Введение к работе
Актуальность темы. Исследование процессов распространения стационарных акустических и электромагнитных волн приводит к постановкам задач математической физики, которые принято называть задачами дифракции или рассеяния . Такие задачи встречаются в геофизике, дефектоскопии, оптике, радиофизике, акустике и других областях науки и техники, где изучаются и применяются различные виды колебаний.
Известно , что строгое аналитическое решение задачи рассеяния удается получить лишь для ограниченного числа тел простейшей формы, когда переменные в волновом уравнении удается разделить за счет использования систем координат, одна из координатных плоскостей которой совпадает с поверхностью тела. Однако и в этом случае в резонансной области частот, когда размеры препятствия сравнимы с длиной облучающей волпы, ряды плохо сходятся и требуют численного решения.
Среди применяемых подходов к численному решению задач рассеяния метод интегральных уравнений является, по-видимому, одним из наиболее универсальных и удобных для реализации на ЭВМ. Следует однако подчеркігуть, что проблема эффективного численного решения задач дифракции на трехмерных рассеивателях в резонансном диапазоне частот, когда длина еоліш сравнима с размерами рассеивателя, в настоящее время пока не решена даже с использованием самых мощных современных ЭВМ.
При переходе к существенно трехмерным задачам резко повышается порядок системы линейных алгебраических уравнений, получающейся при дискретизации исходной задачи. С этим фактом, по-видимому, связана относительная малочисленность публикаїдай по численному решению задач дифракции на трехмерных рассеивателях по сравнению с числом работ посвященных двумерному случаю. Отметим также, что в большинстве работ рассматриваются задачи рассеяния на телах обладающих группой симметрии. Однако использование симметрии рассеивателя, за исключением поверхностей вращения, не проводится, и лишь в ряде случаев учитывается симметрия возбуждения.
Теория групп и, в частности, теория представлений групп активно используется в квантовой физике и химии. Теоретико-групповой подход к численному решению краевых задач математической физики для тел с
симметриями предложен в работах Тарасова Р.П., Демина С.К., Захарова Е.В., Сафронова СИ.
В диссертации рассматриваются алгоритмы численного решения скалярных и векторных задач дифракции на структурах с группой симметрии куба. Структура с группой симметрии куба задается конгруэнтной
составляющей в \.R части пространства аналогично тому, как поверхность
вращения задается своей образующей. К классу структур с кубической симметрией принадлежат, например, куб, октаэдр, сфера, некоторые полуправильные многогранники (тела Архимеда). При численном моделировании в качестве типичного представителя данного класса был взят куб, а также рассматривалась задача на незамкнутой поверхности - кубической клетке.
В диссертации даются нормальные сечения диаграмм рассеяния, полученные с высокой точностью для куба, размер ребра которого составляет 1-8 длин падающей волны.
Предложенный в диссертации алгоритм позволяет численно решать та современных ПЭВМ задачи произвольного возбуждения куба, размер ребра которого составляет 8 длин падающей волны и более. Использование данного алгоритма при обращении СЛАУ методом Гаусса приводит к сокращению объема вычислений в ~103 раз по сравнению со случаем, когда задача решается (оз лоб», то есть без учета симметрии куба.
Рассмотрение в основном случая нормального падения связано лишь с более легкой интерпретацией получаемых результатов и с возможностью их сравнения с результатами других авторов.
Однако в случае нормального падения плоской волны общий алгоритм может быть изменен так, чтобы учитывать симметрию первичного поля. Так в акустике учет симметрии первичного поля при нормальном падении плоской волны на грань куба приводит к дополнительному сокращению объема вычислений в ~3.6 раз и общий коэффициент сокращения объема вычислений
равен ~3-10 по сравнению со случаем, когда симметрия куба и симметрия возбуждения никак не учитываются. В электродинамике такой же коэффициент возможен при возбуждении куба диполем, находящимся на одной из осей
симметрии куба и по ней ориентированном. В случае нормального падения плоской волны на ірань куба с вектором Н параллельным ребру куба учет симметрии первичного поля приводит к дополнительному сокращению объема вычислений в -1.2 раза.
В диссертации задачи рассеяния на кубе численно решаются с использованием граничных интеї-ральньк уравнений I и П рода. При моделировашш рассеяния на кубе проводился сравнительный анализ результатов решения уравнений I и П рода. Целью работы является:
-
Построение эффективных вычислительных алгоритмов численного анализа существенно трехмерных задач дифракции на основе учета симметрии рассеивателя и первичного поля.
-
Разработка программ численного решения задач дифракции на структурах с группой симметрии куба.
-
Сравнительный анализ результатов решения задач акустической и электромагнитной дифракции на кубе на основе граничных интегральных уравнений I и П рода.
-
Вычисление характеристик рассеяния на кубе и кубической клетке в резонансном диапазоне частот.
На защиту выносятся следующие основные результаты.
-
Разработаны и обоснованы алгоритмы, учитывающие симметрию первичного поля и структуру группы симметрии рассеивателя.
-
Построен и реализован численный алгоритм решения задач дифракции на структурах с группой симметрии куба при произвольном возбуждении.
-
Проведен сравнительный анализ результатов решения задач акустической и электромагнитной дифракции на кубе на основе гранитных интегральных уравнений I и И рода.
-
Рассчитаны токи на поверхности и характеристики рассеяния для куба и кубических клеток в резонансном диапазоне частот.
Наущая новизна работы состоит в том, что предлагаемые методы и алгоритмы основаны на теоретико-групповом подходе и позволяют существенно снижать порядки решаемых при численной реализащш систем линейных алгебраических уравнений при сохранеіши точности аппроксимации
граничной поверхности. Разработан комплекс программ численного анализа дифракции и возбуждения на структурах с группой симметрии куба. Проведены многочисленные численные эксперименты.
Научная достоверность полученных результатов и выводов диссертации обеспечивается использованием математически обоснованного подхода к решению задачи. Численные алгоритмы тестировались на внутренних задачах с известным решением. Контроль точности получаемого решения внешних задач проводился на основе критерия нулевого поля внутри замкнутой поверхности, а также сравнением получающихся результатов с известными результатами других авторов и экспериментальными данными.
Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные методы и программы позволяют с высокой точностью эффективно решать класс задач акустической и электромаппггаой дифракции на структурах с группой симметрии куба в резонансной области частот.
Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1-5] и докладывались на VII Международном симпозиуме «Метод дискретных особенностей в задачах математической физики» (Феодосия, 1997), на семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ, на научно-исследовательском семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ (руководители: проф. Захаров Е.В., проф. Лифанов И.К.) и научно-исследовательском семинаре кафедры математики физического факультета МГУ (руководители: проф. Свешников А.Г., проф. Ильинский А.С.).
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 4 научные статьи.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав, изложена на 115 листах, включая список из 82 наименований.
