Введение к работе
Актуальность темы. Многие материалы в определенных условиях текут, проявляя свойства нелияейпо - вязкой (неньютоновской) жидкости. Различные технологические процессы в химической, нефтяной и пищевой промышленности, а также ряд процессов в природе связаны с течением таких материалов. Лаже медленные течения нелинейно - вязких жидкостей описываются системами существенно нелинейных уравнений с частными производными. Применение ЭВМ для решения задач о течении нелинейно - вязких жидкостей требует тщательного обоснования используемых алгоритмов, получения оценок точности приближения. Такое обоснование, в свою очередь, связано с вопросами существования и единственности решения рассматриваемой задачи.
Особые трудности при исследовании подобных задач могут возникать в случае, когда рассматриваемые нелинейные уравнения имеют неограниченные ко»ффициенты. Это приводит к тому, что даже на гладких функциях классические способы аппроксимации дифференциальной задачи не приводят к успеху, а стандартные итерационные методы решения получаемых систем или совсем теряют свою сходимость, или сходятся крайне медяеяно и только при весьма аккуратном выборе итерационных параметров.
Настоятельная потребность в решении подобных задач привела к необходимости тщательного исследования вопросов, связанных со всеми сторонами проблемы: с существованием н единственностью решения получаемых дифференциальных и разностных задач, со сходимостью решеппя разностных задач к решениям дифференциальных, с исследованием итерационных методов решения разностных задач.
Цель работы состоит, в наиболее полном, по .возможности,
анализе задачи движения обобщенной ньютоновской жидкости: начиная от теорем существования и единственности решения задачи в обобщенной формулировке, кончая численными методами ее решения. Основной акцент делается на случае неограниченных, при скорости движения жидкости, стремящейся к нулю, коэффициентов вллнлтической части рассматриваемого оператора.
Научная новизна работы. В диссертации рассматривается задача о течении обобщенной ньютоновской жидкости для случая, когда коэффициенты нелинейного уравнения Стокса становятся неограниченными в окрестности нуля. Подобная нелинейность приводит, прежде всего, к резкому ухудшению аппроксимации задачи с помощью каких либо конечномерных методов и к замедлению сходимости итерационных методов решения аппроксимирующих задач или к вовсе потере сходимости. При »том, следует отметить, что явныеоценкн скорости сходимости итерационных методов даже для случая более легких задач, подобных рассматриваемой, нигде не приводятся.
В диссертации доказываются теоремы существования и единственности для обобщенной формулировки рассматриваемой задачи. Эти теоремы определяют технику работы с указанной задачей.
В работе исследована разностная схема, полученная при аппроксимации получаемой разностной задачи. Следует отметить, что для случая уравнений с постоянными коаффициентами существуют разностные схемы, имеющие второй порядок аппроксимации. В случае описываемой задачи построение подобных схем приводит к устранению свойства монотонности нелинейного разностного оператора, а в втом случае полученная разностная задача, вообще говоря, не имеет решения. Вместо втих стандартных схем в работе приводится разностная схема, сохраняющая основные свойства ли<Ь<Ьеоенпиальной задачи. Исследо-
вав порядок ее аппроксимация я доказана скорость сходимости решения полученной разностной задачи к решению дифференциальной.
Лалее в диссертации описаны итерационные методы решения поставленной задачи. Доказана сходимость описанных итерационных процессов, произведен их сравнительный анализ. Для случая наиболее употребительных коэффициентов выписана явная оценка скорости сходимости метода. Следует отметить, что даже в случае задач, фильтрации оценки скорости сходимости отсутствуют.
В работе приведены результаты численного експерименте. В качестве тестовой задачи была взята задача о течении жидкости в каверве. Она была просчитана для различных параметров, задающих нелинейность в задаче. Полученные результаты хорошо согласуются с оценками, полученными в доказанных теоремах.
Практическая значимость. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при расчете движения многих видов жидкости: нефти, расплавов полимеров, многих продуктов пищевой промышленности.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
- Международном Росснйско - Французском семинаре (1994г.)
-научно-исследовательском семинаре мех.-мат. ф-та МГУ под руководством академика РАН Бахвалова Н.С.;
-научно-исследовательском семинаре НИВЦ МГУ под руководством проф. Жилейкина Я.М.;
- научно-исследовательском семинаре под руководством д.ф.-
м.н. Пальцева В.В. в Вычислительном центре РАН;
-e-
- научно-исследовательском семинаре кафедры прикладной математики Московского Энергетического Института;
Публикации. По материалам диссертации сделана одна публикация.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 35 визваний. Текст дисертации занимает 77 стр.
