Содержание к диссертации
Введение
1. Квантовые эффекты взаимодействия кручения пространства-вршени с еешассовыми фермионами в пршшишши среднего поля 8
1.1. Четырехфермионное взаимодействие, как квантовый источник кручения пространства-времени 11
1.2. Метод среднего поля 27
1.3. Взаимодействие кручения с фермионами в приближении среднего поля 52
1.4. Эффективный потенциал связанных мезоподобных состояний 62
2. Эффекты взаимодействия кручения с евзмассовыми фенлионнымй полями 78
2.1. Метод функций Грина в квантовой статистике 80
2.2. Среднее поле при конечной температуре 101
2.3. Фазовый переход второго рода при взаимодействии безмассовых фермионов с кручением 112
2.4. Вычисление термодинамического потенциала в однопетлевом приближении. Уравнение состояния фермионного конденсата 116
3. Исследование квантовых эффектов в нелинейной спинорной теории методом ршош-шппы 125
3.1. Асимптотика эффективного заряда и структура неподвижных точек ренорм-группы в КТП 126
3.2. О топологии неподвижных точек ренорм-группы 136
3.3» Исследование взаимодействия кручения с безмассовыми фермионами методом ренорм-груташ 140
Заключение 149
Приложение
Литература 168
- Взаимодействие кручения с фермионами в приближении среднего поля
- Фазовый переход второго рода при взаимодействии безмассовых фермионов с кручением
- Вычисление термодинамического потенциала в однопетлевом приближении. Уравнение состояния фермионного конденсата
- О топологии неподвижных точек ренорм-группы
Введение к работе
Большая часть результатов квантовой теории поля КТП и гравитации, известных на сегодняшний день, получены в рамках теории возмущений (ТВ). Количество физических величин, полученных методами ТВ, которое можно сравнить с опытом, сильно ограничено тем, что мы реально умеем проводить вычисления только в области малых эффективных констант взаимодействия. Такими областями в физике адронов является область асимптотической свободы, в космологии и астрофизике - приближение слабой гравитации.
Бурное развитие физики калибровочных полей и единых моделей фундаментальных физических взаимодействий ещё более заострило внимание на проблемах описания квантовополевых процессов в области сильной связи. В первую очередь, это относится к проблемам адронизации и удержания кварков в квантовой хромодинами-ке (КХД) и построения квантовой геометродинамики, как последовательной квантовой теории тяготения.
С другой стороны, в современной КТП нельзя обойтись без метода перенормировок, который является временным, преходящим приемом вычисления, так как многие убеждены, что в конечных системах, коими являются элементарные частицы, не должно появляться расходящихся бесконечных величин. По всей вероятности, ре шить обе эти проблемы можно использованием методов обращения с существенно нелинейными теориями, выходящих за рамки .
Таким образом, задача исследования непертурбативных методов, включая как развитие новых, так и совершенствование и конкретные физические приложения уже имеющихся методов является весьма актуальной. В развитии квантовой теории, по всей видимости, настал такой момент, когда уже нельзя "отбраковывать" физически содержательные модели по принципу их перенормируемости в рамках стандартной схемы разложения по ТВ. Реализация программы непертурбативного подхода может проводиться по разным направлениям. По нашему мнению, наиболее разумными и перспективными на ближайший период являются полуклассические апроксимации, в которых в нужный момент к ТВ "подключается" существенно непертурбативная информация. Примеры таких апроксимации - методы "фонового" поля, "случайной" фазы, метод среднего поля (МСП). Формально все эти методы представляют собой схемы квантования на фоне некоторого классического решения.
Существование нетривиального фона приводит к эффективной линеаризации квантовой теории и, в конечном счете, к её перенормируемости в определённом приближении. Однако, сами классические решения в разных методах выбираются по-разному и имеют различный физический смысл. Наиболее интересным нам представляется МСП, в котором квантование производится на фоне самосогласованного (среднего) поля, что физически означает учет коллективных эффектов, имеющих место в рассматриваемой квантовой системе. В частности, в нелинейной спинорной теории Гей-зенберга-Иваненко с эффективным притяжением фермионов друг к другу среднее поле представляет собой фермионный конденсат, механизм образования которого подобен механизму образования ку-перовских пар в сверхпроводнике. Учёт коллективных состояний, а также изучение явлений, происходящих в нелинейных полевых системах при их образовании, в частности, фазовых переходов, является важным и перспективным направлением, поскольку открывает новые возможности в исследовании целого ряда нелинейных .
Повышения эффективности исследования квантовых эффектов в нелинейных полевых системах и степени надежности получаемых результатов можно добиться комбинированием МОП с методом ренор-мализационной группы (И1). Целесообразность применения РГ связана, в первую очередь, с возможностью нахождения асимптотик эффективного заряда и функций Грина (ФГ) в рамках этого метода. Он относится к числу бурно и активно развиваемых в настоящее время общетеоретических методов и имеет на своем счету ряд фундаментальных физических результатов. Перспективным направлением в развитии РГ-подхода является его применение к изучению критических явлений. Исследование фазовых переходов двумя различными по своей структуре методами, взаимно дополняющими друт друга, приводит к аналогичным результатам и, тем самым, . снимает всякие сомнения относительно существования этого явления и достоверности результатов.
Цель данной диссертационной работы заключается в применении методов среднего поля и ренорм-группы для исследования квантовых и температурных эффектов взаимодействия фермионов с кручением пространства-времени. Теория гравитации с кручением, или теория Эйнштейна-Картана (ТЭК) является одним из наиболее перспективных и активно развиваемых обобщений Эйнштейновской, общей теории относительности (ОТО). Построенная на основе калибровочного принципа, ТЭК учитывает обе динамические характеристики материи (спин и массу), опирается на пространства Римана-Картана и позволяет более естественным образом включить тяготение в схему единых теорий фундаментальных взаимодействий. Она привлекла в последнее время пристальное внимание, так как в рамках этой теории открываются новые возможности частичного преодоления трудностей квантовой гравитации.
В свою очередь, взаимодействие фермионов с кручением пространства-времени в ТЭК эквивалентно четырехфермионному взаимодействию типа Гейзенберга-Иваненко в ОТО, что позволяет эффективно применять МСП для исследования квантовых эффектов данного взаимодействия. Изучение механизма образования фермионного конденсата и учет его влияния на квантовые процессы материи и геометрию пространства-времени позволяет расширить крут явлений, описываемых теорией гравитации с кручением, и имеет важное значение в ряде космологических и астрофизических приложений.
Диссертация ставит перед собой следующие задачи:
1. Исследование квантовых эффектов взаимодействия фермионов с кручением пространства-времени в формализме среднего поля.
2. Построение квантовой теории взаимодействия фермионов с кручением пространства-времени при конечной температуре. Исследование температурных эффектов и уравнения состояния равновесной фермионной системы на основе вычисления термодинамического потенциала.
3. Изучением критических явлений в фермионной системе при конечной температуре.
4. Рассмотрение и уточнение некоторых положений метода ренормализационной группы.
5. Применение метода ренорм-группы к изучению взаимодействия фермионов с кручением пространства-времени (вычисление ренорм-групповых функций в низшем приближении по среднему полю, нахождение асимптотик заряда кручения, исследование фазовых переходов в фермионной системе).
В диссертации приняты следующие обозначения. Сигнатура метрики пространства-времени ( + — -), греческие и латинские буквы, когда они являются тензорными индексами, пробегают значения О, I, 2, 3 и I, 2, 3 соответственно. В системе единиц, принятой в диссертации, С = h - К - 4.. Остальные обозначения конкретизируются в тексте.
Взаимодействие кручения с фермионами в приближении среднего поля
Около каждой из диаграмм в произвольном порядке по -разложению помечено число внешних линий и соответствующая диаграмма в низшем порядке ТВ. Отметим, прежде всего, что число классов расходящихся диаграмм конечно. В бозонном. случае это диаграммы рис. 1.5а ( со = Z , квадратично расходится) , рис. 1.56, 1. 5в, 1. 5е ( сО = О, логарифмически расходятся). Соответственно, в фермионном случае - диаграммы рис. 1.5а ( сО = 5 линейно расходятся), рис. 1.56 (со=;2.э квадратично расходится), рис. 1.5г ( со-d линейно расходится), рис. 1.5в, 1.5д ( со =0) логарифмически расходятся). Вследствие того, что асимптотика Лк. к) была завышена, нетрудно показать, что диаграммы класса 1.5е будут, на самом деле, сходящимися, в отличие от стандартной схемы раз-ложения в ряд ТВ по степеням константы связи модели -лф где четырехмезонная вершина логарифмически расходится. Таким образом, теоріш поля с кубической нелинейностью рассматриваемого нами типа (1.36 - I. 37) является перенормируемой в приближении среднего поля, поскольку в рамках МСП она содержит конечное число расходящихся сильносвязных диаграмм и для исключения расходимостей требуется введение конечного числа типов контрчленов.
В заключение данного параграфа сделаем замечание относительно неренормируемости четырехфермионных моделей в МОП. Хотя нами и рассматривался простейший из вариантов четырехфермионной модели, полученные результаты справедливы для любого контактного взаимодействия вида CV ГУ) Б любой из таких теорий (при любом Гі ) возникает не более пяти типов расходящихся диаграмм (рис. 1.5а - І.5е). В ряде теорий число типов расходящихся диаграмм меньше пяти. Например, в варианте с векторными токами диаграмма рис. 1.5г зануляется вследствие теоремы Фарри, диаграмма рис. 1.5д конечна вследствие поперечности коллективного поля ("фотона"), остающегося в этой теории безмассовым [зз]. Вариант нелинейной спинорной теории с li 0/ os в рамках МОП будет рассмотрен нами в О -приближении по среднему полю в следующих параграфах данной главы. Исследуем взаимодействие фермионов с кручением в рамках МОП. Для того, чтобы выделить собственно эффекты кручения, мы рассмотрим в качестве первого приближения эквивалентность взаимодействия кручения с фермионами в пространстве Минков-ского-Картана четырехфермионному взаимодействию в плоском пространстве-времени. При исследовании будем исходить из эффективного лагранжианаV(I.ІЗ), записанного в терминах кол-, лективных переменных Up х Рассмотрим квантовые флуктуации поля кручения Ц/«М в О -приближении МОП. Раскладывая производящий функционал, построенный на (І.ІЗ), по степеням малости квантовых флуктуации поля кручения так же, как это делалось в предыдущем параграфе (формулы 1.80 - 1.83), придём к следующему эффективному потенциалу для одночастично неприводимых ФГ
Фазовый переход второго рода при взаимодействии безмассовых фермионов с кручением
Будем рассматривать потенциал (2.102) при условии сохранения лептонного числа (при условии равенства числа нейтрино и антинейтрино): Тогда, как следует из (2.109), и уравнение для нахождения среднего поля (2.ИЗ) принимает особенно простой вид: Воспользовавшись ренормировочным соотношением, связывающим ml и А0 (О) , а также регуляризуя \с/ к в правой части (2.115) (см. Приложение 2, П 2.3.1), получим где ренормированный заряд ot,=а0 . а ренормиро-вочная константа 2 определяется согласно (I.I67). Вычисляя дискретную сумму в (2.II6) согласно Приложению 3, формула П 3.8, будем иметь: Из (2.117) видно, что с увеличением температуры происходит "испарение" эффективной массы фермиона, так что при некоторой критической температуре &0(Тс) = Ош Заметим,что уравнение (2.117) является полным релятивистским аналогом уравнения щели в спектре электронного газа сверхпроводника [22]. Таким образом, из (2.117) следует вывод: в системе, описывающейся потенциалом (2.102) при условии (2.114), происходит при некоторой Т=7с фазовый переход П рода (что будет окончательно выяснено ниже), являющийся полным релятивистским аналогом фазового перехода П рода из сверхпроводящей в нормальную фазу, восстанавливается динамически нарушенная при Т ТС if -инвариантность теории (аналогично восстановлению фазовой симметрии в сверхпроводнике), распадаются связанные мезоподобные состояния (аналогично распаду куперовских пар) и образуется система, состоящая из безмассового релятивистского ферми-газа.
Найдём критическую температуру. Для этого вычислим интеграл в правой части (2.117). Учитывая, что в малой окрестности критической температуры (Т-Тс) /% « d. выполняется условие До (тутЧ : получим Если предположить, что фазовый переход П рода происходит при температурах порядка температуры горячей Вселенной (Тс " IMev - 40 К)эа А0() (эффективная масса фермио-на при Т=0 ) порядка нейтринной Д/оЬт уОе (2.121) получим: Таким образом, при сделанных выше предположениях получаем оценку на константу связи, согласующуюся с экспериментальными данными по измерению флуктуации плотности реликтового излучения [И б]. Для исследования поведения параметра порядка До (Т) получим также низкотемпературную асимптотику уравнения (2.117) Для этого вычислим интеграл в правой части (2.117) точно: Совместно формулы (2.119), (2.120), (2.124) дают типичное для фазового перехода П рода (в том числе, фазового перехода в сверхпроводнике) поведение параметра порядка, изображенное на рис. 2.1.
Как нетрудно увидеть, )) = 4[ , что находится в полном согласии с теорией Ландау фазового перехода П рода [104]. Заметим, что в данном параграфе нами были получены результаты, диаметрально противоположные высказанным в работе Долана и Джакива [69] соображениям в пользу того, что в че-тырехфермионных теориях нарушенная симметрия не восстанавливается ни при каких температурах. Это предположение авторов [69] представляется нам ошибочным по двум причинам: во-первых, исследование четырехфермионного взаимодействия требует выхода за рамки ТВ, что не было сделано; во-вторых, результаты, полученные в двумерии, нельзя экстраполировать на четырехмерие. В предыдущем параграфе было выяснено, что при отсутствии внешних источников (1=0) система, описывающаяся в однопетлевом приближении эффективным потенциалом (2.102) -- (2.104), находится в состоянии термодинамического равновесия при некотором STDj-j o = Єо (т) являющимся решением уравнения (2.117). Описать систему из связных мезо-подобных состояний равновесным потенциалом "\Д# (&) при произвольных (Т) возможно лишь при введении соответствующих источников (ЇГ )) приводящих её в состояние термодинамического равновесия при каждом Є(т)ф&0(т) [72]. При этом должно автоматически выполняться условие термодинамического равновесия при J- б бГоСтЭ
Вычисление термодинамического потенциала в однопетлевом приближении. Уравнение состояния фермионного конденсата
Метод ренормализационной группы (РГ) появился ровно тридцать лет назад, когда было замечено, что преобразования ренормировок квантованных полей, зарядов и масс, входящих в теорию, образуют группу, причём физические наблюдаемые величины являются инвариантами относительно групповых преобразований. За время, прошедшее с тех пор, произошло как существенное теоретическое развитие самого метода РГ, так и расширение области его применения к КТП, физике элементарных частиц, теории критических явлений и другим областям физики. В рамках КТП методом РГ был получен ряд фундаментальных результатов. Было выяснено, что свойство ренорм-инвариант-ности физических величин накладывает определенные ограничения на вид функциональной зависимости Ш? от своих аргументов. Это позволило, в ряде физически интересных моделей, найти асимптотики ФГ. Так, было обнаружено явление асимптотической свободы неабелевых калибровочных полей, что явилось одним из решающих аргументов в пользу квантовой хромодинами-ки (КВД - реального претендента на внутренне непротиворечивую и содержательную теорию сильного взаимодействия. Мощные результаты удаётся получить при применении РГ к физике элементарных частиц. Так, например, методами РГ исследуются высокоэнергетические асимптотики амплитуд реакций глубоконеупругого лептон-адронного рассеяния, асимптотики сечения реакции аннигиляции электронно-позитронных пар в адрони и другие процессы. Методы РГ используются при исследовании проблемы динамического нарушения симметрии. Как известно 95], в КТП задание лагранжиана не полностью характеризует количественные свойства соответствующей системы полей.
Набор параметров, входящих в лагранжиан (массы исходных полей т.; , константы связи j}j ) оказывается недостаточным для численного описания вероятностей переходов, ширины распада, масс физических частиц и других физических величин. Причина такого положения кроется в наличии ультрафиолетовых расходимостей. В процессе их устранения (процедура перенормировки) возникают новые параметры, часть которых (такие, как импульс обрезания) исчезает после снятия вспомогательной регуляризации, а часть (например, точка вычитания) остается и входит в окончательные, свободные от расходимостей результаты вычисления по теории возмущений (ТВ). Поэтому, задавая лагранжиан той или иной модели КТП, мы, в сущности, фиксируем лишь качественные черты теории (типы частиц, правила отбора, топологию диаграмм, свойства симметрии). Для получения количественных результатов необходимо, дополнительно к лагранжиану, дать рецепт устранения бесконечностей. Применяются различные схемы ренормировки (схема вычитания, размерная регуляризация, схема обрезания). Конкретный вид ренормировочных параметров зависит от схемы ренормировки и, вообще говоря, различен в разных схемах при вычислении ФТ в каждом из порядков теории возмущений. Произвол в выборе ренормировочных параметров составляет идейную основу аппарата ренормализационной группы (РГ). По- скольку изменение ренормировочных параметров не должно влиять на физические величины, измеряемые экспериментально, то при изменении ренормировочных параметров {}—» {% } необходимо ввести такое компенсирующее преобразование масс и зарядов {тЬ— -С }} { } {-} э чтобы физические наблюдаемые (матричные элементы, физические массы и заряды) не менялись. Преобразования образуют ренормализационную группу (РГ). Физические наблюдаемые есть инварианты относительно (3.1).
Групповой характер преобразования мультипликативных ренормировок был впервые замечен Штюкельбергом и Петерманом в 1953 году. Группа мультипликативных ренормировок в квантовой электродинамике исследовалась впервые Гелл-Манном и Jloy [83]. Общая теория ренорм-группы была построена в работах Боголюбова и Ширкова 84] - [86]. Функциональные и дифференциальные уравнения РГ исследовались Овсянниковым [87], Калланом и Симанчиком [88]. Вопрос о связи РГ - уравнений и РГ - функций в разных схемах ренормировки подробно изучался А. Владимировым [89]. То обстоятельство, что физические величины являются инвариантами относительно преобразований РГ (3.1), используется для исследования асимптотик ФГ и других квантово-полевых Функций (формфакторов нуклонов в реакциях глубоко-неупругого рассеяния, корелляционных функций в квантовой статистике и тому подобного) при однородном масштабном преобразовании (скейлинге) импульсов. Для этих целей достаточно выделить из совокупности ZJ однопараметрическое семейство, конкретизируя тем самым схему ренормировки. Например, в схеме вычи- таний выбирается точка вычитания pi и рассматривается масштабное преобразование импульсов pi -(-J iA )— рс - = (-9іХг) точки вычитания. Нетрудно убедиться, что преоб- разование (3.1) составляет при этом группу к і движения точки по полупрямой. В схеме размерной регуляризации параметром служит масштабный параметр J , в качестве однопарамет-рического рассматривается семейство, получаемое скейлингом JA- J -с / - При этом (3.1) также образует группу
О топологии неподвижных точек ренорм-группы
Для исследования асимптотики эффективного заряда большое значение имеет информация о структуре неподвижных точек РГ. Она необходима для получения качественного решения уравнения (3.16). Особенно важна такая информация в случае многозарядных КТП, когда уравнения РГ составляют зацепляющуюся систему. Однако, при выборе однопараметрического семейства масштабных преобразований R.± число неподвижных точек РГ-уравнения (3.16) меняется при переходе от одного ренорма-лизационного параметра к другому (например, при изменении точки вычитания в схеме вычитаний) [97], что затрудняет качественный анализ РГ-уравнений. Оказывается, что, если выбрать в качестве ренормализационной группы \± (группу переноса точки по некоторому замкнутому самонепересекающемуся контуру), то при этом число неподвижных точек РГ должно быть инвариантом относительно группы % [98]. Каким образом реализуется группа ренормировок Ті , можно проследить на простом примере модели (псевдо) СКаЛЯр-ного поля с лагранжианом самодействия «ся = цт fj т Основная для данной модели четырехмезонная вершинная ФГ в однопетлевом приближении имеет вид: эрмитовости контрчленов точка вычитания должна выбираться в нефизической области, то есть в области, не лежащей на массовой поверхности (на рис. 3.2 физические области заштрихованы). В случае реализации Ri точку вы- читания выбирают обычно в виде: происходит переход от одной точки вычитания к другой, причем точка вычитания в пространстве (u.tS i.) движется по некоторой прямой в нефизической области (пунктирная линия на рис. 3.2).
Однако, можно рассматривать перенос точки вычитания (Uottoj3oj по некоторой окружности Z , параметризуя её некоторым параметром Ч? . Переносы по такому контуру образуют группу окружности Ті , которая преобразованиями ренормировки констант связи реализует свое представление в зарядовом пространстве & Преобразования РГ Т± являются замкнутыми и не приспособлены, например, для нахождения 7/Ф асимптотики зарядов, однако, интерес к такой реализации РГ вызван тем, что существует жесткая связь между топологической структурой (группой когомологий Н (С «О ) пространства G , реализующего представление группы Пі. , и топологической структурой ( „ой когомолошй H CF,Q) ) пространства F(Ti3&) неподвижных точек РГ 7} в зарядовом пространстве Ф . Например, если РГ ТІ имеет две неподвижные точки в G- , то G не является стягиваемым пространством [96]. Таким образом, топологическая структура, в частности, число неподвижных точек РГ Т± в G не зависит от выбора контура Т± , является инвариантом данной модели и дает информацию о структуре зарядового пространства. Неподвижные п 0 точки РГ К І , как уже упоминалось, не обладают этим свойством и их число, например, в пион-нуклонной модели, меняется при переходе от одной точки вычитания к другой [97]. Функциональные уравнения РГ Ті имеют вид: где конкретный вид функции Гелл-Манна-Іоу j » ) определяется из ренормировочных преобразований ФГ. При выполнении условия $ ( Ф j) = при всех Ф6 заряд а" является неподвижной точкой РГ Т± . При рассмотрении РГ в конечных порядках ТВ JS -Функция в (3.25) представляется полиномами по J- с переменными коэффициентами, являющимися функциями р . Их корнем всегда является точка 9=0 . Необходимым условием существования ненулевых корней 4 будет представление J --функции в виде: где ( ]) - некоторый полином по Q с постоянными коэффициентами. Однако, из рассмотренных ранее конкретных моделей, для которых имеются расчеты j -функции в схеме вычитаний, такая ситуация нигде не реализуется и зарядовые пространства являются стягиваемыми. Надежды на нетривиальный результат, как и в ряде других задач КТП, остается связывать с расчетами РГ-функций (в частности, функции Гелл-Манна-Лоу) вне рамок ТВ.
