Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Методы решения задач рассеяния в случае оптического потенциала. Описание с помощью формализма Т-матрицы ...15
1. Описание процесса рассеяния в Т-матричном подходе. Случай локальных гладких возмущений 16
2. Обратная задача рассеяния для локальных потенциалов из класса операторов j 24
3. Нестационарная постановка задачи рассеяния в случае нелокального оптического потенциала. Единственность решения 32
4. Метод решения уравнения для Т-оператора в случае оптического потенциала 38
5. Условия разрешимости уравнения для компонент оператора life). 43
6. Обратная задача рассеяния для нелокального оптического потенциала взаимодействия 49
Глава II. Исследование линейно зависимых по энергии потенциалов с помощью методов обратной задачи 57
1. Потенциальные модели, приводящие к взаимодействию вида 58
2. Преобразование Лиувилля и свойства решений уравнения (2.25) 66
3. Обратная задача для уравнения Шредингера с потенци алом, линейно зависящим от энергии 73
4. Случаи, допускающие решение обратной задачи для компонент потенциала 81
5. Сравнительный анализ нуклон-нуклонного взаимодействия в случае зависимых и независимых от энергии потенциалов 85
Глава III. Оценка точности восстановления потенциалов 94
1. Достоверность потенциальных моделей, построенных по методу обратной задачи теории рассеяния. Случай С = 0 95
2. Поведение S -матрицы на бесконечности и связанная с этим погрешность восстановления потенциала 106
2.1. Случай слабопеременной функции S(k) 107
2.2. Произвольный вид зависимости $fk) 112
3. Влияние ошибки в измерении экспериментальных данных на погрешность восстановления потенциала..116
4. Устойчивость обратной задачи рассеяния в случае 118
5. Оценка погрешности для t- 1 126
6. Устойчивость решения обратной задачи в Т-матричном подходе 131
Заключение 138
Литература 140
- Нестационарная постановка задачи рассеяния в случае нелокального оптического потенциала. Единственность решения
- Обратная задача рассеяния для нелокального оптического потенциала взаимодействия
- Обратная задача для уравнения Шредингера с потенци алом, линейно зависящим от энергии
- Достоверность потенциальных моделей, построенных по методу обратной задачи теории рассеяния. Случай С = 0
Введение к работе
В диссертационной работе рассматриваются метода решения обратной задачи рассеяния для известных ядерных потенциалов: оптического и зависящего линейно от энергии. При этом изучается возможность практического использования этого класса функций взаимодействий для решения задач ядерной физики.
Актуальность темы. Как известно, одним из основных методов исследования квантовомеханических систем является обратная задача теории рассеяния. К настоящему времени благодаря основополагающим работам Гельфанда И.М. и Левитана Б.М. [75] , Марченко В. А. [77], Фаддеева Л.Д. [97] создан соответствующий математический аппарат этой теории. Построено большое количество различных, в том числе, точно решаемых моделей. Они могут быть успешно ис: .-пользованы для рассмотрения конкретных задач атомной и ядерной физики. Однако, практическое применение этих методов сильно отстает от темпов развития самой теории. Образовался разрыв между теоретическими моделями и их конкретными приложениями.
Это расхождение связано в основном с неоднозначностью восстановления потенциала по неполным данным рассеяния, которые измерены с некоторой экспериментальной погрешностью. Обратная задача становится устойчивой, если использовать априорную информацию извлекаемую из дополнительных физических данных. Современное состояние теоретической и экспериментальной ядерной физики позволяет получить такие сведения. Это, например, информация о продолжении амплитуды рассеяния ( 6 -матрицы) на область, недоступную для прямого измерения. Или общий вид функции взаимодействия, предсказываемый современной теорией. В итоге изучение указанного выше класса потенциалов методом обратной задачи рассеяния оказывается своевременным и важным с точки зрения практического использования как новых, так и уже построенных моделей.
Цель работы, заключается, во-первых, в построении новых методов решения обратной задачи теории рассеяния для специальных видов ядерных потенциалов (оптического и зависящего линейно от энергии), во-вторых, в изучении свойств этого и других классов потенциалов для решения конкретных задач ядерной физики.
Научная новизна. В работе построены методы решения прямой и обратной задачи рассеяния для случая оптического потенциала и функции взаимодействия, зависящей линейно от энергии. С этой целью использованы два возможных подхода в квантовой теории рассеяния: нестационарный (Т-матричный) и стационарный. Найдены достаточные условия разрешимости соответствующих уравнений, а также ограничения, при которых решение обратной задачи оказывается устойчивым. Определены условия на данные рассеяния, при которых задача с линейно зависящим от энергии потенциалом эквивалентна уже изученной задаче с локальным взаимодействием. Рассмотрены возможности использования полученных методов для решения некоторых задач ядерной физики. Для этого изучалось влияние ошибки измерения экспериментальных данных на точность восстановления потенциала.Задача рассматривалась в 3-х мерном и одномерном случае (на положительной полуоси) для различных значений орбитального момента. Получены оценки точности восстановления уже построенных потенциальных моделей. Кроме того, рассмотрена возможность практического использования других потенциалов (локальных и нелокальных), которые найдены методом обратной задачи теории рассеяния.
Научная и практическая ценность работы. Разработаны методы решения задач рассеяния для потенциалов: оптического (нелокального) и зависящего линейно от энергии. Они могут быть использованы для нахождения нуклон-нуклонных, нуклон-ядерных функций взаимодействия. Аналогичные методы применимы для определения переменного коэффициента преломления в неоднородных средах. Сведение нестационарной задачи рассеяния к уравнению Липпмана-Швингера с оптическим потенциалом позволяет решить проблему устойчивости при восстановлении функции взаимодействия без привлечения дополнительных сведений о продолжении амплитуды рассеяния на область высоких энергий. Решение задачи устойчивости в стационарном подходе также дает оценки точности восстановления потенциала по неполным данным рассеяния. Они записаны как функции погрешности измерения экспериментальных данных , предельной энергии /V , до которой определяются данные рассеяния, а также некоторой априорной величины. Полученные неравенства позволяют оценить ошибку восстановления потенциалов. Они показывают, что наилучший результат достигается в случае слабых потенциалов (Т-матричный метод) и при нулевом орбитальном моменте (в стационарном подходе). В последнем случае точность восстановления резко уменьшается при Х- 0. Фактически это позволяет использовать обратную задачу рассеяния для определения поведения потенциалов начиная с расстояния порядка 0,4 - 0,5 Ферми.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Во введении излагается суть исследуемых в работе проблем, дается описание выбранных подходов к их решению и приводится краткое содержание полученных результатов.
Первая глава, состоящая из 6 параграфов, посвящена изучению Т-матричного подхода к задачам нерелятивистской теории рассеяния. При этом основное внимание уделяется случаю оптического (нелокального) потенциала.
Б §1 формулируется нестационарная задача рассеяния для локальной функции взаимодействия. Излагаются некоторые вопросы теории Т-оператора (амплитуды рассеяния), необходимые в дальнейшем. Вводится в рассмотрение класс интегральных операторов J , на котором определяется Т-амплитуда и оператор взаимодействия.
В §2 изучается обратная задача рассеяния в случае локального потенциала V С к", ) - V(C) из множества Г . При этом условие принадлежности классу Ґ исключает из рассмотрения случай связанных состояний. В качестве данных рассеяния рассматривается Т-амплитуда (к., к , к +iP) для рассеяния назад $ (kC kt 1° (антипараллельная ориентация векторов к и 1С ). Записаны уравнения, сопоставляющие оператору В с ядром ЗЬСіС-к к /- потенциал р ( - ). Проводится их исследование методом, аналогичным предложенному в работе [ю]. Получены более общие условия на функцию 7Г(1С- ) ,при которых существует единственное решение. Оно может быть найдено методом последовательных приближений. Сделано обобщение найденных уравнений на случай произвольной ориентации векторов к, и г.
В §3 формулируется нестационарная постановка задачи рассеяния для нелокального оптического потенциала. Выясняются условия при которых решение единственно. Показывается, что произвольный процесс рассеяния двух нерелятивистских частиц описывается "канальной" амплитудой ij (к, Jcj к №) , которая определена суть на некотором ограниченном множестве импульсов ktK Є К • Соответствующий оператор Tj, удовлетворяет уравнению Липпма-на-Швингера с оптическим потенциалом Кб . Причем нелокальная добавка к оператору взаимодействия оказывается прямо связана с продолжением Т-амплитуды на область недоступную прямому измерению.
В §4 изучается интегральное уравнение для функции
. После разделения действительной и мнимой частей амплитуды "tj. 0) и потенциала Іґи. (•) оно сводится к системе двух уравнений, которые представляются в матричной форме. Это соотношение после некоторых ;. преобразований переписывается затем к новому виду. Полученное таким образом матричное уравнение относительно компонент "td. С ) обладает важным свойством. Оно является уравнением Фредгольма 2-рода (не содержит в своих ядрах интегрируемой особенности) и может быть использовано для численного расчета.
В §5 определяются условия, при которых существует единственное решение системы интегральных уравнений, полученной в предыдущем параграфе. Здесь кроме компонент потенциала 0 (kt к % - V . f J{- к? ) +1 ТКс (к-к J вводится в рассмотрение разделен-ная разность - и)(кУ) = [ir/ UV - V fa Ol/l/Tj . Доказывается, что если компоненты Vlt (к) и CfJ удовлетворяют условиям Гельдера [iJ , то существует единственное решение матричного уравнения для действительной и мнимой частей канального Too -оператора. Фактически эти условия означают, что потенциал взаимодействия V& в импульсном представлении должен быть гладкой функцией, убывающей на бесконечности быстрее чем л/к .
§6 изучается обратная задача рассеяния для случая оптического потенциала 14, . Утверждается, что общий подход к решению этой проблемы, описанный в предыдущих параграфах применим также и в этом случае. В явном виде записаны соответствующие уравнения. Главное условие существования решения по-прежнему заключается в принадлежности операторов Уь и Т/, классу Фридрихса У" [3J . Показывается, что отображение Ъл. - Т ь является взаимооднозначным и непрерывным при условии, что амплитуда рассеяния назад 3.6 оценивается по норме // • У/у-числом 0,17. Приводится также ограничение на оптический потенци-ал Yj, , который может быть восстановлен этим методом.
Глава П состоит из 5 параграфов и посвящена исследованию потенциалов, зависящих линейно от энергии. В данном случае рассматривается стационарная формулировка теории рассеяния.
При этом большое внимание уделяется современным кварковым моделям ядерных сил, учитывающим отдельно адронные и кварк-глгоон-ные степени свободы. Мы показываем, что общий вид нуклон-нуклон-ного потенциала в модели составных кваркових мешков [зі] сводится к функции взаимодействия ТҐ( , Е) и совпадает по форме с оп-тическим потенциалом 1, . К такому же виду (B.I) приводится например, взаимодействие в мезонной теории ядерных сил с учетом релятивистских поправок, а также действительная часть оптического нуклон-нуклонного потенциала. Кроме того, функция (B.I) описывает распространение волн в среде с переменным коэффициентом преломления.
- 10 В §2 рассматривается преобразование Лиувилля для уравнения Щредингера с потенциалом Vf , Е) . Это преобразование позволяет свести указанную задачу к уравнению Щредингера на полуоси ft оо) с независящим от энергии потенциалом ty (г) (г# -= У (1- Y1- Wfa) J oft + Сл , C1 -произвольная константа). При этом регулярное и нерегулярное в нуле решения также преобразуются. Получены соответствующие формулы перехода.
В §3 рассматривается решение обратной задачи для уравнения Щредингера с потенциалом 1rf/,Ej . Для этого на основе формулы преобразования решения Иоста получены соотношения, связывающие данные рассеяния для задач с потенциалами V( tE) и ci ft) соответственно. Показано, что при наличии связанных состояний потенциал (f(f-) может быть восстановлен однозначно, если имеется дополнительная информация о величине Wfo) . В противном случае прямая и обратная задача рассеяния с потенциалами V fx,Е) ж %ff) оказываются эквивалентными друг другу в смысле равенства данных рассеяния. Это в частности означает, что линейная зависимость от энергии для функции (B.I) приводит к появлению твердого кора в точке - J0 (4- УІ-ltrfb] joli у потенциала CL(t) .
Задача определения всех компонент 16fx), Wfx] потенциала (B.I) по одному набору данных рассеяния оказывается недоопреде-ленной. Поэтому полное восстановление функций Ufx)t ZPfx) возможно лишь при наличии дополнительной информации. Задача о нахождении всего потенциала 1/fr, Е) в некоторых частных случаях рассмотрена в §4. Приводятся соответствующие примеры. Первый из них касается случая сферически симметричной функции fyf?) и сводится в конечном итоге к нахождению простой квадратуры.
Второй использует в качестве априорной информации сведения о величине %1Ы) . Получено нелинейное дифференциальное уравнение относительно функции WM . Его решение может быть найдено численно.
В §5 проводится сравнительный анализ различных функций нуклон-нуклонного взаимодействия. В частности для парижского потенциала (он описывается формулой (B.I) [36 ] ) вычислен фазово-эквивалентный потенциал Ц-(ґ) (состояние $о , 1-1 ). Он характеризуется наличием твердой отталкивательной сердцевины в точке 6 = 0,440 Ферми, которая сменяется узкой глубокой областью притяжения, переходящей затем в мягкий кор высотой порядка 800 МэВ. В остальном поведение функции Cjr (г) напоминает потенциал Рейда [50 ] . Это подтверждается сравнением фазовых кривых, построенных нами для потенциалов Рейда, Сь (ґ) , VfyE). Далее отмечается, что указанная выше особенность в поведении функции О. (г) (твердый кор + сильное притяжение + мягкий кор и мезонный хвост) может приводить к появлению дибарионннх резо-нансов в системе нуклон-нуклон.
Глава Ш состоит из 6 параграфов и посвящена изучению вопросов устойчивости восстановления потенциалов по неполным данным рассеяния. Рассматриваются две возможные формулировки теории рассеяния: нестационарная и стационарная. (Соответствующие методы решения изучались в предыдущих параграфах). Мы рассматриваем случай корректно поставленной обратной задачи рассеяния. Это достигается введением априорной информации, которая может быть получена из дополнительных физических соображений.
В §1 формулируется задача, связанная с устойчивостью определения потенциала по неполным данным рассеяния ( tsO )$ которые измерены на интервале энергий 1°, 1 с ошибкой .
Под этим мы понимаем оценку погрешности восстановления потенциала в уравнении Щредингера для радиальной волновой функции. Рассмотрены различные конкретные потенциальные модели, построенные методом обратной задачи теории рассеяния. Из-за большого практического значения особое внимание уделено точно решаемым моделям. Показано, что существующие оценки точности восстановления потенциала не позволяют разумно интерпретировать полученные результаты.
В §2 изучается погрешность определения потенциальной функции V"M связанная с неоднозначным продолжением S -мат-рипы 6 (к) на область I k I /V . Рассматриваются случаи раз-личного поведения S(k J при /к 1 Л/ .В первом из них получена оценка погрешности восстановления в предположении, что vS Ck ) является слабопеременной функцией по сравнению с бнст-роосциллирующими решениями Иоста. Во втором случае рассматривается произвольное поведение vS -матрицы при J к I /1/ для класса гладких потенциалов. Получены соответствующие оценки для величины A Vfx) . В обоих случаях они записаны, как функции экспериментальной ошибки , предельной энергии /V , а также некоторых априорных функций, связанных с поведением потенциала V( ) В качестве примера рассмотрена погрешность восстановления А/А/-потенциала Спранга-Стривасавы [79] , построенного методом Марченко по iS 0 фазам, измеренным до энергии 450 МэВ.
В §3 рассматривается вклад в ошибку восстановления A V"fyj связанный с неточностью измерения vS -матрицы на интервале энергий t0, 2] . Получена соответствующая оценка для величины Л V(x) . Она иллюстрируется графически на примере потенциала Г79І . Рассмотрено обобщение найденного неравенства на случай
В §4 формулируется задача о погрешности восстановления потенциала по данным рассеяния, измеренным при с о. Получена основная формула связывающая функцию с поведением
-матрицы и решения Иоста f (W при Iklelo l Далее рассматриваются преобразования Крама-Крейва для уравнения типа Штурма-Лиувилля. Они позволяют получить рекуррентную формулу для ошибки восстановления потенциала Vfy О . В указанном соотношении величина hO (t/) выражается через функции C4 ot... t и A fy) - Atrfc,0) , кото рые оцениваются методами, изложенными в §2, 3.
В §5 оценивается ошибка восстановления потенциала в частном случае і = I. Получено явное выражение для оценочной функции. Из него следует, что если і - I, то для реальных потенциалов С У„ 10"№/)1 dt О метод обратной задачи теории рассеяния позволяет получить разумную информацию только при X %/ I ф.
В §6 рассматривается задача об устойчивом восстановлении потенциала ТгґА, k ) в Т-матричном подходе. Найдены достаточные условия, при которых решение обратной задачи устойчиво. Показано, что продолжение Т-амплитуды на область, недоступную прямому измерению, связано с погрешностью восстановления потенциала. Получена оценка точности и AVа", г)чі7 , как функция априорной величины Tfid , которая является продолжением Т-оператора на"нефизческуюг,область. Далее утверждается, что использование вместо полной Т-амплитуды "канального" 1 -оператора, позволяет получить аналогичную оценку вообще без всяких априорных предположений. Соответствующее неравенство дает возможность оценить погрешность восстановления потенциала по норме II IIj- при некоторых ограничениях на данные рассеяния. На защиту выносятся следующие положения:
1. Методы решения прямой и обратной задачи рассеяния для уравнения Липпмана-Швингера с оптическим потенциалом.
2. Доказательство существования единственного решения в классе гладких потенциалов, убывающих на бесконечности быстрее, чем 4/къ .
3. Решение обратной задачи рассеяния для уравнения Шредин-гера с потенциалом, зависящим линейно от энергии.
4. Численные расчеты для парижского нуклон-нуклонного потенциала, демонстрирующие связь завистшх и независимых от энергии функций взаимодействия.
5. Оценка погрешности восстановления потенциала в радиальном уравнении Шредингера при 0, а также соответствующие численные расчеты, выполненные для NW -потенциала Спранга-Стриваеавн.
6. Решение задачи о погрешности восстановления потенциала в уравнении для Т-амплитуды рассеяния.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на семинаре по теории рассеяния отдела физики атомного ядра, на Ломоносовских чтениях (Москва, 1982г.), на Всесоюзных совещаниях по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра (Киев, 1981г., Ленинград, 1982г., Алма-Ата,1984г.), на Международной конференции по поляризационным явлениям в ядерной физике (Лос-Аламос, 1981г.) и опубликованы в работах [lOO]-[Ю4] .
Нестационарная постановка задачи рассеяния в случае нелокального оптического потенциала. Единственность решения
Б 6 изучается обратная задача рассеяния для случая оптического потенциала 14, . Утверждается, что общий подход к решению этой проблемы, описанный в предыдущих параграфах применим также и в этом случае. В явном виде записаны соответствующие уравнения. Главное условие существования решения по-прежнему заключается в принадлежности операторов Уь и Т/, классу Фридрихса У" [3J . Показывается, что отображение Ъл. - Т ь является взаимооднозначным и непрерывным при условии, что амплитуда рассеяния назад 3.6 оценивается по норме // У/у-числом 0,17. Приводится также ограничение на оптический потенци-ал Yj, , который может быть восстановлен этим методом.
Глава П состоит из 5 параграфов и посвящена исследованию потенциалов, зависящих линейно от энергии. В данном случае рассматривается стационарная формулировка теории рассеяния. В 1 приводится обзор работ, в которых основную роль играет потенциал вида При этом большое внимание уделяется современным кварковым моделям ядерных сил, учитывающим отдельно адронные и кварк-глгоон-ные степени свободы. Мы показываем, что общий вид нуклон-нуклон-ного потенциала в модели составных кваркових мешков [зі] сводится к функции взаимодействия ТҐ( , Е) и совпадает по форме с оп-тическим потенциалом 1, . К такому же виду (B.I) приводится например, взаимодействие в мезонной теории ядерных сил с учетом релятивистских поправок, а также действительная часть оптического нуклон-нуклонного потенциала. Кроме того, функция (B.I) описывает распространение волн в среде с переменным коэффициентом преломления.
В 2 рассматривается преобразование Лиувилля для уравнения Щредингера с потенциалом Vf , Е) . Это преобразование позволяет свести указанную задачу к уравнению Щредингера на полуоси ft оо) с независящим от энергии потенциалом ty (г) (г# -= У (1- Y1- Wfa) J oft + Сл , C1 -произвольная константа). При этом регулярное и нерегулярное в нуле решения также преобразуются. Получены соответствующие формулы перехода.
В 3 рассматривается решение обратной задачи для уравнения Щредингера с потенциалом 1rf/,Ej . Для этого на основе формулы преобразования решения Иоста получены соотношения, связывающие данные рассеяния для задач с потенциалами V( tE) и ci ft) соответственно. Показано, что при наличии связанных состояний потенциал (f(f-) может быть восстановлен однозначно, если имеется дополнительная информация о величине Wfo) . В противном случае прямая и обратная задача рассеяния с потенциалами V fx,Е) ж %ff) оказываются эквивалентными друг другу в смысле равенства данных рассеяния. Это в частности означает, что линейная зависимость от энергии для функции (B.I) приводит к появлению твердого кора в точке - J0 (4- УІ-ltrfb] joli у потенциала CL(t) .
Задача определения всех компонент 16fx), Wfx] потенциала (B.I) по одному набору данных рассеяния оказывается недоопреде-ленной. Поэтому полное восстановление функций Ufx)t ZPfx) возможно лишь при наличии дополнительной информации. Задача о нахождении всего потенциала 1/fr, Е) в некоторых частных случаях рассмотрена в 4. Приводятся соответствующие примеры. Первый из них касается случая сферически симметричной функции fyf?) и сводится в конечном итоге к нахождению простой квадратуры.
Второй использует в качестве априорной информации сведения о величине %1Ы) . Получено нелинейное дифференциальное уравнение относительно функции WM . Его решение может быть найдено численно.
В 5 проводится сравнительный анализ различных функций нуклон-нуклонного взаимодействия. В частности для парижского потенциала (он описывается формулой (B.I) [36 ] ) вычислен фазово-эквивалентный потенциал Ц-(ґ) (состояние $о , 1-1 ). Он характеризуется наличием твердой отталкивательной сердцевины в точке 6 = 0,440 Ферми, которая сменяется узкой глубокой областью притяжения, переходящей затем в мягкий кор высотой порядка 800 МэВ. В остальном поведение функции Cjr (г) напоминает потенциал Рейда [50 ] . Это подтверждается сравнением фазовых кривых, построенных нами для потенциалов Рейда, Сь (ґ) , VfyE). Далее отмечается, что указанная выше особенность в поведении функции О. (г) (твердый кор + сильное притяжение + мягкий кор и мезонный хвост) может приводить к появлению дибарионннх резо-нансов в системе нуклон-нуклон.
Глава Ш состоит из 6 параграфов и посвящена изучению вопросов устойчивости восстановления потенциалов по неполным данным рассеяния. Рассматриваются две возможные формулировки теории рассеяния: нестационарная и стационарная. (Соответствующие методы решения изучались в предыдущих параграфах). Мы рассматриваем случай корректно поставленной обратной задачи рассеяния. Это достигается введением априорной информации, которая может быть получена из дополнительных физических соображений.
Обратная задача рассеяния для нелокального оптического потенциала взаимодействия
Повторяя рассуждения, изложенные в конце 2, нетрудно установить, что Отт осуществляет взаимооднозначное и непрерывное отображение (J L "" %р 1%. При этом, если $ U j-f] то указанное преобразование —$7 определяется как решение уравнения (I.I06). Найденный элемент
Удовлетворяет оценке JlXillj- О»29- кРме того» как следует из (I.I06) и (I.I04) Ц (, // 0,29, это неравенство ограничивает класс потенциалов, которые могут быть восстановлены методом обратной задачи, изложенным выше.
Обратная задача рассеяния в стационарной постановке детально исследовалась многими авторами. Однако развитие современных представлений о структуре ядра ставит новые важные вопросы в этой области. К их числу можно отнести в первую очередь задачу для потенциала, зависящего линейно от энергии Такой потенциал, например, возникает в теории нуклон-нуклонного рассеяния, как следствие общего оператора взаимодействия (1.67), рассмотренного в предыдущем разделе.
В этой главе будет изучаться обратная задача рассеяния для уравнения Щредингера с потенциалом типа (2.1). Мы покажем,что ее решение с помощью преобразования Лиувилля сводится к решению уже изученной задачи с потенциалом Cj(t) , который не содержит зависимости от энергии. Если связанные состояния отсутствуют, то функции VT tE) и Cj(t) оказываются экспериментально неразличимыми. Характерно, что линейная зависимость от энергии у потенциала Vt tE) приводит к появлению твердой отталкивательной сердцевины у фазовоэквивалентного оператора Cj(lr) . Соответствующая функция QW бУЯет построена для случая парижского потенциала V?x,Ej, который, как известно, описывается формулой (2.1).
Мы покажем, что из-за недоопределенноети обратной задачи с потенциалом (2.1) полностью восстановить компоненты 1АЫ) и ilTfx) можно . лишь в нескольких частных случаях. Все они имеют место в отсутствии связанных состояний. В противном случае требуется дополнительная информация о величине №(о) .
Потенциал (2.1) с линейным по энергии членом EWC ) используется во многих теоретических и эмпирических моделях ядерной физики. Рассмотрим в качестве первого и наиболее важного примера случай нуклон-нуклонного взаимодействия.
Как известно, мезонная теория ядерных сил [20J; J2IJ наиболее точно описывает периферическую область /И/И -потенциала, но сталкивается с большими трудностями при переходе к меньшим расстояниям. Дальнейшее развитие в понимании адронных взаимодействий связано с квантовой хромодинамикой. В соответствии с ней все адроны состоят из цветных кварков, взаимодействие между которыми обусловлено обменом безмассовыми частицами - глюонами. Два фундаментальных факта определяют эту теорию: эффект невылетания Сконфайнмента) кварков и глюонов на больших расстояниях (порядка радиуса конфайнмента v ) и асимптотическая свобода взаимодействий на расстояниях Ґ ? о . В нуклон-нуклонном рассеянии при энергиях, когда неупругими процессами можно пренебречь, взаимодействие при Ґ о играет существенную роль.
В такой ситуации описание /V/И -рассеяния в рамках квантовой хромодинамики представляет собой сложную проблему, поскольку в данном случае нельзя использовать теорию возмущений. Поэтому при построении конкретной модели адрон-адронннх взаимодействий разумным является такой подход, который учитывает кварк-глю-онные степени свободы на расстояниях, меньших радиуса конфайнмента, и приводит к мезонной картине взаимодействий на больших расстояниях. Конкретным воплощением этой идеи является модель составных кварковнх мешков (СКМ ) , основы которой были заложенн в [22] - [25].
В этой модели два нуклона рассматриваются как два мешка,со держащие кварки и глюонн, двигающиеся почти свободно внутри меш ков и ограниченные снаружи стенками мешков (радиусом конфайнмента) Когда нуклоны сближаются и мешки начинают перекрываться, образует ся один общий шестикварковый мешок. Это дает возможность рассмот реть отдельно адронный % и кварковий iff каналы соответст венно, как два равноправных канала [2б] -[28] . При этом полная волновая функция, описывающая кварк-адронную систему состоит из двух компонент.
Обратная задача для уравнения Шредингера с потенци алом, линейно зависящим от энергии
Мы уже выяснили, что зависящему линейно от энергии потенциалу 1r(YtE) с помощью соотношений (2.35), (2.42) ставится в соответствие преобразованный потенциал )С?) (2.36), который не содержит зависимости от энергии. Взаимодействие Cj ґ г ) эквивалентно V f t Е) в смысле равенства S(k) - -матриц. Это дает возможность по известным данным рассеяния определить по крайней мере потенциал С) С г) .Для нахождения исходного взаимодействия требуется дополнительная информация. В этом смысле из двух фазовоэквивалентных потенциалов наиболее предпочтительным является
Важно отметить, что такое соответствие имеет место только при отсутствии связанных состояний. Действительно, единственными преобразуемыми величинами при переходе от 1Г ( , к ) - CfCr) являются нормировочные константы: которые требуют априорного знания величины UX (o) ,Ит"ак, если связанных состояний нет, то единственной наблюдаемой величиной является 5 (к ): S -матрица, относительно которой полностью эквивалентны. Эта эквивалентность зависящего и независящего от энергии по тенциалов будет продемонстрирована на важном примере нуклон-нук лонного взаимодействия. В качестве У( -, ) будем рассматривать парижский потенциал [36] ,который имеет вид (2.15) или в парамет ризованной форме (2.17) [41], более пригодной для конкретных вы числений. Типичный вид компонент 1А( ) f w(x) . состояние JT« І , i vS о приведен на рис.3. Взаимодействию V (x k ) соответствует S -матрица (k) которая при замене Y - Ґ , It fa) - (ґ) остается неизменной: S (к) -Sfkj . Данное утверждение является следствием того, что кривые нуклон-нуклонного рассеяния одинаково хорошо описываются как простым потенциалом, так и зависящим линейно от энергии. Этот факт можно проиллюстрировать рисунком, взятым из работы [52] (рис.4). На нем отражены результаты подгонки различных теоретических моделей, описывающих NA/ -взаимодействие, к экспериментальным данным (сечениям рассеяния, поляризациям, спиновым корреляциям). Зависимость общей величины j (на степень свободы) приведена как функция энергии Т . Для сравнения изображены значения $ (т) ДЛЯ фазового анализа Арндта и др. [5.3- 55 J Как отмечается в [5б] и как следует из приведенного рисунка4 наилучшее согласие с результатами эксперимента дают потенциал Рейда с мягким кором и парижский, потенциал. При этом последний является более предпочтительным, тк. в его основе лежат фундаментальные теоретические принципы: дальнодействующая и промежуточная части парижского потенциала основываются на вкладах однопионного, двухпионного и доли трехпионного обменов. Короткодейтсвующая часть ( Г & 0,8) была получена чисто феноменологически. Так как теоретическая составляющая парижского потенциала содержит линейную зависимость от энергии, то аналогичный вид взаимодействия был перенесен на короткодействующую часть. Справедливость этого вывода подтверждается в рамках модели составных мешков, рассмотренной в I. Однако, соответствующий нук-лон-нуклонный потенциал (2.14), кроме линейной по энергии компоненты , содержит дополнительные слагаемые, также зависимые от энергии [35] . Полный вид функции взаимодействия в модели мешков, приведенный в [35] и [34], свидетельствует о том, что отдельный учет кварк-глюонных и адронных степеней свободы делает yV/V-потенциал сильно зависящим от энергии. При этом линейная по энергии часть V//A/ может рассматриваться как первое приближение в разложении потенциала в ряд по степеням В : Поэтому можно ожидать, что парижский потенциал, как линейная по Е функция, не будет принципиально отличаться от предложенных ранее эмпирических потенциалов типа Рейда [бо]. Выше уже упоминалось, что в отсутствии связанных состояний зависящий линейно от энергии потенциал Vfa, Е) полностью эквивалентен простому локальному взаимодействию Q ( г) Если 1Г()( Е) -парижский потенциал для состояния 1S0 (Г-і), то ему соответствует функция Cj (ґ) , определенная на полуоси Ео,о) , что равносильно наличию твердого кора в точке о (т.к. t(l)-0 ) .Для рассматриваемого состояния вычисленное нами значение величины о есть: $ = 0,440 ф Оно несколько отличается от радиуса кора первого из потенциалов Рейда [50 ] для которого Гс = 0,423.
Рассчитанная потенциальная кривая Qft) приведена на рис.5 На нем так же изображены потенциалы Рейда с твердым и мягким кором [бо]. Как видим, существенное отличие возникает при ґ » і , где функция С Сґ) характеризуется узкой и очень сильной областью притяжения, которая затем переходит при Ґ 0,57 ф в дополнительный кор конечной высоты 800 МэВ.
Достоверность потенциальных моделей, построенных по методу обратной задачи теории рассеяния. Случай С = 0
Существует ряд ядерных потенциалов, построенных этим способом. Например, в работе [69] восстанавливается нечетный потенциал нейтрон-протонного рассеяния. Сравнение с эмпирическим потенциалом Бринка [70] показывает, что возможные расхождения могут быть устранены, если в качестве экспериментальных данных использовать сечения рассеяния,минуя фазовый анализ. Примеры решения обратной задачи в такой постановке приводятся в диссертации А.С.Крылова [7l].
При построении ядерных потенциальных моделей возможны и другие методы, например, нелинейный аналог способа Ньютона [72] или статистический подход [73] . Все они для решения некорректно поставленной задачи (3.6), (3.7) используют фазовое уравнение (3.8). При этом основные результаты носят главным образом модельный характер и не имеет практического применения.
Важно отметить, что при сужении класса функций С,U) , на котором определены , обратная задача рас сеяния становится устойчивой. В этом случае функция взаимодействия может быть построена в рамках точно решаемых квантовых моделей [74] с использованием формализма Гельфанда-Левитана [75] , [бі] или Марченко [75], [бі]. )С физической точки зрения такой способ решения обратной задачи является более привлекательным. Это объясняется следующими причинами:
Во-первых, использование точно решаемых моделей (потенциалов баргмановского типа [78]) позволяет выразить функцию взаимодействия и возможные волновые функции связанных состояний в аналитическом виде. Такое решение, построенное по методу Марченко, приводится в работе [79] . Оно оказалось очень удобным и активно используется в различных приложениях наряду с традиционными потенциальными ядерными моделями (см.например [80])
Во-вторых, априорная информация, которая делает обратную задачу устойчивой, имеет ясный физический смысл и может быть установлена из других соображений. Выберем, например, в качестве области U множество функций, удовлетворяющих в нуле (3.3) и имеющих на бесконечности асимптотику е"ЛЛ/л , т.е. типа Юкавы. Тем самым мы сразу зафиксировали класс функций, отвечающих /V/V -рассеянию. Приведем еще один пример.
Во многих случаях данные эксперимента позволяют установить местоположение полюсов S -матрицы соответствующих определенному потенциалу Vfx) , как, например, в случае дибарионных резонансов [59] . Такая априорная информация оказывается особенно удобной в силу того, что при построении баргмановских потенциалов приходится параметризовать S -матрицу, в дробно-рациональном виде. При этом полюса полученной функции отвечают полюсам vS -матрицы, известной из эксперимента.
И, наконец, отметим следующее. Решение обратной задачи, как некорректно поставленной, всегда оказывается приближенным в том смысле, что где 0г -экспериментальное значение фазы, известное с ошибкой . Это в частности, означает, что для него нельзя определить ошибку восстановления потенциала, как функцию погрешности экспериментальных данных. Такую зависимость возможно установить только в соучае точно решаемых моделей, что в свою очередьпозволяет оценить надежность потенциальных моделей.
По этим же причинам в конкретных приложениях используются лишь потенциалы, найденные методом типа Гельфанда-Левитана в рамках точно решаемых квантовых моделей. К их числу, кроме упомянутого уже потенциала Спранга-Стривасавы [79] , следует отнести функцию /Vtf -взаимодействия, восстановленную Визнером [81 ] , а также Беном и Шарфом [82] (случай і 0). Конкретные примеры olet -потенциалов, построенные методом Марченко,рассматривались в работах [83 ] и [84] .
Приведенные выше потенциальные модели объединяет одна общая особенность. При решении обратной задачи во всех случаях заранее считается, что данные рассеяния известны точно на измеренном диапазоне энергий, а продолжение J {k] на область более высоких А предполагается единственным. Однако, мы знаем, что это не так, Поэтому вопрос о достоверности потенциалов, найденных методом Марченко (или Гельфанда-Левитана ) приобретает важное значение.
Первые работы, посвященные решению этой задачи были выполнены Марченко и сотрудниками [85], [86] . В них вопрос об устойчивости обратной задачи рассеяния ( в смысле определения ошибки восстановления потенциала) решался в принципе. Уточнение полученных результатов содержится в диссертации Д.Ш.Лундиной [87]. Однако, полученные в этих работах оценки обладают одним существенным недостатком: область их применения для реальных потенциалов ограничена сверхрелятивистскими энергиями. Максимально улучшенная оценка погрешности A V"6t) ), с которой может быть восстановлен потенциал v fx) по фазам рассеяния, известным только при энергии Е =A2 W была получена в работе Козела [88].
