Введение к работе
Актуальность темы
Понятие симметрии давно стало основополагающим в современной физике. Одной из задач фундаментальной физики является формулировка такого принципа симметрии, на основе которого можно было бы из многих возможных кандидатов выбрать одну теорию, описывающую все взаимодействия. Симметрии помогают решать многие физические задачи. В реальной ситуации неинте-грируемую систему приближают решаемой моделью с симметрилмн. рассматривая затем нарушающие симметрию члены по теории возмущений.
С понятием симметрии тесно связано пространство модулей или особого рода параметров. Как правило, если изучаются какие-нибудь объекты с точностью до преобразований из группы симметрии, то возникают модули, различающие объекты, которые невозможно получить друг из друга преобразованием симметрии.
Сферические функции появляются в задачах квантовой механики, в которых есть симметрия. Таковы, например, сферические гармоники У;от. D широком классе маломерных теорий струн. статсуммы - т -функции - также являются сферическими фунцкиями для бесконечномерных групп.
Представляет интерес изучение естественных интегрируемых систем (т.е. систему связелных с группами через структуру фазового пространства и/или гамильтониана) так как такие системы гп-рают роль аффективных теорий поля для топологических струн.
Очень большой класс квантоэомеханических задач обобщает уже упомянутые функции Yim (которые соответствуют группе SU{2)). Это так называемые многочастичные квангозомеханические системы, в которых частицы взаимодействуют с помощю парного потенциала вида jj, ;„,іггл или |з(і).
Недавно такие системна (примеры приведены ниже) привлекли к себе пристальное внимание в физике твердого тела, где точная их решаемость позволяет перейти от (неадекватной в важных ситуациях) теории Ферми-»:идкости Ландау, к теории частиц дробной статистики, удовлетворяющих обобщенному принципу Паули. Иными словами, в качестве нулевого приближения,
на фопе которого строится теория возмущений, берется интегрируемая система, описывающая взаимодействующие частицы.
Диссертация рассматривает подходы к задаче о построении универсальной ывогочастичной системы, чьи различные пределы давали бы все известные интегрируемые конструкции такого типа. Основной идеей таких подходов является редукция простых систем на больших пространствах к сложные системам на малых. Фазовыми пространствами для таких сложных систем следует считать различные пространства модулей.
Понятие пространства модулей пришло, в физику видимо с появлением ин-стантонов, т.е. в 70-годах. В инстантонном исчислении их.называют пространством коллективных переменных. Всплеск интереса к пространствам модулей - пространствам параметров, возник с появлением теории струн.
Это не означает, конечно, что пространства модулей изучаются только в теории струн, но методы, разработанные за последние десять лет ее развития, безусловно представляют большой интерес.
Для любого пространства, на котором действует какая-либо группа симметрии, можно построить пространство модулей - просто пространство параметров орбит действия этой группы. Для разных категорий многообразий ата процедура может проявлятся по-разному. Только что описанная конструкция реализуется при изучении конфигурационного пространства системы с симметрией.
Например, таким пространством может быть пространство калибровочных полей на некотором многообразии. В гамильтоновом подходе группа, действующая на конфигурационном пространстве, действует и на фазовом. Фактор-пространство по этому действию не будет ничьим фазовым пространством - импульсов больше, чем координат. Поэтому правильное пространство модулей строится сложнее - нужно сначала наложить связь (положить отображение момента равным нулю, наложить закон Гаусса, ...) и только потом профакторизовать. Эта процедура называется гамильтоновой редукцией (известной также как редукция Марсдена-Венлстейпа, или как переход к редуцированному фазовому пространству).
Например, для пространства калибровочных полей на двумерной поверхности, рассматриваемом как фазовое пространство (в трехмерной тсоріш) с спм-плектической формой
/ Тг<5Л Л 6Л
такая процедура даст в качестве редуцированного фазового пространства конечномерное многообразие (оно оказывается фазовым пространством в теории Чернл-Сяймочса) " п]>остранство модулей плоских связяоетей.
Дальнейшее обобщение. Пусть исходное фазовое пространство обладает тремя согласованными екмплектическими структурами. Согласованность означает, что существует такал метрика и такие три комплексные структуры I. J, А", что выполняются соотношения в алгебре кватернионов:
креме того, требуется, чтобы г.се три структуры были козариантно постоянны: V/ = VJ = VA' = 0. . Тогда симплсктические структуры должны быть келеровыми формами в соответствующих комплексных структрурах.
Например, в Ш* = С в качестве таких симплектігческпх структур мо:кно выбрать:
u:t =: -[tfc Л di 4- tlw Л rfi;>).a>2 = -('і- Л dw — d: Л dip)
u-'j = ~(dz Л dw + d: Л dw)
Допустим, что группа симметрии сохраняет все три формы. Тогда можно определить гиперхелероау редукцию, как фактор подмногообразия, злдлвсмого обращением р ноль всех трех моментов, по действию группы.
Например, пространство калибровочных полей на пгаеркелеровом четырехмерном многообразии - гипгрколгрово и калибровочная группа сохраняет все три гиперкелеровы формы. Тогда редуцированное пространство совладает с пространством модулей (анти-)инст:штот»я.
Диссертация посвящена изучению интегрируемых систем на пространствах модулей. Волновые фушхг.ш таких систем являются сферическими фунцкнямн на конечномерных группах, не группах петель, на квантовых группах и на многомерных обобщениях впгх объектов.
В изучении пространств модулей с помощью методов теории поля и состоит
предназначение многих топологических теорий. > /
Упомянем о еще одном аспекте интегрируемых моделей. Существуют такие квантовые задачи, в которых фундкиональный интеграл точно вычисляем. Например, вклад от конечного числа траєкторій вычисляется, а детерминанты или сокращаются или контролируемы. Обычно вто связано с наличием какой-либо (фермионной) симметрии. Видимо, интегрируемые системы составляют класс моделей, в которых такого рода явления действительно имеют место. Одной из целей отой работы является попытка обратить внимание на связь таких модели с топологическими теориями, в которых явление локализации (функционального интеграла) на решения некоторых уравнений (например, уравнений движения), видимо, универсально.
Цели работы
Целью работы является развитие метода гамильтоновых и гиперкелеровых редукций в классических и квантовых интегрируемых моделях, связанных с калибровочными теориями.
На основании этих методов исследуется структура состояний и амплитуд в многочастичных квантової іехакических системах.
Научная ноз.чзна
Предложена интерпретация маломерных калибровочных теорий в виде квантовой механики многих частиц, попарно взаимодействующих с отталкивающим потенциалом. Например, двумерная теория Янга-Миллса с калибровочной группой SU(N) оказывается связанной с моделью Сазерленда, в которой N частиц взаимодействуют с отталкивающим потенциалом
V(X1 ^ = 2^--^)
Показало, что стоговые эллиптические системы могут быть обобщены до систем Книжника-Замояодчккова ( Крячевера, - Хитчина - Бернара. ) яа пространствах модулей расслоений Хиггса. Тем самым установлена (ноьал) связь с двумерными конформными теориями поля.
Построено преобразование дуальности для тригонометрических интегрируемых систем описанного типа. Оно позволяет вычислять волновые функции одних систем, если известны таковые для дуальных. Конструкция согласуется с альтернативными построениями. Так, система Сазер ленда дуальна рациональной модели Раузеиа-арса.
С использованием техники тополопгческих теорий вычислены волновые функции, спектр и статсуммы в тригонометрических многочастичпых системах.
Предложена конструкция переменных действие-угол для интегрируемых систем на пространствах модулей, включающих в себя многочастичяые системы. Конструкция обобщает подходы Кричевера и Хитчина.
Построена склейка сферических функций, ставящая в соответствие каждой -двумерной поверхности с отмеченными точками двух типов (т и out) и графу на ней оператор из тензорного произведения пространств сферических функций в t'n точках в аналогичное произведение в oaf точках.
Предложены интегрируемые системы на прогтрлястве модулей нпстантонов на асимптотически локально евклидовом пространстве. Такие системы обобщают модели Хитчина в даумерии.
Практическая Ценность
1. Предложенная интерпретация мллоиер:шх калиброзочттых теорий в виде квантовой механики многих частиц, попарно взаимодействующих с отталкн-' вающим потенциалом, полезна в примс.нмзмх теории к моделям одно- и двумерной сверхпроводимости. 3 частности, удается найти интегральные формулы для корреляторов плотностей числа частиц. 2. Показано, что сштоЕЫ'.- эллиптические систол могут быть обобщены до систем Книжника-Замолодчикова ( Кричевсря - Хитчина - Борнара ) на пространствах модулей расслоений Хиггса. Тем самым установлена связь с двумерными конформными теориями поля.
-
Построено преобразование дуальности для тригонометрических интегрируемых систем описанного типа. Оно позволяет вычислять волновые функции одних систем, если известны таковые для дуальных.
-
С использованием техники топологических теорий вычислены волновые функции, спектр и статсуммы в тригонометрических многочастичных системах.
-
Предложена конструкция переменных действие-угол для интегрируемых систем на пространствах модулей, включающих в себя многочастичние системы. Она позволяет писать в принципе явные формулы для решения клас-
. сическнх уравнений движения через тета-фукцкии на кривых высокого рода,
-
Построена склейка сферических функций, ставящая в соответствие каждой двумерной поверхности с отмеченными точками двух типов (in и out) и графу на ней оператор из тензорного произведения пространств сферических функций в in точках в аналогичное произведение в out точках. Предложена процедура склеігки интегрируемых систем, гипотетически отвечающая вторичному квантованию струнных теорий. Конструкция полезяа пр'л изучении функториалышх свойств интегрируемых систем, очень важных в применениях струнных теорий поля.
-
Предложена интегрируемая система на пространстве модулей инстактонов на асимптотически локально евклидовом пространстве. Ее связь с интегрируемыми системами типа Калоджсра представляется аналогом связи между уравнениями самодуальности и редукцшгми иерархий Кадомцева-Петвиашвялн.
Она является лишь малой толикой богатого мира интегрируемых моделей, связанных с четырехмерными калибровочными теориями, изучение которых позволяет надеятсл на продвижение в понимании струнных симметрии.
9 Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на теоретичгских семинарах ИТЭФ, ЛОМИ, Института Теоретической Физики Университета Уппсалы (Швеция), Институте Нильса Еора (Дания), Институте Теоретической Физики Унизерситета Миннесоты, Институте Перспективных Исследований (Прин-стон), на межудпародных конференциях в Рахове (1992), в Алуште (1993), в Аспеяе (1993), в Хельсинки (1993).
Публикации .
По результатам диссертации опубликовало S статей. Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, 5 глаз я заключения. Текст диссертации изложен на 72 страницах, содержит список литературы из 65 наименований.
Похожие диссертации на Топологические теории поля и зональные сферические функции
