Содержание к диссертации
Введение
1 Возмущенные минимальные модели 10
2 Квантовая теория Тоды 32
1 Теория Тоды 32
2 Дифференциальное уравнение 41
3 Квазиклассический предел 54
4 Minisuperspace предел 71
3 Корреляционные функции в теории Лиувилля и квантовой гравитации 76
1 Корреляционные функции в теории Лиувилля 76
2 Корреляционные функции в минимальной гравитации . 83
Заключение 90
Приложение 93
Литература 102
- Дифференциальное уравнение
- Квазиклассический предел
- Корреляционные функции в теории Лиувилля
- Корреляционные функции в минимальной гравитации
Введение к работе
Одной из важнейших проблем современной квантовой теории поля является вычисление корреляционных функций локальных операторов. Единственными примерами, где эю возможно сделать, являются двумерная конформная теория поля и двумерная модель Изинга в нулевом магнитном поле [1,2]. Оба этих примера обьедоняег то, что они являются двумерными интегрируемыми квантовыми теориями поля, т. е. теориями с бесконечным числом интегралов движения. В таких теориях оказывается возможным использовать методы, коюрые не применяются в «обычной» квантовой теории ноля. Вообще интегрируемые теории поля делятся на два класса: конформные теории поля и массивные интегрируемые теории поля.
Первый класс или двумерная конформная теория поля, сформулированная в 1984 году Белавиным, Поляковым и Замолодчиковым [1], является замечательным примером интегрируемой теории, в которой все корреляционные функции могут быть вычислены точно. Это становится возможным благодаря конформной инвариантности и использованию гипотезы об операторной алгебре. Конформная инвариантность позволяет легко описать пространство полей в теории. Можно показать что любое ноле принадлежит семейству, порожденному некоторым специальным полем, которое называется примарным. Остальные поля теории называются полями по- томками. Размериосги этих полей образуют серии отличающиеся иа целые числа. Их корреляционные функции могут быть найдены из корреляционных функций примарных полей действием некоторых линейных дифференциальных операторов. Поэтому задача о вычислении всех корреляционных функций в теории сводится к задаче о вычислении корреляционных функций примарных полей. Такая простая структура операторной алгебры в теории является отличительной чертой конформной теории поля.
Одними из самых простых конформных теорий поля являются минимальные модели. В эгих моделях имеется конечное число примарных полей, причем каждое из этих полей вырождено. Конформные размерности этих полей задаются при помощи формулы Каца. Любые многоточечные корреляционные функции в этих теориях задаюіся при помощи двумерных кулоновских интегралов. Просіейший нетривиальные пример минимальной модели это двумерная модель Изинга в критической точке. Остальные минимальные модели описывают более сложные типы критического поведения в двумерных системах.
Другим не менее важным примером конформной теории поля является теория Лиувилля. Эга теория появляется при квантовании теории струн в размерности пространства времени не равной 26. Спектр полей в этой теории, в отличие от минимальных моделей, является непрерывным. В последние годы в этой теории был достигнут замечательный прогресс. В частости, в работах [47-49) были вычислены трехточечные корреляционные функции экспоненциальных полей, что, благодаря конформной инвариантности и гипоіезе об операторной алгебре, позволяет в принципе вычислить любые многоточечные корреляционные функции.
Теория Лиувилля допускает естественное обобщение путем введения до- полнительных симметрии, порожденных сохраняющимися токами спина
3, Эти токи вместе с тензором энергии-импульса образуют замкнутую операторную алгебру, называемую XV алгеброй. Такие теории называются теориями Тоды. Теория Тоды не так хорошо исследована как теория Лиувилля и несомненно заслуживает более детального изучения. В частности представляет интерес обобщение результатов, полученных в теории Лиувилля на этот случай. Некоюрые из имеющихся здесь проблем решены в диссертации.
Вюрой класс 'іеорий это массивные теории поля. Эти модели хотя и не являются конформными, но имеют бесконечное число законов сохранения. Многие важные величины в этих моделях, такие как матрица рассеяния или формфакторы локальных полей, могут быть вычислены точно. При попьпках обобщить алгебраический подход, применяемый при изучении конформных теорий ноля, на более широкий класс двумерных интегрируемых моделей одной из основных трудностей является отсутствие каких либо алгебр симметрии, которые бы описывали пространство состояний и характеризовали локальные операторы. Эта проблема не решена до сих пор. Однако некоторые тесты, такие как подсчет состояний, вселяют определенный оптимизм.
В диссертации рассматривается несколько примеров интегрируемых теорий ноля. В каждой из этих теорий проводится вычисление различных корреляционных функций. Диссертационная работа имеет следующую структуру.
В первой главе рассматриваются минимальные модели конформной теории поля возмущенные полем Фіз- Эги теории связанны со многими интересными двумерными статистическими системами, такими как модель
Изинга, модель Потеа, RSOS-модели итд. К сожалению, аналитические выражения для таких важных объектов в теории поля, как корреляционные функции локальных нолей, до сих пор не найдены. В диссертации рассматривается этот вопрос для случая двуточечной корреляционной функции спиновых полей. Вычисление проводится двумя способами. Методами конформной теории возмущений на малых расстояниях и используя форм-факторное разложение на больших расстояниях. Показано, что результаты коротко- и длинно- дистанционных разложений согласуются на средних масштабах.
Во второй главе рассматривается двумерная квантовая теория Тоды, связанная с алгеброй $[(п). Эта теория описывается лагранжианом
К — 1 где ip — скалярное поле ip = (ipi.. .уз„„і), b — безразмерная константа связи, ft ~ параметр, называемый космологической постоянной и вектора ( — простые корни алгебры s[(n). Эт теория является конформно-инвариантной с центральным зарядом с = п — 1 + 12Q2, где Q — (b + b~l)p и р—вектор Вейля. Более того, алгебра симметрии этой теории включает также множество локальных токов Wk(z) со спинами равными 3,4,..., п. Эги токи вместе с тензором энергии-импульса образуют ассоциативную операторную алгебру, которая совпадает с Wn алгеброй. Благодаря этому обстоя іельству, корреляционные функции удовлетворяют большому числу соотношений, называемыми конформными тождествами Уорда. Эти соотношения позволяют вычислить некоторые корреляционные функции точно.
Одной из наиболее важных задач в теории Тоды и в конформной теории ноля вообще является вычисление трехючечных корреляционных функций примарных нолей V^ = c^a,f'. В случае алгебры sl(2) это вычисление было проведено в работах Дорна и Отто [47,48] и независимо в работе Замо-лодчикова и Замолодчикова [49]. Благодаря эюму вычислению, а также конформной инвариантности, открывается принципиальная возможность вычислить любые много точечные корреляционные функции в этой теории точно.
В 1 это показано, что вычисление трехточечной корреляционной функции, проделанное для алгебры в1(2), обобщается на случай алгебры вї(п), если параметр а одного из полей принимает специальные значения. Например если а& = ялп-\, здесь wn_i — фундаментальный вес алгебры sl(n). В этом случае ответ для трехточечной корреляционной функции {Vai{zu z\)Va2{z2, z2)V^n_,(zz, 23)> = C(ai,a2,«wn-i) |гі2|2(Ді+Д2-Д3)|2і;}|2{ДІ+Дз-Д2)|^з|2(Д2тД3-Ді)' где А^ — конформная размерность поля Vak, может быть записан в терминах функции Т(я;), введенной Барнсом, как WQ-T.a, О)
С{аиа2)хи!п-{)= тг/г/(62)&2_2ь2 * х (y(b)rly(x)Yir((Q-aue))y((Q-a2ie)) v- я f nT(5 + (a,-QA) + (a2-Q,h,)) где введено обозначение *)(х) — Г(а;)/Г(1 — х). Произведение в числителе идет по положительным корням алгебры sl(n), а в знаменателе по весам представления и\.
В 2 іі])едложен другой способ вывода трехточечной функции. Он основан па использовании свойств вырожденных полей Wn алгебры. Именно, показано, что чегырехточечная корреляционная функция {^^(^^)^(0)^(1)^.,(00)) удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка п с тремя регулярными особыми точками О, 1 и со по каждой из переменных х и х. Это уравнение совпадает с обобщенным гипергеометрическим уравнением. Функция, являющаяся одновременным решением обоих уравнений, обязана быть однозначной на плоскости с тремя отмеченными точками. Можно покапать, что это требование эквивалентно выполнению функциональных соотношений для функции C(ai,a2,>fa;n-i). Решение этих функциональных соотношений совпадает с ответом полученным в 1.
В 3 иеследуеіся квазиклаесический предел теории при b —> 0. В этом пределе интересно рассмогрегь случаи тяжелых ( ~ 1/6 и легких a>k ~ b полей. В первом случае асимптотика трехточечных корреляционных функций даеіся классическим действием, вычисленным на решении классических уравнений Тоды с тремя особыми точками. Во втором — интегралом по пространству модулей регулярного классического решения этих уравнений. В обоих случаях проделаны соответствующие вычисления и результат сравнен с асимптотикой квантового выражения.
В 4 изучается еще один квазиклассический предел трехточечной корреляционной функции, известный в литературе как minisuperspace limit. В этом пределе динамика описывается нулевыми модами поля (р. При этом оператор Vqt1p соответствует волновой функции где х — нулевая мода поля (р. Функция Фр (я) удовлетворяет уравнению Шредингера
Квазиклассический предел трехточечной функции C(cti, аг, a,j) имеет смысл, если в пределе 6 —* 0 взять ( — Q + гирл, для fc = 1,2 и a,j = ibq. В этом случае он даегси интегралом
Интеграл (2.3) может быть вычислен і очно в случае когда q = su;n-i и ответ совпадает с пределом C(Q + ibp\,Q + ibp2,ibs^n-\).
В третьей главе изучаются корреляционные функции в теории Лиувил-ля (st(2) теории Тоды) и минимальной гравитации.
В 1 показано, что четырехточечная корреляционная функция с одним вырожденным полем в теории Лиувилля можег быть вычислена явно. Хорошо известно, что такая корреляционная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка 771+1 по переменным х и х. Однозначное решение этих уравнений может быть записано в виде 2т-кратного кулоновского интеграла. Используя свойства этой чегырехточечной функции, получены новые тождества которым удовлетворяют кулоновские интегралы.
2 посвяіцен изучению минимшіьной гравитации. Вычисляется четырехточечная корреляционная функция с одним вырожденным материальным нолем.
В заключении перечисляются основные результаты диссертации.
Дифференциальное уравнение
На самом деле, эта Wn алгебра описывает только половину симметрии теории. Полная алгебра симметрии является тензорным произведением двух коммутирующих W„ алгебр: Wn Wn.
Основные объекты в теории Тоды — экспоненциальные поля которые являются бесспиновыми примарными полями Wn алгебры. Это означает, что они имеют простейшее операторное разложение с голоморфными токами Wk() (т. е. главный сингулярный член операторного разложения порядка к, причем коэффициент в этой особенности пропорционален самому полю) Аналогичные операторные разложения с токами W () также выполняются. Квантовые числа w (a) являются инвариантными относительно действия группы Вейля W алгебры s\(n) (которая порождена отражениями от простых корней efc) (53 В частости, — конформная размерность поля V . У])авнение (2.11) наводит на мысль, ч ю поля, связанные действием группы Вейля, должны совпадать с точностью до множителя. Одно из очень важных свойсгв теории Тоды заключается в том, что это действительно верно где R3(a) амплитуда отражения, которая была найдена в [54,55] Произведение в формуле (2.14) идет по положительным корням. Одной из самых важных проблем в теории Тоды (и в квантовой теории поля вообтце) является нахождение многоточечных корреляционных функций (Vul{zuzx)... Vai(ziM = J[V p]e-ATFTVni{zu z{)... Vm(zu z)) (2.15) Эта проблема становится сложной из-за того, что теория (2.1) не является свободной. Наивно, можно попытаться развить теорию возмущений по параметру //. Однако, корреляционные функции (2.15) будут равны нулю во всех порядках по /І, если не выполнено условие с некоторыми неотрицательными целыми числами $&. На самом деле, при этом условии корреляционная функция будет иметь полюс. Чтобы увидеть эю, выполним интегрирование по нулевым модам ноля р [57]. Разобьем иоле ip на постоянную и ортогональную к ней компоненты: ip = ро + ф, так, что j (Р х ф = 0. Интеграл по нулевой моде (р$ -может быть вычислен точно. В результате, мы получим Здесь введены вектора w/; — фундаментальные веса алгебры sl(n)3. Интегрирование идет по конфигурациям свободного безмассового скалярного поля ip с действием So- Уравнение (2.17) не имеет смысла, если все Sk в общем положении. Однако в резонансном случае, когда все я неотрицательные целые числа, гамма-функции в правой части (2.17) будут иметь полюса. Вычеты в этих полюсах будут Здесь {.. .)о означает усреднение по свободному полю и интегрирование идет по положению нолей Vtek. Чтобы вычислить многоточечные корреляционные функции экспоненциальных полей Vn, необходимо сначала вычислить двух и трех точечные функции. В случае алгебры sl(2), знание этих корреляционных функций вместе с утверждением, что конформный блок полностью определяется из 3Оші определяются как базис дуальный h простым корням (е„л}) = St]. требования конформной инвариантности, позволяет нам, в принципе, вычислить все многоточечные корреляционные функции точно [1]. В случае алгебры si(n) это утверждение вообще говоря не верно.
Для произвольного п, двух іоченая корреляционная функция бала вычислена в работе [55]. Выражение для нее можег быть просто выражено через амплитуды отражения Яч(а). Гораздо более нетривиальный объект - трехточечная корреляционная функция или структурная функция операторной алгебры, благодари конформной инвариантности, зависит от координат универсальным образом
Квазиклассический предел
Параметр Л, называемый аксессорным коэффициентом, априори неизвестен. Здесь мы приходим к основному различию со случаем алгебры st(2), где аксессорные коэффициенты вообіце не появляются в случае трех сингулярных точек [63]. На классическом уровне это является объяснением того почему трехточочная функция — более сложный обьект для высших теорий Тоды. Ниже будет показано, что параметр Л может быть найден, используя совершенно иные аргументы.
Чтобы решить граничную задачу (2.5), необходимо найти действительное однозначное решение уравнений (2.11). Требование однозначности на самом деле не яиляеіся тривиальным, поскольку произвольное решение уравнений (2.11) ому не удовлетворяет. Пусть Фі — базис решений уравнения (2.11а), который и мест монодромию, диагональную в окрестности точки Z Если мы запишем диагональную билинейную комбинацию такое решение обладает очевидной инвариантностью при обходе z вокруг z\ (контур С\ на рисунке 2.1). Но нам необходимо обеспечить такую инвариантность также при обходе вокруг точек z2 и z$ (контуры Сч и Сз соот-веютвенно). Пусть Хк — базис решений уравнения (2.11а) с диагональной с некоюрыми другими константами А&. Если решение Ф(г, z) может быть представлено одновременно как (2.20) и как (2.22), оно является однозначным на всей сфере потому, что контур окружающий ючку zs может быть продеформирован в контуры окружающие точки Z\ и 22, что гарантируется условием (2.15). С другой стороны, если функции Фи и X/; удовлетворяют одному и ому же дифференциальному уравнению, они линейно зависимы Элементы матрицы Мг] являются функциями от параметров Sk, w/; и Л. Если подставим разложение (2.23) в (2.20), мы получим нежелательные члены типа XiX2; коюрые нарушают моиодромную инвариантность. То есть, необходимо приравнять коэффициенты при этих членах к нулю. В результате мы получим систему уравнений
Условие (2.25) может рассматриваться как уравнение на Л. Попробуем найти решение в специальном случае, который соответствует классическому пределу трехточечной функции (2.24). А именно, предположим что используя очень простые рассуждения. Логика этих рассуждений такова: если выполнено условие (2.26), уравнение (2.11) имеет такое же поведение вблизи сингулярных чочек, как и гипергеометрическое уравнение типа (3,2), но не совпадает с ним, если параметр Л находиіся в общем положении. Выберем такое специальное Л (2.27), 1по это уравнение действительно будет совпадать с гипергеомегрическим. В этом случае легко проверить, чю условие (2.25) выполняйся. Решение (2.11а) совпадает с квазиклас-сическим пределом чегырехточечной функции (2.17) с точностью до множителя, который может быть найден из условия (2.14). Регуляризованное классическое действие 5 f5S на эюм решении можег быть легко найдено
Мы видим, чю квазиклассический предел трехточечной функции (2.24) находится в полном соответствии с (2.28). Интересный вопрос остался без ответа: сколько решений имеет граничная задача (2.5)? В случае трех сингулярных точек эю вопрос может быть переформулирован: сколько решений имеет условие (2.25), рассмотренное как уравнение на Л?
Рассмотрим теперь квазиклассический предел в случае «легких» V0k с 0 = Ьщ. В этом случае, решение уравнений (2.5а) с положительным \І не существует, поскольку условие (2.6) в этом случае не выполнено. Поэтому, удобнее сделать аналитическое продолжение. Поведение корреляционных функций при 6 — 0 теперь определяется решением уравнений Тоды с другим знаком в правой части Легкие экспоненциальные поля есіественно не оказывают ни какого влияния на динамику. Это означает, что в эгом случае токи равняются тождественно нулю
Корреляционные функции в теории Лиувилля
В этом мы опишем, как при помощи кулоновских интегралов вычисляются корреляционные функции в минимальной гравитации. Эта теории описывается обобщенной минимальной моделью [70] с центральным зарядом связанной с теорией Лиувилли таким образом, что выполнено условие ci + см — 20. Обобщенная минимальная модель имеет бесконечное число при-марных полей Фа с конформными размерностями3
Эти модели были впервые исследованы в рабою [70]. Нормировка примар-ных полей Ф0 в обобщенной минимальной модели выбрана таким образом, что заметим, что центральный заряд Си и конформная размерность Д«(а) могут быть получены из соответствующих выражений Сі и .Лі,(л) в теории Лн БИЛЛЯ подстановкой Ь — — iba а — га.
Главная проблема в минимальной гравитации — вычислить корреляционные функции тахионных операторов Ua = ФЛ_гДа, имеющих конформные размерности Д/,(а) 4- Д.и(а — Ь) = I. Эго означает, что (1,1) форма Ua{z)tfz может быть проинтегрирована инвариантным образом. Проинтегрированные iV-точечиые корреляционные функции — инвариантные объекты, которые зависят только от параметров а . Из-за симметрии теории относительно замен координат, число интегрирований в Лг-точечной корреляционной функции понижается до N — 3. А именно, можно зафиксировать координаты трех любых полей в точках 0, 1 и со. Эгот факт очень хорошо известен в теории дуальных моделей, где похожие интегралы появляются при вычислении древесных струнных амплитуд. Трехточечные корреляционные функции полей Uak вообще не содержат интегрирований и легко вычисляются [70]
Четырехточечные функции будут более нетривиальными. Они будут содержать одно интегрирование. Мы определим (следуя логике работ [51, 7()) четырехточечную корреляционную функцию Em(o;i,Q 2,Q,i), которая содержит одно материальное поле Фть/2, вырожденное на уровне т + Соо ївеїегвующая материальная корреляционная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка т + 1 и в полной аналогии со случаем теории Лиувилля може г быть представлена m-мерным кулоновским интегралом
Интеграл для четырехточечной корреляционной функции в обобщенной минимальной модели с одним вырожденным полем Фть/2 и тремя произвольными полями Фоь можегбыть получен подстановкой а — га и b — — ib в интеграл для четырехточечной функции в теории Лиувилля (3,20), тогда как нормировочный фактор Лш(аі, a2, аз) може г быть получен, следуя логике вычисления нормировочной константы Пш(йі,а2, ,ч) и принимая во внимание нормировочное условие (3.2). Необходимо также помнить, что переменные о в уравнении (3,6) сдвинуты: а/„. — ад. — Ь. Соответствующая чегырехючсчная корреляционная функция в теории Лиувилля является гораздо более сложным объектом. Она упрощается, однако, если стремится к нулю неличина Для таких значений параметров, материальная четырехточечная функция (З.б) имеет ноль. В пределе г — 0 первая Т функция в (3.8) имеет асимптотику тогда, как четырехточечная функция в теории Л иу вилл я (3.9) имеет асимптотику, коюрую можно выразить в терминах п-мерного интеграла (3.20): Перемножая корреляционные функции (3.6) и (3.12), беря предел е-+0и беря интеграл по переменной z, мы получаем Интеграл Зпт(а\,а2,а$) може г быть вычислен точно. Удобно применить соотношение (3.22а) к /кчерному ишегралу по переменным s и подобное соотношение к m-меріюму интегралу по переменным t (в последнем случае, необходимо сделать подстановку Ь2 —» — $), и переписать интеграл Jtmi(ai,a2,Q3) как:
Корреляционные функции в минимальной гравитации
В заключении еще раз перечислим основные результаты диссертационной работы. 1. Было проведено вычисление двухточечной корреляционной функции спиновых полей в минимальных моделях конформной теории ПОЛЯ MPil/ возмущенных полем Фи. На малых расстояниях использовался метод конформной іеории возмущений, а на больших форм-факторное разложение. Показано, что комбинация обоих меюдов дает правильное поведение корреляционной функции на всех масштабах. 2. Были вычислены трех ючечпые корреляционные функции экспоненциальных полей в теории Тоды в случае, когда вес одного из полей пропорционален первому фундаментальному весу соответствующей алгебры Ли. Ответ обобщает известный результат для трехточечной функции к теории Лиувилля. 3. Разработана техника вычисления корреляционных функций в теории Тоды в квазиклассическом пределе. Получены квазиклассические выражения для трехточечных корреляционных функций. 4. Явно вычислены четырехточечные корреляционные функции с одним вырожденным полем в теории Лиувилля. Огвег представляется в виде кулоновского интеграла. Получена серия функциональных соотношений, коюрым удовлетворяют эти интегралы. 5. Найдены чегырехточечные корреляционные функции в минимальной гравитации с одним вырожденным материальным полем. Результаты, выносимые на защиту, опубликованы в следующих работах: 1 A. A. Belavin, V. A. Belavin, А. V. Litvinov, Y. P. Pugai and А. В. Zamo-lodchikov, On correlation functions in the perturbed minimal models A/2,2n+i, Nucl. Phys. В 676 (2004) 587. 2 A. A. Belavin, A. V. Litvinov, On correlation functions in perturbed minimal models, Quarks-2004 Proceedings. 3 А. В. Литвинок, В. А. Фатеев, On differential equation on four-point correlation function in the Conformal Toda Field Theory, Письма в ЖЭТФ 81 (2005) 728. 4 А. В. Литвинов, В. А. Фатеев, Coulomb integrals in Liouville theory and Liouville gravity, Письма в ЖЭТФ 84 (2006) 625. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах института теоретической физики им Л. Д. Ландау, в Независимом московском универеитеїе и на семинаре в Физизичеком институте им П. Н. Лебедева РАН, а также на конференциях: 1. ІРМ String School and Workshop, April 10-19, 2006, Tehran, ULAN; 2. Arithmetic and Geometry Around Quantization, 5—15 June 2006, Istanbul, Turkey, 2006; 3. Strongly Correlated Phenomena in Quantum Field Theory, Nanophysics and Hydrodynamics, 12-15 December 2005, ICTP Trieste, Italy; 4. Первая и вторая легняя научная школа Фонда «Династия», пос. Московский, Московской области. Автор выражает глубокую признательность всем сотрудникам сектора квантовой теории поля института теоретической физики им Л. Д. Ландау за полезные обсуждения. Особенно я хочу поблагодарить моего научного руководителя А. А. Бе-лавина за постоянное внимание и поддержку во время моего обучения и написания работы, а также В. А. Фатеева в соавторстве с которым получен ряд результатов диссертации. Вычисление кулоновских интегралов В этом приложении мы продемонстрируем технику вычисления кулоновских интегралов связанных с алгеброй s\(n). Они появляются в теории безмассового (п— 1)-ко\пганентного скалярного поля у», как выражения для корреляционных функций экспоненциальных полей Va = е . В основном, мы будем рассматривать трехточечные функции
Похожие диссертации на Корреляционные функции в интегрируемой теории поля
