Содержание к диссертации
Введение
1. Введение 4
2. Системы с одной степенью свободы 19
1. Движение в потенциале О. 19
2. Движение в потенциале Siv ty 23
3. Движение в потенциале ^И СЬ 28
4. Движение в потенциале Q^ty) 32
5. Движение в потенциале fy+td ty 35
6. Движение в потенциале Є ^ 36
7. Движение в потенциале (К О* 39
3. Описание систем 42
1. Описание систем. Частные случаи 42
2, Системы корней 49
3. Описание систем в терминах систем корней 55
4 Результаты главы 59
4. Полная интегрируемость классических систем 60
1. Некоторые разложения в простых алгебрах и группах. 61
2. Исследование полной интегрируемости 74
3. Решение функционального уравнения 85
4. Результаты главы 88
5. Явные решения уравнений классических систем 90
1 Системы типа I и У 92
2. Системы типа П и Ш 99
3. Системы с двумя типами частиц 108
4. Обобщенные непериодические цепочки Тоды 114
5. Результаты главы 122
6. Квантовые системы 123
1. Явные формулы для квантовых интегралов движения 123
2. Квантовые интегралы движения. Общий случай 128
3. Волновые функции. Общие формулы 136
4 Системы типа I 145
5 Системы типа Ш 150
6. Системы типа У « 153
7 Трехчастичная цепочка Тоды 160
8 Результаты главы 163
7. Двумеризованяые цепочки Тоды с коммутирующими и аятикоммутирующими полями 165
1. Описание систем 165
2. Некоторые сведения об аффинных алгебрах Ли 174
3 Представление нулевой кривизны 185
4. Законы сохранения 192
5 Спектр масс 197
6. Вычисление классической -матрицы 203
7 Дополнительные замечания 209
8. Результаты главы 213
Заключение 215
- Движение в потенциале Siv ty
- Описание систем в терминах систем корней
- Решение функционального уравнения
- Обобщенные непериодические цепочки Тоды
Введение к работе
За последние пятнадцать лет в теоретической и математичес-кой физике значительно вырос интерес к точно решаемым системам» Этот интерес и связанные с ним успехи в большой степени обязаны новой концепции в теории интегрирования нелинейных систем, кото* рую принято условно называть методом обратной задачи рассеяния (МОЗР). Популярность метода объясняется как широтой физических приложений, включающих такие области как гидродинамика, физика плазмы, теория твердого тела, теория поля, так и разнообразием и красотой математических структур, лежащих в основе метода.
Появление МОЗР связывают с работой Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [98] , посвященной интегрированию уравнения Кортевега-це Фриза (К~дф). Важным этапом в развитии МОЗР стала работа Захарова и Фаддеева [183] , в которой была дана гамильтонова трактовка уравнения К-дФ. Понимание того, что "феномен К~дФ" не является исключением, но что подобный механизм работает в широком круге явлений, возникло после работы Захарова и Шабата [21] , в которой исследовалось нелинейное уравнение Шредингера, С тех пор началось бурное развитие этой новой области теоретической и ма-тематической физики, которое продолжается и в наши дни.
Так как большая часть диссертации посвящена конечномерным системнм, то остановимся сначала на этом аспекте развития теории. До упомянутых событий было известно лишь небольшое число точно решаемых систем с двумя или больше степенями свободы» Здесь уместно привести следующее бесспорное утверждение: "Анализ общей потенциальной системы с двумя степенями свободы выходит за рамки возможностей современной науки" ( [2] стр. 22).
В общей теории динамических систем вполне интегрируемые системы занимают особое место - для них интегрирование уравнений движения в силу теоремы Лиувилля сводится к квадратурам. Из курсов классической механики известны немногочисленные примеры вполне интегрируемых систем: движение точки в поле центрального потенциала, в кулояовском поле двух фиксированных центров, на поверхности трехосного эллипсоида, случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской движения твердого тела. Существует еще некоторое количество других вполне интегрируемых систем. После возникновения МОЗР не было никакого сомнения в том, что удастся расширить список конечномерных вполне интегрируемых систем. Это было подтверждено в первых работах [184} , [41] , [93)
Изучаемые в настоящей диссертации конечномерные классические и квантовые системы описываются гамильтонианом
Потенциал имеет вид
Рассматриваются также потенциалы с более сложными линейными комбинациями аргументов у функций ТУ Вид функций IT" будет указан ниже.
Потенциалы (1.2) описывают одномерную систему )/Ъ частиц. Заметим, что в пространстве трех измерений о классических и квантовых системах с реальным взаимодействием (кулояовским или ядерным) известно мало точных результатов. Можно надеяться, что знание точных решений в системах типа (1.2) позволит прояснить
ж' В квантовом случае Ы = -^ *bQt[ , Я- 1 .
некоторые качественные особенности в реалистических ситуациях. Системы, подобные исследуемым, могут служить основой для построения теории возмущений, другие применения этих систем будут обсуждены ниже.
Следует отметить, что исследование квантовых систем вида (I.I), (1.2) началось еще в середине 60-х годов до открытия МОЗР. Особенно популярными были системы с & -образным взаимодействием [8, 76, 120, 124, 166, 167]:
щ)^Щ)> с 1.з)
Из этого списка отметим работу [120] , в которой для построения волновых функций был использован анзац Бете [74] . В работах Янга [166, 167] были исследованы уравнения, вытекающие из анзаца Бете* Эти уравнения (т.н. уравнения Янга-Бакстера) и анзац Бете играют важную роль в квантовании вполне интегрируемых моделей теории поля - в квантовом методе обратной задачи рассеяния. В этой области за последние годы достигнут значительный прогресс (см. обзоры [91, 158, 171J ).
Возвращаясь к конечномерным квантовым системам, укажем работы Калоджеро [78, 79] , посвященные исследованию систем с взаимодействием вида
ncfo-Cf+Ucf (1.4)
Для этих систем был вычислен спектр и получена информация о волновых функциях. Функции основного состояния и волновые функции для трехчастичной задачи были вычислены в явном виде. Взаимодействие вида
Vty)= S^4 (1.5)
рассматривалось Сазврлеядом [153-155] Здесь также получен ряд точных результатов.
Следует также отметить более поздние работы [80, 164] , в которых авторы дали решение квантовой задачи с трехчастичным взаимодействием вида
teS'^s (1.6)
Полная интегрируемость классических систем вида (1.4)(при (л?~0) была доказана в 1975 г. Мазером Г129"] Вскоре аналогичным методом Калоджеро доказал интегрируемость систем вида (1.5) [82]. Заметим, что доказательства опирались на прием Лакса. Еще раньше тем же способом Манаков [42 ]и Фляшка ["93,94] дали доказательство полной интегрируемости цепочки Тоды3*
Эта система была впервые рассмотрена в работах Тоды в 1967 г. [159, 160] . Он обнаружил, что в такой решетке с ангармоническим взаимодействием распространяются незатухающие нелинейные колебания. В пределе бесконечного числа частиц цепочка Тоды является разностной аппроксимацией известного в гидродинамике уравнения Буссинеска. Двумеризованный вариант этой системы возникает при записи уравнения дуальности для полей Янга-Миллса в цилиндрических координатах [1181 . Исследование траекторий в классической системе (1.7) с конечным числом час-
Интегралы движения для системы (1.7) были независимо получены вне лаксова подхода Хеноном [108 ] .
тиц было проведено в работах Мозера [130] и Каца и ван Мер-беке [112] .
В 1975-1976 г.г. для исследования конечномерных систем был применен теоретико-групповой подход [137, 138, 173] . В этих работах было установлено, что системы вида (1.2) являются частными случаями более широкого класса вполне интегрируемых систем, связанных с системами корней простых алгебр Ли. В этот класс, в частности, попадают системы вида (1.6), связанные с алгеброй Ли ( . Эти обобщения рассматриваются в настоящей диссертации. Аналогичное обобщение цепочек Тоды было предложено в 1976 г. Богоявленским [75] Несколько позже было установлено, что рассматриваемые системы, включая обобщенные цепочки Тоды, непосредственно связаны с движениями по геодезическим на некоторых однородных пространствах матриц [139, 140, 142] Таким образом, скрытые симметрии систем, обеспечивающие их полную интегрируемость, нашли свое естественное объяснение. Исходная динамика вдоль геодезических имеет простой характер, а её усложнение и появление взаимодействия заданного вида происходит при проектировании в фазовое пространство изучаемых систем.
В классическом случае, используя эту связь, удалось получить явные алгебраические формулы решений задачи Коши как для обобщенных систем Калоджеро-Сазврлеяда, так и для обобщенных цепочек Тоды.
В квантовом случае такой подход позволил воспользоваться известными результатами из теории представлений простых групп, принадлежащими Гельфанду, Хариш-Чаядре, Березину, Гиндикияу и Карпелевичу [4, 6, 7, 14, 15, 16, 106] и для обобщенных систем Калоджеро-Сазврлеяда дать описание спектра, матриц рассеяния и
волновых функций [48, 51, 53] Аналогичные результаты для квантовых непериодических цепочек Тоды были получены Костан-том [,114} и Семеяовым-тяя-Шанским (см. раздел 12 в обзоре [144] ).
Отметим также, что сравнительно недавно Сазерленд и Гут-кин построили обобщение квантовых систем с <5 -потенциалом, используя системы корней аффинных алгебр Ли [104, 15^.
Возвращаясь к уравнениям классических систем, укажем на связь их решений с решениями некоторых важных уравнений математической физики, В 1978 г. Эро, Маккин и Мозер установили, что динамика полюсов рациональных решений уравнения К-дФ описывается гамильтонианом, совпадающим с одним из интегралов движения систем Калоджеро (1.4) при 0)~0 [70] (см. также [68] ). Выполненное Кричевером аналогичное исследование уравнения Ка-домцева-Петвиашвили [29] показало, что эволюция полюсов убывающих рациональных решений по дополнительной пространственной переменной у в точности совпадает с динамикой частиц в системе (1.4) ( 0 = 0 ), и динамика по времени совпадает с динамикой полюсов уравнения К-дФ. Связь полюсов неубывающих рациональных решений с Yl -частичными системами была установлена в работе [ II ] .
Другим интересным примером является уравнение^ Бенжамина-Оно [86-88] . Это уравнение длинных волн в двухслойной жидкости в пределе большой глубины. Оказалось, что полюса его рациональных решений эволюционируют также как частицы в потенциале (1.2) с функцией ^(/) вида (1.4). Кроме того это уравнение имеет периодические решения, которые параметризуются особенностями в комплексной плоскости. Динамика особенностей сводится к динамике частиц в системе Сазерленда (1.5).
Наконец неинтегрируемая система - уравнение К-дФ с затуханием имеет также рациональные решения с особенностями в комплексной плоскости [84] . Простейшие преобразования сводят их эволюцию к эволюции в системе (1.4).
Таким образом» для всех этих уравнений процедура построения описанных классов решений сводится к исследованию решений классических гамильтоновых систем. Для уравнения Бенжамина-Оно эта задача полностью решается на основе результатов 2 главы У.
Последняя часть диссертации посвящена релятивистским двумерным моделям теории поля, включающим как бозоняые так и фер-мионные поля. Эти попадающие в рамки действия МОЗР модели канонически связаны с аффинными супералгебрами Ли (АСІ). Их частными случаями являются исследованные ранее в многочисленных работах суперсимметричные обобщения уравнений Лиувилля и sfi-Гордоя [34, 35, 39, 92, 109, 161, 174, 175] .
Отметим в связи с этим возросший в последние годы интерес в теории интегрируемых систем к суперсимметричным обобщениям известных двумерных теоретикополевых моделей. Кроме цитированных выше работ это в основном работы, посвященные суперсимметричным версиям различных киральных теорий [43, 71, 133, 163] . Совершенно очевидно, что этот интерес явился реакцией на многочисленные работы, посвященные реалистическим моделям теории поля, использующим принцип суперсимметрии. Хорошо известно, что начиная с 1974 года предлагаются различные суперсимметричные расширения полей Янга-Миллса и модели супергравитации. Обратим внимание на следующий факт - обзор 1981 года по супергравитации [134] содержит около 600 ссылок.
В свою очередь эта активная деятельность стимулировала исследования по теории супергрупп и супералгебр Ли. В 1976-1978 г.г. была дана сначала полная классификация простых супвралгебр
- II -
Ли [ill, 132, 149] , аналогичная классификации Картана простых алгебр Ли , а затем классификация аффинных супералгебр Ли (АСЛ) [II2J . Она обобщала классификацию обычных аффинных алгебр Ли (ААЛ), известную еще с 1968 г. [26, 128] .
Как было установлено в [119] (см, также [.127] ) эти алгебры канонически связаны с обобщенными двумеризованными цепочками Тоды. Поэтому естественно было рассмотреть системы, связанные с АСЛ. Такие системы строятся и изучаются в последней части диссертации,- Опираясь на свойства АСЛ для этих систем, явно указывается представление нулевой кривизны, вычисляются законы сохранения, а также удается получить ряд других результатов.
Таким образом применение теоретико-групповых методов позволяет, во-первых, расширить класс интегрируемых систем и, во-вторых, воспользоваться при исследовании систем богатыми возможностями, которые предоставляют возникающие групповые структуры. Настоящая диссертация посвящена исследованию интегрируемых систем теоретико-групповыми методами.
В заключении этого краткого исторического обзора укажем некоторые другие работы по теоретико-групповому подходу в теории интегрируемых систем.
В 1978 г. Мищенко и Фоменко [176] обобщили на простые группы Ли доказательство Манакова [42]интегрирувмости эйлвров-ского її -мерного волчка.
В работе [59]Реймана, Семеяова-тяя-Шанского и Френкеля в теорию интегрируемых систем были впервые введены ААЛ. Этот подход получил развитие в последующих работах первых двух авторов [148] (см. также обзор [бо]), в которых были рассмотрены, в частности, квантовые системы и установлена связь с ал-геброгвомвтрическим подходом.
Важным этапом в развитии теоретико-группового подхода явились работы Костаята [lI4J» Адлера [69] и Лебедева и Мани-на [38] , в которых рассматривались цепочка Тоды и уравнение К-дФ, В этих работах фазовое пространство систем идентифицировалось в орбитой коприсоединенного представления некоторой группы. В работах [38] и [69]было доказано, что групповая скобка на орбите совпадает с известной скобкой для этих уравнений.
Другая теоретико-групповая трактовка уравнения К-дФ была предложена в работе Березина и Переломова [9J . В последующих работах [177, 178] , в которых принимал участив и автор, эта конструкция была обобщена на другие классы уравнений, интегрируемые с помощью МОЗР, В диссертации этот подход не рассматривается.
Обобщения уравнения К-дФ и модифицированного К-дФ, связанные с ААЛ, построили Дрияфельд и Соколов [18] . Ими был изучен гамильтояов формализм с точки зрения теории AM, обобщена процедура одевания Захарова-Шабата, выяснена связь с обобщенными двумеризовэнными цепочками Тоды.
Из большого количества работ по интегрируемым киральным моделям , связанным с однородными пространствами групп Ли, укажем на одну из первых - работу Захарова и Михайлова, посвященную киральным поллм, связанным с классическими группами [22] Эти же авторы рассмотрели возникающие в физике твердого тела спинорные модели, также связанные с классическими группами [168] .
Наконец отметим недавнюю работу Форда и Кулиша [86 J , в которой были построены теоретико-групповые обобщения нелинейного уравнения Шредингера.
Этот список разумеется является неполным» Некоторые дополнительные ссылки будут даны в основном тексте диссертации.
- ІЗ -
Перейдем к изложению её содержания.
Вторая глава диссертации носит иллюстративный характер. В ней рассматриваются простейшие из изучаемых конечномерных систем - системы с одной степенью свободы. Хотя уравнения в этом случав можно проинтегрировать непосредственно, мы пользуемся геометрическими соображениями, что позволяет в класси-
ческом случае избежать квадратур, и проясняет ситуацию для
квантовых систем. Оказывается, что потенциалы вида I) fcf* ,
2)(^S!fl^ , (fclhfy , Є~Д^ , 3) qzsCl{.*Cj, полу
чаются при рассмотрении свободных движений на I) плоскости,
2) гиперболоидах, 3) сфере соответственно после исключения
циклических координат. Потенциал вида <^']. + -г-^
возникает при рассмотрении гармонического осциллятора на плос
кости. Такой подход позволяет легко получать ответы в класси
ческом случае. Аналогично в квантовом случав выражения для
волновых функций также можно получать из геометрических (точнее
из теоретико-групповых) соображений. Однако при этом константы
взаимодействия уже не произвольны, а зависят от размерности
пространства, В квантовом случае кроме того рассматривается
потенциал Ламе g 1^(^-) В этой главе рассматрива-
ются также более сложные взаимодействия вида
Щ,) + fi^C^J (1.8)
Плоскость, сфера и гиперболоид являются примерами симметрических пространств ранга один. Общие симметрические пространства ранга один приводят к потенциалам с двумя слагаемыми (1.8). Забегая вперед, отметим, что обобщение этого подхода на более общие симметрические пространства позволяет получить ответы для систем с большим числом степеней свободы (главы У и УІ).
В главе Ш дается описание изучаемых конечномерных систем. В 1 строятся обобщения потенциала вида (1,2), связанные с классическими простыми группами и с диэдральяой группой. В 2 излагаются необходимые сведения о системах корней. На их основе в 3 вводится определение динамической системы, связанной с системой корней, приводится полная таблица изучаемых потенциалов, рассматривается структура конфигурационных пространств.
В главе ІУ доказывается полная интегрируемость классических систем, связанных с классическими системами корней. Доказательство строится на основе представления Лакса с последующим решением функционального уравнения. Решения функционального уравнения описывают характер взаимодействия в рассматриваемых системах.
Движение в потенциале Siv ty
За последние пятнадцать лет в теоретической и математичес-кой физике значительно вырос интерес к точно решаемым системам» Этот интерес и связанные с ним успехи в большой степени обязаны новой концепции в теории интегрирования нелинейных систем, кото рую принято условно называть методом обратной задачи рассеяния (МОЗР). Популярность метода объясняется как широтой физических приложений, включающих такие области как гидродинамика, физика плазмы, теория твердого тела, теория поля, так и разнообразием и красотой математических структур, лежащих в основе метода. Появление МОЗР связывают с работой Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [98] , посвященной интегрированию уравнения Кортевега-це Фриза (К дф). Важным этапом в развитии МОЗР стала работа Захарова и Фаддеева [183] , в которой была дана гамильтонова трактовка уравнения К-дФ. Понимание того, что "феномен К дФ" не является исключением, но что подобный механизм работает в широком круге явлений, возникло после работы Захарова и Шабата [21] , в которой исследовалось нелинейное уравнение Шредингера, С тех пор началось бурное развитие этой новой области теоретической и ма-тематической физики, которое продолжается и в наши дни. Так как большая часть диссертации посвящена конечномерным системнм, то остановимся сначала на этом аспекте развития теории. До упомянутых событий было известно лишь небольшое число точно решаемых систем с двумя или больше степенями свободы» Здесь уместно привести следующее бесспорное утверждение: "Анализ общей потенциальной системы с двумя степенями свободы выходит за рамки возможностей современной науки" ( [2] стр. 22). В общей теории динамических систем вполне интегрируемые системы занимают особое место - для них интегрирование уравнений движения в силу теоремы Лиувилля сводится к квадратурам.
Из курсов классической механики известны немногочисленные примеры вполне интегрируемых систем: движение точки в поле центрального потенциала, в кулояовском поле двух фиксированных центров, на поверхности трехосного эллипсоида, случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской движения твердого тела. Существует еще некоторое количество других вполне интегрируемых систем. После возникновения МОЗР не было никакого сомнения в том, что удастся расширить список конечномерных вполне интегрируемых систем. Это было подтверждено в первых работах [184} , [41] , [93) Изучаемые в настоящей диссертации конечномерные классические и квантовые системы описываются гамильтонианом Потенциал имеет вид Рассматриваются также потенциалы с более сложными линейными комбинациями аргументов у функций ТУ Вид функций IT" будет указан ниже. Потенциалы (1.2) описывают одномерную систему )/Ъ частиц. Заметим, что в пространстве трех измерений о классических и квантовых системах с реальным взаимодействием (кулояовским или ядерным) известно мало точных результатов. Можно надеяться, что знание точных решений в системах типа (1.2) позволит прояснить ж В квантовом случае Ы = - bQt[ , Я- 1 . некоторые качественные особенности в реалистических ситуациях. Системы, подобные исследуемым, могут служить основой для построения теории возмущений, другие применения этих систем будут обсуждены ниже. Следует отметить, что исследование квантовых систем вида (I.I), (1.2) началось еще в середине 60-х годов до открытия МОЗР. Особенно популярными были системы с & -образным взаимодействием [8, 76, 120, 124, 166, 167]: Из этого списка отметим работу [120] , в которой для построения волновых функций был использован анзац Бете [74] . В работах Янга [166, 167] были исследованы уравнения, вытекающие из анзаца Бете Эти уравнения (т.н. уравнения Янга-Бакстера) и анзац Бете играют важную роль в квантовании вполне интегрируемых моделей теории поля - в квантовом методе обратной задачи рассеяния. В этой области за последние годы достигнут значительный прогресс (см. обзоры [91, 158, 171J ).
Возвращаясь к конечномерным квантовым системам, укажем работы Калоджеро [78, 79] , посвященные исследованию систем с взаимодействием вида Для этих систем был вычислен спектр и получена информация о волновых функциях. Функции основного состояния и волновые функции для трехчастичной задачи были вычислены в явном виде. Взаимодействие вида рассматривалось Сазврлеядом [153-155] Здесь также получен ряд точных результатов. Следует также отметить более поздние работы [80, 164] , в которых авторы дали решение квантовой задачи с трехчастичным взаимодействием вида Полная интегрируемость классических систем вида (1.4)(при (л? 0) была доказана в 1975 г. Мазером Г129"] Вскоре аналогичным методом Калоджеро доказал интегрируемость систем вида (1.5) [82]. Заметим, что доказательства опирались на прием Лакса. Еще раньше тем же способом Манаков [42 ]и Фляшка ["93,94] дали доказательство полной интегрируемости цепочки Тоды3 Эта система была впервые рассмотрена в работах Тоды в 1967 г. [159, 160] . Он обнаружил, что в такой решетке с ангармоническим взаимодействием распространяются незатухающие нелинейные колебания. В пределе бесконечного числа частиц цепочка Тоды является разностной аппроксимацией известного в гидродинамике уравнения Буссинеска. Двумеризованный вариант этой системы возникает при записи уравнения дуальности для полей Янга-Миллса в цилиндрических координатах [1181 . Исследование траекторий в классической системе (1.7) с конечным числом час- Интегралы движения для системы (1.7) были независимо получены вне лаксова подхода Хеноном [108 ] . тиц было проведено в работах Мозера [130] и Каца и ван Мер-беке [112].
Описание систем в терминах систем корней
В классическом случае, используя эту связь, удалось получить явные алгебраические формулы решений задачи Коши как для обобщенных систем Калоджеро-Сазврлеяда, так и для обобщенных цепочек Тоды. В квантовом случае такой подход позволил воспользоваться известными результатами из теории представлений простых групп, принадлежащими Гельфанду, Хариш-Чаядре, Березину, Гиндикияу и Карпелевичу [4, 6, 7, 14, 15, 16, 106] и для обобщенных систем Калоджеро-Сазврлеяда дать описание спектра, матриц рассеяния и волновых функций [48, 51, 53] Аналогичные результаты для квантовых непериодических цепочек Тоды были получены Костан-том [,114} и Семеяовым-тяя-Шанским (см. раздел 12 в обзоре [144] ). Отметим также, что сравнительно недавно Сазерленд и Гут-кин построили обобщение квантовых систем с 5 -потенциалом, используя системы корней аффинных алгебр Ли [104, Возвращаясь к уравнениям классических систем, укажем на связь их решений с решениями некоторых важных уравнений математической физики, В 1978 г. Эро, Маккин и Мозер установили, что динамика полюсов рациональных решений уравнения К-дФ описывается гамильтонианом, совпадающим с одним из интегралов движения систем Калоджеро (1.4) при 0) 0 [70] (см. также [68] ). Выполненное Кричевером аналогичное исследование уравнения Ка-домцева-Петвиашвили [29] показало, что эволюция полюсов убывающих рациональных решений по дополнительной пространственной переменной у в точности совпадает с динамикой частиц в системе (1.4) ( 0 = 0 ), и динамика по времени совпадает с динамикой полюсов уравнения К-дФ. Связь полюсов неубывающих рациональных решений с YL -частичными системами была установлена в работе [ II ] . Другим интересным примером является уравнение Бенжамина-Оно [86-88] . Это уравнение длинных волн в двухслойной жидкости в пределе большой глубины. Оказалось, что полюса его рациональных решений эволюционируют также как частицы в потенциале (1.2) с функцией (/) вида (1.4). Кроме того это уравнение имеет периодические решения, которые параметризуются особенностями в комплексной плоскости. Динамика особенностей сводится к динамике частиц в системе Сазерленда (1.5).
Наконец неинтегрируемая система - уравнение К-дФ с затуханием имеет также рациональные решения с особенностями в комплексной плоскости [84] . Простейшие преобразования сводят их эволюцию к эволюции в системе (1.4). Таким образом» для всех этих уравнений процедура построения описанных классов решений сводится к исследованию решений классических гамильтоновых систем. Для уравнения Бенжамина-Оно эта задача полностью решается на основе результатов 2 главы У. Последняя часть диссертации посвящена релятивистским двумерным моделям теории поля, включающим как бозоняые так и фер-мионные поля. Эти попадающие в рамки действия МОЗР модели канонически связаны с аффинными супералгебрами Ли (АСІ). Их частными случаями являются исследованные ранее в многочисленных работах суперсимметричные обобщения уравнений Лиувилля и sfi-Гордоя [34, 35, 39, 92, 109, 161, 174, 175] . Отметим в связи с этим возросший в последние годы интерес в теории интегрируемых систем к суперсимметричным обобщениям известных двумерных теоретикополевых моделей. Кроме цитированных выше работ это в основном работы, посвященные суперсимметричным версиям различных киральных теорий [43, 71, 133, 163] . Совершенно очевидно, что этот интерес явился реакцией на многочисленные работы, посвященные реалистическим моделям теории поля, использующим принцип суперсимметрии. Хорошо известно, что начиная с 1974 года предлагаются различные суперсимметричные расширения полей Янга-Миллса и модели супергравитации. Обратим внимание на следующий факт - обзор 1981 года по супергравитации [134] содержит около 600 ссылок. В свою очередь эта активная деятельность стимулировала исследования по теории супергрупп и супералгебр Ли. В 1976-1978 г.г. была дана сначала полная классификация простых супвралгебр Ли [ill, 132, 149] , аналогичная классификации Картана простых алгебр Ли , а затем классификация аффинных супералгебр Ли (АСЛ) [II2J . Она обобщала классификацию обычных аффинных алгебр Ли (ААЛ), известную еще с 1968 г. [26, 128] . Как было установлено в [119] (см, также [.127] ) эти алгебры канонически связаны с обобщенными двумеризованными цепочками Тоды. Поэтому естественно было рассмотреть системы, связанные с АСЛ. Такие системы строятся и изучаются в последней части диссертации,- Опираясь на свойства АСЛ для этих систем, явно указывается представление нулевой кривизны, вычисляются законы сохранения, а также удается получить ряд других результатов. Таким образом применение теоретико-групповых методов позволяет, во-первых, расширить класс интегрируемых систем и, во-вторых, воспользоваться при исследовании систем богатыми возможностями, которые предоставляют возникающие групповые структуры. Настоящая диссертация посвящена исследованию интегрируемых систем теоретико-групповыми методами. В заключении этого краткого исторического обзора укажем некоторые другие работы по теоретико-групповому подходу в теории интегрируемых систем. В 1978 г. Мищенко и Фоменко [176] обобщили на простые группы Ли доказательство Манакова [42]интегрирувмости эйлвров-ского її -мерного волчка. В работе [59]Реймана, Семеяова-тяя-Шанского и Френкеля в теорию интегрируемых систем были впервые введены ААЛ. Этот подход получил развитие в последующих работах первых двух авторов [148] (см. также обзор [бо]), в которых были рассмотрены, в частности, квантовые системы и установлена связь с ал-геброгвомвтрическим подходом.
Важным этапом в развитии теоретико-группового подхода явились работы Костаята [lI4J» Адлера [69] и Лебедева и Мани-на [38] , в которых рассматривались цепочка Тоды и уравнение К-дФ, В этих работах фазовое пространство систем идентифицировалось в орбитой коприсоединенного представления некоторой группы. В работах [38] и [69]было доказано, что групповая скобка на орбите совпадает с известной скобкой для этих уравнений. Другая теоретико-групповая трактовка уравнения К-дФ была предложена в работе Березина и Переломова [9J . В последующих работах [177, 178] , в которых принимал участив и автор, эта конструкция была обобщена на другие классы уравнений, интегрируемые с помощью МОЗР, В диссертации этот подход не рассматривается. Обобщения уравнения К-дФ и модифицированного К-дФ, связанные с ААЛ, построили Дрияфельд и Соколов [18] . Ими был изучен гамильтояов формализм с точки зрения теории AM, обобщена процедура одевания Захарова-Шабата, выяснена связь с обобщенными двумеризовэнными цепочками Тоды. Из большого количества работ по интегрируемым киральным моделям , связанным с однородными пространствами групп Ли, укажем на одну из первых - работу Захарова и Михайлова, посвященную киральным поллм, связанным с классическими группами [22] Эти же авторы рассмотрели возникающие в физике твердого тела спинорные модели, также связанные с классическими группами [168] . Наконец отметим недавнюю работу Форда и Кулиша [86 J , в которой были построены теоретико-групповые обобщения нелинейного уравнения Шредингера. Этот список разумеется является неполным» Некоторые дополнительные ссылки будут даны в основном тексте диссертации. Перейдем к изложению её содержания. Вторая глава диссертации носит иллюстративный характер. В ней рассматриваются простейшие из изучаемых конечномерных систем - системы с одной степенью свободы. Хотя уравнения в этом случав можно проинтегрировать непосредственно, мы пользуемся геометрическими соображениями, что позволяет в класси- ческом случае избежать квадратур, и проясняет ситуацию для квантовых систем. Оказывается, что потенциалы вида I) fcf , чаются при рассмотрении свободных движений на I) плоскости, 2) гиперболоидах, 3) сфере соответственно после исключения циклических координат. Потенциал вида ]. + -г- возникает при рассмотрении гармонического осциллятора на плос кости.
Решение функционального уравнения
Глава У посвящена вычислению явных решений классических уравнений движения. Эти формулы получаются т.н. методом проектирования. Для этого по начальным данным определяется точка в фазовом пространстве динамической системы с большим числом степеней свободы. В качестве такой системы берется геодезический поток на симметрическом пространстве подходящего ранга. Эволюция вдоль геодезических имеет простой характер. Проектирование в исходное пространство осуществляется с помощью алгебраических операций и дает выражение для координат в произвольный момент времени. Такого сорта формулы получаются для всех видов взаимодействий, включая обобщенные непериодические обобщенные цепочки Тоды и системы с двумя типами частиц. Исключение составляют потенциалы типа Ламе, для которого в случае траясляїщоняо инвариантного взаимодействия соответствующие формулы были получены Кричевером [Зі] , Им была также получена формулы для периодической цепочки Тоды [ЗО] , Ответ в обоих случаях выражается через тэта-функции и требует привлечения специальной алгебро-reометрической техники, играющей важную роль в теории интегрируемых систем (см. обзор [89] ). Квантовые системы изучаются в главе УІ. В 1 вычисляются квантовые интегралы движения. Доказывается, что в некоторых случаях квантовые интегралы совпадают с классическими. В других случаях вычисляются квантовые поправки для интегралов невысоких порядков. Общий случай рассматривается в 2. Доказывается полная интегрируемость квантовых систем для всех систем корней. К сожалению, это доказательство, основанное на рассмотрении операторов Казимира на простых группах, справедливо только при фиксированных константах взаимодействия. Тем не менее отсюда следует полезное утверждение о полной интегрируемости классических систем, связанных со специальными системами корней.
Представление Лакса для них неизвестно и поэтому отсутствует доказательство их интегрируемости на классическом уровне. В этом же параграфе изучаются общие свойства интегралов движения. В последующих параграфах изучаются волновые функции, спектр и матрицы рассеяния. Вывод формул основан на связи между квантовыми гамильтонианами и операторами Лапласа-Бельтрами на симметрических пространствах, установленной в 2. Благодаря этому удается воспользоваться многочисленными результатами из теории представлений простых групп. Другая часть результатов получается непосредственными вычислениями вне этой связи. Отметим, что вычисления нормировочных коэффициентов волновых функций сводится к вычислению интегралов Дайсона, связанных с распределением уровней сложных систем [90, 125] . В 6, вычисляя классическую и квантовую статистические суммы для систем с взаимодействием вида (1.4), мы получаем обобщение интеграла Галавотти-Маркиоро [99 ] на простыв алгебры Ли. Здесь же явно вычисляются волновые функции для систем с двумя степенями сво- боды, связанных с диэдральной группой. В 7 вычисляются волновые функции для трехчастичной цепочки Тоды. В импульсном представлении они выражаются через произведения гамма-функций. Последняя глава посвящена релятивистским моделям, обобщающим за счет введения антикоммутирующих полей двумеризованяые цепочки Тоды. Список этих систем содержит пять бесконечных серий (т.е. число скалярных суперполей в них произвольно), три системы с одним суперполем и одну систему с двумя суперполями. Этот список является полным в том смысле, что он отвечает полному списку аффинных супералгебр Ли с положительно определенной формой Киллинга. Из всего списка только уравнения СЛ и ССГ обладают супер-симметрией. В остальных системах суперсимметрия явно нарушается. Бё пришлось принести в жертву ради сохранения полной интегрируемости. Подчеркнем» что хотя системы не инвариантны относительно суперсдвигов, они обладают скрытой симметрией относительно супергруппы, по которой они построены, и, как следствие, имеют бесконечные серии законов сохранения. Содержание главы следующее. В 1 дается описание систем и их бозонных пределов, В 2 приводятся необходимые сведения из теории ЛСЛ частично заимствованные из [ПО] , Представление нулевой кривизны строится в 3. Следующий параграф посвящен вычислению законов сохранения Процедура вычисления законов сохранения является инвариантной трактовкой аналогичной процедуры для обычной двумеризованной цепочки Тоды [127} Инвариантный смысл процедуры стал ясен после ознакомления с работой [18] Спектр масс возбуждений вблизи вакуума вычисляется в 5. Полный ответ дан не только для рассматриваемых систем, отвечающих АСЛ, но и для бозонных цепочек Тоды, связанных с AM» В 6 вычисляется классическая , -матрица, с помощью которой удобно опи- сывать Пуассонову структуру систем [62] Кроме того знание классической -матрицы проливает свет на соответствующие прокваятованные системы Классическая -матрица имеет тот же вид, что и для обычных двумеризованных цепочек Тоды (без фермионов) [116, 1793 Наконец в 7 делаются два замечания, касающиеся построения решений методом задачи Римаяа и одномерного (механического) варианте рассматриваемых систем. В част-» ности, в этом параграфе указывается вид групп редукции для всех систем В заключение сделаем замечание о нумерации формул.
В каждой главе нумерация независимая. При ссылке на формулу указывается номер соответствующей главы. В диссертации представлены к защите следующие основные результаты» 1. Введен класс конечномерных систем, связанных с системами корней простых алгебр Ли и симметрических пространств. 2. Для значительной части систем доказана полная интегрируемость систем (как классических так и квантовых). Даны явные формулы для классических и квантовых интегралов движения. 3. Для целого ряда классических систем получены явные алгебраические формулы решений уравнений движения. Доказано, что эволюция систем возникает как результат специального проектирования свободного движения на симметрических пространствах. 4. В квантовом случав доказана эквивалентность рассматриваемых гамильтонианов операторам Лапласа-Бельтрами на симметрических пространствах. Тем самым открывается возможность перенесения результатов из теории представлений простых групп на квантовые системы. Благодаря этому во многих случаях вычисляются спектр, матрицы рассеяния и волновые функции. 5. Вычислены интегралы Галавотти-Маркиоро, отвечающие простым группам Ли, 6. Вычислена волновая функция трехчастичной непериодической цепочки Тоды. 7. Построен класс двумерных релятивистских систем типа Тоды» содержащих как бозонные так и фермионные компоненты. Для них дано представление нулевой кривизны, указана рекуррентная процедура построения законов сохранения и выяснен инвариантный смысл их порядков» Вычислена классическая - -матрица и группа редукции. 8. Вычислен спектр масс возбуждений вблизи вакуума для всех двумеризованных цепочек Тоды. Более детальное изложение основных результатов содержится в конце глав ІУ-ОТ. Публикация материалов диссертации. Основные материалы диссертации опубликованы в работах Т47-54, 77, 127, 135-142, 145, 170 ] Результаты глав П-УІ диссертации вошли в обзоры [143, 144} Результаты работы докладывались на международных конференциях по нелинейным и турбулентным явлениям в физике в г. Киеве в 1979 и 1983 г.г., на международной конференции по теоретико-групповым методам в физике (Звенигород 1982), на всесоюзных совещаниях по квантовой теории солитонов (Ленинград 1980, 1982), на Всесоюзных совещаниях по алгебраическим проблемам в математической физике (г. Протвино 1980, 1982).
Обобщенные непериодические цепочки Тоды
В этой главе строятся явные решения для систем типа І-Ш, У, отвечающих всем классическим системам корней, а также для всех систем типа УІ. Для этого каждой исходной гамильто-новой системе, описывающей движение частицы в камере Вейля Л (I, П, У), алькове Вейля Ла (Ш)» или на всей картановской алгебре (УІ), ставится в соответствии расширенная система, описывающая свободное движение частицы на симметрическом пространстве. Симметрическое пространство определяется по гамильтоновой системе однозначно. Его ограниченная система корней и система корней, по которой построен потенциал, совпадают. Размерность исходного конфигурационного пространства равна рангу симметрического пространства, а размерность расширенного конфигурационного пространства равна размерности симметрического пространства. Гамильтониан расширенной системы определяется инвариантной метрикой и поэтому частица будет двигаться по геодезическим на симметрическом пространстве. Найти явный вид геодезических не представляет труда и поэтому эволюция в расширенном пространстве имеет простой характер. Соответствие между приведенным, и расширенным конфигурационным пространством устанавливается путем введения специальных систем координат. При этом процедура выделения координат, соответствующих исходному пространству, носит алгебраический характер и нахождение решений не требует вычисления переменных типа действие-угол. Проектирование из расширенного фазового пространства запутывает исходное простое движение по геодезическим. Появляется взаимодействие со стенками камеры или алькова Вейля или экспоненциальное взаимодействие для систем У1-го типа. Построение для систем 1-го и У-го типов наиболее простое, так как эти системы связаны с геодезическими потоками на пространствах нулевой кривизны [49 » 139] . При построении решений для остальных систем используется отображение момента. Поясним в нескольких словах» что это такое. Бели некоторая система имеет дополнительные интегралы движения, то можно рассмотреть совместное многообразие уровня этих интегралов.
При этом, если существует группа симметрии, сохраняющая это многообразие, то нужно избавиться от калибровочных степеней свободы и перейти к факторпространству по этой группе. Это факторпространство называется приведенным фазовым пространством. Такой способ понижения числа степеней свободы называется отображением момента (см. [I23j , l52] , fl4j , [2J добавление 5). Мы использовали его в простейших случаях в главе П» В нашем случае отображение момента используется на последнем этапе при построении решений. Исходным фазовым пространством является приведенное фазовое пространство и мы расширяем его подходящим образом. Лишь затем, проследив за эволюцией системы в расширенном фазовом пространстве, мы пользуемся отображением момента, проектируя траектории в приведенное фазовое пространство. Такой способ построения решений мы называем методом проектирования. Отображение момента излагается в первой части 2. Там же вводятся динамические системы, описывающие геодезические потоки на симметрических пространствах неположительной кривизны и строятся решения уравнений для систем типа П и Ш [50 J , 140 ] . В 3 изучается поведение систем с двумя типами частиц, описываемых потенциалом (3.7). В 4 строятся решения для всех систем типа УІ [54 , 135 , 142 , 145).Указывается реализациях этих формул для систем типа V/ - H,J И , ь Интерпретация этих формул для систем типа ЦА л и 111 -1 с точки зрения отображения момента была дана в работе [ІІЗЗ . Явные решения для систем У1-го типа были также получены Костантом flI5] . I. Рассмотрим симметрическое пространство нулевой кривизны Л . Как отмечалось в I гл. ІУ его можно отождествить с подпространством 1ч простой алгебры ( . Так как метрический тензор постоянен на X і то уравнение геодезических имеет вид решения которого есть прямые выражаются в терминах (Ь, ЭЛ , матрица М задается формулой (5.4) и Для этого продифференцируем равенство (5,3) Учитывая, что Х(г) - геодезическая (5.2), и воспользовавшись представлением (5,5), получим Дифференцируя еще раз, придем к равенству откуда следует уравнение Лакса. Напомним теперь, что системы типа Л Afo. HJ,BCJ обладают также парой Лакса (4.35), которую перепишем в виде где р и коммутируют L \ 4= 0 » Из коммутационных со отношений (4.8) следует, что fty)" ]55 %1 Тогда не трудно видеть, что пара Лакса (5.7), (5.8) также удовлетворяет соотношению (5.5). Таким образом траектории Ь(+) ) tytb в фазовом пространстве динамической системы типа I можно со поставить геодезическую X(r)z( р ) tyy М) Однако гео дезическая не может быть произвольной - соответствующая ей мат рица имеет специальный вид (5.8). Остановимся на этом подробнее. Для каждой кривой Xf t) можно вычислить момент Заметим, что обычный момент в трехмерном пространстве также имеет вид коммутатора. С общей точки зрения это выражение будет прокоментировано в следующем параграфе. Так KQv.X("t) элемент подпространства К/ , то из (4.5) следует, что у# является элементом алгебры V . Для геодезической Х Н) (5.2) он имеет вид В терминах сферических координат (5,3) момент равен Но Гйжчі-І - постоянная матрица : Так как М также не зависит от времени (5.9), то UL4) сохраняет постоянную матрицу [ф»М и следовательно Таким образом, геодезический поток, у которого момент (5.9) имеет специальный вид (5.II), эквивалентен системе типа I. Заметим, что согласно (5.II) момент геодезических определяет значения констант взаимодействия в потенциале системы.
Покажем, как с помощью этой эквивалентности можно решить задачу Коши для систем типа I. По начальным данным строится матрица (5,7) и, согласно формулам (5.2), (5.3) и (5,6) определяются константы геодезической Будем считать, что UIOJSC, . Эволюция во времени осуществляется согласно (5,2): ЖгОгй сТ+ # в момент времени находится радиальная часть ty( fc) и угловая часть UCir) матрицы MIL) . Это стандартная задача линейной алгебры -диагонализаци эрмитовой матрицы. Зная U Ct) , можно найти матрицу / ft)=W Yf)et U() (См, (5.6)) и Jbft) (5.7). Таким образом решение задачи Коши дается формулами Иными словами координаты частиц 0, (г) являются собствен-нышзначениями матрицы В простейшем случае (ранг один) формулы (5,12) и (5,13) приобретают вид (2.3). Из формулы (5,12) следует, что матрица подвергается изоспектральной деформации. 2. Рассмотрим задачу рассеяния для систем типа I. Потенциал Щ) » определяемый формулой (3.22) и (3.21), убывает при 4/ OQ Поэтому Обозначим через 3 преобразование из группы Вейля, переводящее положительную камеру Вейля (3.18) в отрицательную Для систем типа Jth-i это преобразование меняет порядок Докажем справедливость следующих соотношений, связывающих коэффициенты асимптотических формул (5,15), (5.16) Для систем типа JLnfo. доказательство формул было также дано в [32J и [129] . В пределе при v- ОО интегралы движения X (,$") стремятся к W -инвариантным полиномам M faj (см. (4.52)). Поэтому из равенства следует (5=Г # Так как частица не может выйти за пределы камеры Вейля, то если Ь Л ,тои-ЬбД . Поэтому S есть элемент вида (5.17). Докажем формулу (5.19). Из (5.6) следует, что группы К сохраняющие картановскую алгебру, являются преобразованиями из группы Вбйля. Поэтому из (5.20)следует, что С другой стороны формулы (5.2), (5.5) и (5.6) позволяют наш- сать представление Принадлежащие подпространству ЗЬ (вяедиагояальные элементы) слагаемые в правой части стремятся к нулю при " — &0« Поэтому -14(60)vU, (іде) # Следовательно J& s & Формула (5.18) означает, что в асимптотике частицы обмениваются импульсами, а (5.19) указывает на отсутствие фазового сдвига. Этот факт объясняется нулевой кривизной пространства X . 3. Перейдем к решению уравнений движения систем типа У. В этом случав рассмотрим гармоническое движение в пространстве X : решениями которого являются замкнутые траектории Так же как и для геодезического потока доказывается, что уравнение (5,21) может быть записано в форме так как уравнения движения этих систем (4. I ) совпадают с (5.23).
Похожие диссертации на Скрытые симметрии интегрируемых систем классической и квантовой механики и теории поля
