Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи и математическое описание геометрии трехмерных ЭОС 17
1.1. Постановка задачи и вывод основных соотношений 17
1.2. Параметрическое задание геометрии пространственных ЭОС произвольной конфигурации 25
1.3. Учет симметрии пространственных ЭОС 31
Глава 2. Расчет пространственных ЭОС методом выделения особенностей 36
2.1. Алгоритм выделения особенностей в ядре и плотности двумерного интегрального уравнения 36
2.2. Численная реализация 43
2.3. Устойчивость решения интегрального уравнения и выбор точек коллокации в методе выделения особенностей 48
Глава 3. Решение двумерных интегральных уравнений с использование изопараметрических преобразований 55
3.1. Аппроксимация при помощи билинейных, би квадратных и бикубических граничных элементов 56
3.2. Выделение особенностей в плотности и ядре интегрального уравнения 71
3.3. Численная реализация 74
Глава 4. Вопросы программной реализации метода интегральных уравнений 79
4.1. Оптимизация вычислений при построении матрицы коэффициентов системы (2.1.12) 80
4.2. Описание комплекса программ расчета поля пространственных ЭОС методом выделения особенностей 85
4.3. Описание комплекса программ расчета поля пространственных ЭОС методом изопараметрических преобразований 92
Глава 5. Расчет практически важных пространственных ЭОС сложной формы 98
Заключение 110
Литература 112
Приложение 128
- Параметрическое задание геометрии пространственных ЭОС произвольной конфигурации
- Устойчивость решения интегрального уравнения и выбор точек коллокации в методе выделения особенностей
- Выделение особенностей в плотности и ядре интегрального уравнения
- Описание комплекса программ расчета поля пространственных ЭОС методом выделения особенностей
Введение к работе
Современное развитие многих отраслей естественных наук тесно связано с использованием электронно-вычислительных машин (ЭВМ), которые дают в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. В его основе лежит решение уравнений математической модели численными методами.
Одним из весьма распространенных применений численных методов являются расчеты электронно-оптических систем (ЭОС) - основных узлов электронно-лучевых приборов (ЭЛП). Повышение точности расчетов ЭОС способствует улучшению технических характеристик приборов. Это требует разработки эффективных алгоритмов для практических расчетов ЭЛП. Такие алгоритмы дают возможность заменить длительный и дорогостоящий технологический эксперимент расчетом на ЭВМ с выбором наилучшего решения разнообразных и сложных по геометрии ЭОС. Весьма актуальной задачей в настоящее время является автоматизация расчетов ЭОС на ЭВМ.
В основе расчета ЭОС лежит задача нахождения потенциала электростатического поля, которое создается системой электродов. С математической точки зрения она сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа в пространстве с разомкнутыми поверхностями сложной конфигурации [Зі]. Решению указанной проблемы посвящена обширная литература [24,27,33,39,41,66,76,81, 96].
В случае канонических областей, для которых применим метод разделения переменных, данная задача имеет аналитическое решение.
что детально исследовано в монографиях В.Глазера [27] и Г.А.Гринберга [33]. Если же отдельные элементы ЭОС являются достаточно малыми по сравнению с характерными размерами всей системы и имеют сложную форму, то в монографиях А.Г.Власова и Ю.А.Шапиро [24], Г.Ф.Полякова [бб], Л.Э.Цырлина [8і] предложены специальные алгоритмы, которые носят локальный характер, отражаясь на решении в целом.
Для случая замкнутых областей поставленная задача достаточно полно и эффективно решалась многими авторами. Среди них в первую очередь следует назвать монографию В.П.Ильина [39], в которой рассматривается решение задач электрооптики методом конечных разностей. В.Л.Рвачевым [бв] решается широкий класс граничных задач методом -функций. Некоторые пространственные задачи теории потенциала рассматриваются М.А.Алексидзе [і] методом разложения решения в ряд по полной системе ортогональных функций.
Применение перечисленных методов значительно затрудняется в случае задач со сложной формой границы и неограниченным характером области. Наиболее эффективным для таких задач оказался метод интегральных уравнений, преимущества которого описаны в работах [28,7б]. Особое место при расчете пространственных ЭОС занимают двумерные интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода со слабой особенностью в ядре.
Решению указанных уравнений посвящены работы А.В.Гончарского, А.Г.Яголы, А.С.Леонова, В.Я.Иванова, В.П.Ильина, В.Д.Пер-минова, С.П.Сулейманова, Г.Фикеры, Б.Г.Фрейнкмана, Ю.П.Ярцева [29,36-38,64,75,78,79,86] и др. В работе [78] решается внешняя задача электростатики на одиночном кубе и исследуется характер поведения неизвестной плотности на краю и границах излома области. Выделению особенности в ядре интегрального уравнения посвяще-
- о -
на работа [79J. И.М.Полищук [65] рассматривает решения задач Дирихле и Неймана для незамкнутой поверхности путем замыкания области. Численные решения внешней задачи Дирихле с использованием интегральных уравнений приведены в работах И.И.Кочетова [43J и И.Е.Цукерникова [80J. Вопросам обоснования перехода от решения дифференциального уравнения к решению задачи в интегральной постановке в случае разомкнутых поверхностей посвящены работы [92-94]. Применению аппарата интегральных уравнений для решения внешних и внутренних граничных задач посвящены работы зарубежных авторов [49,69,87-91,95,97].
Ряд авторов, занимающихся решением плоской, осесимметричной и пространственной задач Дирихле в случае разомкнутых поверхностей сложной конфигурации, формулировали ее в виде интегральных уравнений. Сюда следует отнести работы О.Ф.Антоненко [2], В.И.Гордийчука [Зі], Р.А.Лачашвили [48], И.В.Людке вича [54,5б], Б.А.Остудина [бЗ], А.Н.Чухлебова [83]. В этих работах приближенное решение интегральных уравнений осуществляется как с учетом особенностей в соответствующих ядрах, так и без учета. Отметим, что результаты этих работ успешно используются при ра'счетах плоских, осесимметричных и пространственных электростатических полей.
Среди немногочисленных публикаций, посвященных решению задачи Дирихле в пространстве со щелями, выделим работы[31,63, 83]. В работе В.И.Гордийчука получил дальнейшее развитие метод нелинейных параметров, предложенный И.А.Прусовым и И.В.Людкеви-чем [б7], решения одно- и двумерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Последние получены обычным методом сведения краевых задач к интегральным уравнениям с помощью представления решения в виде потенциала простого слоя. Сущность мето-
_ 7 -
да нелинейных параметров состоит в том, что представляя решение в виде линейной комбинации непрерывных дробно-рациональных функций с так называемыми нелинейными параметрами, исходное интегральное уравнение методом коллокации сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Особенность ядра при этом устраняется за счет выбора точек удовлетворения граничным условиям на некоторой поверхности, близкой к поверхности интегрирования. Хорошая обусловленность матрицы системы линейных алгебраических уравнений достигается путем специального подбора нелинейных параметров и точек коллокации [52,бо]. Регуляризирующее влияние на матрицу имеет также количество неизвестных и расстояние между поверхностями интегрирования и удовлетворения граничным условиям.
Б.А.Остудин [бЗ], принимая во внимание свойства ядер, а также делая некоторые априорные предположения о характере поведения искомого решения, исходное уравнение первого рода преобразует к уравнению второго рода, т.е. корректной задаче, используя метод саморегуляризации. Параметром регуляризации при этом является величина окрестности, в которой выделяется особенность ядра.
В работе А.Н.Чухлебова [83*] решение представляется в виде суммы дробно-рациональных функций с наперед заданными особенностями на границе области и линиях ее излома, а особенность в ядре интегрального уравнения выделяется аналитически.
Естественно, что простота метода нелинейных параметров при расчетах относительно простых ЭОС обеспечивает ему достаточно широкое применение. С другой стороны более сложные методы выделения особенностей и саморегуляризации обеспечивают высокую точность расчетов, а также позволяют расчитывать элементы ЭОС более
- 8 -сложной формы.
В последнее время широкое применение находят ЭОС, состоящие из диафрагм произвольной конфигурации, а также содержащие неосе-симметрические линзы - квадрупольные и цилиндрические. Значительный интерес к указанным элементам ЭОС вызван как простотой их изготовления, так и ценными практическими свойствами, которыми они обладают. В то же время расчет таких ЭОС представляет собой значительные трудности, связанные как с отсутствием эффективных методов расчета в случае широкого класса поверхностей, так и с реализацией этих алгоритмов на ЭВМ.
В работах Б.Э.Бонштедта, А.П.Власова, Ю.А.Кузьмина, Н.Н.Лебедева, Л.Э.Цырлина [20,23,34,46,50,82^ и др. предложены алгоритмы расчета осесимметричных диафрагм с бесконечным внешним радиусом. Решению задачи в осесимметричном случае с конечными размерами посвящена работа Л.Я.Косачевского [42], в которой рассчитана осесимметрическая система состоящая из диска и диафрагмы, а также работа Б.М.Орлова [62]. Более сложной задачей является расчет электростатического поля в случае конечных пространственных диафрагм. Здесь имеется небольшое количество работ, причем отсутствует универсальная методика расчета. В работах В.П.Афанасьева и С.Я.Явор [3-7, 85] предложен алгоритм расчета поля в системах, состоящих из нескольких плоских диафрагм с прямоугольными отверстиями. В основе метода лежит разложение потенциала в ряд по полной ортонормированной системе функций. Неудобством метода при реализации на ЭВМ является необходимость вычисления различных специальных функций, если поверхности, составляющие ЭОС, достаточно разнообразны.
Мало исследованную проблему также представляет собой расчет ЭОС, состоящих из конечных произвольно расположенных в простран-
- 9 -стве полых эллиптических цилиндров. В частном случае эта задача решалась для систем с незначительно нарушенной осевой симметрией в работах А.Г.Власова, Л.Я.Кузнецовой, И.П.Шахматовой [25,45], где вводится эллиптико-цилиндрическая система координат и задача решается методом разделения переменных. Л.Е.Романив [70] решение задачи сводит к последовательности осесимметричных задач применением метода возмущений [74J. Гордийчук В.И., Людкевич И.В., Маринюк Л.О. [32] провели расчет одиночной круговой линзы с нарушенной осевой симметрией методом интегральных уравнений в пространственной постановке.
Поскольку конечной целью нашей работы является реализация расчета ЭОС в виде комплексов прикладных программ, принципы построения которых являются предметом самостоятельных исследований, в заключение обзора литературы отметим по этому вопросу работы [18,19,30,39,40,57,58,68,73] и др. В работах [18,19] описаны автоматизированные системы комплексного машинного проектирования изделий СВЧ электронной техники. Внедрение в практику таких систем при расчетах конкретных ЭОС позволяет заменить дорогостоящий и продолжительный процесс изготовления опытных образцов вычислительным экспериментом [72]. В.П.Ильин [39J рассматривает вопросы машинной реализации алгоритмов и системы автоматизации расчетов электрооптических приборов с помощью системы КСИ-БЭСМ. В монографии [57], основываясь на общих принципах построения автоматизированных систем прикладных программ (АСПП), созданы конкретные АСПП для решения задач теории фильтрации. В работах [58,68] описан комплекс генератора программ серии "Поле", которые реализуют метод R-функций для расчета полей различной физической природы.
Данная диссертационная работа посвящена разработке эффективного метода приближенного решения внешней задачи Дирихле для
уравнения Лапласа в пространстве с разомкнутыми поверхностями и применению его к расчету электростатических полей ЭОС сложной конфигурации. Разработано два метода решения указанной задачи: выделения особенностей и изопараметрических преобразований. Освещаются вопросы реализации предложенных методов в виде комплекса программ и приводятся многочисленные результаты по решению практически важных задач. Рассмотрены также вопросы затрат машинного времени при работе указанных методов, построены эффективные алгоритмы заполнения матриц систем линейных алгебраических уравнений, коэффициентами которых являются поверхностные интегралы от функций с особенностями. Результаты работы переданы Специальному конструкторскому бюро ПО "Кинескоп" (г. Львов), где они внедряются в инженерную практику при проектировании новых пространственных ЭОС сложной конфигурации. Комплексы соответствующих программ по расчету ЭОС вошли в состав математического обеспечения системы автоматизации проектирования электронно-лучевых приборов (САПР ЭЛП).
Данная работа состоит из настоящего введения, пяти глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы.
В первой главе рассматривается постановка задачи, выводятся основные соотношения, используемые в работе, а также рассматривается задание геометрии поверхностей сложной формы в пространстве.
В первом параграфе путем представления поля потенциалом простого слоя с неизвестной плотностью распределения зарядов по поверхности задача Дирихле для уравнения Лапласа в пространстве со щелями сводится к решению двумерного интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Рассмотрен алгоритм решения поставленной задачи в случае поверхностей с малой толщиной. Приводятся форму-
- II -
лы для вычисления потенциала эллектростатического поля, выражения компонент вектора напряженности.
Во втором параграфе показано, как при помощи параметрического представления поверхностей описывается геометрия отдельных узлов и вся ЭОС в целом. Рассмотрено задание пространственных диафрагм со сложными вырезами, конечных эллптических цилиндров с вырезами и без них, отклоняющих пластин, а также частей описанных поверхностей.
В третьем параграфе приведено интегральное уравнение с учетом возможной симметрии или антисимметрии ЭОС.
Во второй главе предложен алгоритм расчета пространственных ЭОС сложной формы методом интегральных уравнений.
В первом параграфе предложен алгоритм выделения особенностей в плотности и ядре интегрального уравнения в случае произвольной граничной поверхности. В случае, если область о задана параметрически уравнениями Ч. - t (и,U) , где 7- [ъу,2] и
проведено аналитическое выделение особенности в ядре интегрального уравнения аналогично методу Канторовича и выделение особенностей в плотности, которая в этом случае примет вид
<5Ы,*)= ^^)/[^-й)"\^u)"V^wjIЗ(^)-Л^
6*(
Приведен также алгоритм учета особенностей в плотности с использованием кубатурных формул с соответствующими весовыми функциями. Следует отметить, что способ задания геометрии ЭОС делает все необходимые преобразования однотипными для разных функциональных элементов системы.
Во втором параграфе приведен расчет модельных задач. Приведенные примеры показывают высокую точность метода выделения особенностей при расчете различных конфигураций.
Третий параграф посвящен исследованию устойчивости решения в зависимости от размещения точек коллокации на граничной поверхности. Проведенные расчеты позволяют сделать вывод, что решение задачи устойчиво, если размещение точек коллокации достаточно полно отображает геометрию области.
В третьей главе предложен алгоритм расчета ЭОС с использованием изопараметрических преобразований.
Наряду с преимуществами, которыми обладает рассмотренный во второй главе метод выделения особенностей, на эффективность его применения существенно влияют два фактора: I) необходимость задания геометрии ЭОС в аналитическом виде, необходимом при проведении интегрирования, что усложняет алгоритм расчета; 2) проведение интегрирования при вычислении потенциала простого слоя по всей поверхности, что значительно влияет на время проведения расчетов.
От перечисленных недостатков удается избавиться, используя аппарат т.н. изопараметрических преобразований [6IJ, т.е. аппроксимируя граничную поверхность и неизвестную плотность при помощи граничных элементов [21]. Теперь для задания граничной поверхности необходимо лишь задать пространственную сетку из четырехугольных элементов и порядок аппроксимации данных. Координаты произ-
вольной точки 7, , принадлежащей четырехугольному элементу &і
определяются узловыми точками элемента и порядком аппроксимации
следующим образом
л л Д. I, л о
— lo —
А
где М - порядок аппроксимации, 7^ - координаты узловых точек, C^V)e 3) D-E-^Hlx Г-f 1*1 Представив теперь неизвестную плотность в виде т
1« * ' * Є .,1
, '- Iй
О $,7)0
где Ш - количество б: ; G: (3 1?) - функция, учитывающая особенности в плотности; /. - неизвестные значения плотности в узлах %. сетки. Интегральное уравнение для определения зна-
ЧЄНИИ ІІ- ПРИМЄТ ВИД
Полученное интегральное уравнение решается методом коллокации,
причем точек наблюдения на о выбираем больше, чем количество
і неизвестных /U: , а полученную систему линейных алгебраических
уравнений решаем методом наименьших квадратов. При этом в элементах сетки, прилегающих к границе области, проводится выделение особенности по алгоритму, изложенному для общего случая во второй главе.
Особенность в ядре или игнорируется, аналогично методу нелинейных параметров, или выделяется аналитически в точке наблюдения, что усложняет алгоритм, но гарантирует высокую точность решения задачи.
Полученное решение являет собой сеточную функцию, аппроксимирующую плотность заряда. Вычисление по ней поля и его градиента в любой точке пространства будет выражаться через определенные ин-
тегралы, что будет оказывать сглаживающее влияние на решение, апостериорная погрешность которого всегда может быть проверена расчетом поля в промежуточных точках.
В первом параграфе главы рассмотрены алгоритмы аппроксимации граничных поверхностей и неизвестных плотностей соответственно билинейными, биквадратичными, бикубическими четырехугольными граничными элементами.
Во втором параграфе приведены алгоритмы выделения особенностей в ядре и плотности при применении граничных элементов.
В третьем параграфе на модельных задачах исследованы возможности предложенной методики.
В четвертой главе рассмотрены вопросы программной реализации разработанных во второй и третьей главах численных алгоритмов.
В первом параграфе предложена методика заполнения матриц систем линейных алгебраических уравнений, элементами которых являются двойные интегралы. Некоторое увеличение памяти для запоминания значений подынтегральных функций в узлах кубатурных формул ведет к значительному сокращению времени расчетов.
Во втором и третьем параграфах приведено описание комплексов программ расчета полей пространственных ЭОС сложной конфигурации с использованием, соответственно, методов выделения особенностей и изопараметрических преобразований.
В пятой главе приведены расчеты практически важных электронно-оптических систем сложной конфигурации.
В приложении приведены тексты комплексов программ и контрольные примеры обращения к ним.
Основные результаты работы докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики и научных конференциях Львовского государственного университета (1978-1984 г.г.), на Республикан-
ской научной конференции "Вычислительная математика в научно-техническом прогрессе" (Киев, 1978), на Республиканской научно-технической конференции "Исследование путей повышения качества электронно-лучевых приборов" (Львов, 1979), на семинаре "Качество, прочность и технологичность ЭЛП" при ЗНЦ АН УССР (Львов, 1980), на Всесоюзных школах молодых ученых "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики" (Дрогобич, 1981), "Численные методы решения задач математической физики" (Львов, 1983), Республиканской научно-технической конференции "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (Киев, 1983), на семинаре кафедры математики физического факультета Московского государственного университета (1983) и опубликованы в работах [8-15], [53-55].
Отметим вклад соавторов работ, опубликованных по теме диссертации. Научный руководитель И.В.Людкевич участвовал в постановке задачи и обсуждении результатов. В.И.Гордийчук участвовал в обсуждении результатов. В.А.Пучка проводил массовые расчеты на ЭВМ ЕС-1022 и БЭСМ-6, И.И.Ширий принимала участие в разработке алгоритмов выделения особенностей в плотности и ядре интегрального уравнения на случай произвольных граничных поверхностей.
На защиту рассматриваемой диссертационной работы выносятся следующие результаты:
I). Алгоритм выделения особенностей в плотности и ядре двумерных интегральных уравнений электронной оптики в случае произвольных граничных поверхностей.
2). Методика расчета пространственных ЭОС сложной конфигурации, основанная на решении двумерного интегрального уравнения первого рода с выделением особенностей.
3).Методика расчета пространственных ЭОС сложной конфигурации с использованием изопараметрических преобразований.
4). Результаты численных расчетов практически важных задач
электронной оптики.
5). Комплексы программ расчета электростатических полей пространственных ЭОС.
Автор выражает сердечную благодарность доценту Людкевичу И.В. за предложенную тему, постоянное внимание и помощь при выполнении работы.
Параметрическое задание геометрии пространственных ЭОС произвольной конфигурации
Как и всякая граничная задача математической физики [68І, задача (I.I.I) - (I.I.4) содержит два разнородных вида информации - аналитический (неизвестные и известные функции, операторы и т.д.) и геометрический (область S ее граница), что является серьезным препятствием при создании методов и алгоритмов решения этих задач. Дело в том, что всякий метод неизбежно должен учитывать оба эти вида информации, а это требует преобразования геометрической информации к аналитическому виду.
Наиболее известными приемами учета геометрической информации являются подходящий выбор систем координат, построение отображающих функций, построение координатных функций, учет геометрии в интегральном смысле. При решении задач электростатики методом интегральных уравнений, когда, с одной стороны, необходимо описывать пространственные ЭОС, элементами которых являются неканонические поверхности сложной формы, а с другой стороны все необходимые преобразования (интегрирование, выделение особенностей и т.д.) на каждой поверхности однотипны, наиболее эффективным является параметрическое задание поверхностей в локальных системах координат. Этот способ задания поверхностей упрощает и алгоритм решения задачи и его программную реализацию. m Рассмотрим совокупность поверхностей S = U S- , располо- женную в декартовой системе координат XV2 . Предположим, что каждая из поверхностей S-b (.4 i&tn) задана с помощью параметрических уравнений Произвольное расположение заряженных поверхностей 5 и в пространстве обеспечивается необходимым переносом и поворотом локальной системы координат относительно декартовой. Если заданную с помощью параметрических уравнений (I.2.1) поверхность $ необходимо повернуть в плоскости XOJ/ на угол oi-u относительно оси X , в плоскости Х02 на угол J u относительно оси 2 , а в плоскости УОЇ на угол относительно оси 2 , причем все повороты производятся против часовой стрелки, а начало координат локальной системы находится в точке 3« , и. , 2L , то связь между декартовой и локальной системами координат запишется в виде Единицы масштаба для измерений в декартовой и локальной системах при этом приняты одинаковые. Элемент площади при переходе от поверхностного интеграла по Si к двойному по Д при задании (I.2.1) вычисляется по формуле причем представление поверхности (І.2.І) необходимо выбирать таким образом, чтобы Н(іІ,і7)ЄС(Л;)и FL(lZ,lT) 0 , если (U,V)eA-L . В случае, если один из параметров зафиксировать, уравнения (I.2.I) опишут пространственную кривую, заданную параметрически. Если поверхность i при этом разомкнута, то, зафиксировав для каждого из параметров поочередно границы его изменения в области Д , получим уравнения кривых, составляющих край поверхности St
Элемент длины кривой, описанной уравнениями (I.2.I) при, например, t7» сопзЬ , вычисляется по формуле к двойному в случае, если поверхность Si задана параметрическими уравнениями (I.2.1). В этом случае Приведем параметрическое задание некоторых пространственных конфигураций, используемых в электронной оптике. Плоские диафрагмы с произвольными вырезами будем задавать при помощи уравнений причем произвольная форма выреза будет задаваться соответствующим выбором функции (М) . Рассмотрим класс круговых диафрагм, вырезы которых образуют части прямых линий и кривых второго порядка (см.рис.2). Функция ЧР(и) в этом случае примет вид: Задавая в (1.2.6) соответствующим образом область изменения параметра V получим описание плоских диафрагм с произвольными внешними и внутренними краями, а также частей диафрагм, если ме нять область изменения параметра % . Если в (1.2.6) задать Z(u,V) iflt-Vt) то Rtf,ir) = PtT/ V8 -lT , а приведенные на рис.2 конфигурации будут представлять собой проекции сферических диафрагм на плоскость ХОУ (см.рис.3). Очевидно, что изменение в (1.2.6) функции 2(іг,іХ) и области Д позволяет задавать довольно широкий класс поверхностей как с вырезами так и без них. Задание полого эллиптического цилиндра длиной Т с полуосями 0.У О , & 0 осуществим следующим образом Изменяя вид области Д , несложно задать часть боковой поверхности эллиптического цилиндра, цилиндр с вырезом сложной формы и т.д. (см.рис.4). Таким образом, используя параметрические представления (1.2.6), (1.2.7) и задавая необходимый вид области Д можно с единой точки зрения эффективно задавать широкий класс пространственных поверхностей, используемых в электронной оптике.
Устойчивость решения интегрального уравнения и выбор точек коллокации в методе выделения особенностей
Проведем следующее численное исследование. При расчете поля, созданного круговым диском (.2.2, пример I) зафиксируем количество точек коллокации - Н , а их расстановку на поверхности будем осуществлять следующим образом. Область Д изменения параметров разобьем прямыми причем К X Ко - Jsl . Точки пересечения прямых ( &) образуют множество точек коллокации. Число N бралось равным У/ = 24,36,48,60,72,96,128. Из приведенных на рис. 8 графиков абсолютной погрешности отклонения численного решения 1А-ы от аналитического 11 можно сделать следующие выводы. Решение устойчиво по отношению к размещению точек коллокации и точность его при каждом // тем выше, чем лучше множество точек коллокации отображает геометрию поверхности. При увеличении М , как видно из графиков, точность решения улучшается. На рис.9 приведено поведение решения li k при различных значениях нелинейных параметров і . Приведенный график свидетельствует о том, что к. для всякой ЭОС легко найти нелинейный параглетр " к обеспечивающий требуемую точность, а потом при необходимости, решение можно уточнить увеличением JV . На рис.10 нелинейным параметром уточнено решение для Ц . Представляет также интерес решение Представление решения интегрального уравнения (I.I.5) в виде суммы непрерывных дробно-рациональных функций с неизвестными коэффициентами, используемое в методе выделения особенностей, имеет один существенный недостаток, связанный с видом функций 6\ (2.1.II). Так как каждая из функций в ( К4 JV) определена на всей области интегрирования, то каждый коэффициент матрицы СЛАУ, к которой сводится решение ИУ применением метода кол-локации, является интегралом по всей поверхности и выделение особенностей в плотности и в ядре также необходимо производить во всех элементах матрицы.
При вычислении же значений потенциала и его производных в произвольной точке пространства необходимо вычислять сумму, каждое слагаемое которой является интегралом по всей поверхности с особенностью плотности в подынтегральной функции. Естественным, в связи с вышесказанным, является такой выбор функций 6 , при котором они: I) являют собой полную систему линейно независимых функций в области интегрирования; 2) каждая из 6" при этом является финитной, т.е. определена лишь на части области интегрирования, вне которой она равна нулю. Рассмотрим подход к построению функций ок , основанный на использовании т.н. изопараметрических преобразований [61}. Подход с использованием изопараметрических преобразований состоит в реализации следующих этапов.
Сначала для переменных (11, ) Є S формулируется постановка задачи. В этих же переменных область S разбиваем на элементарные подобласти Єї в форме криволинейных четырехугольников. Теперь с помощью изопараметрических преобразований переходим от переменных "Ц , V к новым переменным J , l , в которых элементарные области станут "стандартными" квадратами, на которых и будут строиться функции 6 ( ) с известными аппроксимирую-щими свойствами. Далее в переменных , проводится весь алгоритм решения ИУ, при необходимости последним этапом алгоритма может быть обратное преобразование ( » ) - ( % Итак, так называемые "изопараметрические преобразования" состоят в выборе кусочно-полиномиальных функций для преобразования координат 1A-U CJ,1?) , V-1 (3, ) , при этом термин "изопа-раметрический" означает, что для преобразования координат выбираются такие же полиномиальные функции, как и для самих аппроксимирующих функций. Введем следующее ограничение: будем предполагать, что граница области описывается кусочно-полиномиальной функцией той же степени, что и функции, осуществляющие изопараметрические преобразования. Отметим, что на практике именно степень полиномов, описывающих границу, часто определяет степень полиномиальных функций, используемых для преобразований и построения аппроксимирующих функций на подобластях, прилегающих к границе. Рассмотрим алгоритм решения задачи (I.I.I) - (I.I.4), применяя изопараметрические преобразования. Поверхность 5 в зависимости от степени ее гладкости, будем аппроксимировать при помощи совокупности четырехугольных четырехузловых, восьмиузловых и двенадцатиузловых элементов, что соответствует линейному, квадратичному и кубическому изменению формы поверхности (см.рис.II). Декартовы координаты произвольной точки элемента 6 выражаются
Выделение особенностей в плотности и ядре интегрального уравнения
Представляя функции Ф (& ) в виде (3,2.2) мы тем самым относим неизвестную плотность -) к классу функций HJCD) типа Гельдера с наперед заданными особенностями на краю D . Приведем вид соответствующих замен переменных, позволяющих выделить особенность в плотности (аналогично алгоритму, приведенному в 2.1): Можно предложить также следующее видоизменение рассмотренного алгоритма выделения особенности в плотности: во всех элементах 6; (i-j . tn) провести выделение особенности вида а затем в каждом &: (j t,.-v/rc) определить константы об, j5, f, 6 таким образом, чтобы выражение (3.2.4) представляло соответствующую особенность плотности на элементе б; . Подобное качественное приближение к искомой функции дает возможность уменьшить размерность матрицы линейных алгебраических уравнений, сохранив при этом точность [5Ґ]. В случае, если радиус кривизны приближаемой поверхности отличен от нуля, то при биквадратичной и бикубической аппроксимациях поверхности возможно аналитическое выделение особенности в ядре интегрального уравнения. При билинейной аппроксимации алгоритм выделения особенности в ядре не работает в связи с тем, что разложение линейной функции в ряд Тейлора совпадает с самой функцией, что делает невозможным построение (5,) в (2.1.4). Алгоритм аналитического выделения особенности в ядре ИУ детально изложен в 2.1, поэтому не приводя расчетных формул, заметим лишь, что выделение особенности в ядре проводим не на всей поверхности S » а лишь на элементе б- , на котором находится точка коллокации Хк . Разложению в ряд Тейлора в окрестности этой точки в формулах (2.1.4), (2.1.5) подлежат функции (3.I.I). Все остальные выкладки остаются без изменений. Учет всех особенностей при решении интегральных уравнений позволяет максимально приблизить рассматриваемую математическую модель к описываемому явлению. Таким образом, аппарат изопараметрических преобразований, который, с одной стороны, упрощает процесс задания геометрии ЭОС, с другой - значительно уменьшает время расчета, так как интегрирование ведется лишь по части граничной поверхности, представляет собой мощное средство расчета пространственных ЭОС сложной формы.
В качестве тестового примера рассмотрим расчет электростатического поля плоского кругового диска, аналитическое решение для которого ( lift) приведено в параграфе 2.2. В таблицах 6, 7 приведены результаты расчета поля диска радиуса I методом изопа-раметрических преобразований при различном количестве узлов сетки ( It , ft = 3,4,5,7,10), по которой аппроксимировалась по-верхность и неизвестная функция. Для расчетов использовалась линейная аппроксимация. Особенность в ядре учитывалась по методике нелинейных параметров. В таблице 7 приведено значение поля, когда плотность представлялась с особенностью на краю, а в таблице 6 - без учета особенности. Интегрирование на каждом элементе по обоим переменным проводилось по квадратурной формуле Гаусса с 3 узлами. Выделение особенности проводилось аналитически. Количество точек коллокации при jfl = 3,4,5 равно 41, при ft = 7, 10 - 121, а их размещение отображает геометрию поверхности. Система линейных алгебраических уравнений решалась методом наименьших квадратов. Как видно из приведенных результатов, учет особенности в плотности позволяет с большей степенью точности определить поведение решения вблизи поверхности. На рис.16 приведены результаты расчета рассмотренного примера при аппроксимации поверхности и неизвестной плотности при помощи бикубической аппроксимации.
Проведено выделение особенности в ядре. При вычислении интегралов в (3.1.23) по обоим перемен- ным применялись квадратурные формулы Эрмита с весами, соответ- (1 і\ г tj ЛУЧ ственно, (.1- ) » Ч Ь На рис.17 приведена геометрия и распределение потенциала ЭОС, расчет которой проводился при помощи бикубической аппроксимации с аналогичным предыдущему вьщелением особенностей в ядре и плотности, и с учетом симметрии относительно плоскостей Приведенные расчеты позволяют сделать вывод об эффективности предложенной методики, достигаемая точность при ее применении вполне удовлетворяет запросы практики.
Описание комплекса программ расчета поля пространственных ЭОС методом выделения особенностей
Вычислим в точке -}-р два вектора - вектор В = Время, затраченное на вычисление вектора А будет составлять МЧ, , а вектора 6 - // , значение У(іі) при этом, как и раньше, определяется за время 4 . Умножение теперь А% элемента вектора А на В; элемент вектора В и на FC j даст в результате элемент матрицы й Ы в одной узловой точке g ку-батурной формулы (4.1.14). Учитвая тот факт, что время, затраченное на умножение векторов А и В на несколько порядков меньше времени, затраченного на их вычисление, молшо сделать вывод, что теперь на составление матрицы f&iKl. , А/, ., м в точке 3le, 4U tftf, ЫигПъ будет затрачено время = МЧ + Л 2 + 4 . В итоге для вычисления всей матрицы будет затрачено время Р = = m m2(M +//%+%) . Положим H max f }, тогда выигрыш во времени при описанном способе заполнения матрицы соста- вит не меньше В частности, если 7V = М = I, то =1. Таким образом, можно сделать вывод, что время вычисления матрицы по предложенному алгоритму в сравнении с поэлементным вычислением, будет уменьшаться с ростом размерности матрицы согласно оценке (4.1.15).
Рассмотренный алгоритм заполнения матрицы легко обобщается на случай изопараметрических преобразований, при этом особенность в ядре выделяется только в одном из элементарных четырехугольников, а особенность в плотности - лишь в прилегающих к краю поверхности. Следует отметить, что при том же количестве неизвестных по затратам машинного времени более продолжительным является метод выделения особенностей, но в то же время он есть и более точным в сравнении с методом изопараметрических преобразований. Например, если мы область интегрирования аппроксимируем при помощи четырех граничных элементов и на каждом из них применяем для вычисления интегралов кубатурную формулу с М узлами, то в методе выделения особенностей при вычислении коэффициентов матрицы с той же точностью это будет обозначать увеличение времени вычисления матрицы в 4 раза, так как интегрирование ведется по всей поверхности. Комплекс программ предназначен для расчета пространственных полей задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Ііласс граничных поверхностей охватывает конфигурации, описанные в 1.2. Общая схема функционирования комплекса представлена на рис.18. Алгоритм расчета поля реализован в виде шести подпрограмм первого уровня, обращение к которым осуществляется по требованию пользователя в основной программе.
Обмен необходимой информацией между подпрограммами осуществляется через общие области. Указанные подпрограммы подключают к своей работе ряд вспомогательных. Рассмотрим назначение подпрограмм и подпрограмм-функций, используемых в работе комплекса. пАШ- основная программа, составляется заказчиком и состоит из операторов-вызовов подпрограмм первого уровня. Комплекс предназначен для расчета пространственных полей с использованием бикубической аппроксимации. Функциональная схема комплекса приведена на рис.19. Как и в комплексе выделения особенностей работой руководит программа MAI/V которая составляется пользователем и включает необходимые вызовы программ первого уровня. Приведем их описание. В последнее время широкое применение находят ЭОС, состоящие из диафрагм произвольной конфигурации, а также содержащие неосе-симметрические линзы - квадрупольные и цилиндрические. Значительный интерес к пространственным диафрагмам вызван как простотой их изготовления, так и ценными практическими свойствами, которыми они обладают [7]. Квадрупольная линза представляет собой электронно-оптический элемент, поле которого имеет две плоскости симметрии и две - антисимметрии. Такие линзы могут быть образованы четырьмя одинаковыми, симметрично расположенными электродами или полюсами. Полярность соседних электродов должна быть противоположна, а накрестлежаїцих - одинакова.
Область применения квадрупольных линз весьма широка [85]. Наиболее распространенным элементом таких линз является полый эллиптический цилиндр или его часть. В настоящей главе приводятся результаты расчетов пространственных электростатических полей методом выделения особенностей. Рассмотрим расчет поля квадрупольных линз, изображенных на рис.20. Геометрия указанных систем задавалась по формулам (1.2.7) с учетом симметрии, как описано в 1.3, относительно плоскостей Х= 0, j/= О, Н = 0. На рис.21 приведены линии равного потенциала, образованные квадрупольной линзой, состоящей из 4 цилиндров. При сведении интегрального уравнения к системе линейных алгебраических уравнений (2.1.12) количество неизвестных бралось равным JV = 20. Порядок особенностей плотности ГЦ = й = 0.5.
Вычисление коэффициентов матрицы проводилось согласно кубатурной формуле (4.1.14), где по переменной 1Х бралось 12-ти точечная формула Эрмита, а по переменной U отрезок интегрирования разбивался на б частей и на каждой из них применялась трехточечная квадратурная формула Гаусса. Точность вычисляемых таким образом интегралов составляла 4 знака после запятой. На рис.22 приведено распределение потенциала пятиэлек- тродной квадрупольной линзы. Количество неизвестных на четверти ft) внешнего цилиндра равно N =24. Максимальная относительная погрешность расчетов приведенных примеров не превышает 0,1%. 5.2. На рис.23 приведена геометрия трехэлектродной линзы, составленной из диафрагм с круговыми отверстиями. Количество неизвестных на каждой из диафрагм - 24. В таблице 8 приведены значения поля в промежуточных точках граничных поверхностей, по значениях которых можно судить о точности проведенных расчетов. На рис.24 приведено распределение потенциала по оси системы и линии равного потенциала. 5.3. Поле и его распределение по оси пятиэлектродной линзы, состоящей из пяти диафрагм (рис.25) приведены на рис.26,27. Количество неизвестных на диафрагмах - N = 17; Я = 17; Я -= 16. При задании геометрии, как и в рассмотренных выше примерах, учитывалась симметрия граничной поверхности. Время расчета потенциала в одной точке пространства на машине БЭСМ-б составляет 3 сек.
