Содержание к диссертации
Введение
1. Теория уравнения электрического поля 13
1.1 Постановка задачи дифракции на экране 13
1.2 Свойства решения уравнения электрического поля 16
1.3 Некоторые аналитические решения скалярных уравнений 38
1.4 Операторы, эллиптические на подпространствах 54
2. Субиерархичсскнй параллельный алгоритм решения уравнения электрического поля 56
2.1 Метод Галеркина 56
2.2 Сходимость метода Галеркина для уравнений с операторами, эллиптическими на подпространствах 61
2.3 Свойство аппроксимации подпространств базисных функций RWG. Теорема о сходимости метода RWG 63
2.4 Субиерхический параллельный вычислительный алгоритм 69
3. Численные результаты решения уравнения электрического поля 83
3.1 Решения задачи дифракции на прямоугольном экране 86
3.2 Решение задачи дифракции на экранах сложной формы 88
Список литературы 102
- Свойства решения уравнения электрического поля
- Некоторые аналитические решения скалярных уравнений
- Свойство аппроксимации подпространств базисных функций RWG. Теорема о сходимости метода RWG
- Решение задачи дифракции на экранах сложной формы
Введение к работе
Диссертация посвящена решению задачи дифракции электромагнитной волны на плоском ограниченном экране произвольной формы в предположении, что поверхность экрана является бесконечно тонкой и идеально проводящей.
Актуальность темы
Задача дифракции электромагнитной волны на произвольных экранах является актуальной в связи с широким применением результатов решения задачи в проектировании антенных решеток, полоско-вых антенн и печатных проводников. Необходимость дальнейшего рассмотрения задачи диктуется, например, практической потребностью решения задачи синтеза антенн. Таким образом, рассматриваемая задача дифракции требует глубокого теоретического и численного исследования в связи с широким применением антенн в различных областях радиоэлектроники. Данное направление - предмет исследования ряда авторов (Р. М. van den Berg, A. W. Glisson, S. M. Rao,
D. R. Wilton, Л. А. Вайнштейн, Д. И. Воскресенский, Е. В. Захаров,
А. С. Ильинский, Ю. В. Пименов, А. Г. Свешников, Ю. Г. Смирнов,
E. Е. Тыртышников). Исследование этой области электродинамики
привело к активному и успешному применению численных методов
для решения задач дифракции. Однако при всем многообразии ис
следований до сих пор остались открытыми вопросы об аппроксима
ции решений и сходимости применяемых методов, не получены
оценки скорости сходимости методов. Одной из важнейших является
задача построения эффективных, высокоскоростных алгоритмов рас
чета поверхностных токов на экране, использующих современные
кластерные технологии.
Цель работы:
разработка математического аппарата для исследования задачи дифракции на плоском экране произвольной формы; построение эффективного численного метода; доказательство теорем об аппроксимации и сходимости и получение оценки скорости сходимости;
программная реализация параллельного вычислительного алгоритма, позволяющего решать поставленную задачу дифракции на экранах произвольной формы; ,
рОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ І
I БИБЛИОТЕКА |
I СПстер{
- программная реализация концепции построения субиерархиче
ских алгоритмов и вспомогательных баз данных для решения задачи
дифракции на плоских экранах произвольной формы.
Научная новизна:
разработан новый математический аппарат для исследования поставленной задачи, в частности, введено понятие оператора, эллиптического на подпространствах, и доказана теорема о сходимости метода Галеркина для таких операторов. Доказана теорема об аппроксимации функциями Рао-Уилтона-Глиссона (RWG) любой функции из пространства W. Получены оценки скорости сходимости метода RWG;
предложен и программно реализован субиерархический параллельный вычислительный алгоритм, позволяющий решать задачу дифракции на плоских экранах произвольной формы;
- получены аналитические решения для скалярных задач на круге.
Практическая значимость.
Большое практическое значение в представленной работе имеет концепция субиерархического параллельного вычислительного алгоритма. Используя параллельные вычисления на кластере, один раз наиболее точно решается задача дифракции на экране простейшей прямоугольной формы. Далее, используя результаты решенной задачи, «вырезается» из него другой экран произвольной формы, целиком умещающийся в уже посчитанном, и, не производя повторных вычислений в матрице СЛАУ, определяется значение поверхностных токов на новом экране. Результаты расчета поверхностных токов на экране произвольной формы получаются за счет составления новой матричной системы уравнений из элементов уже посчитанной матрицы. Данный подход имеет большое практическое значение в инженерных расчетах.
Реализация и внедрение полученных результатов.
Результаты, полученные в диссертации, включены в отчеты НИР и грантов, выполненных на кафедре математики и математического моделирования ПТУ: гранты РФФИ 01-01-00053 и 03-07-90274, грант ФЦП «Интеграция» И0983/905.
Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались на научных конференциях и семинарах:
Международной конференции «Antenna Theory and Techniques» (Sevastopol, Ukraine, 1999);
Международной конференции «Application of the conversion research results for international cooperation» (Tomsk, 1999);
Международной конференции «Актуальные проблемы науки и образования» (Пенза, 2003);
- Международной конференции «Mathematical and Computation
Modeling with Applications in Paper Manufacturing Science and Convert
ing» (Karlstad, Sweden, June 6-8, 2005);
- Научном семинаре НИВЦ МГУ (2005).
Публикации.
По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, содержащего 73 наименования. Работа изложена на 107 страницах машинописного текста, содержит 18 графиков.
Свойства решения уравнения электрического поля
Основным инструментом исследования задач дифракции на незамкнутых поверхностях является теория псевдодифференциальных (ПД) операторов, действующих в пространствах Соболева сечений векторных расслоений [14, 32, 35, 39]. Задача дифракции анализируется по следующей схеме. Задача приводит к ПД уравнению на многообразии с краем О. (экране). Соответствующий ПД оператор І. рассматривается в специально выбранных гильбертовых пространствах Л:Я, - //2. Ключевым моментом при изучении задач дифракции является доказательство ограниченности и фредгольмовости с нулевым индексом оператора L. Доказательство проводится стандартным методом [19, 20]: оператор L представляется в виде суммы ограниченных операторов, непрерывно обратимого S и компактного К: L = S + K\ Решение исходной краевой задачи ищется в виде векторных потенциалов. Из; единственности решения краевой задачи выводится единственность для решений соответствующего ПД уравнения-» = /", иеЯ, а из альтернативы Фредгольма -разрешимость уравнения при любой правой части /GH2. От сюда следует разрешимость и для краевой задачи; Существует два класса методов; позволяющих численно решать задачи математической физики. Первый; класс - это иерархические методы. Основная идея этого подхода заключается в добавлении дополнительных базисных функций к уже существующим базисным функциям на некотором этапе решения задачи. В результате получается уточнение приближенного решения за счет совместного использования «старых» базисных функций, для которых элементы матрицы СЛАУ уже вычислены, и «новых» базисных функций. Таким образом, можно говорить об уровнях или иерархиях вычислительного алгоритма. При использовании результатов вычислений на предыдущем уровне достигается экономия вычислительных ресурсов, для получения уравнения приближенного решения. Второй класс - это адаптивные методы. Для них выбор базисных функций на каждом уровне определяют за счет сравнения погрешности счета между различными, чаще всего соседними уровнями.
3 данной работе предлагается другой подход, названный: нами субиерархическим. В нем уже на первом шаге (уровне) один раз наиболее точно решается задача дифракции на экране простейшей прямоугольной формы.. Далее, используя результаты решения задачи на первом шаге, мы «вырезаем» из него другой экран произвольной формы и, не производя повторных вычислений в-матрице-СЛАУ определяем значение поверхностных токов на новом экране. Таким образом, можно решить серию задач дифракции на экранах различной формы и, по существу, создать базу данных для их решения. Субиерархический метод, используется совместно с параллельными вычислительными: алгоритмами в связи с большой вычислительной сложностью формирования матрицы СЛАУ на первом этапе. Наиболее удобно рассчитывать подобные задачи на кластере. Предложенный метод позволяет решать задачи дифракции, для экранов произвольной формы, используя результаты решения только: одной задачи; Это возможно: в том случае если «новый» экран произвольной формы целиком помещается в «старом» прямоугольном экране; Разумеется, эффект от использования субиерархического метода будет проявляться только при решении большой; серии задач дифракции.
Следует отметить, что для увеличения точности: решения необходимо снова более точно решать задачу на прямоугольном экране. При увеличении размеров экрана (в длинах волн) также необходимо пересчитать первоначальную задачу. Однако во многих практических приложениях (например при проектирование печатных антенн) часто приходится большое количество задач дифракции на экранах различной формы помещающихся в некотором прямоугольнике (на подложке антенны), с некоторой фиксированной точностью. В этом случае построенная база данных оказывается весьма полезной и позволяет решать задачи дифракции на экранах нужной формы уже на: персональном: компьютере, а не на кластере который использовался при peineнии первой задачи на прямоугольном экране. Данная работа содержит следующие основные результаты. 1. Введено понятие оператора, эллиптического на подпространствах, и доказана теорема о сходимости метода Галеркина для таких операторов. 2. Доказана теорема об аппроксимации функциями RWG любой функции из пространства и получены оценки скорости сходимости метода RWG. 3. Получены аналитические решения для скалярных задач на круге. 4. Предложен и программно реализован параллельный вычислительный алгоритм; позволяющий решать задану дифракции на экранах произвольной формы. 5. Предложена и программно реализована концепция построения субиерархических алгоритмов и вспомогательных баз данных для решения задачи дифракции на плоских экранах произвольной формы. Данная работа состоит из введения и трех глав. В первой главе рассматривается общая постановка задачи, сведение задачи к интегро-дифференциальному и псевдодифференциальному уравнениям в пространствах Соболева.. Вторая глава посвящена построению и анализу сходимости метода Галеркина. Третья глава посвящена реализации, численного метода -параллельного вычислительного алгоритма для. решения задачи и анализу численных результатов.
В первой главе рассматривается постановка задачи; дифракции на-плоском экране и основные свойства решений уравнений электрического поля; выбор векторных пространств W и W\ сведение задачи к системе псевдодифференциальных уравнений; Во второй части этой главы-рассматриваются аналитические решения скалярных уравнений, используемые для тестирования алгоритмов в векторной задаче. Введено понятие оператора, эллиптического на подпространствах.
Во второй главе описывается алгоритм решения- уравнения электрического поля для произвольной поверхности. Производится выбор конечномерных, подпространств и построение проекционного метода Галеркина в выбранных подпространствах. Доказывается сходимость метода Галеркина. Описывается субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения уравнения электрического поля.
Некоторые аналитические решения скалярных уравнений
Во второй главе описывается численный алгоритм решения уравнения электрического поля для произвольной поверхности. Первый параграф посвящен выбору конечномерных пространств и; построению проекционного метода Галеркина в выбранных пространствах. Во втором параграфе доказывается сходимость метода. Третий; параграф посвящен описанию субиерархического параллельного вычислительного алгоритма для решения уравнения электрического поля. Результаты второй главы; опубликованы в [27, 28,30,31, 67].
Рассмотрим1 приближенное решение линейных операторных уравнений с помощью проектирования их на подпространства, которые будем считать имеющими конечную- размерность. Ниже все операторы предполагаются линейными.
Определение 1. Пусть X - нормированное пространство и UcX -нетривиальное подпространство. Ограниченный оператор R-.X- U такой, что Ф = ср для всех ф є U называется проекционным оператором (или проектором) X на U.
Утверждение 1. [21]: Нетривиальный ограниченный оператор является проектором тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условию Р2-Р. В этом случае 1. В гильбертовых пространствах важным примером проекционного оператора является ортопроектор на подпространство и, то есть оператор наилучшей аппроксимации, фиксированного элемента из пространства X элементами из подпространства U. Утверждение 2. [21] Пусть U - нетривиальное подпространство гильбертова пространства X. Тогда оператор Р, переводящий элемент фєХ в элемент наилучшей аппроксимации в подпространстве U, есть проекционный оператор. Он называется ортопроектором на и и удовлетворяет условию \\Р\\ = 1. Определение 2. Пусть X и У - банаховы пространства и A:X Y -инъективный оператор. Пусть ХпсХ и: У„с7 - две последовательности подпространств с условиями dim Л = dim Г„ = я и пусть Pn:Y- Yn проекционные операторы. Рассмотрим проекционный метод, образованный посредством Х„ и Рп, который аппроксимирует уравнение А ? = / с помощью приближенного уравнения РкАуп=Р„/. Этот проекционный метод называется сходящимся для оператора А, если существует число N такое, что для каждого /єІтЛ приближенное уравнение РпА(р = Рп/ имеет единственное решение 9„єХй для всех « JV, И если эти решения сходятся Ф„- Ф при я- « к единственному решению ф уравнения В терминах операторов сходимость проекционного метода означает, что для всех n :N конечномерные операторы Ап -= РпА:Х„ -» У„ являются обратимыми и что поточечная сходимость А PnAq р, п—у со имеет место для всех фєХ. (Последовательность ограниченных операторов Вп поточечно сходится к ограниченному оператору В,„, и- то, если Я„ф-ф-»0 при П - оо ДЛЯ ВСЄХ ф X .) В общем случае можно ожидать сходимость метода только тогда, когда подпространства Хп предельно плотны в X: для всех Ф є X. Свойство (2.2.1) называют также свойством аппроксимации (произвольный элемент из X может быть аппроксимирован; элементами из подпространства.Л",, с любой точностью в норме X). В последующем анализе будем всегда предполагать, что это условие выполняется. Поскольку Л„ = Р„А- оператор, действующий в конечномерных пространствах, применение проекционного метода сводится к решению конечномерной системы линейных алгебраических уравнений. Ниже метод Ралеркина; будет рассматриваться = как проекционный метод,, полученный с помощью ортогонального проектора. Первоначально приведем общий результат о сходимости проекционного метода и дадим соответствующую оценку для погрешности метода. Утверждение 3 [21] Проекционный метод сходится тогда и только тогда, когда существует число N и положительная константа -М такие, что для,всех n N конечномерные операторы: А„:РЯА:Х„- У„ обратимы и операторы. А РаА: X - X равномерно ограниченны В этом случае верна оценка для погрешности метода Оценка погрешности (2.1,3), приведенная в; утверждении 3, называется квазиоптимальной. Она показывает, что ошибка в проекционном методе определяется тем, как хорошо точное решение может быть аппроксимировано с помощью элементов подпространства Хп (в норме пространства X).
Свойство аппроксимации подпространств базисных функций RWG. Теорема о сходимости метода RWG
Опишем условия, при которых не будут рассматриваться ребра. Горизонтальное ребро не существует, если оба узла, соединяющие ребро, принадлежат границе сетки. Вертикальное ребро не существует, если оба узла принадлежат границе сетки. Диагональное ребро не существуют, если узел с меньшим номером принадлежит правой или верхней границе прямоугольной области. Рассмотрим диагональное ребро, представленное на рис. 5. Пусть количество узлов, расположенных по оси Or, равно q, а номер нижнего узла равен л и при этом диагональное ребро может существовать, тогда р = п + q +1.
Пусть прямоугольная область содержит п узлов по оси Ох и т узлов по оси Оу, таким образом, общее количество узлов равно п-т. Нетрудно вычислить общее количество ребер каждого типа. Количество диагональных ребер будет определяться по формуле: (m-l)-(n-l), количество вертикальных ребер по формуле: (m-l)-(n-2), количество горизонтальных ребер по формуле: (m-2)-(n-l). Нетрудно подсчитать общее количество ребер в прямоугольной области. Для этого просуммируем количество диагональных, вертикальных и горизонтальных ребер. Таким образом, общее число ребер равно num = m-l)- n-l) + (m-l)-(n-2) + (m-2)-(n-l). Для дальнейшего рассмотрения метода нам потребуется ввести два понятия: уровня и ряда. Под уровнем будем понимать совокупность узлов, расположенных по оси-Ох на однойиз линий сетки, вместе с горизонтальными ребрами, их соединяющими, и вместе с вертикальными и диагональными ребрами, выходящими из этих узлов и расположенных выше данной линии сетки. Рядом будем называть совокупность узлов, расположенных по оси Оу на одной из линий сетки, вместе с вертикальными ребрами, их соединяющими и вместе с горизонтальными и диагональными ребрами, выходящими из этих узлов и расположенными правее данной линии сетки.
Опишем алгоритм нумерации ребер в сетке. Ребра нумеруются в следующей очередности. Первыми нумеруются диагональные ребра, затем вертикальные и последними нумеруются горизонтальные ребра. Алгоритм нумерации ребер опирается на номер узла, из которой выходит ребро. Диагональные ребра нумеруются, начиная с нуля. Ребро с нулевым номером расположено на пересечении первого ряда и первого уровня. Нумерация последующих ребер аналогична нумерации узлов, т.е. следом за нулевым на том - же уровне, но во втором ряду, располагается первое ребро. Первое ребро выходит из второго узла, расположенного правее по оси Ох, и так далее.
Данная процедура продолжается до тех пор, пока не встречается узел, для которой диагональное ребро построить нельзя, тогда этот узел пропускается и алгоритм начинает построение с самого левого узла, расположенного на уровень выше данного. Описанная; процедура повторяется для; всех узлов.. Вертикальные ребра нумеруются аналогично. Ребро с номером, на единицу большим, чем максимальное из уже пронумерованных, выходит из узла, располагающегося во втором ряду на первом уровне. Следующее по номеру ребро должно выходить из узла, находящегося правее по оси Gt, т.е. в третьем ряду первого ряда, и так далее. Исключение составляет случай, когда узел является крайним. Для исключительного случая приходится; пропускать два узла - крайний правый на текущем уровне и крайний левый узел, расположенный на уровень выше; Новое ребро располагается на уровень выше во втором: ряду. Аналогично: нумеруются все вертикальные ребра. Горизонтальные ребра- нумеруются с узла, расположенного на пересечении второго уровня и первого ряда. Номер первого горизонтального узла на единицу больше, чем номер последнего вертикального узла. Оставаясь налом же уровне, сдвигаемся по оси Ох правее во второй ряд. Узел, расположенный на пересечении третьего ряда и второго уровня, является следующим горизонтальным узлом. Описанная процедура нумерации горизонтальных ребер повторяется до тех пор, пока не встречается узел, для которого построить ребро нельзя. В этом случае мы пропускаем один узел, и тем; самым переходим на уровень выше в первый ряд. Оставшиеся горизонтальные ребра нумеруются аналогично. Заметим, что следуя указанному алгоритму, мы пронумеруем только внутренние ребра прямоугольный области. Все вертикальные или горизонтальные ребра, принадлежащие границе, не будут занумерованы. В свою очередь диагональные ребра всегда являются чисто внутренними. Ребро принадлежит области, если оно принадлежит области вместе с двумя окаймляющими его треугольниками. Треугольники, окаймляющие ребро, будем называть носителями. Носители условно разделим на два вида: Т и 7", Носитель Т+ будем называть положительным носителем, а носитель Т -отрицательным носителем. Из примера, приведенного на рис. 6, наглядно видно, как располагаются носители для каждого из видов ребер: вертикального, горизонтального и диагонального. Для горизонтального ребра положительным является верхний носитель, а отрицательным является нижний носитель. Для вертикального ребра положительным является левый носитель, а отрицательным является правый носитель. Для диагонального ребра положительным является верхний правый, а отрицательным нижний левый носитель. На этом процесс построения сетки можно считать законченным. На рис. 7 приведем пример полностью построенной сетки 9x8 элементов. Здесь п-9, т = 8. Общее количество узлов равно п-т = 72, общее количество ребер равно 153 из них диагональных (m-l)-(n-1) = 56, вертикальных (m-l)-(n-2) = 49 и горизонтальных (т - 2) (п -1) = 48 .
Решение задачи дифракции на экранах сложной формы
Первыми, были получены результаты на квадратной пластине. Длина ребра квадратной пластины была равна длине волны Я. Волновое число; к равняется 2л-. Несмотря на небольшую точность при расчете интегралов 25 точек на носитель и маленький размер сетки 7 на 6- ячеек были построены -. графики, визуально совпадающие,, с графиками, представленными = в работе [65]. Результаты были получены на компьютере Pentium 4 с тактовой частотой; процессора 2400. Размер матрицы был; равен 79 на \ 79 элементов:. Время счета данной задачи составляло одну минуту.
На графиках 1 и 2 представленных ниже изображены срезки по горизонтали и вертикали. Обе срезки выведены на один график. Ниже представлены два графика. Первый график построен по задаче с размером, сетки 19 на 18 ячеек и точностью расчета интегралов 25 точек на носитель. Размер матрицы 883 на 883 элементов. Время счета задачи 2 часа. Второй график построен по задачи с размером сетки 35 на 34 и точностью расчета интеграла 25 точек на носитель. Размер матрицы элементов 3299 на 3299 элементов. Время счета задачи 18 часов. Отметим, что программа, написанная нами, позволяет считать и прямоугольные экраны любой формы. Экран квадратной формы был выбран исключительно в целях сравнения полученных результатов.
Графики представленные в работе [65] рассчитывались по сетке (размер сетке). На квадратном экране с длиной ребра равной волновому числу X.
Однако, трудно судить о результатах только по срезкам. Срезки не дают представление обшей картины распределения токов, поэтому на графиках 3, 4, 5, 6 представлены поверхностные токи. Для графика 3 и 4 была рассмотрена задача с размером сетки 19 на 18 ячеек и точностью расчета интегралов 25 точек на носитель. График с номером 3 отображает поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Ох. График с номером 4 отображает поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Оу. На графике 5 и 6 была рассмотрена задача с размером сетки 35 на 34 и точностью расчета интеграла 25 точек на носитель. График с номером 5 отображает поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Ох. График с номером 6 отображает поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Оу. Результаты данных графиков были сравнены с работой [73]. Они совпадают с графической точностью.
В работе [73] был приведен пример расчета токов фигуры сложной формы вырезанной из: платины: размером Л-ЗА. Фигура имеет вид представленный на рис. 2. Результаты: поверхностных токов рассчитанных нашим методом представлены на графиках 7 - 8 и графиках 9— 10; График 7 и 8 отображают результаты поверхностных токов для задачи, решенной с сеткой 19 на 57 и точностью расчета интегралов 25. Время,, потраченное на составление матрицы для: системы линейных уравнений в задаче, составляет 4 часа. Результаты бьииг получены на, компьютере Pentium 4- с тактовой частотой процессора 2400. На графике 7 построены поведение поверхностные токи вдоль оси Ох. На графике 7 построены поведение поверхностные токи вдоль оси Оу. График 9 и 10 отображают результаты поверхностных токов для задачи, решенной с сеткой 19 на 57 и точностью расчета интегралов 36. Время, потраченное на составление матрицы для системы линейных уравнений в задаче, составляет 14 часов/Результаты были получены на компьютере Pentium 4 с тактовой частотой процессора 2400. На графике 9 построены поведение поверхностные токи? вдоль оси: Ох. На графике 10 построены поведение поверхностные токи вдоль оси Оу. Рассмотрим графики 11 и 12. Данные графики были построены для экрана представленного на рисунке 3. Фигура вырезалась из квадратной пластины с длиной ребра равной Д. Матрица к задаче рассчитывалась на кластере вычислительного комплекса НИВЦ МГУ. Размер сетки 49 на 48 элементов, точность расчета интеграла составляет 64 точки на носитель. Размер матрицы 6673x6673 элементов. Время составление матрицы на кластере равно 69 часов. Время загрузки матрицы из файла в виртуальную память на персональном компьютере составляет 2 часа. Время решения системы матричных уравнений методом Гаусса построенной по новому экрану составляет 1 часа. На графике И изображено поведение поверхностных токов направленных вдоль оси Ох. На графике 12 построены поверхностные токи, направленные вдоль оси Оу.
Похожие диссертации на Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения электромагнитных задач дифракции на плоских экранах
