Введение к работе
Актуальность темы. Большое количество научных и инженерных задач некорректно поставлены, т.е. малые возмущения исходных данных могут приводить к большим изменениям в результатах. Благодаря прежде всего работам А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева и их учеников был разработан общий подход к решению некорректных задач - метод регуляризации, построены многочисленные конкретные регуляризируюшие алгоритмы и проведена их апробация на модельпых и реальных задачах. Среди других авторов, внесших существенный вклад на этапе становления теории, необходимо упомянуть D.L.Fhillips, R.Lattes, J.-L.Lion», В.Я.Арсеяліта, А.Б.Бакушинского, В.В.Васипа, В.А.Вчнокурова, А .Ю.Верєтсшшкова, Ф.ІІ.Васильена, Г.М.Вайникко, В.П.Гласко, Ю.Л.Гаионенко, А.В.Гончарского, А.С.Леопова, О.А.Лисковца, В.А.Морозова, В.НХлрахова, А.Г.Яголу и др. Дополнительные ссылки можно найти, например, в [2], [4j-[7j, [10l-(12j, [14], (25] и обзоре (13].
Особенно хорошо разработана, теория линейных некорректных задач в ситуации, когда работает аппарат спектрального разложения самосопряженных операторов. Не претендуя на полноту, упомянем несколько авторов. Спектральный анализ использовался для построения методов (А.Б.Бакушянский, В.К.Иванов), изучения сходимости методов и различных правил останова (Г.М.Вайникко), оценки погрешности методов регуляризации на компакте (см.обзор [13]). Для линейных уравнений знание спектральных характеристик позволяет обеспечить гарантированный уровень качества приближенного решения.
Проблема в том, что, за исключением специальных уравнений (типа свертки, типа Вольтерра и т.п.), для широкого класса некорректных задач существующие в настоящее промя аналитические методы не позволяют определять спектральные характеристики оператора задачи. Существенные сложности в применении спектрального анализа также возникают в случае иекоммутируемости оператора задачи и информационного оператора. Решение интегральных уравнений 1 рода.
вознихаюішіх в структурных исследованиях неупорядоченных материалов, выявило ряд трудностей и недостаточность имеющегося аппарата.
С развитием вычислительных средств наряду с аналитическими приемами исследоваяия стали интенеивно-развиваться алгоритмические (численны».) методы, заключающиеся, например, в аннроксима-ции оператора задачи матрицей и использовании алгоритма сингулярного разложения (SVD). В частности, на основе SVD-расчетов можно исследовать задачу решения системы линейных алгебраических уравнений на (неединственность [3].
Некорректные задачи однако характеризуются тем, что 0 не является изолированной точкой спектра оператора задачи. В этом случае cuocofi действий, описанный выше, не даст разумных результатов при определении собсгвенных (сингулярных) функции, отвечающих собственным (сингулярным) числам близким к 0., ввиду неустойчивости возникающей задачи. Поэтому необходимо развитие регулярных (устойчивых) методов спектрального анализа и создание на этой основе эффективных и надежных алгоритмов решения некоректно поставленных задач.
Цель работы состоит в построении регулярного (устойчивого) варианта спектрального апализа и развитии на этой основе методов решения линейных и нелинейных уравнений 1 рода.
Методы исследования. Работа полностью укладывается в рамки теории и методов решения некорректно поставленных задач. В диссертации используется аппарат функциоиачьного анализа, спектральной теории, дискретной аппроксимации и вычислительной линейной алгебры.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1) Для неустойчивой невыпуклой задачи определения собственного подпространства линейного непрерывного ітератору, отвечающего неизолированной точке спектра, разработаны два новых регулярных метода; изучена связь между этими методами и методом Тихоно-
ва; в терминах аппарата дискретной сходимости получены достаточные условия конечномерной аппроксимации регуляризованных задач. Практическое построение регуляризованного решения сведено к частичной проблеме собственных значений для симметричной матрицы, зависящей от параметра регуляризации, при подходящем выборе этого параметра.
-
Введено новое определение (пе)единственности решения для совокупности эквивалентных по точности уравнений 1 рода а условиях приближенно заданного оператора при фиксированном уровне возмущений. Построены алгоритмы, позволяющие исследовать (неединственность решения линейных некорректно поставленных задач.
-
На основе аппарата дискретной аппроксимации предложен подход, позволяющий построить методы регуляризации в гильбертовых пространствах при 0 < 0 < 1, содержащих разрывпые функции как для задачи решения уравнения 1 рода, так и для аппроксимации собственпого подпространства линейного оператора. Отличительной особенностью этих алгоритмов является их линейность, в отличие от методов восстановления разрывных функций в пространствах функций ограниченной вариации (И.Ф.Дорофеев, А.С.Леонов, В.И.Загонов и др.).
-
Выделен новый класс уравнений 1 рода с конечномерной нелинейностью, для которого построены два регулярных итерациоппых процесса, сходящихся к решению уравнения при минимальных требованиях на гладкость искомого решения, что существенно дополняет результаты других авторов {14], [16]. Полученные результаты позволяют обосновать для широкого круга прикладных задач метод коррекции параметров решения линейных уравнений 1 рода, работоспособный в условиях больших систематических погрешностей.
-
Эффективность построенных методов продемонстрирована па решении прикладных интегральных уравнений 1 рода, возникающих в структурных исследованиях материалов, зондировании ионосферы, геофизике.
' Теоретическая и практическая ценность работы заключается
в том, что
построены новые методы регуляризации неустойчивой задачи определения базиса собственного подпространства линейного оператора, отвечающего неизолированной точке спектра этого оператора;
разработаны методы исследования (не)единственности решения линейных уравнений 1 рода; <
развита методика эффективного вычисления оценок погрешности регуляризуюших алгоритмов на компакте;
предложены новые итерационные методы решения операторных уравнений 1 рода с конечномерной нелинейностью;
построенные алгоритмы успешно применены для решения ряда трудных прикладных задач, возникающих при исследовании структуры материалов, радиозондировании ионосферы, в геофизике.
Апробация работы. Работа выполнена в отделах прикладных задач д некорректных задач анализа и приложений Института мате^ матики и механики УрО РАН. Основные результаты диссертации докладывались на: семинаре чл.кор. АН СССР В.К.Иванова в УрГУ (1984, Свердловск); семинаре д.ф.-м.н. В.А.Морозова в НИВЦ МГУ (1984, 1996, Москва); Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики" (1989, Алма-Ата); Международной конференции "Некорректно-поставленные задачи в естественных науках" (1991, Москва); XI конференции по теории операторов в функциональных пространствах (1986, Миасс); Всероссийской научно-практической конференции, посвященной памяти В.К.Иванова (1995, Екатеринбург); Международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи", посвященной памяти А.Н.Тихонова (1996, Москва); семинаре д.ф.-м.н. АХ.Яголы на физическом факультете МГУ (1996, Москва).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17] - [27]. В книгах [25], [27} автору принадлежит содержание гл.3; 5,6 гл.5; частично гл.6 и приложение в [27]. В [24], [26] автором были предложены и обоснованы регулярные итерационные процессы решения задач с конечномерной нелинейностью.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы, содержащего 109 наименований. Объем работы - 198 страниц.
Автор считает своим приятным долгом поблагодарить преждл всего своего научного руководителя чл.-кор. РАН В.В.Васина и коллег по совместной работе Ю.А.Бабанова, Б.В.Воронину, Н.В.Ершопа, Т.В.Антонову.
