядка. Это представление было довольно, .сложным, в записи элементов матриц использовались трансцендентные числа.
В 1947 году И.Н.Санов [17] получил простое представление,
показав, что группа, порожденная матрицами
і г\ (і о\
о і) и (г і)'
является свободной. Санов полностью описал матрицы, являющиеся элементами этой группы, а именно, показал, что они имеют вид
где и И - любые целые числа, выбранные с
единственным условием: определитель Q равен I.
В 1955 году Бреннер [21] доказал, что группа Ся , порожденная двумя матрицами
^{оТ) « fy<=(j* ?), C0.D
является свободной для всех действительных и. ^ Z * Элементы группы CXf имеют вид
с целыми Нц и определителем I. Матрица /И принадлежит группе 6^ , если отношение \-^г\ не лежит между корнями уравнения
xx-j*x + i=0
При 14-2 группа сводится к случаю, рассмотренному Сановым.
Впоследствии, в I960 году, Бреннер [22] уточнил свой результат, показав, что найденное условие является необходимым, но не достаточным.
Результат %еннера обобщается для комплексных чисел и : группа, 6г^ является свободной для всех \и\^2 .Из того, что группа Ьи является свободной для некоторого и , следует непосредственно, что Ьи свободна для всех трансцендентных J* . Кроме этого, группа ІХ, свободна для любого алгебраи-ческого и , имеющего алгебраическое сопряженное и , для которого соответствующая группа свободна.
В 1956 годуХирш [27] поднял вопрос, для каких алгебраических и , в частности, действительных -2<и <2 , группа Gjg свободна. Между -2 ,.2 бесконечно много значений U , для которых (у не свободна. В частности, при и~1 Gb есть полная унимодулярная группа.
- 5 -В 1957 году Голдберг и Нькмэн С25J доказали, что матрицы
порождают свободную группу, если Gfz - доминанта в А и fy* - доминанта в О .
/71 . порожденную матрицами
^{0 і,
и В^\Ь і)- (0.2)
Параметры JU и п связаны соотношением
t=jaz=2\, (о.з)
r=±r(AB)-Z. <0-*)
При выполнении условия (0.3) группы 6т^ и гА сопряжены в
полной линейной группе и, следовательно, изоморфны. Условие .
Бреннера \ju\^Z для того, чтобы группа 6^ была, свобод
ной, равносильно условию /Д| > х для того, чтобы группа Пд
была свободной..Чанг, Дженнингс и Ри усилили его до условия,
что каждая из. величин не меньше I.
В 1961 году Ри Г3^] показал, что значения JA , для которых Сх, не свободна, всюду плотны в единичном круге и в связном открытом множестве на плоскости, содержащем открытые интервалы [-1)1) и ) L + 1) . Точки и , для которых (ju свободна, были названы свободными.
М.Ньюмэн [Зі] в 1968 году доказал, что
- б -
где а , ё t С , У, оС , р , У , 3^0 и
L = сі ~0f > 2 $ t— о—U ^ 2 , свободно порождают сво
бодную дискретную подгруппу из Sl2(R). .
В том же году Линдон и Ульман [28] значительно упростили доказательство этого результата, а также результата Бреннера[21] . При этом они воспользовались теоремой Макбета [30] , доказанной в 1963 году. Там же Линдон и Ульман попытались дать условия того, что два дробно^линейных преобразования порождают свободную группу, исходя из расположения фиксированных точек этих преобразований. Но при этом были допущены ошибки, обнаруженные Пурзиц-ким [33] .
В 1969 году.Линдон и Ульман [29] продолжили изучение групп, порожденных двумя параболическими дробно-линейными преобразованиями, с помощью теоремы Макбета. Было доказано, что свободны все точки Л -, расположенные вне фигуры, образованной единичной окружностью и касательными к ней из точек ±>с . Кроме этого, свободны все точки вне объединения четырех кругов, два из которых имеют радиусы / и центры в - 1 , а два других с радиусами j и центрами в -j .
Пусть г есть множество свободных точек л и А - множество несвободных точек. Линдон и Ульман показали, что из А^д следует, что множество А всюду плотно в некоторой окрестности А . Отсюда множество г , являющееся замыканием -внутренних точек Г , есть наибольшая замкнутая область, включенная ъ г . Дополнение к г , обозначаемое а и являющееся внутренностью замыкания /\ , есть наименьшая открытая область, включающая а .. Каждое из множеств г и А симметрично относительно действительной и мнимой осей, поэтому все результаты достаточно формулировать только для первой четвер-
~ 7 -
ти комплексной плоскости.
Исследуя несвободные точки, Линдон и Ульман взяли порождающие элементы в виде (ОД). Было установлено, что если и0 - комп-лексное число такое, что и* =-4 для некоторого натурального п , то несвободные точки и расположены всвду плотно на прямолинейном сегменте, соединяющем и0 с нулем. Как следствие отсюда вытекает результат Ри о том, что несвободные точки и всюду плотны в единичном круге.
исследовав элементы этой матрицы как многочлены от и , Лш и Ульман установили, что точки М=уп и М=Ч\1п несв0(
Записав произвольное слово W(A, В) в виде матрицы и
, Линдон >бод-
ны. Было установлено также, что если и - несвободная точка,
то м'~ Мчп также несвободная точка для любого целого
УіфО .Но в доказательстве была допущена неточность, и фактически утверждение доказано для М'^Ууц
Изучая структуру групп G = G^ для действительных и ,
Линдон и Ульман рассмотрели более широкую группу п , полученную добавлением к 6* элемента
?~|/ о)-
Вообще говоря, для различных и. элемент 7 может как принад
лежать, так и не принадлежать группе 6 , и группа Н соот
ветственно или совпадает с & , или является ее расширением.
Так как , то группа /7 порождена элементами
А и J Было показано, что если JA=2слі^-ТГ , где
р' . и О. взаимно простые целые числа, Q>2 , то п - свободное произведение циклических групп, порожденных J порядка 2 и 5-АУ, порядка Q . В этом случае если Q, нечетно, то Ь совпадает с П . Если Q,—2n четно, то G - собст-
.-8-венная подгруппа // и является свободным произведением циклических групп, порожденных А бесконечного порядка и А и =Э порядка ft .
Рассматривая рациональные и , Линдон и Ульман установили,
2 // <С~ >С" >
что точки и- j, jr, -, % являются несвободными. Для и- ответ не был получен. В книге Линдона и Шуппа [з] указано, что несвобода M-'IJустановлена независимо Конвеем и Бреннером (не опубликовано).
В 1973 году Ю.И.Мерзляков выдвинул в "Коуровской тетради" [і] проблему 4.41 выяснить, какие точки свободны. В частности, был выделен вопрос, верно ли, что все точки А вне ромба с вершинами і2, . **" свободны.
М.Ньюмэн [32] в 1974 году доказал, что точкиул = /Г являются несвободными при к = 2 или к=Р , где р - нечетное простое число с условием, что 2-первообразный корень по мо-дулю р
Бреннер, Маклеод и Олеский [23] в 1976 году доказали, что являются несвободными все рациональные числа М- і » г^е Q— ',*-/* или ти \и\ < 2 , фи доказательстве для случая Д= 47 они применили ЭВМ.
В статье [б] автора настоящей диссертации была найдена область
свободных точек А , расположенная вне ромба, выделенного Мерз-
ляковым. В тезисах [7] была указана область свободных точек А ,
граничащая с ромбом на большом участке его границы, за исключени
ем промежутка между точками .+4-1 и = + у*- в тезисах f8]
из этого промежутка были исключены точки А с условием
ле Л ^ ~77 , но этот результат оказался неточным. Впослед-
ствии с помощью ЭВМ была вычислена новая граница, и в настоящее время известна область свободных точек, включающая большой учас-
- 9 -ток границы ромба за исключением промежутка с условием
В этих же тезисах, а затем в статье [13] была указана область, заполненная всюду плотно несвободными точками А . Эта область является объединением большого числа множеств, каждое из которых вычислено с помощью ЭВМ. Граница этой области близка к границам ромба с вершинами -2 , ±L . В частности, область включает в себя ромб с вершинами -/7; - Qoi .
В статье [13] было показано, что некоторая окрестность точки \ = О,74 + 0,63 , расположенной на границе ромба, указанного Мерзляковым, заполнена всюду плотно несвободными точками. Это дает отрицательный ответ на вторую часть проблемы Мерзлякова. Одновременно была найдена область свободных точек, определенная условиями |А|^/ , \1т\\Ъ J . Эта область расположена
внутри ромба с вершинами ±2 -і- . Полученные результаты да-
г*
ют основания предположить, что граница между областями г и
А имеет сложную форму и трудно поддается вычислениям.
Одновременно с автором диссертации и независимо отрицательный ответ на вторую часть проблемы Мерзлякова получил А.И.Шкуратский [19] . Шкуратский указал на отрезке гиперболы
Г= {гJ4(3Rez-If-12(lmz)z4, kx*$, 7***0}
всюду плотное множество точек Л , для которых группа Н. имеет кручение, и выписал соответствующие соотношения в группе. В отличие от этого метод, описанный в статье [із] , позволяет находить не точки на линии, а области на плоскости, включенные в д .Но этот метод не позволяет определять, какие точки этих областей принадлежат А .
В 1978 году Ю.И.Мерзляков в обзоре fll] выделил еще два под-
- 10 -вопроса проблемы: существует ли рациональное число JA в промежутке от -2 до 2 , являющееся свободным (вопрос 3.I.I), и существует ли ju^sl , являющееся свободным (вопрос 3.1.2). На последний вопрос в диссертации дан отрицательный ответ. Этот ответ был получен одновременно и независимо автором диссертации [9] , [15] и Эвансом [26] .
При исследовании рациональных точек была показана несвобода рациональных чисел вида М-* щ и —jpf~ при условии iJA\<2. Этот, результат опубликован в 1983 году в тезисах [Ю] .
В 1976 году 1>ахмут и Мочизуки [20] начали изучение свободных групп ранга 3 , порожденных тремя матрицами
4=(о /)' вг\\ і) » с/=( г /+*)
Эти группы играют особую роль в исследовании групп автоморфизмов разрешимых групп. Бахмут и Мочизуки показали, что если комплексные числа В , о по модулю не меньше Do и С^ свободно порождают свободную группу.
Ю.И*Мерзляков [16] в 1978 году усилил этот результат, понизив границу свободы до
Шарлеман [35] в 1979 году показал, что для действительных значений параметров этот результат усилить нельзя: группа является свободной, если
L . Х + 1 <3 API
В настоящей диссертации к исследованию этих групп применена теорема Шкбета, позволившая получить новые результаты о тройках чисел оС , A , JT , для которых соответствующая группа является свободной ранга 3 . Эти результаты опубликованы в статье [14] в 1980 году.
- II -
Определения и теоремы, необходимые для дальнейшего изложения
Этот метод удобен тем, что не только позволяет найти значение соответствующего элемента матрицы (1.7) для данной последовательности показателей слова (1.6), но и строить последовательность показателей, стремясь прийти к некоторому Хе = 0, я 0. Однако, алгоритма, позволяющего построить эту последовательность, нет, и этот метод не всегда приводит к цели.
В отыскании такой последовательности может быть полезна следующая теорема, доказанная Бреннером, Маклеодом и Олеским [23] . Теорема 1.8« Пусть {/?,/ и } п: \ - две последовательности ненулевых целых чисел, которые определяют для данного и последовательности jX .n [З?-/ соответственно по правилу (І.Ш. а). Если существуют натуральные ь и / , оба или. четные или нечетные, такие что и в случае /=к существует также натуральное /7 с такое, что П ЛЦ , то группа. 6 , является несвободной. б). Если существуют натуральные С О и к. Ъ { одной четности, такие что тогда группа (j несвободна. -Сформулированные теоремы делают целесообразным введение следующих определений. Определение 3. Приведенное слово .W(Au; Du) видаСї.б), где Q U и oh — О , называется полуопределяющим 1-го рода для группы Gj , если его матрица (1.7) имеет элемент Pf2(A )= 0. Определение.А Последовательность ненулевых целых чисел -\пЛ называется полуопределяющей 1-го рода для числа и , если она является последовательностью показателей при AtJ и ои в полуопределяющем слове W(A„, Ви) 1-го рода для группы Gu . Следующие теоремы полезны при исследовании области г\ . Теорема 1,9 (см. Ри [34] ). Пустьнекоторая матрица из группы пх , элементы которой есть ненуле вые многочлены от А . Тогда несвободные точки X всюду плотны в области, определенной неравенством Теорема І.Ю (см, Линдон и Ульман [29].. ). Пусть в матрице вида (1.7), принадлежащей группе G , элемент Piz (/ ) есть ненУлевой многочлен от и . Тогда несвободные точки U всюду плотны в области, определенной неравенством В этом параграфе будут доказаны две теоремы, определяющие области свободных точек А . Здесь и в следующем параграфе будем употреблять обозначения порождающих элементов группы //. без индексов, полагая /4-/L и и = В . Теорема І.ІІ (см. также [13] , теорема 2). Точки, располо женные вне фигуры, образованной кругом \%\ і и полосой -% , являются свободными. Доказательство, Нам необходимо построить области удовлетворяющие условиям (1.3), (1.4) и (1.5) теоремы 1.3, для точек X » описанных в условии теоремы I.II. Как отмечалось выше, ввиду симметрии относительно действитель ной и мнимой осей достаточно рассмотреть А , лежащие в первой четверти комплексной плоскости. Пусть RA 0 и Ъп\ 0 , положим также . Область Z_ составим из двух частей z!jL и 2-у . Проведем прямую Л через точки А и I, затем прямую К , проходящую через О параллельно Х± . Полосу, заключенную между этими прямыми в нижней полуплоскости, отнесем к Z-. . В верхней полуплоскости к 2.1 отнесем два сегмента кругов, один из которых, Р1 , проходит через точки О и — , касаясь Л , а другой, 4d -через точки j и 1 , касаясь i± . 2 z строим симметрично 2_. относительно нуля. Все обозначения, употребляющиеся при построении /Z. , сохраняем для /_ , заменив индекс I на индекс 2 (см. рис. 1а). Области связаны условием (1.3). Для построения об ласти / заменим условие (1.3) эквивалентным ему условием
Область / состоит из двух частей 11 и / . Для построения /І берем полосу, заключенную в нижней полуплоскости между прямыми, проходящими через точки О и 2 и. наклоненными к действительной оси под углом 9Т f » где Y - угол наклона к действительной оси-прямой К . Из этой .полосы выбрасываем в нижней полуплоскости сегмент круга, проходящего через точки / и 2 -И касающегося в точке 2 границы полосы. В верхней полуплоскости добавляем к полосе симметричный ему относительно точки 1 сегмент круга, проходящего через точки О ж 1 и касающегося в О другой границы полосы (см. рис. 16). Л, симметрична / относительно О,
Дополнительные результаты о свободных точках
Следствие 2.8 является усилением теоремы ІДО. С его помощью можно строить новые области, заполненные всюду плотно несвободными относительно параметра ju точками. Рассмотрим, например, несвободную точку ул- . Подберем для нее последовательность \hi\ , для которой последовательность {xtj , определенная в теореме 1.7, окончится нулем. Вычисления будем вести по схеме, описанной после доказательства теоремы 2,7, только здесь нет необходимости во второй строчке, так как она будет состоять из одного и того же числа ju видим, что и удовлетворяет неравенству (2.ІО), если \М -/) лежит внутри круга радиуса / с центром в точке / . Следовательно, JU -/ лежит внутри ветвей лемпискаты с центром в 0 , вытянутой вдоль действительной оси и пересекающейся с ней в точках V/ и VX . Тогда и лежит внутри ветвей лемпискаты, сдвинутой вправо на / .
Теперь воспользуемся соотношением JJ 2\ и получаем, что несвободные точки А всюду плотны внутри ветви лемнискаты с центром в точке j- , пересекающейся с действительной осью в точке —Т . Вторая ветвь этой лемнискаты находится внутри круга \%\ -к , про который уже известно, что он включен в область г\ . получили значительную информацию, относительно области R , решив неравенство (2.II). Но на этом пути существуют определенные трудности. Если брать слово И/ (Аи, Pju) произвольно и для него составлять и решать неравенства (I.I2) и (2.IO), то этот способ является крайне нерациональным. При этом придется исследовать много неравенств, которые не несут никакой новой информации, в то время как решение каждого неравенства представляет значительные трудности..Если мы будем составлять полуопределяющие слова для несвободных точек, то области-, описываемые соответствующими неравенствами,, .будут .окрестностями этих несвободных точек, и их границы нетрудно будет вычислить с помощью ЭВМ. Но, во-первых, нет алгоритма, позволяющего выяснить, является ли данная точка несвободной. Во-вторых, для того, чтобы область, описываемая неравенством, была как можно шире, необходимо, чтобы степень неравенства и- коэффициент при. старшем члене были наименьшими, это .. накладывает определенные условия на выбор соответствующей полу-определякщей последовательности.
Для того, чтобы обойти эти трудности, можно поступить следующим образом. Взяв некоторое значение JUQ ,. не будем пытаться выяснить, является ли оно несвободным, а будем строить для него последовательность }/?(f так, чтобы для некоторого члена последовательности [ -} , определенной в теореме 1.7, добиться выполнения неравенства \XiJU \ і . Это неравенство является решением одного из неравенств (І.І2) или (2.ІО), Составляем это неравенство и решаем его на ЭВМ.
Самым трудным шагом в применении описанного метода является подбор последовательности {/?/{ . Нет достаточно эффективного алгоритма для этого, так как выбор очередного /?. так, чтобы соответствующий член Хс+І был наименьшим по модулю, не всегда приводит к цели. Поэтому полностью запрограммировать этот процесс затруднительно, и подбор последовательности j/i.j приходится производить вручную.
Для этой цели удобнее взять порождающие элементы группы в виде Параметры М ж Т связаны соотношением цг=: Г » при выполнении которого группы G и G (ij Т) сопряжены в PSLA I . Это представление удобнее тем, что при реализации процесса, описан- . ного теоремой 2.7, для нахождения Х- умножение Х- на комплек-сное число приходится производить не на каждом шагу, а на каждом втором, а на остальных шагах приходится умножать X,- только на целое число Л: . Это существенно упрощает вычисления, фи этом возникает дополнительная сложность, так как приходится проверять выполнение разных неравенств. Если / - четное число, т.е. на последнем шагу производилось умножение на У , то проверяем неравенство Если же / - нечетное число, т.е. на последнем шагу производилось умножение на Т , то проверяем неравенство Но это усложнение незначительное, так как для решения вопроса о том, какое неравенство проверять, достаточно взглянуть на последнее число во второй строчке схемы. Проиллюстрируем описанный метод для Т OjS+ . Вычисления производятся по следующей схеме: Для P5=: 0J25 нужно проверять неравенство (2.13), признаком этого является число (fS+t -V , стоящее последи гол во второй строке. Так как это неравенство выполняется, то для последовательности показателей, получившейся в третьей строке, составляем неравенство (2.9)„ Часто бывает удобным записывать получившуюся последовательность в ступенчатом виде, располагая показатели при Ог несколько ниже, чем показатели при t\1 . Согласно теореме 2.7, получающуюся последовательность надо записывать в обратном порядке, но леммы 2,2 и 2.3 позволяют записывать ее в любом порядке.. Для последовательности, записанной в ступенчатом виде, очень удобно составлять многочлены (л12(т) и cCifc) с помощью теоремы 2.1, так как эта запись позволяет выявить как порядок расположения членов последовательности, так и то, показателем какой матрицы, - А или Br , является каждый член. Если записать полученную нами последовательность в ступенчатом виде:
Построение областей несвободных точек
Доказательство. Так как , то изо метрические окружности иа и С. имеют диаметры, не превосходящие j , следовательно, включаются в круги с радиусами j и центрами в U и / соответственно. Поэтому в качестве К можно взять внутренность дополнения к первому кругу, г3 - внутренность дополнения ко второму кругу и гх - внутренность объединения этих кругов, см. рис. 13. К построенным областям г± , іх и з можно применять теорему 3.2, из которой следует утверждение теоремы 3.5. Теорема 3.6 (см. также [14] , теорема 4). Пусть В ш 0 -мнимые числа, j&\ Z , I Of / и - комплексное число, не принадлежащее внутренности ни одного из девяти кругов с радиусами и центрами в 6 -/, - ,-1 и Тогда тройка w / является свободной. Доказательство. Пусть p=X=2i . Тогда Ql} Q_1? % ж W-f - это открытые круги радиусов j с центрами в «t , у » + у и -/-"2 соответственно, см. рис. 14. Строим множест-ва Рі і 2 и 3 по ФРмУлам (3.10) и (3,12). Для любого числа Л из условия теоремы для построенного множества Ij условие (3.1) выполняется. Для чисел Р и о из условия теоремы, отличных от // , соответствующие изометрические окружности находятся внутри или совпадают с изометрическими окружностями для В ї=2і. следовательно, доказательство теоремы проходит и для этого случая Последние три теоремы показывают, в частности, что свободными являются тройки (j, У, ) , ( 2i, 20 , (2/ 2с; 2с) и другие. Конечно, они далеко не исчерпывают возможности описанного метода, а лишь иллюстрируют его применение.
В ходе решения проблемы Мерзлякова о расположении свободных точек на комплексной плоскости значительно усилены результаты, полученные ранее в этом направлении. Расширены границы как множества свободных точек Г , так и множества К , в котором несвободные точки всюду плотны. При этом доказано, что множество А выходит за границы ромба с вершинами / , L , что дает отрицательный ответ на частный вопрос проблемы Мерзлякова. Часть результатов получена с помощью ЭВМ. Надежность вычислений обеспечивается тем, что области, вычисленные при построении К , частично перекрывают друг друга. Правомерность применения ЭВМ вытекает также из того, что для каждой точки из вычисленных областей результаты вычислений можно проверить без использования ЭВМ.
Между вычисленными подмножествами Г и А осталась узкая полоса, для точек которой неизвестно, принадлежат ли они г или /\ . Полученные результаты дают основание предполагать, что граница между этими множествами имеют сложную форму и может быть вычислена лишь приближенно.
Доказаны некоторые теоремы о несвободных точках. В частности, теорема о том, что все корни из единицы несвободны относительно параметра JX , дает ответ на другой частный вопрос проблемы Мзрзлякова. Доказано, что рациональные числа и вида ЩуГ , у?Г 7F) и А?7 являЮТСЯ несвободными, что приближает решение вопроса о том, есть ли свободные рациональные числа в промежутке ОТ / ДО А. .
Разработан метод, дающий достаточное условие того, что три дробно-линейных преобразования свободно порождают свободную группу. С помощью этого метода получены некоторые результаты о свободных тройках чисел. Метод может быть применен и для исследования групп, порожденных большим числом параболических или эллиптических дробно-линейных преобразований.
По полученным результатам делались доклады на 14-й Всесоюзной алгебраической конференции в Новосибирске в 1977 году, на 15-й Всесоюзной алгебраической конференции в Красноярске в 1979 году, на Герценовских чтениях в ЛГПИ имени А.И.Герцена в 1977 году, на алгебраическом семинаре при АН БССР в Минске в 1977 году, на семинаре по теории групп в МГУ в I960 году, на семинаре по алгебре и логике в Туле при ТГПЙ имени Л.Н.Толстого неоднократно.
В заключение автор выражает благодарность научному руководителю Мартину Давидовичу Гриндлингеру за помощь в выборе темы и постоянное внимание к работе в ходе ее выполнения.
Рациональные несвободные точки
Поэтому равенство (3.3) невозможно, предположение неверно и теорема доказана. Эта теорема является усилением теоремы I.I для И З . В Формулировке теоремы отсутствует требование \\ г, —Р Ф ф , входящее в условие теоремы Макбета. Для tt=Z усилением теоремы Макбета является теорема 1.2, доказанная Линдоном и Ульманом [28] Для практического использования более удобна следующая теорема, в которой ослаблено условие (3.2). Эта теорема аналогична теореме 1.3, применявшейся Линдоном и Ульманом [29J . Теорема 3.2. Пусть G - некоторая группа дробно-линейных преобразований расширенной комплексной плоскости И. , порожденная своими подгруппами 6r. . . Gn . /7 --5 . Пусть для каждой подгруппы и существует непустое открытое множество такое, что для каждого элемента Gt- Oi / выполняется условие (3.1): Если для всех L+j, (3.7) где Kfj есть пересечение границ множеств Н( и г; , то груп па иг есть свободное произведение своих подгрупп Gj . , , .. Gth Доказательство этой теоремы с небольшими изменениями повторяет доказательство предыдущей. Условие (3.4) следует из того, что множество &i i является открытым, откуда Cff /у П Иц = у Условие (3.5) верно, так как в противном случае при попарно раз личных 1-у J к имеем что опять исключает выполнение условия (3.1). Здесь через Го обозначено замыкание множества / . В остальном доказательства теорем 3.1 и 3.2 совпадают. Для того, чтобы воспользоваться теоремой 3,2, необходимо знать, как для произвольного дробно-линейного преобразования Если С-О , т.е. D - параллельный перенос, то задача реш-ется без труда. Пусть СфО . Известно, что для нахождения образа любой точки при дробно-линейном преобразовании можно воспользоваться свойствами изометрической окружности. Пусть /fj - изометрическая окружность преобразования. D? К\t - изометрическая окружность обратного преобразования 2) , и - прямая, относительно которой эти окружности симметричны друг другу. Тогда для нахождения точки JJz можно произвести инверсию точки относительно окружности Kl , а затем симметрично отразить полученную точку относительно прямой JL . Если 7) - параболическое или эллиптическое преобразование, то окружности- r\L и К_, соответственно касаются или не пересекаются. Следовательно, если точка лежит вне окружности К, , то инверсия переводит ее внутрь этой окружности, а отражение относительно прямой _ внутрь окружности Л_у , т.е. точка 1)2 опять оказывается вне окружности r\i . Тогда при любом П 0 точка 1) Z окажется внутри окружности Л_У . Далее, для нахождения точки D Z производим инверсию точки 3: относительно окружности гл-1 и симметрично отражаем полученную точку относительно прямой Л . Следовательно, если точка Z лежит вне окружности лЦр то при любом П 0 2) % оказывается внутри окружности ni . Отсюда заключаем, что если точка Z лежит вне окружностей Kd и /і , то при любом П О J/2 оказывается внутри одной из этих окружностей. Мы получаем следующую теорему. где &0(-оС =/ , Ci=U - параболическое или эллиптическое дробно-линейное преобразование. Пусть /\ - изометрическая окружность J) и Л , - изометрическая окружность I) . Пусть г -множество, все точки которого находятся вне окружностей /\j И Л-/. Тогда для всех ПфО 7)ПР П Р = Ф . Теперь применим теоремы 3,2 и 3,3 к исследованию групп (лЫ.& 0/ . Известно, что для дробно-линейного преобразования (3,8) изометрическая окружность имеет уравнение Тогда для преобразований Оки изометрические окружности Ajf и Л_ имеют уравнения соответственно /+/=./ и \-&+f \ — і , т.е. имеют центры в точках -- и -« и радиусы гг. . Эти окружности касаются друг друга в О . Изометрические окружности Д. и Л_упреобразований 6 и С имеют уравнения / 0 / 0/=/ и \-0 . + f а \-і соответственно, т.е. имеют центры в точках - / р и -1 + г и радиусы TTTj . Эти окружности касаются в точке -J . пусть 6, = # 64J , Gz = fp(BP) и G5=?/ (Cf) Пусть - внутренности кругов, ограниченных окружностями К± л_у, Лу и Несоответственно, Зная числа А и 0 , легко определить положение этих кругов на комплексной плоскости. Пусть #= ифч и ? =#/У #- .Согласно теореме 3,3, для выполнения условия (3.1) теоремы 3,2 при 1-2,3 достаточно взять.
