Введение к работе
Актуальность темы
В последние десятилетня все возрастающее внимание привлекают к себе разнообразные проблемы, связанные с динамическим хаосом. Возможность хаотического поведения динамических систем классической механики была замечена еще Пуанкаре [1], но лишь в последнее время новые теоретические результаты, применение ЭВМ и более совершенная техника эксперимента привели к пониманию того, что явление динамического хаоса встречается в природе повсеместно и оказывает существенное влияние на физические процессы. Наиболее значительные результаты, полученные в этой области, а также основные методы исследования динамических систем со стохастическим поведением отражены в появившихся в последние годы монографиях обобщающего характера [2, 3, 4, 5, б].
Наличие в системе динамического хаоса или, иначе говоря, стоха-стичности, означает, что решения нелинейных уравнений, описывающих эволюцию системы, чувствительны к начальным условиям: траектории, исходно находившиеся сколь угодно близко друг от друга, быстро разбегаются. Это приводит к тому, что на длительных временах решения, по сути дела, ведут себя случайным образом. Существенным является тот факт, что хаотическое движение может иметь место в системах с малым числом степеней свободы.
Среди различных динамических систем, в которых на'блюдается хаотическое движение, особое место занимают системы, близкие к интегрируемым, т.е. получаемые нз интегрируемых путем наложения малого возмущения. Одним из ключевых понятий, используемых при исследовании систем такого рода, является понятие адиабатического инварианта (AVL) - величины, приближенно сохраняющейся в процессе движения.
Среди многочисленных приложений теории адиабатических инва-
риантов можно выделить, например, описание двинсения заряженных частиц в магнитных ловушках, движения квазичастиц в электромагнитных полях в твердых телах, распространения света внутри волновода.
В последние годы большое внимание уделялось как поиску условий "вечного" сохранения Ай, так и условий, при которых сохранение АИ нарушается. Важность такого рода исследований связана с тем, что если в процессе движения АИ сохраняется, то движение является близким к регулярному, в то время как разрушение адиабатической инвариантности может привести к хаотической динамике. Одной из причин, приводящих к разрушению адиабатической инвариантности в системах, близких к интегрируемым, являются скачки адиабатического инварианта при прохождении через сепаратрису [7, 8, 9, 10]. При этом важным является тот факт, что данный механизм возникновения хаотической динамики ведет к образованию области хаоса, размер которой велик при сколь угодно малом возмущении.
Одной из активно развивающихся в последние годы областей применения теории адиабатических инвариантов является исследование движения заряженных частиц в хвосте магнитосферы Земли. Принципиальный результат, полученный в последние годы, состоит в том, что стохастпзацня движения частиц связана с разрушением адиабатической инвариантности вследствие переходов через сепаратрису, и эти эффекты в значительной степени определяют крупно- и мелкомасштабную структуру распределения плазмы в магнитосфере. В многочисленных публикациях, в частности в работах [11, 12, 13, 14], была исследована динамика частиц в рамках квазиадиабатической теории, описывающей эволюцию движения частиц, в частности, их ускорение под влиянием электрического поля. При этом оставались открытыми вопросы как о границах применимости квазиадиабатической теории, так и о более аккуратном исследовании эволюции адиабатических ин-
вариантов как в диффузионном, так и в недиффузионном режимах.
Еше одним классом систем, в которых наблюдается хаотическая динамика и в которых применение теории адиабатических инвариантов приводит к получению новых результатов, являются системы, сохраняющие фазовый объем, в частности, течения несжимаемой жидкости. Возросший в последние годы интерес к хаосу пиний тока в течениях Стокса вызван связью данной проблемы с двумя классами задач: возникновение хаотической адвекции (в частности, перемешивания в жидкости) [15, 16, 17] и рост магнитного поля (модель кинематического динамо) [18, 19]. В работе [20] было показано, что наличие динамо требует существования по крайней мере одной лпнии тока с положительным показателем Ляпунова. В работах [21] и [22] были предложены два примера ограниченных течений Стокса несжимаемой жидкости, поля скоростей которых отличаются малым возмущением от соответствующих интегрируемых полей и в которых, как показало численное моделирование, присутствует хаос линий тока. При этом вопросы о причинах возникновения хаоса линий тока и о характерном времени развития хаоса оставались открытыми.
Основные цели работы:
При исследовании поведения заряженных частиц в различных областях хвоста магнитосферы Земли основными целями являются:
полное аналитическое исследование динамики заряженных частиц в области с обращением магнитного поля и в окрестности Х- и О-ЛИШІЙ в хвосте магнитосферы Земли под влиянием неднородного магнитного (в том числе изменяющегося вдоль области обращения) и однородного электрического поля;
вывод условий возможности использования адиабатических инвариантов при наличии переходов через сепаратрису;
определение параметра, характеризующего меру хаотизанип движения частиц при наличии скачков адиабатического инварианта и дрейфа по уровню энергии;
вывод формулы, описывающей ускорение частиц в случае, когда скачки адиабатического инварианта малы по сравнению с дрейфом по уровню энергии.
При исследовании хаоса линий тока в течениях Стокса основными целями являются:
получение формулы, описывающей изменение адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису в трехмерных ограниченных течениях Стокса: в течении с квадратичным полем скоростей и в течении внутри капли, помещенной в линейный набегающий поток Стокса;
исследование диффузии адиабатического инварианта вследствие многократных переходов через сепаратрису;
определение размера области хаотической динамики и характерного времени развития хаоса линий тока.
Научная новизна
В диссертации приведен ряд новых теоретических и численных результатов, полученных при исследовании регулярной и стохастической дийамики заряженных частиц в различных областях хвоста магнитосферы Земли под влиянием неоднородного (в том числе изменяющегося вдоль хвоста) магнитного и однородного электрического полей, а также при исследовании хаоса линий тока в трехмерных ограниченных течениях Стокса несяшмаемой жидкости.
Аналитически исследована гампльтонова динамика заряженных частиц в различных областях хвоста магнитосферы Земли в случае, когда кривизна магнитных силовых линий много меньше характерного ларморовского радиуса частиц (что выполястся для основной части распределения ионов (W > 50Эв) и энергичных электронов), вследствие чего теория ведущего центра не применима. Задача исследована в рамках теории возмущений, которая строилась на малости отношения характерных градиентов системы вдоль и поперек поля и малости электрического поля. В этом приближении введена иерархия движений.
Полностью исследовано движение в "дрейфовой" (усредненной по быстрым осцилляциям перпендикулярно к области обращения магнитного поля) системе. Построены все фазовые портреты дрейфовой системы. Выведены формулы, описывающие величину скачков АИ при переходе через сепаратрису быстрого движения. Определена область значений параметров задачи, при которых возможно использование квазиадиабатического описания движения частиц при наличии переходов через сепаратрису в области с обращением магнитного поля и в окрестности Х- и О- линий.
Показано, что накопление скачков при многократных пересечениях сепаратрисы приводит к диффузии АИ, что, в свою очередь, ведет к стохастизацип движения частиц. Введен параметр, определяющий меру хаоса в системе; этот параметр равен отношению характерного времени диффузии АИ к характерному времени дрейфа по уровню энергии под влиянием электрического поля. Показано, что наличие дрейфа по уровню энергии приводит к последовательной смене типов движения и видов фазовых портретов дрейфовой системы в задачах о, движении частиц в окрестности Х- и О- линий. Показано, что. это приводит к CTP-хастпзаціщ движения частиц в окрестности Х-линии и регуляризации движения частиц в окрестности О-линии.
В частном случае, когда скачки АИ малы по сравнению с дрейфом
по уровню энергии, построен универсальный фазовый портрет и получена формула, которые описывают квазиаднабатическос ускорение частиц.
Исследовано возникновение хаоса линий тока в двух стационарных ограниченных течениях Стокса несжимаемой жидкости, введенных ранее в работах [21,22] и отличающихся малым возмущением от соответствующих интегрируемых течений. Показано, что это явление объясняется несохранением некоторого АИ, скачкообразно меняющегося при пересечении малой окрестности сепаратрисы невозмущенного течения возмущенной линией тока. Получена формула, описывающая эти изменения. Демонстрируется, что при сколь угодно малой величине возмущения область хаоса остается большой (порядка размера всей области течения). Показано, что изменения АИ при многократных переходах через сепаратрису могут рассматриваться как случайные блуждания и что накопление скачков приводит к диффузии АИ, полному разрушению адиабатической инвариантности и хаосу линий тока. На основе формулы для изменения АИ при переходе через сепаратрису определено характерное время развития хаоса линий тока, за которое линия тока, лежащая в области, где возможны переходы через сепаратрису, пройдет вблизи любой точки этой области.
Научное и практическое значение работы
Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при решении ряда проблем физики плазмы и гидродинамики, а именно: исследование нелинейной динамики заряженных частиц в магнитных ловушках (в частности, в магнитосфере Земли), проблемы формирования функций распределения в бесстолкновительной плазме, теории перемешивания вязких жидкостей, возникновения кинематического динамо.
Объем и структура диссертации
