Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Дробно-интегральные модели фрактальных распределений 13
1.1 Дробно-интегральная модель фрактальных сред 15
1.2 Гидродинамика фрактальных сред 31
1.3 Динамика фрактальных твердых тел 50
1.4 Электродинамика фрактальных распределений зарядов и полей . 60
1.5 Принцип стационарности действия для фрактальных сред 79
1.6 Уравнения Чепмена-Колмогорова для фрактальных сред 85
1.7 Статистическая механика фрактальных распределений 92
Глава 2. Модели физических систем со степенной нелокальностью 101
2.1 Динамика систем со степенным нелокальным взаимодействием . 102
2.2 Метод векторного интегро-дифференцирования дробного порядка . 130
2.3 Электродинамика со степенной нелокальностью 153
2.4 Модели статистической механики со степенной нелокальностью . 161
2.5 Дробные градиентные и гамильтоновы системы 174
Глава 3. Модели физических систем со степенной памятью 188
3.1 Электродинамика со степенной памятью 189
3.2 Динамика неголономных систем с памятью 202
3.3 Дискретные физические системы с памятью 215
Глава 4. Модели квантовых систем дробного порядка 235
4.1 Квантовая динамика дробных гамильтоновых систем 236
4.2 Квантовая динамика экранированных открытых систем 242
4.3 Квантование интегро-дифференцирования дробного порядка 256
Заключение 264
Приложение: Интегрирование дробного порядка 268
Список литературы 270
- Динамика фрактальных твердых тел
- Метод векторного интегро-дифференцирования дробного порядка
- Динамика неголономных систем с памятью
- Квантовая динамика экранированных открытых систем
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время наблюдается заметный рост интереса физиков теоретиков к методам дробного математического анализа. В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями интегро-дифференцирования дробного порядка к описанию широкого класса физических процессов и явлений, имеющих место в системах со степенной нелокальностью, со степенной памятью и фрактальностью.
Актуальной задачей современной теоретической физики является исследование явлений и систем, характеризующихся нелокальностью, эредитарностью, немарковостью, фрактальностью, негамильтоновостью. Последние годы уделяется большое внимание исследованиям степенной нелокальности и степенной долговременной памяти. Эти свойства изучаются для систем различной физической природы, относящихся к различным масштабам (от наносистем до космологии), для квантовых и классических систем, для непрерывных и дискретных. В настоящее время зарождаются основные физические концепции и создаются математические методы одного из современных направлений теоретической физики, называемого дробной динамикой (fractional dynamics). Фактически в настоящее время рождается новый раздел физики - дробная динамика. Правда этот термин еще не является устоявшимся в русскоязычной научной литературе, что нельзя сказать об англоязычной. В этом разделе теоретической физики рассматриваются в первую очередь общие свойства физических процессов со степенной памятью, со степенной нелокальностью и фрактальностью. При этом изучаются новые динамические свойства систем различной физической природы и масштабов, не зависящие от материала среды или типа физической системы, в котором осуществляется эта динамика.
Свойствами и явлениями, описываемыми предлагаемыми в диссертации моделями теоретической физики, являются (а) долговременная память, эредитар-
ность, немарковоская динамика; (б) степенная пространственная нелокальность и нелокальные взаимодействия степенного типа; (в) фрактальность структуры и ее нецелая топологическая размерность. Основой описания указанных явлений и свойств являются методы интегро-дифференцирования дробного порядка и дробного математического анализа, история которого насчитывает более трехсот лет и восходит к исследованиям большого числа известных математиков, таких как Лейбниц, Лиувилль, Риман, Абель, Рисе, Вейль. Интегралы и производные нецелого порядка, а также дробные интегро-дифференциальные уравнения находят множество применений в современных исследованиях в физике и механике. Новые возможности в математике и теоретической физике появляются, когда порядок а дифференциального оператора D% или интегрального оператора 1 становится произвольным параметром. При этом многие из обычных свойств дифференцирования целого порядка D не выполняются для операторов дробного дифференцирования Dx. Например, правило дифференцирования произведения, правило дифференцирования сложной функции, полугрупповое свойство, очевидные для производной первого порядка DX: не имеют места для операторов D". Однако существуют аналоги этих правил и свойств, задаваемые довольно громоздкими соотношениями. Дробный математический анализ является важнейшим методом для построения моделей теоретической физики, в которых интегро-дифференциальные операторы дробного порядка по времени и координатам описывают степенную долгосрочную память и пространственную нелокальность сложных сред, процессов и явлений.
Нелокальные взаимодействия изучались как в дискретных системах, так и в их непрерывных аналогах, начиная с работ Дайсона, Накано и Такахаши. Физические процессы с долговременной памятью исследовались в вязкоупругих средах, начиная с работ Больцмана, Вольтера и Работнова. Фрактальные распределения полей и частиц активно изучаются, начиная с работ Мандельброта. При
этом оставались нерешенными проблемы описания динамики фрактальных сред и распределений, динамики диэлектрических сред с универсальным откликом, неголономных систем со степенной памятью, взаимосвязи дискретных отображений с памятью и уравнений движения, согласованного описания интегральных и дифференциальных векторных операций дробного порядка, получения уравнений дробной кинетики из статистической механики, связи дискретных и непрерывных моделей физических систем с нелокальностями степенного типа, марковской динамики гамильтоновых и негамильтоновых квантовых систем со степенным экранированием окружения, квантования интегро-дифференцирования дробного порядка и некоторые другие.
Цель работы. Целью работы является
Разработать метод построения теоретических моделей, позволяющий описывать динамику фрактальных сред и распределений массы, заряда, различных типов полей и частиц, и применить этот метод для описания фрактальных систем в гидродинамике, в механике твердого тела, в электродинамике, в аналитической механике, в статистической механике.
Построить модели нелокальных взаимодействий для дискретных физических систем, таких как кристаллические решетки и линейные цепочки, которые в непрерывном пределе будут описываться уравнениями движения с производными дробного порядка.
Развить методы дробного векторного математического анализа и дробного внешнего исчисления для построения моделей физических систем со степенной нелокальностью и применить эти методы для описания моделей нелокальных систем в электродинамике, статистической механике, аналитической механике.
Построить теоретические модели систем различной физической природы, обладающих степенной памятью, а именно, (а) диэлектрических сред, подчиняющихся
законам универсального отклика; (б) механических систем с неголономными связями и долговременной степенной памятью; (в) физических систем с периодическими толчками и степенной памятью, уравнения движения которых допускают представление в виде дискретных отображений с памятью.
Построить модели марковских гамильтоновых, негамильтоновых и открытых квантовых систем со степенным экранированием окружения и разработать метод вейлевского квантования интегро-дифференцирования дробного порядка для построения квантовых аналогов моделей со степенными нелокальными свойствами.
Научная новизна. Новизна научных результатов, полученных автором и выносимых им на защиту, определяется следующим.
а) Построены принципиально новые модели описания динамики фрактальных
сред и распределений, в которых они представляются специальными сплошны
ми средами, при этом их характеристики и динамические законы описываются
интегральными уравнениями дробных порядков равных нецелым (массовой, за
рядовой, частичной и др.) размерностям сред и распределений.
б) Впервые разработан метод получения в непрерывном пределе моделей нело
кальных сплошных сред, описываемых интегро-дифференцированием нецелого
порядка по координатам, из уравнений движения дискретных систем (таких как
линейные цепочки и кристаллические решетки) с нелокальными взаимодействи
ями степенного типа.
в) Впервые взаимно согласовано определены дифференциальные и интеграль
ные векторные операции дробного порядка, на их основе сформулированы и дока
заны обобщения интегральных теорем Грина, Стокса, Гаусса. Используя методы
дробного векторного анализа, нами были построены новые модели статистической
механики и электродинамики со степенными нелокальностями.
г) Впервые построены модели градиентных и гамильтоновых систем дробно
го порядка, позволяющие сводить изучение широкого класса неградиентных и
негамильтоновых систем к исследованию свойств обобщенных потенциалов и гамильтонианов.
д) Предложен новый метод описания электромагнитных полей в диэлектри
ческих средах, подчиняющихся законам универсального отклика, основанный на
использовании уравнений с интегро-дифференцированиями дробного порядка, ко
торый явно выражается через экспериментально измеримые показатели степен
ной зависимости универсального отклика.
е) Впервые построены модели физических систем, на которые наложены него-
лономные связи с памятью, описываемой интегро-дифференцированиями Римана-
Лиувилля и Капуто дробного порядка.
ж) Впервые построены без каких-либо аппроксимаций модели дискретных си
стем (отображений) с памятью, эквивалентные моделям физических систем с пе
риодическими толчками и со степенной памятью, описываемой интегро-дифферен-
цированием дробного порядка.
з) Впервые построены модели квантовых гамильтоновых и негамильтоновых
систем со степенным экранированием окружения, в которых использовались дроб
ные степени супероператоров.
и) Впервые реализовано вейлевское квантование интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля и Лиувилля дробного порядка, позволяющее описывать квантовые аналоги классических систем со степенными нелокальностями.
Достоверность. Достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается использованием современных математических методов расчета, ясной физической интерпретацией описываемых свойств и явлений, возможностью экспериментальной проверки полученных решений. Правильность результатов проверялась с помощью предельных переходов к известным случаям и использованием компьютерных программ аналитических вычислений.
Практическая ценность. Построение моделей фрактальных сред и процессов имеет практическую ценность, так как в предлагаемых моделях дробный порядок интегрирования выражается через экспериментально измеримые (массовые, зарядовые и другие) нецелые размерности этих сред и распределений. Результаты, полученные в рамках дробно-интегральных моделей, могут быть использованы при расчетах динамических характеристик и мультипольных моментов фрактальных сред и распределений различных типов в различных областях от астрофизики до расчета коллекторов нефтегазовых месторождений.
В полученных уравнениях для электромагнитного поля в диэлектрических средах, подчиняющихся законам универсального отклика, дробный порядок интегро-дифференцирования явно выражается через экспериментально измеримые показатели степенной зависимости универсального отклика. Эти уравнения позволяют в широком диапазоне частот точно описывать свойства материалов с низкими потерями на излучение, которые имеют важное значение для стелс-технологий.
Дискретные отображения с памятью, полученные из уравнений движения с производными дробных порядков, могут быть использованы в компьютерном моделировании физических систем с долговременной степенной памятью, что позволяет исследовать новые типы регулярных и странных аттракторов.
Полученные в диссертации модели описания физических систем со степенной пространственной нелокальностью, со степенной долговременной памятью, и фрактальными свойствами во многом расширяют существующие представления о динамических свойствах этих систем и могут стать важной частью учебных курсов по теоретической физике.
Личный вклад автора. Две монографии на английском языке, одна переведена на русский язык, и 41 статья, опубликованная по теме диссертации в ре-
цензируемых российских и зарубежных журналах, являются единоличными публикациями автора диссертации. В 14 статьях, выполненных с соавторами и опубликованных в рецензируемых зарубежных журналах, вклад автора диссертации является определяющим, как на этапах постановки задач, так и на этапах проведения аналитических расчетов, а также интерпретации полученных результатов.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах НИИ ядерной физики МГУ, физического факультета и института математических наук им. Куранта Нью-Йоркского университета (США), физического факультета университета Барселоны (Испания), математического факультета Сингапурского университета (Сингапур), а также на международных конференциях: XIX-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (2010, Москва); Международная конференция "Динамический хаос и неравновесная статистическая механика: От точных результатов к применениям в нано-системах"(2006, Сингапур); Международная конференция по хаотическим явлениям переноса и сложности в жидкостях и плазме (2004, Карри ле Роует, Франция); XVII-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (2003, Самара-Саратов); Первый международный симпозиум по квантовой информатике (2002, Липки, Московская область); XVI-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (2001, Москва); XV-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (2000, Тверь); XIV-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (1999, Москва); 37 Международная университетская конференция по физике ядра и частиц (1998, Шладминг, Австрия); ХП-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (1997, Самара); XI-ая Международная конференция по физике высоких энергий и квантовой теории поля (1996,
Санкт-Петербург); Международная конференция по квантовой диссипации и ее применениям (1996, Триест, Италия).
Исследования, результаты которых вошли в настоящую диссертацию, были поддержаны Московским государственным университетом имени М.В. Ломоносова: грант 2006 года за цикл статей "Физика фрактальных сред и процессов" и грант 2009 года за монографию "Квантовая механика негамильтоновых и дисси-пативных систем"; Российским фондом фундаментальных исследований в 2002-2003 годах: грант No. 02-02-16444-а "Исследования теорий с дополнительными измерениями и нетривиальной структурой пространства-времени"; в 2000-2001 годах - грант No. 00-02-17679-а "Изучение физических эффектов в моделях с дополнительными измерениями и нетривиальной структурой пространства-времени"; Министерством энергетики США (U.S. Department of Energy): грант No. DE-FG02-92ER54184; Офисом Военно-морских Исследований США (US Office of Naval Research): грант No. N00014-02-1-0056; Национальным научным фондом США (U.S. National Science Foundation): грант No. DMS-0417800.
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 3 монографиях и в 55 статьях, опубликованных в рецензируемых российских и зарубежных журналах. Из них 53 статьи опубликованы в журналах, включённых в систему цитирования Web of Science: Science Citation Index Expanded. Список статей и монографий приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы. Она содержит 298 страниц машинописного текста, в том числе основной текст 255 страниц. Приведенная библиография содержит 330 наименований.
Динамика фрактальных твердых тел
В данном-разделе рассматривалась гидродинамика фрактальных сред, которые описывались в рамках дробно-интегральной модели [263, 258; 306]. В общем случае фрактальные среды: не могут описываться как сплошные среды . Существуют тонки и области во-фрактальной среде, которые не заполнены; частицами; среды. В статьях [263,258]; предлагается: рассматривать «фрактальные: среды.как особый; тип;сплошных-сред. Для описания;среды с фрактальной,массовой размерностью; применяются модели;, использующие: интегрирование: дробного; порядка: равного массовой размерности фрактальной:среды. Заметим, чтодробное интегрирование: может рассматриваться как интегрирование в пространстве: с нецелой размерностью с точностью до числового множителя [254j,270, 268 306]; Интегрирование дробного порядка используется для учета фрактальности среды.
Дробно-интёгральные:модели,фрактальных сред могут иметь широкое применение. Это связано, властности; с относительно малымгчислом параметров, которые определяют, фрактальную среду, обладающую огромной сложностью и богатством структур; Вдробно-интегральных моделях фрактальных сред, используется интегрирование дробного порядка равного массовой размерности среды. Такие: модели-позволяет описывать динамику широкого класса фрактальных сред в силу малого числа параметров,, характеризующих эта среды.. Отметим? применения; дробно-интегральных. моделей Остоя-Старжевским (Ostoja-Starzewski) к теории термоупругости [207],. и термомеханике [208], турбулентности, во У фрактальных средах [209], упругих и неупругих сред с фрактальной геометрией [210]\ фрактальным пористым материалам [211] и фрактальным твердым телам [161]. Гидродинамическая аккреция во фрактальных средах [226, 227, 228] рассматривалась Роем и Реем с использованием дробно-интегральной модели. Отметим, что гравитационное поле фрактального распределения частиц и полей также может рассматриваться в рамках дробно-интегральных моделей; [283] (см. также [84]).
Применение дробно-интегральных моделей для описания фрактальных твердых тел, фрактальных распределений электрических зарядов, полей, и вероятностей рассматривается в следующих разделах.
В классической механике абсолютно твердое тело часто описывается как сплошная недеформируемая среда, как непрерывное распределение массы (или частиц) в некоторой области [40]. Однако в реальности твердые тела состоят из точечных частиц, таких как атомные ядра и электроны. В общем случае распределение массы в твердом теле может быть охарактеризовано как целой, так и не целой массовой размерностью. Фрактальным твердым телом называется твердое тело с нецелой массовой размерностью. В качестве модели фрактального твердого тела предлагается использовать дробно-интегральную модель, то есть модель специальной сплошной среды, для описания характеристик которой используется интегрирование дробного порядка [263, 264, 258, 259, 306]. Порядок интегрирования равен массовой размерности тела. Интегрирование нецелого порядка позволяет учитывать основные фрактальные свойства сред. В дробно-интегральной модели [263, 258, 259, 306] характеристики фрактальных твердых тел определены везде внутри тела, при этом они подчиняются обобщенным интегральным уравнениям, порядок которых равен массовой размерности фрактальных тел. В статье [259] было доказано, что уравнения движения фрактальных твердых тел имеют тот же вид, что и уравнения для обычных твердых тел. При этом моменты инерции фрактальных тел отличаются от моментов инерции обычных твердых тел той же формы и массы. В рамках дробно-интегральной модели для фрактального твердого недеформируемого тела, предлагается метод вычисления моментов инерции фрактальных тел. Колебание струны, выполненной их фрактального материала, рассмотрено в [261]. Описываются новые методы определения фрактальной размерности, основанные на дробно-интегральной модели [306]. Отметим, что механика фрактальных материалов обсуждается в [24, 242, 15, 29, 212, 330, 310].
Обозначим через г = Y k=ix keki радиус-вектор точки твердого тела где х к, к = 1,2,3, проекции вектора г на оси координат. Для твердого тела с плотностью р (г , і) скалярный момент инерции относительно данной оси определяется объемным интегралом где через (r )j_ обозначен квадрат расстояния от оси вращения,Тензор момента инерции для распределения массы, описываемого функцией p (rf, ), имеет вид
Для обобщения уравнения (91) на фрактальные среды введем безразмерные величины х = характерный масштаб, и новую плотность распределения массы p{r,t) В системе СИ p(r,t) измеряется в килограммах. Определим тензор момента инерции и скалярный момент инерции следующими формулами hi(t) = 1ц21 к1(), I(t) = IQ2I (J;).
Метод векторного интегро-дифференцирования дробного порядка
Дискретные системы с нелокальными взаимодействиями частиц служат моделями во многих областях физики. Нелокальные взаимодействия составляют важный класс взаимодействий, реализуемых в сложных средах. В данном разделе рассматривались нелокальные альфа-взаимодействия. Замечательной особенностью предлагаемого класса нелокальных взаимодействий является существование операции преобразования (ДН-преобразования), которая отображает множество связанных уравнений индивидуальных систем в уравнение сплошной среды с пространственными производными нецелого порядка а. Эта операция преобразования позволяет описывать различные системы с нелокальным степенным взаимодействием, используя методы дробного математического анализа и теорию дифференциальных уравнений нецелого порядка. Отметим, что производные нецелого порядка могут возникать в уравнениях, если член нелокального взаимодействия содержит разности нецелого порядка, аналогично тому, как конечные разности тг-го порядка приводят к производным п-го порядка.
Дробный математический анализ и интегро-дифференцирование нецелого поряд-ка имеет длинную историю, начинающуюся с 1695 года, когда производная порядка а = 0.5 была упомянута Лейбницем [206, 47, 225], и восходит к работам Лейбница, Лиувилля, Римана, Рисса, Вейля. История дробного векторного математического анализа и векторного интегро-дифференцирования дробного порядка не является столь длинной. Ей чуть более 10 лет и она может быть сведена к работам [71, 72, 73, 74, 105, 315, 139, 196, 197, 134, 135, 179, 88, 26] и [260, 255, 256, 257, 277, 273, 272, 286, 293, 306]. Большинство работ содержат определения только отдельных векторных дифференциальных операций дробного порядка. Взаимно согласованные определения дифференциальных и интегральных векторных операций дробного порядка были предложены в статье [293] (см. также [306]). Для этих операций формулируются соответствующие обобщения интегральных теорем Грина, Стокса, Гаусса. Доказательства этих теорем приводятся для простейших областей трехмерного евклидова пространства. Самосогласованный дробный векторный анализ может иметь большое значение для описания нелокальных процессов в статистической механике [272, 286], в электродинамике [105, 315, 139, 196, 197, 134, 135, 256, 277, 273, 257, 3], в гидродинамике [179, 258, 306], и для описания процессов в сложных сплошных средах [86, 274, 306].
На первый взгляд представляется, что можно определить обобщения векторных дифференциальных операторов grad, div, rot, путем использования производных нецелого порядка D вместо производных D\ при их записи в декартовых координатах. Этот подход применялся в работах [71, 72, 73, 74, 105, 315, 139, 196, 197, 134, 135, 179, 88, 26] и [260, 255, 256, 257, 277, 273, 272, 286, 306]. При этом в качестве производной D использовались различные производные (Лиувилля, Римана-Лиувилля, Капуто, Рисса и т.д.) [206, 47, 182, 216, 151] дробного порядка а по координатам xs, s = 1,2,3. В этом подходе существует большой произвол в определении векторных дифференциальных операторов, и таким способом не удается достичь последовательного и взаимно согласованного определения векторных операций нецелого порядка. Основная проблема проявляется, когда помимо обобщения дифференциальных операций строят векторные интегральные операции и пытаются сформулировать интегральные теоремы [293, 306]: В общем случае дробный векторный анализ должен включать не только обобщения дифференциальных операторов (градиента, дивергенции, ротора), но обобщения интегральных операторов (потока и циркуляции) и интегральных теорем Гаусса, Стокса, Грина.
Опишем проблемы, возникающие при формулировке взаимно согласованных. определений дифференциальных и интегральных векторных операций дробного порядка. Важным элементом доказательства интегральных формул Грина, Стокса, Гаусса при их записи в декартовых координатах является использование формулы Ньютона-Лейбница
Для получения обобщения формулы Грина необходимо иметь обобщение формулы Ньютона-Лейбница (346) в виде где используются некоторые интегралы и производные дробного порядка. Это обобщение существует лишь для некоторых типов дробных интегралов и производных, и не существует для произвольно выбранных типов производных нецелого порядка. Например, формула (347) в общем случае не выполняется, если в ней используются интеграл и производная, определенные по Риману-Лиувиллю.
Динамика неголономных систем с памятью
В данном разделе были рассмотрены обобщения понятий градиентной и гамиль-тоновой систем, для формулировки которых применялись производные нецелого порядка и дробные дифференциальные формы. В общем случае дробные гамиль-тоновы (градиентные) системы не могут рассматриваться как гамильтоновы (градиентные) системы. Классы дробных гамильтоновых и градиентных систем шире классов обычных гамильтоновых и градиентных систем. Обычные гамильтоновы и градиентные системы являются частными случаями дробных гамильтоновых и градиентных систем. Понятие дробной градиентной системы позволяет исследовать широкий класс детерминистических физических систем с регулярными и странными аттракторами [1, 36, 2, 31]. Квантовые аналоги дробных производных, предложенные в работе [300], позволяют рассматривать обобщение понятия дробной гамильтоновой системы для квантовой механики. В этом случае широкий класс квантовых негамильтоновых систем [290] будет описываться как дробные гамильтоновы системы.
Построены теоретические модели дискретных систем, таких как линейные цепочки и кристаллические решетки, с нелокальными взаимодействиями степенного типа, приводящие в непрерывном пределе к моделям нелокальных сплошных сред, описываемых уравнениями с интегро-дифференцированиями нецелых порядков по координатам. Показано, что степенная нелокальность в непрерывных средах связана с межчастичным взаимодействием дробно-степенного типа.
Впервые взаимно согласованно определены дифференциальные и интегральные векторные операции дробного порядка, на их основе сформулированы и доказаны интегральные теоремы Грина, Стокса и Гаусса, построены новые модели статистической механики и электродинамики со степенными нелокальностями.
Построены модели градиентных и гамильтоновых систем дробного порядка, позволяющие сводить изучение широкого класса неградиентных и негамильтоно-вых систем к исследованию свойств потенциала и гамильтониана, соответственно.
В третьей главе рассматриваются модели физических систем и сред с эредитар-ными свойствами и с долговременной памятью степенного типа с использованием методов интегро-дифференцирования дробного порядка по времени.
В первом параграфе третьей главы показывается, что электромагнитные поля и волны для широкого класса диэлектрических сред могут описываться дифференциальными уравнениями с производными нецелого порядка по времени. Порядок этих производных равен 2 — а и 2 + /?, где параметры 0 а=1-п 1и О j3 = т 1 определяются показателями пит, фигурирующими в экспериментально измеримых частотных зависимостях диэлектрической восприимчивости, называемых законами универсального отклика. Получены уравнения, описывающие обобщения закона Кюри - фон Швейдлера (Curie-von Schweidler) и закона Гаусса для диэлектрических материалов с универсальным откликом. Выведены интегро-дифференциальные уравнения дробного порядка для электромагнитных волн в диэлектрических средах с универсальным откликом.
Во втором параграфе третьей главы рассматриваются неинтегрируемые (него-лономные) связи, содержащие зависимость от производных дробного порядка. Эти связи интерпретируются как связи с долговременной степенной памятью. Производные нецелого порядка позволяют описывать неголономные связи со степенной памятью, применяя методы дробного математического анализа. Дробные дифференциальные уравнения выводятся из лагранжиана и гамильтониана, которые содержат только производные целого порядка, при условии наложения на систему неголономных связей со степенной памятью. Обсуждается применимость принципа стационарности действия для неголономных систем с долговременной t памятью.
В третьем параграфе третьей главы рассматриваются модели дискретных систем со степенной памятью, которые выводятся из уравнений движения, содержащих производные дробного порядка по временим. Получаемые отображения с памятью выводятся из соответствующих дробно-дифференциальных уравнений без использования какие-либо аппроксимащга производных дробного порядка. Предлагаемые дискретные отображения с памятью являются обобщениями хорошо известных отображений таких, как стандартное и универсальное отображения, отображения Амосова, Заславского и Хенона. Для вывода дискретных отобра- жений с памятью «из дифференциальных уравнений с производными Капуто и, Римана-Лиувилля дробного порядка использовались вспомогательные переменные, а также эквивалентность задач Коши и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода.
Для многих диэлектрических сред восприимчивость в широком частотном диапазоне подчиняется дробным степенным зависимостям, называемым универсальным откликом. Как было показано в работах [294, 295, 54, 306] электромагнитные поля в таких диэлектрических средах могут быть описаны дифференциальными уравнениями с производными нецелого порядка по времени. Выведены уравнения, описывающие "универсальный" закон Кюри - фон Швейдлера (Curie-von Schweidler) и "универсальный" закон Гаусса для таких диэлектрических материалов [294, 306]. Как было показано в работах [294, 306], эти законы представляются уравнениями с интегро-дифференцированием нецелого порядка. Получены дробные интегро-дифференциальные уравнения для электромагнитных волн в диэлектрических материалах с универсальным откликом. Эти уравнения являются общими для широкого класса диэлектрических сред, независимо от типа физической структуры, химического состава или природы поляризации, будь то дипольная, электронная, или ионная.
Квантовая динамика экранированных открытых систем
В данном; разделе была рассмотрена динамика неголономных систем с памятью и систем с дробно-дифференциальными связями. Уравнения движения: та- ких систем содержат производные нецелого порядка. Эти уравнения были получены с; использованием вариационного принципа Даламбера-Лагранжа. Дробно-дифференциальные; связи- интерпретируются как связи со степенной долговременной; памятью. Эти связи позволяют получать дифференциальные уравнения нецелого порядка с,использованием лагранжианов и гамильтонианов без дробных производных.
Отметим, что неголономные системы применяются для изучения широкого класса задач молекулярной динамики. При вычислениях в молекулярной динамике неголономные системы используются для обобщения таких статистических ансамблей, как канонические, изотермически-изобарические и изокинетиче-ские [107, 130, 108, 204, 311, 312, 219] и [252, 269, 265, 262]. Используя дробно-дифференциальные связи, можно рассматривать обобщение статистической механики консервативных гамильтоновых систем на более широкий класс систем. Дробно-дифференциальные связи могут быть использованы для моделирования в рамках молекулярной динамики систем и сред со степенной памятью.
Отметим некоторые неголономные системы, которые могут быть обобщены на случай наличия степенной памяти. а) В работах [107, 130, 108, 204] системы с постоянной температурой описыва ются посредством минимальной гауссовой неголономной связи. Эти системы яв ляются неголономными» и описываются непотенциальными силами, которые про порциональны скорости. Отметим; что связи этого типа могут быть представлены с помощью дополнительного слагаемого к непотенциальным силам [269]. б) В статьях [252, 269, 265] каноническое распределение рассматривается как стационарное решение уравнения Лиувилля для широкого класса негамильтоно вых систем. Этот класс определяется простым условием: мощность непотенциаль ных сил прямо пропорциональна скорости изменения фазы Гиббса (элементарно го фазового объема). Это условие определяет системы с постоянной температу рой. Отметим, что приведенное условие является неголономной связью. Эта связь позволяет рассматривать каноническое распределение как стационарное решение уравнения Лиувилля для негамильтоновых систем. Общий вид непотенциальных сил рассматривался в работе [269]. в) В работе [305] обсуждалась динамика релятивистской системы, уравнения движения которой содержат дробные производные. Производные нецелого поряд ка по собственному времени описывают долговременную степенную память в ре лятивистской динамике. Релятивистская частица, на которую действуют непотен циальные 4-силы, рассматривается как неголономная система [307]. Неголономная связь в четырехмерном пространстве-времени представляет релятивистскую ин вариантность через уравнение и и + с2 = 0 для 4-вектора скорости и , где с скорость света в вакууме. В общем случае релятивистская частица ковариантным образом может описываться как неголономная негамильтонова система [307], В [305] были получены условия, при которых эту систему допустимо рассматривать как гамильтонову.
Во многих областях механики и физики задачи могут быть сведены к исследованию дискретных отображений [1, 2, 31, 21, 36]. Исследование динамики в терминах дискретных отображений важно для понимания качественного поведения физических систем, описываемых дифференциальными уравнениями [21, 327, 20, 89, 63, 90]. Дискретные отображения приводят к более простому формализму, который является более удобным для компьютерного моделирования. Широкий класс этих отображений может быть получен из дифференциальных уравнений, описывающих движение физических систем. Производные дробного порядка [47, 182, 216, 151] являются естественным обобщением дифференцирования целого порядка. Дифференцирование нецелого порядка по времени позволяет описывать эффекты долговременной степенной памяти в физических системах. Эффект памяти в дискретных отображениях означает, что эволюция данного состояния зависит от всех прошлых состояний. Дискретные отображения с памятью рассматривались в работах [118, 111, 125, 131, 122, 245, 299, 302, 303, 103, 308, 304, 306].
В работах [299, 302, 303, 306] впервые было доказано, что дискретные отображения со степенной памятью могут быть получены [299, 302, 303, 306] из уравнения движения, содержащего производные дробного порядка по времени. Дискретные отображения со степенной памятью могут использоваться для изучения новых типов регулярных и странных аттракторов дробно-дифференциальных динамических систем [103, 304].
