Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Квантовая теория поля с фундаментальной массой и применение метода суммирования фейнмановских диаграмм при исследовании квантовополевых функций .. 13
1.1. Фундаментальная длина и обобщение аппарата квантовой теории поля 14
1.2. Применение метода суммирования диаграмм при исследовании квантовополевых функций 30
ГЛАВА 2. Метод суммирования диаграмм в квантовой теории поля -с фундаментальной массой 37
2.1. Оператор собственной энергии бозона во втором порядке по константе связи в импульсном пространстве постоянной кривизны 37
2.2. Исследование интегрального уравнения для мнимой части оператора собственной энергии бозона в "радужном" приближении (трилинейное взаимодействие типа ЛФ f ) 46
2.3. "Радужное" приближение для мнимой части оператора собственной энергии бозона (четверное взаимодействие' V ) 54
ГЛАВА 3. Стереографическая параметризация импульсного пространства постоянной кривизны и исследование мнимых частей оператора собственной энергии бозона в "радужном" приближении 60
3.1. Стереографическая параметризация импульсного пространства постоянной кривизны 60
3.2. Мнимая часть оператора собственной энергии бозона в конформно-псевдоевклидовых координатах модели с трилинейным взаимодействием 69
3.3. "Радужное" приближение для мнимой части оператора собственной энергии бозона в модели с четверным взаимодействием 79
ГЛАВА 4. Радужное (лестничное) приближение для оператора собственной энергии бозона, вершинной функции и амплитуды рассеяния вперед в конформно-евклидовых координатах 85
4.1. Исследование оператора собственной энергии бозона 85
4.2. Исследование интегральных уравнений для вершинной функции в безмассовой квантовой электроди-намике и в скалярной модели типа XР 98
4.3. UO+.l)- инвариантная лестничная модель амплитуды рассеяния вперед с безмассовым обменом 107
Заключение 116
Литература Ы9
- Применение метода суммирования диаграмм при исследовании квантовополевых функций
- Исследование интегрального уравнения для мнимой части оператора собственной энергии бозона в "радужном" приближении (трилинейное взаимодействие типа ЛФ f )
- Мнимая часть оператора собственной энергии бозона в конформно-псевдоевклидовых координатах модели с трилинейным взаимодействием
- Исследование интегральных уравнений для вершинной функции в безмассовой квантовой электроди-намике и в скалярной модели типа XР
Введение к работе
В последнее десятилетие получила развитие формулировка квантовой теории поля (КТП), в которой ключевую роль играет импульсное пространство постоянной кривизны.
Радиус кривизны Р-пространстваМ играет роль нового универсального параметра теории - фундаментальной массы, а обратная величина 1~1Л выступает соответственно в роли фундаментальной длины.
Стандартной КТП отвечает, так называемый, плоский предел
Согласно современным экспериментальным данным константа (/ подчиняется ограничению Ь .^ I0"1 см и значительно превышает ве-личину "планковской длины" 10 см, определяющей пространственные масштабы эффектов квантовой гравитации. Поэтому нельзя исключить, что по мере преодоления колоссального интервала I0"1 - 10 см будут открыты новые физические явления и закономерности, ассоциированные с фундаментальной длиной.
В этой связи КТП с фундаментальной массой, являясь нетривиальной альтернативной прежней "плоской" теории в области сверхвысоких энергий Е ^г1Л , претендует на роль более общей теории с физическим содержанием.
Отметим, что в настоящее время благодаря работам советских и зарубежных теоретиков удалось в рамках одной теоретико-полевой схемы объединить идею о существовании фундаментальной массы ґ\ с такой плодотворной концепцией, как калибровочная симметрия. При этом открылась возможность однозначного обобщения на случай теории с фундаментальной массой, моделей Вайнберга-Салама-Глэшоу, квантовой хромодинамики (КХД) и т.д.
В стандартной КХД и теории Вайнберга-Салама-Глэшоу надежным инструментом является теория возмущений, позволяющая вычислять с достаточной точностью амплитуды конкретных процессов.
Однако в рамках теории возмущений не удается выяснить ряд принципиальных вопросов, возникающих внутри этих теорий и связанных с их перенормируемостью и конечностью.
Кроме того, теория возмущений непременима, например, в КХД для исследования важной проблемы инфракрасного поведения функций Грина. Ряд проблем связан также с неразложимыми по константе связи членами точных решений полевых уравнений.
Одним из методов, позволяющих выйти за рамки теории возмущений, является суммирование определенного класса фейнмановских диаграмм. При этом во многих моделях удается получить ряд нетривиальных результатов, не имеющих аналога в теории возмущений.
Настоящая работа посвящена исследованию в рамках скалярной КТП с фундаментальной массой ряда моделей квантовополевых функций, имеющих важное значение в теории. В частности, исследуются операторы собственной энергии бозона и их мнимые части, вершинные функции и амплитуда рассеяния вперед.
Изучение отмеченных квантовополевых функций проводится в ортогональной и стереографической параметризации импульсного пространства постоянной кривизны. При этом используются некоторые приближения. Например, частичный выход за рамки теории возмущений осуществляется суммированием класса фейнмановских диаграмм только "радужного" и лестничного типа. Исследование вершинной функции в квантовой электродинамике с фундаментальной массой проводится в полностью безмассовом случае, а при изучении лестничной модели для амплитуды рассеяния вперед рассмотрен безмассовый обмен.
В работе получен ряд оригинальных результатов, заключающихся в следующем: І. В ортогональной параметризации импульсного пространства постоянной кривизны построена модель типа Х^ т для оператора соб- ственной энергии бозона 2±(Р, 1Л) в "радужном" приближении. Получено интегральное уравнение для мнимой части функции Z(P?Ma) .
На примере диаграммы второго порядка показано, что при вычислении 1пг 21 ( Р, W ) в отличие от стандартной КТП возникают два выражения, одно из которых не имеет "плоского" аналога и обязано своим существованием симметрии импульсного пространства постоянной кривизны относительно замены знака у пятой компоненты пятимерного вектора/^ (А= О, I, 2, 3, 4).
Полученное интегральное уравнение в случае безмассового обмена сводится к дифференциальному уравнению второго порядка с граничными условиями, вытекающими из интегрального уравнения. Для согласования решения с граничной задачей вводится константа перенормировки, которая в итоге оказалась мультипликативной и позволила избавиться от инфракрасных расходимостей, возникающих в исследуемой модели.
В высокоэнергетическом пределе полученное выражение для мнимой части оператора собственной энергии бозона выходит на константу, а при переходе к "плоскому" пределу сводится к соответствующему выражению в стандартной КТП.
2. Получено интегральное уравнение типа Вольтерры для мнимой
2 2 части оператора собственной энергии бозона в теории типа ХФ *Р с фундаментальной массой.
Это уравнение сводится к дифференциальному уравнению четвертого порядка и с учетом граничных условий допускает точное решение.
Решение имеет точку ветвления по константе связи (J = -I и при переходе к "плоскому" пределу в области Р >^ ҐП обнаруживает степенную асимптотику. 2 2
При Р—»/Л для искомой функции получен "ультрафиолетовый предел".
Мнимая часть оператора собственной энергии бозона используется для вычисления средней множественности рождения частиц при превращении 6 в-пары в адроны.
Показано, что средняя множественность <П/> имеет слабый логарифмический рост и в области "ультрафиолетового предела" выходит на константу. Полученное выражение для величины С^У в "плоском" пределе оказывается в разумном согласии с результатами, полученными в рамках кварк-партонных представлений.
3. В КТП с фундаментальной массой введена стереографическая параметризация импульсного пространства постоянной кривизны. Коор динаты, вводимые с помощью стереографического проектирования, на званы конформно-псевдоевклидовыми.
Используя соотношение между массами частиц и их "геометрическим аналогом" в стереографической проекции, показано, что "аномальные" /С -частицы, обладающие "ароматом" ґі~ ч/р \ = » индуцируют индефинитную метрику и могут существовать только в виртуальном состоянии.
4. В конформно-псевдоевклидовых координатах получено инте гральное уравнение для мнимой части оператора собственной энергии бозона р(Р ) в "радужном" приближении с массивным .обменом.
Уравнение исследуется в случае малых ҐПС2« ft\± и больших №,***$>тг 4 величин массы обменной частицы.
В первом случае введение перенормированной функции *?Л** )~ ~ Z 0{ Р ) позволило последовать поведение решения при YYi - О Показано, что выбором мультипликативной константы
2 = \~7гг J (Где паРаметР<~^^ зависит от константы связи Q2 и величин /^ci и/^с2.) удается выделить единственное решение полученного уравнения в случае безмассового обмена и обеспечить выполнение необходимых требований нормировки для массового оператора.
Исследование окончательного выражения для функции ?D(P ) показало, что учет массы обменной частицы практически не влияет
2 2 на поведение искомой функции в асимптотической области Р ^>^с1 » а наличие фундаментальной массы приводит к незначительному сокращению границ применимости "радужного" приближения в исследуемой модели.
В случае /71C2^IUC1 задача сводится к дифференциальному уравнению, решение которого представляется в виде линейной комбинации модифицированной функции Бесселя и функции Макдональда. Неизвестные константы определяются граничными условиями задачи, причем введенная константа 2І также оказалась мультипликативной.
При/?^с1-^0 и соответствующем выборе константы z получена ультрафиолетовая асимптотика функции /? (PJ.
Показано, что в этом случае возникает неаналитичность в окрестности нуля по константе связи, и при ^ = О функция 19 (р ) имеет логарифмическое ветвление.
5. В конформно-псевдоевклидовых координатах исследовано урав нение для мнимой части оператора собственной энергии бозона в мо дели с четверным взаимодействием.
Исследование проведено в КТП с импульсным пространством положительной (отрицательной) кривизны с группой движения Де-Ситтера SO (3.2) (50(4.1)).
С использованием полученных результатов вычислены полное сече-+ — ниє Є с -аннигиляции в адроны и средняя множественность рождения частиц <.М^> для этого процесса.
Показано, что величина (ҐЬУ (в Р-пространстве положительной кривизны) в ультрафиолетовом пределе выходит на константу, а величина <^П^ (в Р-пространстве отрицательной кривизны) имеет логарифмический рост.
6. В "радужном" приближении теории типа Лф *Р исследовано - 9 -интегральное уравнение для полного оператора собственной энергии бозона.
Показано, что при соответствующем выборе константы перенорми ровки с учетом граничных условий задачи можно получить решение, мнимая часть которого не содержит инфракрасных расходимостей и совпадает с результатом вычисления функции прямым способом при помощи правил Куткосского.
7. Получено и решено уравнение для оператора собственной энергии бозона в области "сверхвысоких энергий" (при К ^4 ).
Показано, что мнимая часть оператора собственной энергии удовлетворяет условию положительности только в определенных областях изменения величины отношения константы связи к фундаментальной массе.
Допущение 171 у ^ в асимптотической области К » ч приводит к нарушению условия положительности величины ЛґП Z(K^) при любых значениях константы связи. Этот факт интерпретируется как рож-дение мезона массой ЇЇІ = ч .
8. В безмассовой квантовой электродинамике с фундаментальной массой исследовано интегральное уравнение для вершинной функции в приближении Эдвардса.
Получено выражение для вершины в виде гипергеометрической функции Гаусса с конечной константой перенормировки
Показано, что в "плоском" пределе константа перенормировки стремится к нулю, а вершинная функция удовлетворяет условию норми-ровки J (-1" )— і и при К-* обладает правильным асимптоти-ческим поведением в смысле теоремы Лемана-Симанзика-Циммермана.
В пределе слабой связи константа z совпадает с константой перенормировки вершинной функции в теории возмущений.
Исследование интегрального уравнения для вершинной функции в импульсном пространстве постоянной кривизны показало, что перенор- - 10 -мировка уравнения, нахождение его решения и последующий переход к "плоскому" пределу можно рассматривать как своеобразный метод регуляризации при нахождении вершины в рамках стандартной КТП.
9. Построена 0(4.1) - инвариантная лестничная модель амплитуды рассеяния вперед с безмассовым обменом.
Обнаружена скрытая симметрия 0(5) лестничной модели для амплитуды рассеяния вперед в стандартной теории с виковским поворотом.
Выражение для амплитуды имеет масштабно-инвариантный вид и в редже-бьеркеновской области имеет степенную асимптотику.
В соответствии с изложенным, диссертация построена следующим образом:
Первая глава, состоящая из двух разделов, носит обзорный характер.
В первом разделе дан краткий исторический обзор и отмечены основные тенденции в развитии, обосновании и физической интерпретации квантовой теории поля с импульсным пространством постоянной кривизны. Анализируются основные работы, посвященные проблеме построения КТП с фундаментальной массой, вводятся необходимые понятия и обозначения.
Во втором разделе показано современное состояние исследования квантовополевых функций методами, позволяющими выйти за рамки теории возмущений и основанными на суммировании различных классов фейнмановских диаграмм, обсуждена идейная сторона проблемы.
Вторая глава посвящена исследованию в "радужном" приближении мнимых частей оператора собственной энергии бозона в моделях КТП с фундаментальной массой типа
Исследование проводится в ортогональной параметризации импульсного пространства постоянной кривизны. - II -
В разделе 2.1 изучается мнимая часть оператора собственной энергии бозона во втором порядке по константе связи.
В разделе 2.2 с учетом результатов раздела 2.1 выводится и решается интегральное уравнение для мнимой части оператора собственной энергии бозона в модели типа Лф *Р .
Применение метода суммирования диаграмм при исследовании квантовополевых функций
В случае "снайдеровской" геометрии в пространстве импульсов единственная модификация, возникающая при вычислении диаграмм Фейнмана, связана с появлением множителей {і-Р ) z или(І Р ) в элементе объема diln , соответственно в координатах (I.I2) и (I.I4-) (при = I), Однако каждый из этих множителей имеет разрез в комплексной плоскости (Р0 , Р ), который не позволяет выполнить указанный поворот на /z в связи с этим в работах /16, 17, 21/ была предпринята попытка сперва сделать поворот, а затем ввести снайдеровскую метрику и путем аналитического продолжения типа [ --Ро вернуться в физическую область значений 4-компонент внешних импульсов. Этот прием в некоторых случаях оказался осуществимым.
В работе Ю.А.Гольфанда /17/ рассматривалось еще одно осложнение, возникающее в "снайдеровской" теории - так называемая особенность фокусировки. Позднее в работе P.M.Мир-Касимова /22/ был выяснен геометрический смысл особенности "фокусировки" и доказано, что эта особенность является фиктивной и легко обходится, если построение аппарата матрицы рассеяния производить с учетом групповых свойств операции сдвига Р-пространства постоянной кривизны. При изучении новой схемы КТП был выявлен ряд специфических особенностей, связанных с геометрическими свойствами Р-пространства постоянной кривизны. В частности, процедура перенормировки здесь изменяется коренным образом. Из-за конечности объема Р-пространства все интегралы сходятся, и перенормировки оказываются конечными. В работе /23/ на примере поляризационного оператора во втором порядке псевдоскалярной мезонной теории изучалась перенормировка массы бозона и было показано, что в рассматриваемой теории в результате перенормировки происходит "размазывание" массы частицы. В период развития снайдеровской схемы КТП роль четырехмерного пространства импульсов в аппарате теории фактически еще не была понята. Первые шаги в этом направлении сделал В.Г.Кадышевский /40/, который сформулировал КТП только на языке импульсного пространства. При этом считается, что это наиболее адекватный аппарат описания явлений в физике высоких энергий. Отметим, однако, недавнюю работу Бергера /41/, где утверждается, что описание дираковской частицы как безмассовой, так и массивной, в координатном и импульсном представлениях является неэквивалентным. Доказательство основано на противоречии между тем фактом, что в координатном представлении орбитальной угловой момент частицы может быть отличен от нуля и результатом работы /42/, согласно которой в Р-представлении полный угловой момент частицы должен быть равен 1/2. Очевидно, истинность данного утверждения требует тщательной проверки.
Формулировка КТП в явно трансляционно-инвариантном виде позволила выявить некоторую дополнительную симметрию динамического аппарата теории относительно сдвигов в псевдоевклидовом 4-простран-стве импульсов.
Если видоизменить эту теорию так, чтобы вместо упомянутой выше симметрии имела место симметрия относительно сдвигов в Р-простран-стве постоянной кривизны, то суммарный импульс остается прежним, а модифицируются лишь относительные импульсы. Это и есть та исходная идея, которая послужила началом нового этапа в развитии КТП с фундаментальной массой /43, 44/.
В рамках этого подхода в работах /45-48/ рассматривалось расширение S -матрицы за массовую поверхность, и обобщено условие причинности Боголюбова в канонической дифференциальной форме /49, 50/. В качестве реализации импульсного пространства постоянной кри-визны использовалась гиперсфера Р + P$ = i , группой движения которой является группа Де-Ситтера Отметим, что в новую схему КТП понятие о нормальном произведении операторов поля и соответствующая теорема Вика переносятся без каких-либо изменений.
Рассмотрение нового принципа расширения за массовую поверхность показало, что он совместим с требованием трансляционной инвариантности, и требования аксиоматики Боголюбова (кроме причинности) можно сформулировать в принципе точно так же, как и в "обычной" теории.
При формулировке условия причинности основную роль играет оператор тока, и обойтись без введения конфигурационного представления уже нельзя. Переход к новому конфигурационному представлению рассматривался в работах /45-48/ и осуществлялся с помощью базисных функций Y р? Р. У , являющихся собственными функциями оператора Казимира группы Де-Ситтера: где - полный набор наблюдаемых величин в новом конфигурационном представлении.
Отметим, что X соответствует максимально вырожденной серии унитарных представлений группы 0(3.2) /51/ и состоит из двух ветвей - дискретной и непрерывной. Здесь следует отметить так же, что во времениподобной области (Л - область, соответствующая дискретной ветви спектра Л ) появляется дополнительный инвариант группы движений S0(3 ,2) играет роль дискретного времени).
Поэтому в рамках данного подхода сохраняется возможность построения хронологического произведения с упорядочением по дискретному времени. Если построить 1 - произведение свободных полей, и взять от него вакуумное ожидание, то можно получить /52/:
Исследование интегрального уравнения для мнимой части оператора собственной энергии бозона в "радужном" приближении (трилинейное взаимодействие типа ЛФ f )
Отметим, что полученное нами решение (2.50) аналитично в нуле по константе связи и имеет точку ветвления приСЬ = -1 , что определяет предел применимости "радужного" приближения в рассматриваемой модели.
При помощи (2.51) можно вычислить среднюю множественность рождения адронов при аннигиляции электрон-позитронных пар. где р(сО - логарифмические производные гамма-функций Эйлера. Сравнение (2.52) с выражением для средней множественности рождения адронов JV = i?05-QyO58ttS ( S энергия частиц в С.Ц.Й.), найденным в работе /92/ указывает на разумность полученных нами результатов. Отметим, что в нашем случае величина (ИЛ имеет более медлен р ный логарифмический рост и при Х- М выходит на константу. Основные результаты данной главы сводятся к следующему: 1. В ортогональной параметризации импульсного пространства постоянной кривизны построена модель типаХФ Р для оператора собственной энергии бозона2Г(Р, ЇЛ ) в "радужном" приближении. Получено интегральное уравнение для мнимой части функции 2. На примере диаграммы второго порядка показано, что при вы числении lift, 2 (Р,И ) в отличие от стандартной КТП возникают два выражения, одно из которых не имеет "плоского" аналога и обя зано своим существованием симметрии импульсного пространства постоянной кривизны относительно замены знака у пятой компоненты пятимерного вектора г (L = 0, I, 2, 3, 4-). 3. Полученное интегральное уравнение в случае безмассового обмена сводится к дифференциальному уравнению второго порядка с граничными условиями, вытекающими из интегрального уравнения. Введение константы перенормировки, которая в итоге оказалась мультипликативной, позволила избавиться от инфракрасных расходи-мостей, возникающих в исследуемой модели. В высокоэнергетическом пределе выражение для мнимой части оператора собственной энергии бозона выходит на константу. 4. Получено интегральное уравнение для мнимой части операто ра собственной энергии бозона в теории типа ЛФ Ф с фундамен тальной массой. Решение имеет точку ветвления по константе связи (% =- 1 и при переходе к "плоскому" пределу в области Р 5 УИ обнаружива ет степенную асимптотику. 5. Использование мнимой части оператора собственной энергии бозона для вычисления средней множественности рождения частиц(Щ л- — при превращении Q -6 -пары в адроны показало, что величина Ъ имеет слабый логарифмический рост и в области "ультрафиолетового предела" выходит на константу. В "плоском" пределе величина Уьу оказывается в разумном согласии с результатами, полученными в рамках кварк-партонных представлений. Далее в стереографической проекции исследуются интегральные уравнения для мнимых частей оператора собственной энергии бозона в "радужном" приближении. Полученные уравнения допускают точное решение и позволяют исследовать инфракрасное поведение искомых функций. В работе /20/ отмечено, что на гиперсфере (3.1) можно ввести множество релятивистски ковариантных систем координат (f , Р »&), каждая из которых в плоском псевдоевклидовом пределе становится их декартовой системой. Ниже мы рассмотрим параметризацию импульсного пространства постоянной кривизны, отвечающую известной стереографической проекции.
Мнимая часть оператора собственной энергии бозона в конформно-псевдоевклидовых координатах модели с трилинейным взаимодействием
На примере диаграммы второго порядка показано, что при вычис лении величины в отличие от стандартной КТП воз никают два выражения, одно из которых не имеет "плоского" аналога и обязано своим существованием симметрии импульсного пространства постоянной кривизны относительно замены знака у пятой компоненты К пятимерного вектора Гц (/ = О, I, 2, 3, 4). Инфракрасные расходимости, возникающие в модели типаХ , можно удалить мультипликативной константой перенормировки. В высокоэнергетическом пределе, полученной выражение Тт. 2(Р,мг) выходит на константу, а в "плоском" пределе сводится к соответствующему выражению в стандартной КТП. 3. Получено решение интегрального уравнения для мнимой части оператора собственной энергии бозона в теории типа ХФ Р с фун даментальной массой. Решение имеет точку ветвления по константе связи --1 и при переходе к "плоскому" пределу в области Р » Пг обнаруживает степенную асимптотику. 4. В КТП с фундаментальной массой для исследования квантово полевых функций введена стереографическая параметризация импульс ного пространства постоянной кривизны. Координаты, вводимые с по мощью стереографического проектирования названы конформно-псевдоевклидовыми. 5. В конформно-псевдоевклидовых координатах получено точное решение интегрального уравнения для мнимой части оператора собст венной энергии бозона в "радужном" приближении с массивным обме ном (тС2 о). Найдена явная зависимость константы перенормировки упомянутого уравнения от параметров теории Q2- , уц , Щ , / \ . Исследовано поведение решения в случае больших (тС2»1ТсЛ и малых (П1сг КП?С1) значений масс обменных частиц. Показано, что учет массы обменных частиц практически не влияет на поведение искомой функции в асимптотической области а наличие фундаментальной массы И приводит к незначительному сокращению границ применимости "радужного" приближения в исследуемой модели. 6. Б стереографической проекции исследовано интегральное уравнение для мнимой части оператора собственной энергии бозона в модели с четверным взаимодействием и получено его точное решение. Показано, что средняя множественность рождения частиц при превращении Є Q -пар в адроны, в ультрафиолетовом пределе выходит на константу или имеет логарифмический рост в зависимости от группы движения Р-пространства постоянной кривизны ( S0(A2) или SO(4.1) ). 7. В "радужном" приближении теории типа Ф р исследовано интегральное уравнение для полного оператора собственной энергии бозона. Показано, что при соответствующем выборе константы перенормировки с учетом граничных условий задачи можно получить решение, мнимая часть которого не содержит инфракрасных расходимостей (при 1Псг 0) и совпадает с результатом вычисления функции Ъп21 (К2) прямым способом при помощи правил Куткосского. В асимптотической области Кг » 4 И2" в зависимости от величины отношения константы связи G- к фундаментальной массе И , реализуются условия, нарушающие положительность мнимой части оператора собственной энергии бозона. Выделены границы изменения величины Допущение Шс 4 М приводит к нарушению положительности величины 1цг Цкг) ПРИ любых значениях константы связи. 8. В безмассовой квантовой электродинамике с фундаментальной массой получено решение интегрального уравнения для вершинной функции в приближении Эдвардса. Показано, что в "плоском" пределе константа перенормировки уравнения iL стремится к нулю, а вершинная функция удовлетво-ряет условию нормировки J (-/ 2J= і и при К - о обладает правильным асимптотическим поведением в смысле теоремы Лемана-Си-манзика-Циммермана. В пределе слабой связи константа 2 совпадает с константой перенормировки вершинной функции в теории возмущений. 9. Построена 0\ЧЛ) - инвариантная лестничная модель амплитуды рассеяния вперед с безмассовым обменом. Показано, что амплитуда рассеяния имеет масштабно-инвариантный вид и в редже-бьёркеновской области имеет степенную асимптотику. Изучение амплитуды рассеяния в стереографической проекции позволило выявить скрытую Ow/ -симметрию лестничной модели для амплитуды рассеяния вперед в стандартной теории с виковским поворотом.
Исследование интегральных уравнений для вершинной функции в безмассовой квантовой электроди-намике и в скалярной модели типа XР
Современные экспериментальные средства по поиску фундаментальной длины весьма ограничены. Так, в СССР проектируется крупнейший в мире ускоритель, где можно будет сталкивать пучки протонов с энергией около 3000 ГэБ, что в лабораторной системе отчета соответствует энергии протонов 2 10 ГэВ /36/.
Это означает, что в ближайшем будущем даже при помощи столь крупного ускорителя вряд ли удастся исследовать пространство в поисках фундаментальной длины в масштабах менее 5.10 см. Если окажется, что фундаментальная длина меньшая чем Ю"-1 см существует, то это скажется не только на микрофизике, но и на представлении о микроскопических черных дырах и на современной космологии. Например, если фундаментальной длиной окажется планковская длина, то теорию элементарных частиц необходимо будет строить, привлекая идеи общей теории относительности.
В настоящее время, на наш взгляд, можно выделить три разных подхода к проблеме введения фундаментальной длины в КТП. I. Подход основан на введении "размазанной" области взаимодействия. При этом взаимодействие характеризуется некоторым формфактором, а фундаментальная длина является его эффективным радиусом. Данный подход является исторически первым /I/ и получил наибольшее развитие в работах Г.В.Ефимова /29/. Отметим, что в рамках этого подхода геометрия пространства -времени не меняется. 2. История более радикального подхода, связанного с изменени ем геометрии пространства-времени в малом, начинает отсчет с работ Снайдера /10, II/, М.А.Маркова /13, IV» Ю.А.Гольфанда /15-17/ и В.Г.Кадашевского /19-21/. Этот подход привлекателен с точки зрения возможности построения последовательной КТП с наиболее адекватным аппаратом описания явлений в физике сверхвысоких энергий. При этом фундаментальная длина вводится в теорию естественным образом, как радиус кривизны импульсного пространства. 3. В работе /37/ Фубини предложил ввести фундаментальную длину в КТП, используя идею о спонтанном нарушении трансляционной инва риантности (см., например, /38/). Однако это направление не полу чило дальнейшего развития. Второй подход можно условно разбить на три этапа развития. Первый этап охватывает период 1947-1965 гг., когда разрабатывалась снайдеровская схема КТП с импульсным пространством постоянной кривизны. На втором этапе (I97I-I978 гг.) происходит реабилитация схемы Снайдера ценой полного отказа от прежней ее физической интерпретации. Третий этап развития начался в 1978 г. и связан с попыткой формулировки локальной КТП с фундаментальной длиной. В 1984 году В.Г.Кадышввским и его сотрудниками была разработана локальная ка-либровочно-инвариантная теория электромагнитных взаимодействий, содержащая в качестве нового универсального параметра фундаментальную длину 6 , причем в импульсном представлении возникает импульсное пространство Де-Ситтера с радиусом кривизны в Рассмотрим более подробно каждый из отмеченных этапов развития КТП с импульсным пространством постоянной кривизны. I. Релятивистское квантование пространства-времени и импульсное пространство постоянной кривизны Схема релятивистского квантования пространства-времени предложена в 1947 г. Снайдером /10, II/. Дискретное пространство-время возникает при рассмотрении координат Х« (/" = О, I, 2, 3) как операторов смещения Х« в искривленном пространстве импульсов Jc (Р). При построении таких операторов Снайдер исходил из идеи ограничения, накладываемого на квадрат 4-импульса: В работе В.Г.Кадышевского /19/, наряду с этим, рассмотрен другой тип ограничений Р % -/Л . Гиперповерхности, соответствующие данным неравенствам и ограничивающие допустимые значения квадратов 4-импульсов, можно описать одним уравнением: Отметим, что в "обычной теории" четырехмерное Р-пространство псевдоевклидово, и поэтому оно обладает Ю-параметрической группой движений ( /JJJO ), состоящей из группы лоренцевых поворотов (LQ), трансляций (7 ) и отражений. При наличии предельной гиперповерхности (I.I) преобразования трансляции (Т ) должны быть заменены некоторыми новыми преобразо ваниями (Т ), переводящими эту гиперповерхность в себя. Что касается преобразований поворотов и отражений из группы (ь 0), то они переходят в новую группу движений без изменений, так как гиперповерхность (I.I) инвариантна относительно этих преобразований. Если ввести однородные координаты то уравнение (I.I) примет вид Уравнение (1.3) остается инвариантным относительно всех линей-ных ортогональных преобразований вида О = d Ц , , где М,N = = О, I, 2, 3, 4. Последние образуют группу ( G-J0) гиперсферы псев-доевклидового 5-пространства переменных О . Поскольку группа (/,10 ) изоморфна фактор-группе ( Gj0) по ее подгруппе, состоящей из двух преобразований lj? -»ip и - - » то пятимерная гиперсфера рассматривается в качестве модели Р-пространства постоянной кривизны /10, 19/. В работе /19/ отмечено, что вследствие указанного выше соответствия между группами (G-10) и (LiQ) для описания ( ZiQ ) достаточно использовать следующие связные компоненты группы (G Q).
