Введение к работе
Актуальность темы. Теоретические исследования процессов распространения стационарных акустических, упругих и электромагнитных волн в неоднородных средах лежат в основе решения широкого круга научно-технических проблем. Они часто приводят к постановкам весьма сложных задач математической физики, которые принято называть задачами дифракции или рассеяния. Такие задачи встречаются в геофизике, дефектоскопии, оптике, радиофизике, акустике и других областях науки и техники, где изучаются и применяются различные виды колебаний. Они заключаются в отыскании реиений дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих распространение волн во ачещащих средах и включениях, удовлетворяющих условиям сопряжения на границах раздела сред и условиям излучения на бесконечности. Существенное значение при их изучении имеют поведение решений на бесконечности и соотношения между характерными размерами рассечвателей и длинами волн колебаний.
Отмеченные свойства задач дифракции порождают серьезные трудности при использовании дифференциальных формулировок для их приближенного решения, особенно в трехмерных постановках. Они приводят к необходимости разработки специальных способов численного решения таких задач, основанных на интегральных соотношениях,-которые могут быть получены методами теории потенциала.
Методы потенциала в течении длительного периода времени рассматривались исключительно как средство доказательства теорем существования и единственности для исходных дифференциальных задач. Исследования по их применении для численного решения задач математической физики были начаты в начале шестидесятых годов и продолжают интенсивно развиваться как в нашей стране, так и за рубежом.
Сильной стороной методов потенциала является возможность сведения исходных задач в неограниченных областях к интегральным уравнениям на компактных множествах- Множества могут состоять из точек, лежащих внутри рассеивателей либо на их границах, имеющих меньшую размерность. При численном решении интегральных уравнений основная масса вычислений может выпол-
няться одновременно, что делает эффективным применение МНОГО- 1 процессорных ЭВМ. К недостаткам следует отнести сложность структуры получаемых интегральных уравнений.
Стационарные волновые процессы в акустике, упругости и электродинамике имеют много общих свойств, несмотря на различную физическую природу отих колебаний. Все они описываются дифференциальными уравнениями или системами эллиптического типа. Разработка способов сведения задач дифракции к удобным для применения численных методов интегральным уравнениям, а также создание и теоретическое изучение алгоритмов приближенного решения получаемых уравнений имеют важное значение для математического моделирования на ЭВМ дифракционных явлений. Полученные при этом результаты могут быть полезными и при решении других эллиптических краевых задач, не связанных с распространением колебаний.
Цель работы заключается в разработке и теоретическом обосновании эффективных методов решения трехмерных стационарных задач дифракции акустических, упругих и электромагнитных колебаний, составлении численных алгоритмов и программ для ЭВМ, позволяющих выполнять математическое моделирование стационарных волновых полей в средах с локальными трехмерными включениями .
Методика исследований. Для сведения исходных задач дифракции к интегральным уравнениям используется метод потенциалов. При теоретическом изучении полученных уравнений привлекается теория многомерных сингулярных интегро-дифференциаль-ных уравнений и результаты исследований по корректности постановок трехмерных задач дифракции. Приближенные решения исходных задач находятся путем аппроксимации интегральных уравнений с помощью гладких разбиений единицы на граничных поверхностях системами линейных алгебраических уравнений, которые решаются численно. Обоснование прямого метода для численного решения интегральных уравнений I рода со слабыми особенностями в ядрах осуществляется на основе новых результатов по их корректности и общей теории приближенных методов. Для расчета фундаментальных решений в горизонтально-однородных слоистых средах используются методы решения систо;.; лкиеЛных алгебраических уравнений со слабо заполненными матрицами коэффициентов и теория функций комплексного переменного.
Научная новизна работы состоит в следующем:
предложен новый подход 1С понижению размерности задач дифракции, с помощью которого получены и исследованы удобные для численного решения граничные интегральные уравнения и системы таких уравнений, эквивалентные трехмерным стационарным задачам дифракции акустических, упругих и электромагнитных колебаний, с меньшим, чем у полученных ранее, числом неизвестных функций;
разработаны и реализованы на ЭВМ методы численного решения трехмерных задач дифракции акустических волн на упругом теле и электромагнитных колебаний на однородном включении, расположенных в горизонтально-однородных слоистих средах;
исследованы ноше корректные постановки задач решения граничных интегральных уравнений I рода со степенными особенностями в ядрах и разработан прямой метод численного речения таких уравнений, возникающих в задачах дифракции; проведено исследование разрешимости дискретизованной задачи и получены оценки скоростей убывания невязки и сходимости приближенного решения к точному в зависимости от порядка дискретизации;
созданы эффективные алгоритмы расчета фундаментальных' решений уравнения акустических колебаний и системы Максвелла для горизонтально-однородных слоистых сред, основанные на использовании рекуррентных соотношений и интегрировании в комплексной плоскости.
Теоретическая и практическая ценность. В диссертации получены и исследованы интегральные уравнения, которые могут служить основой для создания эффективных алгоритмов численного решения задач дифракции. Способы построения интегральных уравнений, методы доказательства их однозначной разрешимости и эквивалентности исходным задачам применимы при решении широкого круга граничных и гранично-контактных задач. Результаты теоретических исследований по разработке и обоснованию прямого метода численного решения граничных интегральных уравнений I рода со слабили особенностями в ядрах распространяются на более общие классы уравнений и систем такого типа.
Практическую ценность имеют созданные вычислительные алгоритмы и программы для ЭВМ, которые позволяют осуществлять математическое моделирование в горизонтально-однородных слоистых средах процессов распространения я дифракции акустических волн
на упругом теле и электромагнитных колебаний на однородном включении в существенно трехмерных постановках. Они применялись для численного моделирования волновых полей в ІїГиГ ДВО АН СССР, ВЦ ДВО АН СССР, ВЦ СО АН СССР, Каз ВИРГ Мингео СССР. Алгоритмы расчета электромагнитных колебаний в слоистых средах и решения трехмерной задачи дифракции отих колебаний на однородном включении реализованы в виде программных модулей пакета прикладных программ "Геофизик" и приняты в Гос ФАП.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзных школах-семинарах по электромагнитным зондированиям (Мукачево, 1978), "Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения" (Самарканд, 1983; Саратов, 1985}; Всесоюзных конференциях "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики" (Новосибирск, 1987, 1990), "Математическое моделирование в геофизике" (Новосибирск, 1988), "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (Харьков, 1989)-, "Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики" (Владивосток, 1990); советско-японских и японско-советских симпозиумах по вычислительной аэрогидродинамике (Хабаровск, 1988; Цукуба, 1990); Дальневосточных математических школах-семинарах (Находка, 1978-1988); семинарах ВЦ ДВО АН СССР, ИЇЇМ ДВО АН СССР, отдела математических задач геофизики и объединенного семинара по вычислительной и прикладной математики ВЦ СО АН СССР, лаборатории математической физики ВМК МГУ, института математики Пхеньсонского отделения АН КНДР.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 20 работах.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 234 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 95 наименований.
