Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Контроль точности и устойчивости одношаговых методов 16
1.1. Основные определения 16
1.2. Контроль точности вычислений 21
1.3. Контроль устойчивости 24
1.4. Реализация явных методов с контролем точности и устойчивости 27
Глава 2. Алгоритмы интегрирования переменного порядка и шага 29
2.1. Алгоритм на основе схемы Фельберга пятого порядка 29
2.2. Алгоритм на основе схемы Фельберга седьмого порядка 34
2.3. Алгоритм на основе схемы Дорманда-Принса восьмого порядка 43
2.4. Результаты расчетов 52
Глава 3. Комбинированные алгоритмы интегрирования 56
3.1. Методы типа Розенброка 56
3.2. Класс (m,k)-методов решения жестких задач 60
3.3. Численное решение жестких задач с небольшой точностью 62
3.3.1. L-устойчивый (2,1)-метод 62
3.3.2. Явный метод второго порядка 65
3.3.3. Явный метод первого порядка 68
3.3.4. Алгоритм интегрирования переменной структуры 69
3.4. Комбинированный алгоритм третьего порядка 71
3.4.1 L-устойчивый (3,2)-метод 71
3.4.2. Явный метод третьего порядка 76
3.4.3. Явный метод первого порядка 82
3.4.4. Алгоритм интегрирования переменной структуры 83
3.4.5. Замораживание матрицы Якоби в (3,2)-методе 84
3.5. Комбинированный алгоритм четвертого порядка 87
3.5.1. Максимальный порядок точности (m,2)–методов 88
3.5.2. L-устойчивый (4,2)-метод 90
3.5.3. Метод Мерсона с контролем точности и устойчивости 94
3.5.4. Явный метод первого порядка 95
3.4.1. Алгоритм интегрирования переменной структуры 98
Глава 4. Результаты расчетов практических задач 100
4.1. Дифференциальные уравнения химической кинетики 101
4.2. Пиролиз этана 103
4.3. Модифицированный орегонатор 104
4.4. Проникновение помеченных радиоактивной меткой антител в пораженную опухолью ткань живого организма 106
4.5. Кольцевой модулятор 108
Заключение 112
Список литературы 113
- Реализация явных методов с контролем точности и устойчивости
- Класс (m,k)-методов решения жестких задач
- Максимальный порядок точности (m,2)–методов
- Проникновение помеченных радиоактивной меткой антител в пораженную опухолью ткань живого организма
Введение к работе
Актуальность темы обусловлена необходимостью эффективного
численного решения жестких и нежестких систем обыкновенных
дифференциальных уравнений большой размерности, возникающих при
математическом моделировании динамики электрических сетей и
электронных схем, биологических, химических и других процессов. Класс задач, описываемых жесткими системами, расширяется за счет учета большого числа факторов при построении математических моделей различных процессов. Это повышает требования к вычислительным алгоритмам. Современные методы решения жестких задач, как правило, на каждом шаге требуют обращение матрицы Якоби, что при большой размерности задачи определяет общие вычислительные затраты. С целью экономии во многих алгоритмах одна матрица Якоби применяется на нескольких шагах интегрирования. Эта задача решается достаточно просто в методах, в которых данная матрица используется в некотором итерационном процессе (многошаговые методы Адамса и Гира, неявные и полуявные методы типа Рунге-Кутты). В безытерационных схемах матрица Якоби включена в численную формулу, и поэтому возникают сложности с ее замораживанием. Однако такие методы обладают хорошими свойствами точности и устойчивости, просты с точки зрения реализации и, как следствие, привлекательны для вычислителей. Аналогом замораживания является применение в расчетах алгоритмов интегрирования на основе явных и L-устойчивых методов с автоматическим выбором численной формулы. Первые алгоритмы такого типа для многошаговых методов были построены Petzold L.R. (1982), для одношаговых численных схем – Shampine L.F. и Новиков Е.А. (1984). В работах Petzold L.R. и Shampine L.F. для выбора схемы применялась норма матрицы Якоби, которую нужно вычислять даже при расчетах по явной схеме. В работах Новикова Е.А. для выбора схемы применяется неравенство для контроля устойчивости без вычисления матрицы Якоби. По эффективности расчетов такие алгоритмы существенно превосходили существовавшие методы. Важно, что они распознавали, является ли задача жесткой или нет, и в зависимости от этого выбирали на каждом шаге эффективную численную формулу – явную или L-устойчивую. Поэтому построение новых эффективных алгоритмов переменного порядка и шага, а также переменной структуры, является актуальной задачей.
Целью работы является создание алгоритмов интегрирования жестких и нежестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, эффективность которых достигается комбинированием численных схем по точности и устойчивости. Для достижения цели решены следующие задачи. 1. Построены неравенства для контроля устойчивости известных явных методов высокого порядка с последующим созданием алгоритмов
переменного шага с контролем точности вычислений и устойчивости численных схем.
-
Разработаны явные методы первого порядка с расширенными областями устойчивости на основе стадий численных схем высокого порядка, а также с неравенствами для контроля точности и устойчивости.
-
Построены алгоритмы переменного порядка и шага на основе стадий явных методов высокого порядка для решения задач умеренной жесткости.
-
Разработаны алгоритмы переменной структуры на основе явных и L-устойчивых численных формул с автоматическим выбором на каждом шаге эффективной численной схемы.
Методы исследования. Используются методы вычислительной математики и математического анализа, применяется теория разностных схем и обыкновенных дифференциальных уравнений. Эффективность алгоритмов проверяется с помощью численных экспериментов, сравнением с экспериментальными данными и расчетами других авторов.
На защиту выносятся следующие результаты, соответствующие паспорту специальности 01.01.07 – вычислительная математика.
-
Алгоритмы интегрирования переменного шага с контролем точности и устойчивости для решения умеренно жестких и нежестких задач.
-
Явные методы первого порядка с расширенными областями устойчивости с неравенствами для контроля точности и устойчивости.
-
Алгоритмы интегрирования переменного порядка и шага на основе стадий явных методов пятого, седьмого и восьмого порядков точности с контролем точности вычислений и устойчивости численных формул для решения умеренно жестких и нежестких задач.
-
Комбинированные алгоритмы на основе явных и L-устойчивых методов второго, третьего и четвертого порядков точности для решения жестких и нежестких задач.
-
Результаты моделирования практических задач из химии и теории электрических цепей.
Научная новизна. Построены новые алгоритмы переменного порядка и шага для решения умеренно жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработаны эффективные алгоритмы переменной структуры с автоматическим выбором численной схемы для решения жестких и нежестких систем.
Достоверность полученных результатов подтверждается
численными испытаниями построенных алгоритмов на тестовых примерах и практических задачах, а также сравнением с расчетами других авторов. Результаты тестовых расчетов подтверждают надежность и эффективность неравенства для контроля точности вычислений и устойчивости численной формулы.
Теоретическая ценность. На основе методов Фельберга и Дорманда-Принса пятого, седьмого и восьмого порядков точности построены
алгоритмы переменного порядка и шага для решения задач умеренной жесткости. На основе явных и L-устойчивых численных формул второго, третьего и четвертого порядков разработаны алгоритмы переменной структуры с автоматическим выбором численной схемы.
Практическая ценность. Разработаны программы решения жестких и нежестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые можно применять для численного решения практических задач, в учебном процессе при подготовке специалистов по математическому моделированию в различных областях. Проведено моделирование четырех задач из теории электрических цепей и химии.
Основные положения и результаты диссертации докладывались и
обсуждались на Международных конференциях «Математические и
информационные технологии» (Сербия, 2011), “Вычислительные и
информационные технологии в науке, технике и образовании” (Павлодар,
2006), «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория,
эксперимент и практика» (Новосибирск, 2011), «Актуальные проблемы
прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2009, 2010,
2011, 2012, 2013), «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск,
2009, 2010, 2011, 2012), на Всероссийских конференциях «Имитационное
моделирование. Теория и практика» (Санкт-Петербург, 2011),
“Математическое моделирование развития северных территорий Российской
Федерации” (Якутск, 2012), «Математическое моделирование и
информационные технологии» (Красноярск, 2011, 2012, 2013); на семинарах Института вычислительного моделирования СО РАН и кафедры математического обеспечения дискретных устройств и систем Сибирского федерального университета. Работа поддержана грантами РФФИ (проекты 11-01-00106 и 14-01-00047).
Основные результаты диссертации опубликованы в 18 печатных работах, включая (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикации в печатных листах, в знаменателе – объем принадлежащий лично автору) 9 статей в периодических изданиях, рекомендованных ВАК (4.0/2.9) и 8 статей в трудах конференций (2.0/1.8).
Личный вклад соискателя. Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. В совместных работах соавторам принадлежат обсуждение постановки задач и результатов исследований. Автором разработаны алгоритмы переменного порядка и шага, а также алгоритмы на основе явных и L-устойчивых методов, выполнено моделирование практических задач электрических цепей и химии.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка из 115 наименований. Общий объем работы составляет 123 стр., в том числе 5 таблиц и 20 рисунков.
Реализация явных методов с контролем точности и устойчивости
В настоящее время можно выделить два подхода к контролю устойчивости. Первый способ связан с оценкой максимального собственного числа матрицы Якоби через ее норму с последующим контролем неравенства \\hf\t,y{t)D. Ясно, что для явных методов, где матрица Якоби не участвует в вычислительном процессе, это приводит дополнительно к ее нахождению, то есть к увеличению вычислительных затрат. Второй подход основан на оценке максимального собственного числа Хтах матрицы Якоби степенным методом через приращения правой части исходной задачи с последующим контролем неравенства h\XmaxD. Во всех рассмотренных ситуациях этот подход не приводит к значительному увеличению вычислительных затрат. Изложим этот способ подробно. Вычитая (1.5) из (1.6), получим где sn=y{tn)-yn. Пусть размерность N исходной задачи равна единице и пусть к функции q)f применима теорема о среднем относительно у. Введем обозначение Q(tm хп, h)=E+hd(pj(tn, хп, h)/dy. Тогда из формулы.(1.17) имеем sn+l=Q(tn,xn,h)sn+Sn+l, хпє[у(іп),уп]. (1.18)
В случае произвольного числа TV, вместо (1.18) можно записать неравенство где - - некоторая норма в 1 . Из (1.19) следует, что величина глобальной ошибки еп+\ в точке tn+\ зависит от величины локальной ошибки на данном шаге и от величины преобразованной предыдущей ошибки. Для того, чтобы схема (1.5) была устойчивой, достаточно чтобы оператор Q(tnyxn,h) не усиливал предыдущую ошибку. Это требование будет выполнено, если при каждом п контролировать неравенство где А - постоянная, 0 Д 1. Непосредственное использование (1.20) для контроля устойчивости численной схемы связано с вычислением оператора Q(tnrxn,h), что может приводить к значительным вычислительным затратам. Будем поступать следующим образом. Пусть снова для решения задачи (1.1) имеется два метода вида (1.5) (p–l)-го и р-го порядков точности и пусть их локальные ошибки согласованы следующим образом где элементарные дифференциалы вычислены в точке (tmy(tn)). Заметим, что условие (1.21) сильнее (1.14), и поэтому для методов вида (1.5) с требованием (1.21) все рассуждения относительно контроля точности вычислений остаются справедливыми,
Величину максимального собственного числа Хсптах при условии (1.21) можно оценить с помощью степенного метода, то есть
(1.23) где постоянная D связана с размером области устойчивости. Однако для получения (1.23) требуется выполнение (1.21), что приводит к дополнительным соотношениям на параметры численной схемы и, возможно, к дополнительным вычислениям правой части исходной задачи. С другой стороны, при получении неравенства для контроля устойчивости параметр р в условиях (1.21) определяет только число итераций в степенном методе. Поэтому требования типа (1.21) можно рассматривать при некотором /, 1р.
При получении (1.16) может не использоваться информация в точке tn+\. При решении жестких задач явными методами в случае быстрого изменения решения это может быть причиной неудовлетворительной точности. Поэтому при получении оценки типа (1.16) следует привлекать f[t„+\,yn+\). В случае успешного шага интегрирования это не будет приводить к существенному увеличению вычислительных затрат, потому что f{tn+\,yn+\) используется при выполнении следующего шага. Ниже будем предполагать, что имеются две оценки e nj, и e"nj глобальной ошибки, причем при вычислении e"nj используется f[t„+\,yn+\) По вычислительным затратам оценка srnj} дешевле чем e"nf , но для некоторых методов они могут совпадать. Для контроля точности вычислений будем проверять неравенства где - - некоторая норма в if, є - требуемая точность расчетов. Первое неравенство (1.24) можно использовать для контроля точности вычислений, а при выборе величины шага дополнительно проверять второе неравенство. Более жесткий контроль при выборе шага, чем при контроле точности позволит избежать некоторых повторных вычислений решения (возвратов) вследствие невыполнения точности. В некоторых случаях с целью повышения надежности для контроля точности имеет смысл использовать оба неравенства (1.24).
Обозначим через vn оценку величины h\Anmax\, где Аптяк есть максимальное собственное число матрицы Якоби. Тогда для контроля устойчивости имеем неравенство v„D, где D связано с размером области устойчивости метода. Пусть приближение к решению уп в точке tn вычислено с шагом hn. Учитывая условия определим числа q, s и г из соотношений
Тогда шаг по точности hac задается формулой hac =min{q,s}hn, а шаг по устойчивости hst по формуле hst = rhn. Так как оценка vn максимального собственного числа матрицы Якоби является грубой, в практических алгоритмах контроль устойчивости используется как ограничитель на рост шага. В результате для выбора прогнозируемого шага интегрирования hn+l применяется соотношение Эта формула позволяет несколько сгладить эффект от грубости оценки максимального собственного числа.
Класс (m,k)-методов решения жестких задач
Прежде чем описывать класс (т,к) -методов, рассмотрим одностадийный метод типа Розенброка Разлагая kx в ряд Тейлора, и подставляя в первую формулу (3.9), имеем уп+х = уп + plhfn+aplh2flfn+0{}r ). Сравнивая полученное представление с рядом Тейлора для точного решения y(tn+1) в окрестности точки tn, получим, что схема (3.9) будет иметь второй порядок точности, если выполнены соотношения рх = 1 и арх = 0.5. Применяя (3.9) для решения задачи условий порядка следует, что одностадийный метод типа Розенброка второго порядка точности является -устойчивым. Требование L-устойчивости приводит к соотношению рх=а, которое противоречит второму порядку точности. Обычно от второго порядка отказываются в пользу L -устойчивости, потому что L-устойчивый метод первого порядка эффективнее и надежнее А-устойчивой схемы второго порядка. В связи с этим возникает естественный вопрос - нельзя ли без значительного увеличения вычислительных затрат подправить схему (3.9) таким образом, чтобы она сохранила второй порядок точности и обладала бы свойством L -устойчивости? Рассмотрим численную формулу следующего вида Раскладывая стадии kx и k2 в ряды Тейлора и подставляя в первую формулу (3.11), получим уп+1 =уп+ (Pl + p2)hfn + a(Pl + 2p2)h2 fjn + 0(h3). Нетрудно видеть, что схема (3.11) будет иметь второй порядок, если р1 + р2=\ и а(р1 + 2р2) = 0.5, где параметр а удовлетворяет условию L-устойчивости р1=а, которое с учетом условий порядка имеет вид а2 -2а + 0.5 = 0. В результате имеем коэффициенты р1 = а и р2 =1-а, при которых схема (3.11) имеет второй порядок точности и является L -устойчивой. В случае большой размерности исходной задачи (3.1) основные вычислительные затраты приходятся на декомпозицию матрицы D„ (порядка N3 арифметических операций). На фоне декомпозиции обратный ход в методе Гаусса (порядка N2 арифметических операций) и время вычисления функции / оказываются незначительными. Метод (3.11) по вычислительным затратам отличается от (3.9) на один дополнительный обратный ход метода Гаусса (порядка N2 арифметических операций). В тоже время, схема (3.11) обладает L-устойчивостью и имеет второй порядок, в отличие численной формулы (3.9) первого порядка точности. По этой причине она эффективнее (3.9).
Введение в численную схему стадий типа Dnk2 = к1 привели к рассмотрению (ш,к) -методов, которые определяются следующим образом. Пусть Z есть множество целых чисел, и заданы m,k Z, k m. Обозначим через Мт множество чисел /eZ, 1 i m, а через Мк и J., 1 i m, подмножества из Мт вида (3.12) Рассмотрим следующие численные схемы где kt, 1 i m, - стадии метода; a, p, Д , ctr и е.. - коэффициенты, h - шаг интегрирования, Е - единичная матрица, f „ = df(yn) / ду - матрица Якоби системы (3.1), к - количество вычислений функции / на шаге, т - число стадий или количество обратных ходов в методе Гаусса. На каждом шаге интегрирования осуществляются одно вычисление матрицы Якоби и одна декомпозиция матрицы Dn. Допускается аппроксимация матрицы Якоби f n матрицей Ап вида (3.4). Так как кит полностью определяют затраты на шаг, а набор чисел т1,---,тк из множества Мк только распределяет их внутри шага, то методы типа (3.13) названы (т,к)-методами. При к = т и av.=cv.=0 методы (3.13) совпадают со схемами типа Розенброка, а при к = т и atJ=0 - с ROW методами. 3.3. Численное решение жестких задач с небольшой точностью Построены явная двухстадийная схема типа Рунге-Кутты и L-устойчивый (2,1)-метод второго порядка точности. На основе стадий явного метода построена численная формула первого порядка с расширенным до 8 интервалом устойчивости. Разработан алгоритм интегрирования переменной структуры, в котором выбор эффективной численной схемы осуществляется на каждом шаге с применением неравенства для контроля устойчивости.
Во многих случаях расчеты требуется проводить с небольшой точностью - порядка 1% и ниже. Это связано с тем, что измерение констант, входящих в правую часть системы дифференциальных уравнений, часто проводится достаточно грубо. Иногда такая точность расчетов является удовлетворительной с точки зрения поставленной цели. Известно [1], что порядок аппроксимации численной схемы следует сочетать с требуемой точностью расчетов. Поэтому ниже ограничимся рассмотрением численных формул не выше второго порядка точности.
Максимальный порядок точности (m,2)–методов
Для численного решения задачи рассмотрим (т,2) -схемы следующего вида
- произвольные целые постоянные. Нетрудно видеть, что (3.51) описывают всевозможные варианты (т,2) -методов.
Теорема 3.4. При любом выборе множеств Мк и Jt, 1 i m, и при любом т нельзя построить (т,2)-метод выше четвертого порядка.
Без потери общности для простоты доказательство проведем для скалярной задачи (3.50), точное решение y(tn+1) которой имеет вид 120 где элементарные дифференциалы вычислены на точном решении y(t„). Учитывая представление D 1 в виде ряда Тейлора имеем, что второе вычисление функции f(y) будет осуществляться в точке «1-1 4 7=1 =1 где числа с, 1 z 4, определяются через коэффициенты схемы (3.51), а элементарные дифференциалы вычислены на приближенном решении уп. Учитывая ряд для точного решения y(tn+1), для доказательства теоремы достаточно показать, что в представлении функции f(yn с) в виде ряда Тейлора по степеням h не содержится слагаемое h5f"2f3. Разлагая f(yn с) в ряд Тейлора в окрестности точки уп до членов с И5 включительно, имеем что завершает доказательство. При двух вычислениях функции f(y) задачи (3.50) можно построить L устойчивый (4,2)-метод четвертого порядка точности, в то время как соответствующий L -устойчивый метод типа Розенброка может быть только второго порядка точности. В случае достаточно высокой точности расчетов и большой размерности задачи (3.50), когда декомпозиция матрицы Якоби фактически определяет общие вычислительные затраты, а обратный ход в методе Гаусса не оказывает существенного влияния, (4,2)-метод будет эффективнее. (4,2)-схема по свойствам точности не уступает неявному методу типа
Рунге-Кутты с двумя вычислениями правой части задачи (3.50), а при линейном анализе устойчивости она также не хуже. В тоже время, при записи (3.51) сразу заложен способ ее реализации, то есть до начала расчетов можно оценить вычислительные затраты на шаг интегрирования. Что касается неявных методов типа Рунге-Кутты, то для них вычислительные затраты в сильной степени зависят от способа реализации. Использование двухстадийной схемы вовсе не означает, что на каждом шаге будет два раза вычисляться правая часть задачи (3.50). Поэтому на некоторых задачах (т,к)-методы будут выгоднее неявных схем типа Рунге-Кутты.
Пусть т = 4. Подставим разложения к, 1 z 4, в виде рядов Тейлора в первую формулу (3.52). Полагая y„ = y(t„) и сравнивая полученное представление с рядом Тейлора для точного решения до членов с И4 включительно, получим условия четвертого порядка точности схемы (3.52) Исследуем совместность (3.55). Из четвертого и седьмого уравнений имеем /?31 + /?32 = 3 /4 и c3 + c5 = 16 / 27 . Из пятого и шестого равенств (3.55) получим /?32 и c3, соответственно. Из полученных соотношений выразим /331 и c5. Учитывая первое уравнение (3.55), подставим полученные выражения для /?31, /?32, c3 и c5 во второе, третье и восьмое равенства (3.55). Получим линейную систему алгебраических уравнений относительно c2, c4 и c6 вида ac2 + 2ac4 + 3 ac6 = -(22a + 5) / 54, 2a2c2 + 7 a2c 4 +16a2c6 = (64a2 + 29a - 30) / 54,
. Разрешив данную систему, из первого уравнения (3.55) получим c1. В конечном результате будем иметь Применяя (3.54) для решения задачи y = Лy, y(0) = y0, t 0, получим условие L -устойчивости a(c 1 +c3)-a2- c3(531 = 0. Функция устойчивости не приводится в силу ее громоздкости. Подставляя сюда значения коэффициентов (3.56), можно записать Подставляя теперь (3.56) в (3.55), получим коэффициенты схемы (3.52), то есть при которых она имеет четвертый порядок точности. Коэффициент a определяется из условия L -устойчивости (3.57). Данное уравнение имеет корни
Проникновение помеченных радиоактивной меткой антител в пораженную опухолью ткань живого организма
Задача описывается системой двух дифференциальных уравнений в частных производных с начальными и граничными условиями. Лаборатория Akzo Nobel Central Research сформулировала задачу проникновения помеченных радиоактивной меткой антител в пораженную опухолью ткань живого организма. Рассматривается система одномерных уравнений реакции-диффузии [97] которые возникают из химической реакции А+ВС с константой скорости реакции к, где А - антитело с радиоактивной меткой, реагирующее с субстратом В - тканью, пораженной опухолью. Концентрации А и В обозначены через и и v соответственно. При выводе уравнений (4.8) предполагалось, что кинетика реакции описывается законом действующих масс, причем реагент А подвижен, тогда как реагент В неподвижен. Изучается полубесконечная пластина, внутри которой субстрат В равномерно
107 распределен. Реагент А, попадая на поверхность пластины, начинает проникать в нее. Для моделирования проникновения уравнения (4.8) рассматриваются в полосе ST={(x,t)\ 0 х оо, 0 t T] с начальными и(х, 0)=0, v(x, 0)=v0, х 0 и граничными и(0, f)= P(f), 0 t T условиями, где v0 константа. Для численного решения переменная х преобразуется так, чтобы полубесконечная пластина преобразовалась в конечную. Такое преобразование обеспечивает специальное семейство преобразований Мебиуса С=х/(х+с), с 0. Каждое преобразование из этого семейства преобразует ST в прямоугольник {(С, t)\ 0 1, 0 t T}. С использованием С задача (4.8) переписывается в виде с начальными и(С,0)=0, v(0)=v0, С 0 и граничными и(0,і)=Ф(і), du(\,t)/dC=0, 0 t T условиями. Последнее граничное условие получено из соотношения du( x j)/dx=0. Дискретизация производных по пространственным переменным с использованием метода прямых приводит к задаче Коїли для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для дискретизации применяется равномерная сетка {Q}, Cj=j-A& A=VN, 1 j N. Через Uj и у,- обозначены аппроксимации u(Q,t) и v(Q,f), соответственно. Очевидно, что и, и v,- являются функциями от t. Дискретизации производных первого и второго порядков по пространственной переменной соответственно имеют вид
Значения щ и uN+\ получены из граничных условий, они имеют вид щ=Ф(ї) и где N - задаваемый пользователем параметр. Функция f определяется формулами . Функция cp(t)=2 при 0 ґ 5 и (p(t)=0 при 5 ґ 20, то есть ер имеет разрыв первого рода в точке t=5. Значения параметров к, v0 и с имеют вид =100, v0=l и с=4. Здесь расчеты проводились с численной матрицей Якоби при 7V=200, то есть система (4.9) состоит из 400 уравнений. Задача о нахождении разрыва функции cp(t) при t=5 возлагалась на алгоритм управления шагом. Интегрирование задачи (4.9) проводилось на промежутке [0, 20] с начальным шагом 10"5. Коэффициент жесткости примерно 106. Вычислительные затраты представлены в табл. 4.3, а решение задачи проникновения помеченных радиоактивной меткой антител в пораженную опухолью ткань живого организма приведено на рис. 4.3.
Задача возникла из анализа электрических схем [97]. Получая на входе низкочастотный сигнал Uin1 и высокочастотный сигнал Uin2, кольцевой модулятор генерирует на выходе смешанный сигнал U2 (рис. 4.4).
Кольцевой модулятор Каждый конденсатор, входящий в радиоэлектронную схему, приводит к появлению дифференциального уравнения CU = I. Применение первого правила Кирхгофа для электрической цепи приводит к следующим дифференциальным уравнениям
