Содержание к диссертации
Введение 5
Глава 1. Кинетические коэффициенты тяжелого сорта ионов
плазмы сложного химического состава 25
Уравнения МГД плазмы с ионами двух сортов, массы которых mi
Кинетическое уравнение для тяжёлого сорта ионов j = 2 и
его решение 47
Тяжёлые ионы, j = 2 47
Кинетические коэффициенты и G-факторы для тяжёлого сорта ионов при произвольном значении параметра щ 52
Кинетические коэффициенты и G-факторы тяжёлого сорта ионов при $2 —» со 54
1.3. Приближенные формулы для G-факторов в кинетических
коэффициентах 55
Двух-полиномиальное приближение 55
Матричные элементы оператора С21 57
Приближённые формулы для Сц,...,і4(Х)С) 58
1.4. Выводы 59
Глава 2. Уравнения МГД плазмы сложного химического
состава с учётом сторонних зарядов и токов 61
Совместное решение уравнений для 5fe, 5F\ и 6F2 61
Процедура замыкания для решения векторной части электронного и ионных кинетических уравнений с учётом плотности стороннего заряда 64
Конечная форма МГД уравнений 66
2.3.1. Конечная форма электронных МГД уравнений .... 66
Диссипативные члены в электронных МГД уравнениях 67
Конечная форма ионных уравнений 71
Ионные диссипативные члены в уравнениях МГД . . 72
Уравнения электродинамики 77
2.4. Уравнения МГД плазмы с двумя сортами ионов т\ <С т<і в
предельных случаях п\ —> 0, пг —> 0 79
2.4.1. Асимптотика G-факторов тяжёлого сорта ионов при
щ —> со, щ —> 0 79
2.4.2. Уравнения МГД плазмы с двумя сортами ионов
mi С 17І2 в предельных случаях П\ —> О, П2 —> 0 ... 81
2.5. Основные результаты 82
Глава 3. Влияние диффузии примеси на процессы в плазме. 84
Постановка задачи 84
Решения системы МГД уравнений плазмы для равновесных состояний в геометрии Z-пинча 87
Решение общей системы МГД уравнений 87
Упрощённая модель распределения параметров плазмы в капиллярных разрядах с небольшими токами 90
3.3. Значимость эффекта диффузии примеси 92
Простая оценка степени неоднородности равновесного химического состава 92
Распределение малого количества тяжёлой примеси
по капиллярному разряду 94
3.4. Выводы 96
Заключение 98
Литература 100
Приложение А. Обзор основ используемого метода получения
МГД уравнений плазмы 109
А.1. Кинетический способ описания в приложении к уравнениям
МГД 109
А. 1.1. Кинетический способ описания 109
А.1.2. Общие свойства уравнения Больцмана, его решения . 115
А.1.3. Число Кнудсена 116
А.1.4. Законы сохранения 116
А.2. Методы решения кинетического уравнения 118
А.2.1. Метод Гильберта 118
А.2.2. Метод Чепмена—Энскога 120
А.2.3. Метод Чепмена—Энскога для ионизованного газа в
присутствии электромагнитного поля 127
А.2.4. Метод Брагинского 127
Приложение Б. Разложение интеграла столкновений 129
Приложение В. Сферические гармоники 132
Произведение представлений 132
Векторы 133
Тензоры 134
Другие полезные формулы 136
Приложение Г. Матричные элементы и G-факторы 137
ГЛ. Матричные элементы Л/J nm 137
Г.2. Определения электронных G-факторов 138
Г.З. Приближённые формулы для (^1,2,...,6,8,9(%^) 139
Введение к работе
Современное состояние проблемы
Моделирование процессов в плазме является одной из наиболее актуальных и сложных проблем современной физики высоких энергий. Первые исследования электрических разрядов в газах были выполнены в 1830-х Майклом Фарадеєм. В 1879 году Вилльям Крукс ввёл представление об ионизованном газе как о четвёртом состоянии вещества. Термин «плазма» в физике был введён Ленгмюром [1] в 1928 году, для описания области со «взаимоуравновешивающими зарядами ионов и электронов», характеризующей состояние газа, через который пропускают переменные токи большой мощности. За прошедшие десятилетия появилось большое количество физических проблем, связанных с исследованием плазмы, таких как осуществление управляемого термоядерного синтеза для получения принципиально новых источников энергии [2—4], узучение строения и эволюции звёзд [5]. Большой интерес представляет плазма в атмосфере Земли и планет. Без изучения физических процессов в плазме невозможно успешное развитие устройств, применяемых в экспериментах по Z-пинчам [6], быстрому импульсному нагреванию металлических проволочек [7]. Другим возможным примером является плазма капиллярных разрядов [8], в которых возможно образование горячей, плотной плазмы с необходимыми для рентгеновского лазера параметрами. Капиллярные разряды также можно использовать для каналирования лазерных импульсов для обеспечения режима его распространения без дифракционного расширения [9, 10]. Многопроволочные лайнеры так же могут служить источником мощного рентгеновского излучения [11, 12]. Результаты таких исследований находят применение в различных задачах, связанных со спектроскопией, медициной. Кроме того, плазма используется для проведения химических реакций, которые в горячей сильно ионизованной среде протекают быстро. Так почти полностью ионизированная плазма присутствует в устройствах, применяемых в техногии травления металлических и полупроводниковых плат.
Моделирование процессов в плазме достигло значительных успехов с использованием основных результатов теоретической физики ХХ-го века и, прежде всего, кинетической теории газов и уравнений магнитной гидродинамики (МГД). Основные положения магнитной гидродинамики были сформулированы в 1940-х гг. шведским физиком Х.Альфвеном [13], который в 1942 году предложил эту теорию для объяснения ряда явлений в космической плазме, таких как солнечные пятна. Сборник ранних работ Альфвена «Cosmical Electrodynamics» [14] оказал огромное влияние на специалистов по астрофизике и физике плазмы. Альфвеи сделал много пророческих открытий в области физики плазмы, которые выглядели неожиданно и даже отвергались в свое время. Альфвеи сформулировал положение о «вмороженности» магнитного поля в плазму, открыл новый тип волнового движения проводящей среды в магнитном поле — магнитогидродинамические волны [15], в его честь названные волнами Альфвена, которые были обнаружены в жидком металле в 1949 и в плазме в 1959 г. Еще одним из ранних предположений Альфвена, подтвердившихся позднее, было существование крупномасштабных слабых магнитных полей в Галактике из-за присутствия даже малого количества плазмы — полей, которые влияют на движение космических лучей. Новая область физики, получившая название магнитной гидродинамики, основы которой заложил Альфвен, оказалась важной не только для исследований по управляемому термоядерному синтезу [16], но и для разработок по таким темам, как сверхзвуковые полеты, ракетные двигатели и торможение спускаемых космических аппаратов.
Гидродинамическая часть МГД уравнений плазмы может быть получена при помощи одночастичной функции распределения /(, r,v), впервые предложенной Максвеллом для описания системы большого количества частиц, где величина fdF определяет ожидаемое количество частиц, находящихся в элементе фазового объема dT = drdv [17].
Моментом JV-ro порядка функции распределения называют компоненты тензора N-ro порядка вида:
^= [l[vUdv, (1)
где Xk = 1,2,3. Наряду с моментами так же рассматривают
M%U,= [U*bfdv, (2)
где U = V - V. Моменты MW и M<*> могут быть выражены друг через друга. С этой точки зрения параметры гидродинамических уравнений МГД плазмы (локальные плотность, импульс и температура) являются моментами одночастичной функции распределения. Например,
n(t, г) = М<> (3)
— число частиц в единице объема,
Vx(t,r) = VJ (4)
п А
средняя скорость частиц,
tm = M! (5)
— средняя температура газа.
Уравнение для функции распределения / впервые было получено Больцманом для газа нейтральных частиц, и носит его имя:
Здесь df/dt — производная вдоль фазовой траектории частиц, a St — скорость изменения количества частиц вдоль фазовой траектории за счет столкновений между ними, так же называемая интегралом столкновений. Больцман так же установил, что для «сумматорных инвариантов» фг, г = 0,1,2,3,4, где
фо(уа) = та; ф\{\а) = mavax; ^4 (va) = mav2a, (7)
а величины
CWa/J = / Wva)SWrfv<* (8)
удовлетворяют следующим соотношениям:
(^/3 + (^)/^ = 0. (9)
Равновесное решение уравнения (6)
v 3/2
/(0)fer,v) = n(^j ехр
v 3/2 г
-#(v-V)>
(10)
называется Максвелловским распределением, и было открыто Максвеллом еще до получения Больцманом уравнения (6).
Несмотря на то, что кинетическое уравнение (6) успешно использовалось для описания процессов в газах, оно не сразу нашло применение в теории плазмы. Так Тонке и Ленгмюр уже в работе [18] рассматривали самосогласованным образом движение частиц плазмы и электромагнитного поля, однако не использовали кинетическое уравнение. Вероятно причиной тому служит тот факт, что для рассмотрения кинетического уравнения для заряженных частиц требуется записать интеграл столкновений St для далеких столкновений заряженных частиц, соответствующих малому изменению их импульсов. Впервые это сделал Ландау [19]. В так называемом приближении кулоновского логарифма интеграл столкновений частиц сорта а и /3, имеет вид [20]:
Sta/7(/a, М = -divsaj0 5
, х fr4#W ((ІаЩ f'0dfa\n
Uxy, = ^-з ; u = v - v , (12)
a AQp — кулоновский логарифм столкновений между частицами сортов а и (3. В формулах величины без штрихов являются функциями координаты ra = г и скорости va = v частицы сорта а, а величины со штрихами являются функциями координаты гд = г' и скорости vp = v' частицы сорта (3. Идея Ленгмюра—Тонкса рассматривать движение частиц и электромагнитное поле самосогласованным образом впервые была реализована в кинетическом уравнении Власовым [21] для случая бесстолкновителыюй плазмы, когда интеграл столкновений St = 0. В этом случае уравнение (6) принимает вид:
df df ze ( 1 \ df
где Е и В — напряженности электрического и магнитного полей, для которых справедливы уравнения Максвелла:
divE = 47rp; -^5 = -rotE; divB = 0; rotB = — j + --^. (14)
с at с с at
Уравнение (13) описывает поведение так называемой бесстолкновительной плазмы. В случае столкновителыюй плазмы кинетическое уравнение принимает вид:
dfa dfa
dt дг ...ІЖ . _ , _.
+e(E+^Bi)^=5>*- (15)
где Staf3 определяется формулами (11)-(12).
Уравнение (6) решается точно только в ряде простых задач. В общем случае необходимы приближенные математические методы. Одним из них является метод разложения функции / по малому параметру е:
/(*,r,v) = ]Ty/(fc)fer,v). (16)
Впервые такой подход в кинетической теории газов был использован немецким математиком Гильбертом [22]. В качестве малого параметра он взял число Кнудсена Кп, равное отношению длины свободного пробега частицы Л к характерному размеру системы L. Им был исследован частный случай газа, состоящего из идеальных упругих шаров, для которого разработанный им метод имеет математически строгое и в тоже время достаточно простое обоснование. Гильберт установил, что в рассматриваемом случае решение / в любой момент времени определяется пятью величинами, которые есть плотность частиц газа п, три компоненты средней скорости V и температура Т. Он так же показал, что уравнения гидродинамики для макроскопических параметров газа п, V и Т получаются естественным образом, как условия разрешимости уравнений для последовательных приближений ряда (16), получающихся из кинетического уравнения (6). Класс решений уравнения (6), представимых в виде ряда (16), называется гильбертовым классом нормальных решений. Энског использовал метод Гильберта и на его основе получил разложение в ряд функции распределения, описанное
им в докторской диссертации [23]. В отличие от метода Гильберта, производная df/dt раскладывается в ряд
не по очевидной формуле
J = A>W (iv)
2>(> = 0; 1)(*) = ^Ц—; к>0, (18)
а так, чтобы уравнения для макроскопических параметров вещества, получаемые в каждом порядке аппроксимации к, решались в явном виде относительно /(*). На основе этого метода Энскогом были получены имеющие практическое значение транспортные коэффициенты и предсказано явление термодиффузии. Аналогичные результаты были независимо получены Чепменом путём обобщения предложенного Максвеллом метода нахождения кинетических коэффициентов. Метод Энскога был использован Чепменом и Каулингом [24], вследствие чего стал известен как метод Чепмена—Энскога. Он впервые позволил получить в явном виде члены к > 1 разложения (16). Непосредственно Энскогом было получено решение для к = 1. Члены следующего порядка к = 2 на основе метода Чепмена—Энскога получил Барнетт [25]. Кроме того, им впервые был предложен способ, позволяющий методом Чепмена—Энскога получить выражения для транспортных коэффициентов в виде, удобном для численных расчетов, заключающийся в разложении коэффициетов слагаемых получающегося для /^ решения в ряд по полиномам Сонина, так же называемым полиномами Лаггера. Для достижения требуемой точности оказывается достаточным учесть только несколько первых N членов ряда. В различное время этот подход был использован Каулингом [26] для случая N = 2, Ландзхоффом [27] и Брагинским [28] для случая N = 3, Шкарофским [29] для N = 4, Канеко [30] для N = 6, Фенебергом и Фиссерром [31] для N = 9. Метод Чепмена—Энскога использует предположение метода Гильберта, согласно которому функция распределния зависит только от п, V и Т, т.е. является функцией моментов нулевого, первого и второго порядков, а остальные моменты однозначно определяются значениями моментов нулевого, первого и второго порядков.
Кроме того, в нем, как и в методе Гильберта выполнено предположение о малости числа Кнудсена Кп. Среди других способов решения [32] кинетического уравнения стоит отметить метод моментов Грэда [33, 34]. Грэд обобщил предположение Гильберта, согласно которому решение кинетического уравнения принадлежит классу решений, зависящих только от первых пяти моментов М.(\ Мх , М\у предполагается, что функция распределения целиком определяется значениями некоторой совокупности моментов M(fcl), ..., М^:
/ = /(v,M^),...,M^)), (19)
а остальные моменты однозначно определяются значениями моментов M^kl\ ..., M^ktf\ Этот подход был реализован Трэдом путём разложения функции распределения / в ряд по полиномам Эрмита Н^:
/=/^^+.^+-+^.
...aX.^ + '-J. (2)
где аУ
..Aw коэффициенты, функции і и г. Трэдом было получено
широкоизвестное 13-ти моментное приближение [33, 35, 36].
На основе метода Чепмена—Энскога и идеи Барнетта использования
полиномов Сонина во второй половине двадцатого века был проведен
ряд математических исследований [28—38], посвященных вычислению
транспортных коэффициентов в диссипативных потоках уравнений МГД
