Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 3
1.1 Содержание диссертации 6
1.2 Результаты, выносимые на защиту диссертации 9
2 Вычисление ассоциатора Дринфельда 11
2.1 Интеграл Концевича 12
2.2 Регуляризованное уравнение Книжника - Замолодчикова для ассоциатора 14
2.4 Сравнение с известными формулами для узлов 23
2.5 Препотенциал Дринфельда 26
3 Разложение при больших N для корреляторов Черна-Саймонса 30
3.1 Пертурбативные разложения полиномов ХОМФЛИ 31
3.2 Структура разложения т’Хофта 34
3.3 Замечания 41
4 Обобщение корреляторов на случай суперполиномов 55
4.1 Полиномы ХОМФЛИ для торических узлов 55
4.2 Деформация в характеры Макдональда 60
4.3 Замечания 68
4.4 Редукции суперполиномов 75
4.5 Взаимосвязь между разложениями Макдональда и Холла-Литтлвуда торических суперполиномов 79
4.6 Коэффициенты Холла-Литтлвуда HQ ДЛЯ торических узлов 81
4.7 Производящие функции 84
5 Заключение
- Результаты, выносимые на защиту диссертации
- Регуляризованное уравнение Книжника - Замолодчикова для ассоциатора
- Структура разложения т’Хофта
- Взаимосвязь между разложениями Макдональда и Холла-Литтлвуда торических суперполиномов
Введение к работе
Актуальность темы
Трехмерная топологическая квантовая теория поля с действием Черна-Саймонса является отличным примером точно решаемой неабелевой калибровочной теорией. Её решения даются специальными функциями - квантовыми полиномами, в частном случае калибровочной группы SU(N) они называются полиномами ХОМФЛИ. Поскольку теория топологическая, то коррелятор петли Вильсона принимает разные значения только на топологически разных контурах, которыми являются узлы и зацепления. Таким образом, теория Черна-Саймонса дает естественным подход к решению давней математической проблемы - построению инвариантов узлов и зацеплений (далее просто узлов). Однако полиномы ХОМФЛИ являются неполными инвариантами, т.е. недостаточно рассмотреть только полиномы ХОМФЛИ, чтобы полностью различить все узлы. Ситуация меняется, если рассматривать цветные полиномы, то есть вильсоновские корреляторы в различных (неприводимых) представлениях группы SU(N): которые перечисляются диаграммами Юнга. Цветные полиномы ХОМФЛИ представляют из себя очень интересный объект, который мало изучен. Однако до сих пор неизвестно являются ли цветные полиномы ХОМФЛИ полным набором инвариантов узлов.
За прошедшие двадцать лет, с тех пор как Виттен связал вычисление корреляторов вильсоновских петель с инвариантами узлов, полиномиальные инварианты появились во многих задачах математической физики. Приведем лишь некоторые их них.
Вопрос об интегрируемых свойствах производящих функций. Если рас-
смотреть производящие функции чисел Гурвица, инвариантов Громова-Виттена, полиномов ХОМФЛИ и операторов Казимира, то окажется, что все они друг с другом связаны в тех или иных пределах/представлениях. Однако интернируемые свойства хорошо изучены только у производящей функции операторов Казимира - она является тау-функцией иерархии Кадомцева-Петвиашвили (КП). У остальных производящих функций подобные свойства либо плохо изучены (Гурвиц, Громов-Виттен), либо не изучены вовсе (ХОМФЛИ). Помимо интегрируемых свойств сама по себе связь между трехмерной теорией Черна-Саймонса (теорией узлов), числами Гурвица и инвариантами Громова-Виттена выглядит очень интригующей и крайне многообещающей. За последние десять лет произошел большой прогресс в выявлении связи теории Гурвица с теорией Громова-Виттена, а вот их связь с вильсоновскими корреляторами трехмерного Черна-Саймонса носит случайный обрывочный характер. Безусловно, наша интерпретация полиномов ХОМФЛИ как сумма по характерам симметрической группы - выжный шаг к понимаю этой связи и интегрируемых свойств теории.
Если производящая функция полиномов ХОМФЛИ является тау-функцией какой-нибудь иерархии, то на полиномы ХОМФЛИ должны быть соотношения, причем нелинейные наподобие квадратичных соотношений Плюкке-ра. Однако на сегодняшний день пока открыты только линейные соотношения на ХОМФЛИ, которые известны как (квантовые) А-полиномы. Они в свою очередь определяют "спектральную кривую снабженную дифференциалом Зайберга-Виттена. Это указывает на связь 3d теори Черна-Саймонса с 5с! теорией Янга-Миллса.
Также стоит упомянуть связь полиномиальных инвариантов с гиперболическими объемами трехмерных многообразий, реализациеё топологической
рекурсии АММ/ЕО в определенных матричных моделях и с конформными блоками модели ВЗНВ.
Один из самых актуальных вопросов последнего времени в этой науке - это обобщение полиномов ХОМФЛИ на случай суперполиномов. Суперполиномы - это тоже полиномиальные инварианты узлов, но уже от трех переменных. Помимо полиномов ХОМФЛИ они обобщают и другие полиномиальные инварианты, такие как полиномы Хеегарда-Флоера и Хованова-Рожанского. Они являются чем-то вроде /3-деформацией теории Черна-Саймонса аналогичной той, что приводит к появлению функций Некрасова в низкоэнергетическом пределе четырехмерной суперсимметричной теории Янга-Миллса.
Цель работы
Целью диссертации является вычисление ассоциатора Дринфельда и построение корреляционных функций с его помощью, изучение поведения корреляторов в пределе при больших N и вычисление поправок к этому пределу, исследование суперполиномиальных обобщений корреляторов на примере то-рических узлов.
Научная новизна
Все представленные к защите результаты являются оригинальными и новыми разработками автора диссертации. Результаты опубликованы в ведущих российских и зарубежных журналах, докладывались на международных конференциях. Работы известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов.
Практическая и научная ценность
Результаты работы имеют большую теоретическую значимость для пер-турбативных исследований теории Черна-Саймонса, для изучения дуально-стей между этой теорией и другими топологическими теориями, такими как теория Гурвица или Громова-Виттена, а также для построения и изучения бета-деформировации теории Черна-Саймноса и подобных теорий. Полученные результаты предоставляют новые возможности исследовать математические объекты физическими методами. Прогресс в направлении расширения связей между теоретической физикой и математикой, достигнутый в последние десятилетия исследовательскими группами по всему миру, показывает, что такая возможность обычно является плодотворной и для физической, и для математической наук.
Результаты, выносимые на защиту диссертации
В случае фундаментального представления алгебры gl(N) вычислен ассоциатор Дринфельда. С его помощью для простейших узлов проверено, что интеграл Концевича в точности совпадает с полиномами ХОМФЛИ.
Показано, что компоненты решения для ассоциатора совпадают с определенными компонентами WZWN конформного блока для примарных полей.
Используя разложение при больших N: описана зависимость вильсонов-ских корреляторов от представления R для произвольной петли. Она да-
ется характерами симметрической группы.
Доказано, что производящая функция корреляторов Вильсона в пределе больших А^ имеет степенную зависимость от \R\.
Построены суперполиномиальные обобщения корреляторов петель Вильсона для различных семейств торических узлов через ;-эволюцию по полиномам МакДональда.
Показано, что начальные условия для /^-эволюции имеют простое описание через полиномы Холла-Литтлвуда.
Апробация диссертации и публикации
Результаты диссертации докладывались на теоретических семинарах ИТ-ЭФ, института Кортевега-де Фриза (Амстердам) и следующих международных конференциях: IX, X международные школы ИТФ-ИТЭФ по теоретической и математической физике для одаренной молодежи (Севастополь, 2010, 2012 гг.); Ill, V Workshop on Geometric Methods in Theoretical Physics (Триест, Италия, 2010, 2012 гг.); I, II, III, IV Workshop on Synthesis of integrabilities arising from gauge-string dualty (Москва, 2010, 2011, 2013 гг. и Осака, Япония, 2012 г.); 50th International School of Subnuclear Physics (Эриче, Сицилия, Италия, 2012 г.); I, II Workshop on Aspects of Non-Associative and Non-Commutative Geometries in String Theory (Стамбул, Турция, 2012, 2013 гг.); 2nd Northeast String Meeting: Strings, Knots and Related Aspects (Натал, Бразилия, 2013 г.).
По материалам диссертации опубликованы 4 научные работы.
Структура и объем диссертации
Результаты, выносимые на защиту диссертации
Как обсуждалось во введении для вычисления корреляторов вильсоновских петель в теории Черна-Саймонса используются разные калибровки. Соответственно применяются разные методы и разные техники, чтобы получить ответ. За каждым методом стоит своя структура. Конкретный метод выбирается в зависимости от того, какую именно структуру планируется изучить. Всего же известно около десяти на первый взгляд совершенно различных способов вычислить полином ХОМФЛИ. Безусловно, все они просто соответствуют различным выборам калибровки в теории Черна-Саймонса. Одной из самых продуктивных является голоморфная калибровка, и именно она приводит к интегралу Концевича. Вычисление интеграла Концевича для конкретного узла, конкретной группы и конкретного представления является непростой задачей. В этом разделе будет рассмотрен подробно один из способов вычисления интеграла Концевича. Этот способ основан на представлении интеграла Концевича как произведения ассоциаторов и R-матриц. Их порядок в этом произведении определяется видом косы данного узла. Сама по себе R-матрица, используемая в этой конструкции, устроена очень просто, а вся сложность интеграла Концевича, по сути, зашита в ассоциаторе, который был введен В.Г. Дринфельдом в [23] при изучении алгебр Хопфа. Ассоциатор связан с асимптотическим поведением решений уравнения Книжника - Замолодчикова (КЗ). Этот факт устанавливает связь ассоциатора Дринфельда с конформными блока, которые как известно являются решениями уравнения КЗ. Конформные блоки являются локально голоморфные и антиголоморфные множителями, произведения которых складываются в корреляционные функции двумерной конформной теории поля. В свою очередь ассоциаторы Дринфельда являются множителями, произведения которых складываются в корреляционные функции трехмерной топологической квантовой теории поля. Таким образом, связь между ассоциаторами и конформными блока устанавливает связь между двумерной конформной и трехмерной топологической теориями поля. Эта связь между теориями была открыта в работе [3] и разрабатывалась в [14, 15], однако соотношения на уровне ассоциаторов и конформных блоков обсуждается здесь впервые. Но вернемся к этому в соответствующей главе ниже.
Итак, в этой главе будет подробно разобран метод вычисления корреляторов в голоморфной калибровке (интеграл Концевича) через ассоциаторы и R-матрицы в фундаментальном представлении калибровочной группы SU(N). Полученные результаты применим к некоторому количеству простых узлов, чтобы проверить, что выражение для вильсоновой петли в двух калибровках, упомянутых выше, в действительности совпадает. Также покажем, что нечетная часть ассоциатора Дринфельда не входит в выражение для инвариантов узлов, поэтому введем симметризованную версии ассоциатора, чья структура проще: она полностью описывается одной функцией (назовем ее препотенциалом Дринфельда), которая является четной по постоянной теории.
В таком представлении мы здесь не будем его анализировать (см. [8, 20, 9, 49]). Однако известно, что имеется эквивалентное комбинаторное описание интеграла Концевича, включающее в себя ассоциатор Дринфельда. И именно эту комбинаторную конструкцию будем иметь ввиду под интегралом Концевича. Все подробности этой конструкции можно найти в [19] и [20], а здесь мы приведем лишь краткое её описание.
Идея в том, чтобы разрезать узел на некоторое количество простых переплетений, посчитать интеграл Концевича для них, а затем восстановить интеграл для целого узла из этих простых кусков. Для этого, во-первых, узел представляется планарной диаграммой, у которой все нити идут сверху вниз или снизу вверх. Во-вторых, будем разрезать узел горизонтальными линиями так, чтобы в каждом отрезанном куске было только одно нетривиальное событие - ему сопоставляется оператор. В-третьих, все нити находятся на некотором расстоянии друг от друга. Чтобы переплести две нити, их сначала нужно подвести друг к другу. За это отвечает ассоциатор Ф рис. (2.1), а за само переплетение - сплетающая матрица R рис. (2.1). Это единственные нетривиальные операторы в таком подходе.
Таким образом, по планарной диаграмме узла строится комбинаторным образом интеграл Концевича. Проиллюстрируем это на примере узла, изображенного на рисунке 2.2. Ассоциаторы стоят только в двух местах: сверху и снизу, а в середине стоят і?-матрицы в количестве 2к + 1 штук. Поэтому для интеграла Концевича получаем следующий ответ: К1(Т[2, 2к + 1]) = tr (Ф R2k+1 Ф-1) (2.1.2) Ниже мы вернемся к этому примеру и явно вычислим интеграл Концевича для него. Вычислив интеграл Концевича, скажем для группы GL{N), не представляет труда найти соответствующие полиномиальные инварианты, в данном случае ХОМФЛИ. Ненормированные ХОМФЛИ связаны с интегралом Концевича следующим образом:
Регуляризованное уравнение Книжника - Замолодчикова для ассоциатора
Теперь можно использовать соотношения (3.2.34) в обратном направлении и заменить (3.2.32) на аддитивный базис, т.е. то, что с характерами сс (Д) входит только линейно. Тогда определенно требуется полное множество характеров, и полиномы і. образуют новые линейные комбинации, которые
Замечание о (анти)симметрических представлениях Стоит сделать важное замечание по поводу разложения (3.2.36). Отметим, что первый порядок разложения ,ак и второй порядок „0х полностью опре і- R R деляются только (анти)симметрическими представлениями, т.е. знание полиномов ХОМФЛИ в представлениях фиксируется первыми двумя поправками к специальному полиному в любом представлении.
То же самое в случае третьего порядка „0х несмотря на член „сг сс" ([21]). А именно, этот член может быть определен симметрическим представлением [31, потому что (Дч1([21]) Ф 0.
Однако в четвертом порядке .а1 это уже не так. Дело в том, что cz?„Г[31) R і R V J / и сс ([111]) не являются линейно независимыми для (анти)симметрических представлений, но они оба присутствуют в четвертом порядке. Появление несимметрического представления связано с хорошо известным фактом, что полиномы ХОМФЛИ в (анти)симметрических представлениях не могут различать узлы-мутанты. Но они делают это в несимметрических представлениях. Например, (зеркальный) узел Конвея КИпЗА и (зеркальный) узел Киношита-Тересаки К\\пА2 являются мутантной парой узлов с одиннадцатью пересечениями, они общеизвестны тем, что трудно различимы и различаются полиномами ХОМФЛИ, только начиная с представления [21] (или инвариантами Васильева 11 типа), [79].
Восстановление полинома ХОМФЛИ Приведем явный пример разложения (3.2.18-3.2.19), чтобы увидеть как из (страших) специальных полиномов восстанавливается полином ХОМФЛИ. Этот факт накладывает жесткие условия (соотношения) на старшие специальные полиномы. Рассмотрим два основных примера: трилистник и узел-восьмерку, оба в фундаментальном представлении.
Старшие специальные полиномы сг в формулах (3.2.19) могут быть вычислены из коэффициентов іст разложением на сумму по представлениям А, хотя это не вполне прямолинейно. На самом деле, существует более простой способ вычисления, ведущий нас к рассмотрению новых полиномов, которые являются производящими функциями старших полиномов.
Предположим, что нам уже известно, что коэффициенты іст в разложении (3.2.18) являются суммами по диаграммам Юнга старших специальных полиномов, помноженными на собственные значения операторов разрезания и-склейки, в точности как в (3.2.19):
Далее, рассмотрим эти собственные значения, заданые формулой (3.2.20) как матрицу срц(А) с двумя индексами Л и А. Тогда можно определить обратную матрицу I/JR(A) следующим образом
Теперь, используя матрицу ф„(А), легко разложить .а (А) в сумму по пред-ставлениям как (3.2.19). Используя матрицу „(А) можно также определить новые полиномы как (3.2.42) Фактически, они являются ни чем иным как производящими функциями старших специальных полиномов
Для того, чтобы показать различные свойства полиномов ХОМФЛИ, такие как интегрируемость, часто удобнее работать с производящими функциями. Определим производящую функцию [55, 56, 57] полиномов ХОМФЛИ как Z (p\A,q) = y HR(A,q)SR{p} (3.3.44) R и используем некоторые результаты из раздела 3.2. Во-первых, нам нужна формула (3.2.14):
Интегрируемость статистической суммы ОВ (3.3.44) означает, что статистическая сумма является тау-функцией иерархии КП. Линейная комбинация характеров R R R{P} есть тау-функция тогда и только тогда, когда коэффициенты д удовлетворяют бесконечному множеству квадратичных со отношений Плюккера:
Так как соотношения Плюккера однородны по Л, и SR{P } удовлетворяют соотношениям Плюккера, то ( сг (А)) SR{P } также удовлетворяют соотношениям Плюккера. Это означает, что для каждого узла, статистическая сумма ОВ в планарном пределе является тау-функцией КП [28].
К сожалению, полиномы ХОМФЛИ удовлетворяют соотношениям Плюккера только в пределе слабой связи, а в общем случае - нет. Поэтому можно связать соотношения Плюккера (3.3.48) только с классическими группами (q — 1), тогда как общий случай q ф 1, который включает квантовые группы, требует некоторого изменения соотношений Плюккера. Таким образом, это ключевой момент в истории интегрируемости ХОМФЛИ: необходимо сконструировать "квантовую" версию соотношений Плюккера, которая соответствует полиномам ХОМФЛИ.
Структура разложения т’Хофта
Один из интересных моментов нашей истории связан с зацеплениями. То-рические зацепления, кажется, не так уж сильно отличаются от торических узлов, и единственное изменение в нашей конструкции - начальное условие. Зацепления содержат несколько несвязанных (но переплетенных) частей, и инварианты зацеплений зависят от определенных независимых представлений. Таким образом, начальное условие включает в себя произведение характеров и, следовательно, не-тривиальные (но просто вычисляемые) коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона. Проблема, однако, в том, что получаемое таким образом не является суперполиномом: результат эволюции разрезания-и-склейки - это не полином по q, -переменным. На самом деле, эта проблема хорошо известна: уже полиномы ХОМФЛИ для зацеплений не являются настоящими полиномами, если А и t рассматриваются как независимые переменные, как в случае узлов. Они становятся полиномами по q только после подстановки А = tN, т.е. свойство полиномиальности гораздо слабее для за цеплений, чем для узлов. Более того, даже это слабое свойство остается при /3-деформации только для фундаментальных представлений R = [VR\]. Если некоторые R отличаются, например R = [2], то результат эволюции, начина ющейся с размерностей Макдональда, не является полиномом по q,t, даже если подставить А = tN. Проблема, фактически, переходит по наследству с уровня неузлов: размерности Макдональда MR для не являются полиномами, даже если А = tN. В [107] и далее в [117] радикальный выход был предложен:1 взять unknotR Ф MR для R = [і д ], и подставить его в выражение, которое становится полиномом для А = tN. Если наша эволюция разрезания-и-склейки начинается с такого начального условия, она определяет ответы для зацеплений, которые являются полиномами в том же смысле и совпадают с теми в [107, 117] с точностью до линейного преобразования. Коэффициенты этих полиномов, однако, не всегда положительны, как требовалось бы для настоящих суперполиномов (см [117] по обсуждению и предложению решений этой проблемы). Решение то же, как в случае не-фундаментальных представлений узлов: трактовать суперполиномы как степенные ряды по (q, t). Коэффициенты этого ряда должны оказаться положительными, и результат, кажется, воспроизводит гомологии Хованова-Рожанского корректно (после соответствующей редукции степенного ряда). Еще раз акцентируем, что проблема не имеет ничего общего с фундаментальным представлением, где, например, суперполином для зацепления [m, km] принимает форму
Другая интересная группа проблем затрагивает неторические зацепления. Наша эволюция разрезания-и-склейки описывает, что происходит, когда склеивают торические косы lZm с любой "начальной" косой Вт. Правда, по крайней мере, что в случае ХОМФЛИ, когда квантовая Л-матрица хорошо определена и хорошо известна; однако, как будет показано, похоже, все работает, если предполагается, что то же самое остается истинным после /3-деформации. Это означает, что, если известен суперполином т.е., начиная с известного ХОМФЛИ или суперполинома для некоторого узла, можно реконструировать те же полиномы для целого семейства, полученного эволюцией разрезания-и-склейки. Оказывается, что эта идея работает, но иногда, по крайней мере, частично, происходит сбой. Например, эволюция 3-нитевых кос превращает суперполином для узла-восьмерки 4і в полиномы, но с некоторыми отрицательными коэффициентами. Первый член ряда эволюции - это эквивалент ХОМФЛИ для композитного узла Зі Зі.
В то же время для следующего простого 3-нитевого узла 52 получаются полиномы только с положительными коэффициентами и они могут оказаться суперполиномами для некоторых других узлов. Первый член этой эволюции семейства - эквивалент ХОМФЛИ к Ю139, и соответствующий суперполином совпадает с ним в [34, 35].
Выражаясь более ясными терминами, семейство ХОМФЛИ, которое включает 52 и 10із9 было построено в (4.1.26), тогда как соответствующее семейство суперполиномов - это Суперполином зависит от трех параметров, следовательно, существует большое количество вариантов редукции их к более простым полиномам. Например, полином ХОМФЛИ получается, если положить t = q или, что то же самое, t = — 1. Полином ХОМФЛИ может быть далее сведен к полиному Джонса (t = q, А = q2 или t = —1, а = q2), полиному Александера (t = q, А = 1 или t = — 1, а = 1) или специальному полиному (q = t = 1 or t = —q = — 1). Наконец, существует другой важный способ упрощения суперполинома, полином Хеегарда-Флоера, который описывается ниже.
Этот объект интересен, потому что он также появляется во многих других ответвлениях науки, и это может быть использовано для исследования дуальностей между теорией Черна-Саймонса и другими теориями. Нами используется в следующем подразделе одна из таких параллелей: между то-рическими узлами и сингулярной теорией римановых поверхностей, связывающих зацепление Т[т п] и комплексную кривую хт = уп, что позволяет сконструировать явно полином Хеегарда-Флоера в фундаментальном представлении, которое является определенной редукцией суперполинома при a = 1/t, прямо из полинома Александера. Это важно, потому что полином Александера может быть прямо получен из (4.1.22) в общей форме для произвольных T[m, n].
Взаимосвязь между разложениями Макдональда и Холла-Литтлвуда торических суперполиномов
Коэффициенты в этом выражении имеют удивительную двойственную интерпретацию: они считают пути некоторых специальных типов на прямоугольной 2d решетке. В частности, для п = т + 1 свободный коэффициент является числом Каталана:
Есть интересная комбинаторная конструкция, которая позволяет продолжить язык сумм по путям на случай суперполиномов [101]. С помощью компьютера мы проверили, что наши ответы совпадают с суперполиномами, получаемыми из этой конструкции. Двойственная интерпретация коэффициентов в этом случае означает, что суперполином P (a\q\t) должен быть полиномом по а с коэффициентами, данными (д,)-взвешенными суммами по тем же путям (иногда называемые (д,)-числа Каталана). Явное утверждение известно, по крайней мере, для случая п = т + 1 [101], и оно использовано нами для проверки наших общих формул для суперполиномов торических узлов.
Другая комбинаторная конструкция подобного типа описана в [122]. В известных случаях она дает ответы, совпадающие с нашими.
Прежде чем перейти к дальнейшему обсуждению, подведем промежуточные итоги. Итак, в предыдущих главах было предложено общее выражение для суперполиномов торических узлов и зацеплений, которое на самом деле является Н-представлением [51] (тесно связанным с представлениями матричной модели [114, 115, 116] и теорией Гурвица [51]), обобщающим известное выражение этого вида [81, 82, 41, 42] для торических полиномов ХОМФЛИ, для которых оно является /3-деформацией [128] с t = q13. Оно прямо воспроизводит все доступные ответы для особых торических узлов, полученных иными методами в [101, 40, 120, 121]. Оно действительно обобщается для раскрашенных суперполиномов, но, далее ограничимся рассмотрением случая первого фундаментального представления R = = [1].
Основная идея состоит в том, чтобы продолжить полиномы на функции типа т-функции, зависящие от бесконечного числа временных переменных pk, которые более не являются инвариантами узла (они зависят от представления косы узла), но вместо этого являются прекрасной алгебраической величиной, обладающей различными скрытыми симметриями. Она имеет естественную форму разложения по характерам, которое, в случае /3-деформации, является разложением по полиномам Макдональда Mgjj?},
Оно становится полиномом со всеми положительными коэффициентами в случае узла (для взаимно простых т и п) и после того, как оно было выражено в специальных переменных 3
Здесь и далее используется система обозначений с "асимметрическими" квантовыми числами, [x]t = j f, которая выглядит более подходящей для торических узлов. Это отличается от обозначений в предыдущих главах этого раздела, где был сделан выбор в пользу симметрических чисел с [x]t = ltZl-i , отличающимся, в частности, заменой t — t2, q — q2. Симметрический выбор хорош тем, что он устраняет искусственные квадратные корни из формул для общих узлов. Однако, поскольку в дополнение к -симметрии в торическом случае, асимметрическая система обозначений позволяет произвести упрощения, поэтому используем ее, чтобы сделать формулы как можно более простыми. Нетривиальная часть истории - описание коэффициентов разложения CQ. Для полиномов ХОМФЛИ коэффициенты разложения были целыми числами, существенно независимыми от q, получаемые из разложения Адамса в "начальной" точке п = 0 [81, 82]. После /3-деформации они становятся нетривиальными рациональными функциями от q и t, и не получаются только с помощью простейшей деформации правила Адамса [28]. В качестве явного выражения (4.5.106) они зависят не от "эволюционирующего" параметра к, а лишь от "семейств обозначенных через остаток г = п mod т. Эти коэффициенты непосредственно вычисляются использованием дуальности Vmn(A) Am nV m(A) в "начальной" точке к = 0, т.е. п = г: это обеспечивает рекуррентное соотношение по т, позволяющее спуститься от т к т = г т, и поднимающих правил, позволяющих продолжить суперполином в "начальной" точке к = 0 из локуса {р } в целое { -пространство; другого начального условия в к = — 1, в частности, чтобы дополнительно проверить результаты; для этого надо использовать симметрии
Все это объясняется и иллюстрируется весьма подробно в [28], и важная проблема состоит в том, чтобы найти подходящее описание более сложных комбинаторных функций CQ . Однако нами предлагается вариант, который выглядит очень многообещающим. Ключевое наблюдение - продолженный суперполином (4.5.106) в к = 0 имеет прекрасное разложение в терминах полиномов Холла-Литтлвуда LQ{P} = MQ{P}\ =0:
