Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Введение 4
1.1. О решении уравнений сведением к задаче Коши. Общая характеристика работы
1.2. Актуальность. Цель работы. Новизна 7
1.3. Основные положения, выносимые на защиту 9
Глава 2. Полиномиальные системы обыкновенных дифференциаль ных уравнений 11
2.1. Определения. Примеры 11
2.2. Теорема о радиусе сходимости полиномиальной задачи Коши и оценке 14
2.3. Сведение к квадратичной системе дифференциальных уравнений 16
2.4. Улучшенная теорема о голоморфном решении полиномиальной системы 17
Глава 3. Сведение различных задач численного анализа к полиноми альным обыкновенным дифференциальным уравнениям 26
3.1. Дифференциальные уравнения 26
3.2. Алгебраические и трансцендентные уравнения 28
3.3. Задачи на минимум, максимум .42
Глава 4. Методы рядов Тейлора 45
4.1. Описание метода рядов Тейлора для систем обыкновенных дифференциальных уравнений .45
4.2. Метод масштабирования 48
4.3. Составной метод 52
Часть II. Другие применения метода полиномиальных систем 55
Глава 5. Численное решение уравнений движения ИСЗ 55
5.1. О выборе модели возмущающих сил 56
5.2. Модель гравитационного возмущения 56
5.3. Модель атмосферы 58
5.4. Дифференциальные уравнения движения спутника Земли 59
5.5. Введение масштабирующих множителей 66
Глава 6. Задачи на безусловный экстремум функции многих переменных 68
6.1. "Плохие" задачи на экстремум 68
6.2. Отыскание минимакса. Задача Мандельштама 75
Часть III. Приложение 79
Программная реализация 79
Тексты программ пакета ODESolver 84
Литература 2
- Актуальность. Цель работы. Новизна
- Сведение к квадратичной системе дифференциальных уравнений
- Алгебраические и трансцендентные уравнения
- Дифференциальные уравнения движения спутника Земли
Введение к работе
Актуальность темы исследования. В современной прикладной математике актуальной задачей являегся создание, по возможности универсальных, пакетов прикладных программ. Для этого требуются все более универсальные методы и алгоритмы решения тех или иных классов математических задач. В диссертации рассматривается круг вопросов, относящихся к этому направлению.
Предмет работы - численное решение задач, сводимых к задаче Коши для полиномиальной системы дифференциальных уравнений. Различные задачи прикладной математики такие, как нахождение обратных функций, экстремумов функций, численное решение алгебраических, трансцендентных и дифференциальных уравнений, возникающих в аналитической и небесной механике, в механике управляемого движения, могут сводиться к полиномиальной задаче Коши. Особенно важна задача на нахождение экстремума функций многих неременных, т.к. остальные из упомянутых задач формально могут сводиться к этой. С другой стороны, решение этой важнейшей задачи может быть сведено к градиентным обыкновенным дифференциальным уравнениям (см., например, [В.И. Зубов, Лекции по теории управления, гл. 2, ), М., Наука, 1975]). Предлагаемые алгоритмы основаны на использовании практически эффективных гарантированных априорных оценок погрешности при численном интегрировании полиномиальной задачи Коши методами рядов Тейлора. Подобные оценки позволяют реализовать этот метод с использованием автомагического выбора шага интегрирования, гарантирующего заданную точность локального решения. В частности, это позволило предло-
жить (глава 5) высокоточный метод прогнозирования орбитального движения ИСЗ, вполне отвечающий высокой точности современных лазерных наблюдений.
Цель диссертационной работы. В диссертации рассматривается два круга вопросов:
-
Построение эффективных алгоритмов численного интегрирования полиномиальной задачи Коши с гарантированной оценкой локальной погрешности;
-
Приведение алгебраических и трансцендентных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений, а также задач оптимизации к полиномиальной задаче Коши, и построение алгоритмов их численного решения.
В диссертации, в рамках этого подхода, решен ряд важных задач численного анализа, нелинейного программирования и ряд практических задач из области механики управляемого движения.
Научная новизна. Реализован новый подход к решению ряда численных задач прикладной математики на основе применения к ним принципа сведения к полиномиальным обыкновенным дифференциальным уравнениям и использования нового варианта высокоточного метода рядов Тейлора с гарантированной оценкой локальной погрешности.
Общая методика исследования. В работе используются строгие методы математического анализа, численного анализа, теории
дифференциальных уравнений, нелинейного программирования, механики управляемого движения.
Практическая ценность. Результаты диссертации позволяют с заданной точностью находить численное решение таких различных и важных задач, как высокоточное прогнозирование орбитального движения ИСЗ, нахождение корней алгебраических и трансцендентных уравнений, решение задач нелинейного программирования. Соответствующие алгоритмы реализованы в виде пакета программ на Фортране в рамках усовершенствованной диссертантом версии ODE-Solver.
Апробация работы. Основные результаты работы были доложены на Международном симпозиуме по классической и небесной механике (Великие Луки, август 1998), на международной математической конференции "Еругннские чтения VI" (Гомель, май 1999), на научных конференциях факультета Прикладной Математики - Процессов Управления СПбГУ (апрель 1999, апрель 2000), на семинарах кафедры механики управляемого движения СПбГУ.
Публикации. По результатам, изложенным в диссертации, опубликовано 6 печатных работ. Перечень публикаций приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Работа состоит из трех частей, 6 глав, 18 пунктов и приложения. Библиография включает 63 наименования.
Актуальность. Цель работы. Новизна
В современной прикладной математике актуальной задачей является создание, по возможности универсальных, пакетов прикладных программ. Для этого требуются все более универсальные методы и алгоритмы решения тех или иных классов математических задач. В диссертации рассматривается круг вопросов, относящихся к этому направлению.
Предмет работы - численное решение задач, сводимых к задаче Коши для полиномиальной системы дифференциальных уравнений. Различные задачи прикладной математики такие, как нахождение обратных функций, экстремумов функций, численное решение алгебраических, трансцендентных и дифференциальных уравнений, возникающих в аналитической и небесной механике, в механике управляемого движения, могут сводиться к полиномиальной задаче Коши. Особенно важна задача на нахождение экстремума функций многих переменных, т.к. остальные из упомянутых задач формально могут сводиться к этой. С другой стороны, решение этой важнейшей задачи может быть сведено к градиентным обыкновенным дифференциальным уравнениям (см., например, [63]). Предлагаемые алгоритмы основаны на использовании практически эффективных гарантированных априорных оценок погрешности при численном интегрировании полиномиальной задачи Коши методами рядов Тейлора. Подобные оценки позволяют реализовать этот метод с использованием автоматического выбора шага интегрирования, гарантирующего заданную точность локального решения. В частности, это позволило предложить (глава 5) высокоточный метод прогнозирования орбитального движения ИСЗ, вполне отвечающий высокой точности современных лазерных наблюдений.
Задаче прогнозирования орбитального движения ИСЗ в диссертации уделено много внимания и мы остановимся здесь более подробно на работах, связанных с этой тематикой.
Известно, что необоснованное пренебрежение разного рода "малыми величинами" при математическом моделировании реальных процессов может существенно исказить истинную картину явлений. Поэтому в уравнениях, описывающих сложную механическую систему, необходимо учитывать большое количество различных факторов. Следствием этого, как правило, является, с одной стороны - высокий порядок системы, с другой - сложность правых частей системы уравнений и с третьей - система может относиться к классу жестких систем дифференциальных уравнений [7] - [11].
Анализ погрешностей при численном решении приводит к выводу, что точность численного интегрирования тем выше, чем меньше шаг интегрирования. Это верно только до известного предела - до тех пор, пока погрешности округления, связанные с конечной разрядностью машинной арифметики, остаются пренебрежимо малыми.
Достаточно полное современное состояние теории и практики численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений нежестких систем, а также жестких систем изложено в монографиях [10], [11]. В последнее время предложено несколько способов решения таких систем уравнений [7], [8], [9], [10], [11], [12].
Важной задачей при численном решении систем дифференциальных уравнений является обоснованность различных методов теории возмущенного движения. Под обоснованием будем понимать совокупность теорем, позволяющих оценить разность между решением исходной системы дифференциальных уравнений и решением соответствующей ей приближенной, а также промежуток времени, где гарантируются априорные оценки этих разностей.
В работах [9], [10] предлагаются различные методы построения приближенного решения как аналитические, так и численные, и указываются оценки погрешности решения. Обзор таких исследований для задач небесной механики дан в работе [21].
В работе Л.К.Бабаджанянца [13], [14] введены понятия формальной линеаризации Вейерштрасса для алгебраических систем уравнений и формальной линеаризации Карлемана, для систем дифференциальных уравнений, и дано их обоснование в виде ряда теорем. Скажем здесь более подробно о линеаризации Карлемана, результаты которой используются в диссертации.
Сведение к квадратичной системе дифференциальных уравнений
В переменных x\i]= x[l ,...,xj" исходная система уравнений, имеющая вид: Xj =PJ(xl,...,xn,t), у = 1,..., п где Pj - степенные ряды по х],...,хп, становится счетной системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены оценки к-ой производной решения линеаризованной и исходной задач Коши. С помощью полученных оценок выводятся оценки области регулярности по времени реше ния счетной линейной задачи Коши. В работе Л.К.Бабаджанянца, П.Б.Мгояна [17], [18], предлагаются оценки области голоморфного локального решения по аргументу и оценки остаточных членов соответствующих тейлоровских разложений для системы из п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, правые части которых линейны по параметру и являются алгебраическими полиномами по неизвестным с голоморфными по аргументу коэффициентами.
В работе этих же авторов [35] результат обобщен на случай обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных, правые части которых голоморфны по неизвестным и аргументу и линейны по параметру.
В работах П.Б.Мгояна [18], [19] получены соответствующие оценки для систем дифференциальных уравнений, описывающих движение ИСЗ относительно центра масс в гравитационном поле Земли. Данная система сведена к полиномиальной введением дополнительных переменных.
В современной прикладной математике актуальной задачей является создание, по-возможности универсальных, пакетов прикладных программ. Для этого требуются все более универсальные методы и алгоритмы решения тех или иных классов математических задач. В диссертации рассматривается круг вопросов, относящихся к этому направлению. В диссертации рассматривается два круга вопросов: 1. Построение эффективных алгоритмов численного интегрирования полиномиальной задачи Коши с гарантированной оценкой локальной погрешности; 2. Приведение алгебраических и трансцендентных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений, а также задач оптимизации к полиномиальной задачи Коши, и построение алгоритмов их численного решения. В диссертации, в рамках этого подхода, решен ряд важных задач численного анализа, нелинейного программирования и ряд практических задач из области механики управляемого движения. Дадим краткую характеристику основных глав. В первой главе дана общая характеристика работы.
Во второй главе рассматривается возможность решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений сведением ее к системе уравнений полиномиального вида. Дано определение полиномиальной системы дифференциальных уравнений. Для решения получаемой полиномиальной задачи Коши строится приближения по отрезкам ряда Тейлора. Для этого исходные уравнения путем введения дополнительных переменных приводятся к квадратичному виду. При применении этого метода важным вопросом является выбор шага интегрирования, оценка радиуса сходимости ряда Тейлора, представляющего решение и оценки погрешности. Сформулирована и доказана улучшенная теорема о радиусе сходимости ряда Тейлора, основанная на теореме работы [18]. Предложена методика введения масштабирующих множителей, дающая возможность увеличения шага интегрирования.
В третьей главе представлен ряд задач, которые могут быть сведены к дифференциальным уравнениям полиномиального вида: нахождение корней алгебраических и трансцендентных уравнений, задачи на безусловный экстремум функций многих переменных.
В четвертой главе дано описание метода рядов Тейлора и агрегатив-ного (составного) метода рядов Тейлора предложенного в работе [12], указан выбор шага интегрирования для полиномиальной задачи Коши. Предложены варианты нахождения масштабирующих множителей: эвристический метод и метод альтернативной точки.
В пятой главе на основе предложенного метода предлагается алгоритм численного решения задачи о движении ИСЗ в гравитационном поле Земли с учетом вращающейся Земли и изменения плотности атмосферы.
В шестой главе приведен ряд задач нелинейного программирования и предложена практическая реализация алгоритма численного решения полиномиальных задач Коши для этих задач
Практическая ценность результатов диссертации заключается в следующем:
Результаты диссертации позволяют с заданной точностью находить численное решение таких различных и важных задач, как высокоточное прогнозирование орбитального движения ИСЗ, нахождение корней алгебраических и трансцендентных уравнений, решение задач нелинейного программирования. Соответствующие алгоритмы реализованы в виде пакета программ на Фортране в рамках усовершенствованной диссертантом версии ODESolver.
Алгебраические и трансцендентные уравнения
Улучшенный вариант теоремы об оценке голоморфного решения полиномиальной задачи Коши и алгоритм выбора шага численного интегрирования в простом и составном методах рядов Тейлора, с гарантированной априорной оценкой погрешности. 2. Сведение конкретных задач численного анализа к полиномиальной задаче Коши и построение на этой основе соответствующих алгоритмов их решения. Среди этих задач: - построение алгоритма прогнозирования орбитального движения ИСЗ с учетом гравитационных возмущений и сопротивления атмосферы; - алгоритм решения алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами; - алгоритм решения трансцендентных уравнений, возникающих при оптимизации управления линейными механическими системами по критерию "расхода топлива" и др.; - решение сложных задач безусловной оптимизации функции многих переменных и другие аналогичные задачи.
Основные результаты предлагаемой диссертации опубликованы в статьях [1-6]. Они докладывались на Международном симпозиуме по классической и небесной механике (Великие Луки, август 1998), на международной математической конференции "Еругинские чтения VI" (Гомель, май 1999), на научных конференциях факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ (апрель 1999, апрель 2000), на семинарах кафедры механики управляемого движения СПбГУ.
В этой главе рассматриваются общие вопросы, лежащие в основе метода рядов Тейлора решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
В п. 2.1 рассматривается общая методика сведения систем уравнений к полиномиальному виду путем введения дополнительных переменных.
В п. 2.2 приводится теорема, которая служит обоснованием алгоритма представления решения полиномиальной задачи Коши отрезком ряда Тейлора. Доказывается улучшенная теорема для определения радиуса сходимости решения рассматриваемой задачи.
Полиномиальная форма уравнений движения механических систем широко используется многими авторами, начиная с А. Пуанкаре [22], [29] в методе Стеффенсона [23] - [24], в методе рядов полиномов [30], в методе бесконечных систем [12] - [18].
Рассмотрим систему п обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями относительно неизвестных функций х{,...,хп вещественного аргумента t:
Такую систему будем называть полиномиальной. Многие дифференциальные уравнения аналитической и небесной механики имеют такой вид. Покажем, что различные дифференциальные уравнения механики при помощи замены и введением дополнительных переменных могут быть представлены в виде (2.1) [13], [14].
Дифференциальные уравнения могут быть приведены к следующей форме: dtp,- д р, величины P.,-—-, являются алгебраическими полиномами с веществен 1 дук dt ными или комплексными постоянными коэффициентами относительно аргументов yl,...,yn,t,(pl,...,(pm.
Таким образом, видно, что система (2.2) сводится к автономной полиномиальной системе относительно неизвестных хх,...,хп+т+х
Система (2.2) для xx,...,xn в этих переменных полиномиальна, а уравнения для остальных переменных хп+1,...,хп+т+х получаются непосредственным дифференцированием. Если в дополнение к системе (2.2) заданы начальные условия у(t0) = yj0, j = l,...,n, то к полученной из (2.2) полиномиальной системе следует добавить начальные условия: хЛ о)=У]0 хп+1М= о 7 = 1,-,и, хп+к+1( о) = Рк( о Ую - Упо) к = 1,...,т. В качестве примеров уравнений (2.1), (2.2) назовем уравнения орбитального движения искусственного спутника в поле притяжения Земли, уравнения его движения относительно центра масс, уравнения задачи п -тел, уравнения поступательно-вращательного движения п -тел.
Движение спутника относительно центра масс описывается шестью фазовыми координатами. Пусть х],х2,...,х6 - это координаты, а центр масс спутника движется по круговой орбите с угловой скоростью со. Тогда дифференциальные уравнения относительно фазовых координат имеют следующий вид: х = Р- (х,,..., х6, sin х,,..., sin х6, cos X,,..., cos х6, sin cot, cos cot) здесь Pj - алгебраические полиномы относительно всех указанных аргументов. Вводя дополнительные переменные х7 =sinx,,..., х12 = sinx6, х13 = cosx,,...,x19 = cosx6, х20 - cos cot, систему уравнений можно представить в виде системы двадцатого порядка
Оценки, которые могут быть получены по теореме 1 для задачи (2.10), при помощи леммы о мажорантах Коши переносятся на задачу (2.7).
В-третьих, в соответствии с п.2.2 любая система уравнений, принадлежащая широкому классу систем обыкновенных дифференциальных уравнений, введением дополнительных переменных может быть приведена к полиномиальной системе. Оценки для этой полиномиальной системы, полученные по теореме 1, будут оценками и для исходной системы.
Дифференциальные уравнения движения спутника Земли
Эффективность алгоритмов численного решения обычно проверяется на "плохих" задачах. В нашем случае мы выбрали следующие задачи: нахождение минимума функций Розенброка, Пауэлла и Химмельблау.
Предлагаемый алгоритм, позволяющий выбирать начальную точку по предлагаемой методике, оказывается эффективным.
Данная функция имеет в точке (1,1) минимальное значение равное нулю. Линия уровня F = const представляет собой крутой криволинейный ов par, расположенный вдоль параболы х2 = х, . Известно, что минимизация F вызывает значительные трудности, заключающиеся в резком замедлении процесса достижения экстремальной точки. Обычно [48], [49], [50] в качестве тестового начального условия используется точка (- 1,2;7).
Применим к данному примеру нашу методику интегрирования дифференциальных уравнений.
Итак, имеем систему (3.20), где J(X) = F{X), получим откуда следует, что при ах =0.13572088, а2 =0.018420157, аъ = а2 будет принимать максимальные значения.
Согласно условию, имеем, что ак \хк0\, поэтому за начальную точку траектории наискорейшего спуска примем ак \хк\. Таким образом, выберем в нашей задаче начальную точку, удовлетворяющую условию (6.7):
Особенность данной функции состоит в том, что в точке минимума (0,0,0,0) матрица Гессе F2 становится вырожденной и, в частности, прямое применение метода Ньютона невозможно.
Нахождение масштабирующих множителей можно проводить различными способами. Составим суммы коэффициентов для получения квадратичной системы уравнений: Si (/ = 1,2,3,...ДО). Из их вида можно сделать вывод, что если положить /?, -ах а4, /32 =ос5 =а6 =а10, /?3 -а2 = а3, /?4 =а7 =а8 =ад, то максимальное наименьшее значение из Si не составляет большого труда получить, рассматривая каждую из сумм Sl- как некоторый позином.
Например, S5=4 + 40 - + 80/?2 + 240/32 + 240/32 + S0j32 (6.12) Pi тогда рассматривая это выражение как позином, мы имеем, что минимум этого позинома не превосходит минимума его компонент:
Обычно [48], [51], за начальную точку берется точка с координатами (-1,2,1). Покажем, что в данной задаче можно выбрать другую начальную точку, которая будет находиться ближе ко дну оврага. Введем масштабирующие множители х1 - aiyl (/ = 1,2,3) и выпишем сумму абсолютных величин коэффициентов правых частей уравнения спуска: Согласно теореме 1, нам следует выбрать таким образом масштабирующие множители СС{, чтобы получить минимальную величину из максимальных St.
Как следует из выражений (6.14): \ ах 1.7 \ аг-аъ =7.07. Тогда для уравнений (6.13), с учетом увеличения радиуса сходимости следует положить 1 х10 1.7 [х20 7, 1 х30 7. В этом случае начало спуска окажется в окрестности дна оврага, определяемое этими неравенствами. Функция Химмельблау без масштабирующих множителей:
Конечно, необходимо иметь ввиду, что полученные оценки выбора начальной точки не являются оптимальными, а только дают оценку сверху для области притяжения. 6.2. Отыскание минимакса. Задача Мандельштама.
Важность создания численных методов отыскания минимакса обусловлена несколькими причинами: во-первых, многие практические задачи принятия решения в конфликтных ситуациях сводятся к нахождению минимакса и численные методы их решения требуются широкому кругу прикладников, во-вторых, эти методы оказываются полезными при решении задач нелинейного программирования и оптимального управления. В теории численных методов отыскания локального минимакса используют [50] один из подходов, при котором выписывается (вместо задачи минимакса) задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, которые, затем, заменяются конечно-разностными. Сами дифференциальные уравнения, как правило, не решают ввиду того, что численные методы интегрирования, опирающиеся на эвристические приемы автоматического выбора шага интегрирования (метод Эйлера, Рунге-Кутта и др.) не позволяют получить решение с высокой степенью точности. Ограничимся здесь минимаксной задачей без ограничений на переменные, в этом случае упомянутый подход опирается на следующее утверждение [50]:
Пусть функция F{x,y) - определенная для всех х є Еп и у є Ет непрерывная функция. Ставится задача нахождения безусловного минимакса: Теорема (Н.И. Грачев, Ю.Г. Евтушенко) [54]: Пусть функция F(x,y) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки z = х ,jy j, где выполнены достаточные условия локального минимакса. Тогда существуют такие числа s О, а О, что при любых фиксированных значениях 0 Б Б и 0 а а решения x(s,x0,y0,t), y(s,x0,y0,t) системы (6.15) и итерации хк(Б,Х0,у0), ук[Б,Х{),у0) по схеме (6.16) локально сходятся к точке z". Мы предлагаем для решения задачи Коши, привычный нам, метод сведения к полиномиальной задаче. В следующем пункте настоящего раздела на примере задачи Мандельштама мы продемонстрируем применение предлагаемого метода - выпишем соответствующие обыкновенные дифференциальные уравнения вида (6.15) в квадратичной форме.
