Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математический аппарат, используемый в исходных задачах на связанные состояния системы двух частиц в квазипотенциальном подходе 22
1.1. Задача об уровнях энергии водородоподобных атомов в квазипотенциальном подходе 22
1.2. Проблема тонкой структуры уровней энергии водородоподобных атомов 31
Глава 2. Специфические эффекты отдачи в системах двух частиц с неравными массами 38
2.1. О пределах применимости 5-приближения кулоновских волновых функций к прецизионным расчётам сдвигов уровней энергии 38
2.2. О новых логарифмических по отношению масс частиц вкладах в 5-уровни энергии водородоподобных атомов от однофотонного взаимо действия частиц 46
Глава 3. Изучение взаимодействия частиц посредством обмена одним поперечным фотоном с помощью модифицированной амплитуды рассеяния 55
3.1.О поправках от взаимодействия частиц посредством обмена одним поперечным фотоном 55
3.2. О поправках от взаимодействия частиц посредством обмена одним поперечным фотоном 68
Глава 4. Влияние движения ядра на величину тонкого сдвига уровней энергии водородоподобного атома 78
4.1. Анализ последовательных обменов кулоновским и поперечным фотонами между частицами водородоподобного атома 78
4.2. Логарифмические по константе тонкой структуры вклады в гонкий сдвиг уровней энергии, исчезающие в пределе 88
Заключение 95
Библиографический список использованной литературы 100
Приложения 105
- Задача об уровнях энергии водородоподобных атомов в квазипотенциальном подходе
- О пределах применимости 5-приближения кулоновских волновых функций к прецизионным расчётам сдвигов уровней энергии
- О поправках от взаимодействия частиц посредством обмена одним поперечным фотоном
- Логарифмические по константе тонкой структуры вклады в гонкий сдвиг уровней энергии, исчезающие в пределе
Введение к работе
Исследование связанных состояний системы двух частиц принадлежат к тем фундаментальным научным направлениям, которые сохраняют актуальность на протяжении всего развития квантовой теории.
Несмотря на всю фундаментальность, релятивистская проблема связанных состояний даже для системы из двух частиц полностью не решена и в классическом (неквантовом) пределе.
Легкие одноэлектронные атомы - это классический объект квантовой физики. Многие открытия и дальнейший прогресс квантовой механики тесно связаны с объяснением особенностей структуры уровней энергии таких атомов.
Работой «Связывание электронов положительным зарядом» Н. Бор положил начало взгляду на атом как на связанное состояние квантовой системы, характеризующееся дискретными значениями энергии и спектром излучения, обусловленным структурой его энергетических уровней. Далее, в нерелятивистской квантовой механике Гейзенберга и Шредингера была заготовлена последовательная схема для описания связанных состояний. В теории Дирака было введено понятие спина для объяснения экспериментальной особенности в спектре водорода.
Открытие лэмбовского сдвига, тонкие противоречия между предсказаниями теории Дирака и экспериментальными данными привели к созданию квантовой электродинамики.
В нерелятивистской квантовой механике задача двух тел сводится к двум более простым: о равномерном движении центра масс и движении частицы с приведённой массой в потенциальном поле. В релятивистском случае явное отделение движения центра масс и введение потенциала невозможно. Поэтому задачи о связанных состояниях двух тел и о связанных состояниях частицы во внешнем поле оказываются различными, не сводимыми друг к другу.
В квантовой электродинамике при описании распространения частицы во внешнем поле необходимо учитывать так называемые радиационные эффекты,
5 связанные с взаимодействием заряженной частицы с собственным полем.
Для полной одночастичной функции Грина [1] имеет место следующее уравнение G(z,y) = Sc(z-y)-eykldxUk(x)Sc(z-x)G(x,y) + + ]dxdx'Sc(z-x)M'(x,x')G(x\y), (1) где Uk представляет собой потенциал внешнего поля Аш, сложенный с эффективным средним потенциалом поля, «индуцированного» в вакууме Uk(х) = А?(х) - ie2\Sp[Sc(у -x)YmSz{t - y)yn]DcFlk(y - x)^{x)dydx,
5 е - функция Грина свободного электрона (О |ГСРЯ (х)% (/))] 0) = - (х - х'), М' - массовый оператор MXx^^-ie^ldx^Gixy^ix^x'l^D^i^x), (2) D - фотонная функция Грина Dmn(z,y) = gmnDl{z-y)-\dxd&l(z-x)P^x)Dkn&y)y (3) Dq - функция Грина свободного фотона (О^А^дОАД^О) = igmnDc0(x-x'), Р - оператор поляризации
Р*(х& = 1е2$?{ут\йх'&С{х,х)Тк(х,х"\&С(х",х)1 (4)
Г - вершинный оператор rk(^10 = JfT^"\ (5) oeUk() G_1 - обратная функция Грина фермиона.
Уравнениям (2), (4) могут быть сопоставлены графические схемы, изображённые на рисунке 1. x = x
JWw/ P \\Af =
Рисунок 1
В низшем приближении r*(^^|5) = 5(X'-Dy*tf(jc"-|). (6)
Это позволяет записать массовый оператор М' и фотонную функцию Грина D в виде
М \х, х) = -ie2ym G(x, х)Осш {х - х')у \ (7) «,(*. у) = g^D^z -у)- ie2Sv\dxdx'Dl(z - x)ymS\x-xf)ykS\x'-x)Dkn{x\ у) Эти выражения можно представить с помощью диаграмм, изображённых AA>M>JW = на рисунке 2. —( л/Л— = C-/gV-3 у г *—х у
Рисунок 2
В низшем приближении диаграмма а соответствует собственноэнергетиче-ской части электрона второго порядка, а с учётом поправок получаем G(z,y) = S4z-y)-eYkjdxUk(x)Sc(z-x)Sc(x-y)- -ie1\dxdxSc{z-x)ymG(xJ)Dcmn(x-x)ynSc(x-y). (8)
Итерируя равенство (8), находим
7 G(z,y) = Sc(z-y)-eYk\dxUk(x)Sc(z-x)Sc(x-y)- -ie2\dxdx'Sc(z-x)Y'nSc(x-x)Dcmn(x-x)YnSc(x-y) + + ieYldxdx,dtS4z-x)YmSQ(x~t)ykUk(t)Sc(t~x)DQmn(x-~x)YnSc(xf-y). (9)
Уравнению (9) сопоставляется графическая схема, изображённая на рисунке 3. -+ і*"ч * /2ч. у z у z > у z х х у Z X } х у
Рисунок 3
Полная одночастинная функция Грина G, изображённая на рисунке 3, позволяет описывать изолированную связанную систему двух частиц в приближении внешнего поля.
Вершинный оператор Г [2] графически изображён на рисунке 4 (жирная точка символизирует вершинный оператор). - + , гУЪ , + =
Рисунок 4
Г"=у*/(*2) -^rV%, 2т где функции fik ) и g{k ) - дираковский и паулиевский формфакторы электрона соответственно.
8 Точно также как вершинный оператор Г** является обобщением обычной дираковской вершины у ^, уравнения (1) и (3) показывают, что полная функция
Грина электрона является обобщением пропагатора свободного электрона 5е, а полная фотонная функция Грина - обобщением функции распространения свободного фотона Dc.
Поэтому обобщение графа, характеризующего простейшее взаимодействие с внешним полем, можно изобразить следующим образом.
Рисунок 5
В результате разложения функций, изображённых на рисунке 5, с точностью до второго порядка по заряду имеем следующую картину - /?Ь
Рисунок 6
Из приведённых схем видно, что операторы М'и Р включают все радиационные поправки к движению фермиона и фотона, а оператор Г соответствует вершинной части диаграмм, чем и оправдывается его название.
Для описания движения частицы во внешнем электромагнитном поле используется уравнение Дирака. Однако это уравнение не учитывает такие эффекты, как поляризация вакуума, рождение виртуальных пар и т.п., ввиду чего в квантовой теории поля оно должно быть обобщено.
Уравнение Дирака с радиационными поправками [1] строится на основе полной одночастичной функции Грина (9). і~ + еАехі(х)-т ф(х)- Эх I -ieY
Здесь Sc(x, у | Aext) - функция Грина классического электрона, движущегося в заданном внешнем поле Aext. Она представляется суммой диаграмм с двумя внешними электронными линиями и любым числом внешних фотонных линий, соответствующих заданному полю Aext (рис, 7).
+
Рисунок 7
Уравнение (10) позволяет вычислить радиационные поправки к энергетическим уровням связанных состояний. При этом радиационные поправки любой степени сложности отражают взаимодействие частицы с собственным электромагнитным полем и не могут зависеть от параметра ^ = ^/^(/^, т2 - массы лёгкой и тяжёлой частиц соответственно).
В частности, уравнение (10) применяется в [1] для вычисления лэмбовского сдвига.
Видно, однако, что графы рисунка 3 не могут содержать действия одной частицы на другую.
При решении задачи на связанные состояния двух частиц необходимо введение двухчастичной функции Грина.
10 Полная двухчастичная функция Грина в представлении взаимодействия [3] имеет вид и\кхх,х2,хъ,х4)~ /пК1о\ * где Yfo)- полевые операторы составляющих частиц. Разложение выражения (11) в ряд показывает, что GOr,,*,;^,^) = с(*2 -*3)Sc(*i -*4) - Sc(*i -*з)с(*2 - Jf4) + + ге2Jdx'dx0Sc(xl -/)гм5с(У-Jt3)>o (*' -**)5С( "^)У^С(х* -хА) + + (Обменный член с л:, «-» х2) -.... (12)
Уравнение для функции Грина двух фермионов может быть записано в форме Бете-Солпитера O^JCj, Х2', JC3' -^4 / = ^0 v^l' -»"^3 *^4 Z"'" + Gq (JCj , Х2', Ху, Л2 )КBS^JCj, JC2'> х$ у х4 /" \**3> ^4' ^3' ^4 /' (1 ^) "0 V^l»^2^-^3^4/3 ^Д^І'^З Д7*» 1-^2'-^4 Л где Ga b - функция Грина свободных фермионов; KBS - ядро уравнения Бете-Солпитера, представляющее собой сумму двухчастично-неприводимых фейнмановских диаграмм, изображённых на рисунке 8; по повторяющимся переменным подразумевается интегрирование.
~Х7~~
Рисунок 8
Диаграмма называется приводимой, если её можно разделить на две несвязанные части линией, которая не пересекает бозонных линий, а каждую из фер-мионных пересекает лишь один раз. В противном случае диаграмма называется неприводимой.
Если сравнить диаграммы, изображённые на рисунках 6 и 8, то легко убедиться, что для анализа вкладов отдачи в тонкий сдвиг уровней энергии приближения внешнего поля недостаточно. Уже в простейшем случае однофотонного обмена (без учёта радиационных вставок) диаграммы рисунка 9 несут разную информацию о поправках отдачи.
В * " і' * « ** », «in щ
Рисунок 9
При двухчастичном подходе рассматривается взаимодействие токов тяжёлой и лёгкой частиц, и это обстоятельство, как будет показано в диссертации, даже в случае однофотонного обмена может привести к логарифмическим по параметру j3 вкладам в лэмбовский сдвиг.
Построенное на основе формализма полной одночастичной функции Грина уравнение Дирака с радиационными поправками дает простейший подход к задаче о вычислении радиационного смещения уровней энергии электрона в во-дородоподобном атоме. При этом, как показывает сравнение рисунков 6 и 8, полная одночастичная функция Грина, изображённая на рисунке 6, позволяет описывать изолированную связанную систему двух частиц в приближении внешнего поля.
В самых ранних теоретических работах [4,5] были вычислены поправки на отдачу {Zafn^jn^ в рамках теории Бете-Солпитера.
Уравнение Бете-Солпитера, ставшее основой спектроскопии водородопо-добных атомов, было предложено для решения релятивистской задачи на связанные состояния квантовой системы двух тел.
В этом методе состояние двухчастичной системы определяет двухвремен-
12 ная волновая функция , являющаяся решением соответствующего формуле (13) однородного уравнения: (g0-1-^b$K(^,^)=0, (14)
Ъ(Ъ>Ь)=№Ш*1Ш*2)}Р*)- (15)
Вектор \P,v) характеризует как целое связанную систему с четырёхимпульсом Р и набором дополнительных квантовых чисел V.
Выбирая систему центра масс Ри = (Е, 0), можно получить волновую функцию, отвечающую состоянию с определённым значением энергии Е:
Ч>Р(х„х2)=сЧЕХФЕ{х), (16) где Х0 - временная координата центра масс; х - относительная координата.
Задача на связанные состояния в релятивистской квантовой теории может быть решена только приближенно - методами теории возмущений. За основное приближение принимается обычно то, которое соответствует мгновенному (ку-лоновскому) взаимодействию. Спектр энергии представляет собой кулоновские уровни, определенные на основе волновых уравнений, а поправки к ним получаются из высших порядков теории возмущений [6]:
АЕ = -іФКс {х%К + KGCK + „Хс (*'), (П) где К = К-КС,
Кс - кулоновская часть ядра уравнения Бете-Солпитера; Gc - решение уравнения (13) с ядром Кс; Ф^ (:с) - решение уравнения (14) с ядром Кс.
Однако состояние Ф^ (я) не является стационарным, связь функции Ф^ и решения уравнения Шредингера (или Дирака) с кулоновским потенциалом является достаточно сложной. Трудности вызывает также нормировка и формулировка граничных условий для волновой функции, зависящей от относительного времени. Всё это сказывается, в конечном счёте, на точности вычислений. Важное значение имело создание метода квазипотенциала [7,8] и подхода
13 эффективного уравнения Дирака (ЭУД) [9-11].
Квазипотенциальный метод весьма эффективен для определения релятивистских и радиационных поправок к спектру водородоподобных атомов. Часто бывает удобным ввести вместо функции Грина (11) двухчастичную амплитуду рассеяния вне массовой поверхности G = G0+G07X?0, (18) которая связана с ядром Бете-Солпитера соотношениями ^ - ^bs + ^BS^O^ bBS'
1 — Л DO + ЛтіоСгЛ
На массовой поверхности, где yjp2 + m? + <<]p2 +m%= yjq2 + m,2 + yjq2 + m% =E, pQ=qQ=0, амплитуда Г совпадает с физической амплитудой рассеяния. Физический смысл величин рй, q0, р, q становится ясным из рисунка 10, на котором показана параметризация двухчастичной амплитуды рассеяния Т вне массовой поверхности в системе центра масс. r}iE + pQlp / X Ц\Е + ЧъА
7)2Е-р0,-р ViE-q0,-q
Рисунок 10 .Здесь Г/-1 - - , 7/2 - 2
Квазипотенциал строится через амплитуду рассеяния вне массовой поверхности и в рамках теории возмущений может быть изображён с помощью фейн-мановских диаграмм. « > Ш " -» * 9* " * *
Рисунок 11
Наиболее простой метод перехода от двухчастичного описания связанных состояний к описанию связанных состояний в приближении внешнего поля дает метод эффективного уравнения Дирака [9-11].
В рамках данного метода была проведена классификация поправок к уровням энергии связанных состояний. Наиболее полно эти поправки рассмотрены в обзоре [12].
Все электродинамические поправки могут быть подразделены на несколько классов, включающих в себя три малых параметра a, Za^ щ/пц. Опишем только некоторые из них.
Поправки, которые зависят только от параметра Za, называются релятивистскими поправками. Более высокие по Za вклады возникают из-за отклонения теории от нерелятивистского предела.
Поправки к энергии, которые зависят только от малых параметров а и Za, называются радиационными поправками. Вклады по а возникают только при рассмотрении квантово-электродинамических петель, и все относящиеся к ним поправки следуют из квантовой теории поля. Радиационные поправки не зависят от коэффициента отдачи гщ/щ , и ряд из них был вычислен в приближении внешнего поля [13]. Необходимость использования двухчастичной теории связанных состояний возникает лишь при рассмотрении радиационных поправок отдачи.
Поправки к уровням энергии, зависящие от пц/пц и Za, называются по- правками отдачи. Они описывают поправки к уровням энергии, которые не могут быть объяснены без использования приведённой массы и эффектов движения обеих частиц. Вычисление поправок отдачи упрощается из-за отсутствия
15 ультрафиолетовой расходимости, связанной исключительно с радиационными петлями.
Характерной чертой данного метода является непосредственный переход к уравнению Дирака и к поправкам, связанным с приближением внешнего поля.
Несмотря на свои достоинства, метод эффективного уравнения Дирака имеет и ряд недостатков. В работе Гротча и Йенни [9] вычисление поправок к тонкой структуре атома водорода существенно усложняется из-за наличия инфракрасных расходимостей. В упомянутой работе устранение инфракрасных особенностей произведено в рамках нековариантного трёхмерного формализма старой теории поля, в то время как для вычисления других частей потенциала привлечён обычный четырёхмерный формализм диаграмм Фейнмана.
К недостаткам можно отнести также и тот факт, что в обзоре [12] вообще не рассмотрен позитроний, что свидетельствует о трудностях, связанных с рассмотрением систем с равными массами.
У квазипотенциального метода имеется ряд преимуществ по сравнению с этим подходом. Квазипотенциальный метод позволяет совмещать простоту и наглядность трёхмерного описания нерелятивистской квантовой механики (уравнения Шредингера) с ковариантным аппаратом квантовой теории поля (электродинамики).
Он универсален и симметричен в описании обеих частиц. Благодаря этому он применим для рассмотрения любой системы частиц с произвольными (в том числе и равными) массами.
Это обстоятельство играет важную роль в определении величины тонкого сдвига S-уровней энергии водородоподобного атома. Данная задача анализировалась уже на раннем этапе исследований проблемы связанных состояний двух частиц (численно в работе Солпитера [14], а в аналитическом виде для произвольных масс частиц в работе Фултона и Мартина [5]). Найденное теоретическое значение величины сдвига, воспроизведённое впоследствии другими методами [9,15], можно записать в виде: Ат, 1 (Za)V 1 \2S . .- чЧ 8, _. .., L 7 я щіщ n [3 З 9 3
2 2^0 'm? 1,,^-^ to "^ +i--L a„ --2
1 + - + ... + - ln- + n б +—lz4 (0 /(/+1)(2/ + 1)1 Z- заряд ядра, и - главное квантовое число, I - орбитальное квантовое число,
1п[0(и)] - логарифм Бете, ^ - —і—а приведенная масса, а - постоянная тонкой структуры. Отметим наличие в выражении (21) весьма высокого по порядку логарифмического по отношению масс частиц вклада / 2i Щ. г* "h^ m. In—^--m, in— ^ ^ 1 {Zaf^ 1 2 к щщ пъ т% - raf ^
2(Za)V 1 1 ( р»ьі± ln(l + j8)
2(Z«)V 1^1пГ, п n^ntj п l-j8J
Задача исследования других поправок, содержащих Ъгщ/щ, была поставлена в работе [16].
Целью настоящей диссертации является анализ предыдущих результатов и расчёт новых вкладов в сдвиг 15-25 уровней энергии ВП атомов, пропорциональных \пт2/т1.
Об актуальности данной работы свидетельствуют интенсивные экспериментальные и теоретические исследования уровней энергии водородоподобных атомов.
В последние годы стало ясно, что повышение точности измерений величин сдвигов уровней энергии водородоподобных атомов с помощью радиочастот-
17 иых методов наталкивается на серьезные препятствия.
Новые перспективы уменьшения экспериментальных ошибок открывают методы бездоплеровской двухфотонной лазерной спектроскопии. Эти эксперименты позволяют с рекордной точностью определить значение такой фундаментальной величины как постоянная Ридберга.
Интервал 2Sy2-lSy2 измерен в настоящее время [17,18] в атоме водорода с точностью до десятка кГц: v^_2s = 2 466 061 413 187. 34 (84) кГц (1997 г.), (23) vL5 =2 466 61413 ш 103 (46)Гц (2000 г-)- (24)
Прогресс, достигнутый в последних экспериментальных работах, стимулирует развитие теоретических методов по прецизионному определению поправок к известным значениям величины сдвигов уровней энергии.
Об актуальности работы, заявленной в цели диссертации, свидетельствует ещё тот факт, что поправки к Р-уровням, известны сейчас с большей точностью, чем поправки к 5-уровням [12].
Новизна выполненных в настоящей диссертации исследований подчеркивается следующим обстоятельством. В таблице VIII обзора [12] перечислены поправки отдачи, рассчитанные к 2000 году. Среди них фигурирует лишь один единственный логарифмический по параметру Д вклад, полученный еще в цитируемой работе Фултона, Мартина [5] 1954 года.
Вопрос о других подобных вкладах был впервые поставлен и частично решен почти пятьдесят лет спустя в работе [16].
Необходимо отметить, что полученные в этой работе данные используются при определении рекомендуемого значения постоянной Ридберга [19]. Дальнейшее исследование диаграмм, связанных с эффектами отдачи, продолжено в работах [20-25]. Принцип разложения по степеням тщ/щ при исследовании поправок, содержащих Ыщ/гщ, изложенный в этих работах, развивается в статьях [26,27] и в настоящей диссертации.
Сравнение теоретических и экспериментальных значений позволяет прове-
18 рить теоретические предсказания квантовой электродинамики (КЭД) с высокой степенью точности.
В связи с этим КЭД даёт импульс к изучению применимости основных принципов при описании более широкого круга явлений, изучаемых в релятивистской квантовой теории. Другим важнейшим следствием сравнения данных теории и эксперимента является возможность установить единые стандарты значений фундаментальных физических постоянных, от которых зависят все наиболее значимые научные результаты.
Теоретические и экспериментальные значения классического лэмбовского сдвига для некоторых водородоподобных атомов, полученные в 60-х годах, указаны в таблице 1 в МГц [28].
Таблица 1
В работе [29] сравнение данных по лэмбовскому сдвигу 2Sy2 ~ 2Ру2 выглядело следующим образом:
ДЕ? = 1 057 838 (6) кГц, AE?V = 1 057 845 (9) кГц (1981 г.),
Д*р = 1 057 851 (2) кГц (1994 г.),
АЕ?Р = 1 057 839 (12) кГц (1994 г.).
Эти результаты показывают относительное согласие теоретических и экспериментальных данных.
В обзоре [12] приводятся новые значения по классическому лэмбовскому сдвигу 2Sy2 - 2Ру2:
Д? = 1 057 833 (4) кГц, (25)
АЕ[хр =1 057 845 (3) кГц (1999 г.). (26)
19 Из этих данных видно, что расхождение теоретического и экспериментального значения величины лэмбовского сдвига в атоме водорода составляет не менее 5 кГц.
Для атома мюония теоретическое [12] и последнее прецизионное экспериментальное [30] значения тонкого сдвига 15-25 сдвига уровней энергии даны ниже: 5v\s-2sefl (theory) = 2 455 528 934.9(0.3) МГц, (27) Svis-2Stl (ехР) = 2 455 528 941- (9-8) МГЦ- (28)
Для позитрония величина сдвига теоретически рассчитана на основе простого потенциального метода [31], а экспериментальные данные измерений взяты из работы [32]: &>ls-2/p (theory) = 1 233 607 221.69 МГц, № \\ 233 607 218.9(10.7) МГц да, е_2с (ехр) = <
15 2S Г/ | j 233 607 216 4(3 2) МГц
Систематическое обновление данных теории и эксперимента по спектрам , водородоподобных атомов еще одно убедительное свидетельство об актуальности получения результатов, заявленных в цели настоящей диссертации.
Остается рассмотреть содержание работы с перечнем решаемых в ней задач.
Во введении сформулирована цель диссертации, описан и выбран как наиболее эффективный для прецизионных расчётов уровней энергии водородоподобных атомов квазипотенциалъный подход. Отмечено, что отправным моментом исследований является анализ условий, при которых получена новая логарифмическая по щіщ поправка к S-уровням энергии водородоподобного атома.
Обнаруживается, что различие в способах расчета логарифмических по . /flj/ffij вкладов в работах [5,16] связана с пределом применимости д-приближения для волновых функций уравнения Шредингера с кулоновским потенциалом.
В первой главе и первом параграфе второй главы выясняются пределы Применимости этого приближения в задачах о сверхтонком и тонком сдвигах. Показано, что сверхтонкое расщепление уровней энергии с помощью д-приближения кулоновских волновых функций можно рассчитывать вплоть до пятого порядка по константе тонкой структуры. В тоже время, рассматриваемое приближение нельзя применять уже в задаче о тонкой структуре уровней энергии. Зато при вычислении тонкого сдвига с точностью до а5 в высокочастотной области виртуального импульса ^-приближение применяется, и именно таким образом получен логарифмический вклад по тщ/п^ в работе [5].
Все случаи вычисления других поправок, содержащих Іппц/щ, связаны с использованием точных кулоновских волновых функций.
Первым шагом в этом направлении в настоящей работе стало прецизионное решение задачи о вкладе в тонкий сдвиг 5-уровня энергии водородоподобного атома от обмена одним кулоновским фотоном, описанном во втором параграфе второй главы.
В третьей главе анализируются поправки от обмена одним поперечным фотоном.
В первом параграфе этой главы выясняется влияние на структуру уровней энергии эффекта запаздывания. Указывается на дополнительный логарифмический по гщ/щ вклад, который вносит учёт этого эффекта. Рассчитывается суммарный логарифмический по щ/щ вклад в пятом порядке по константе тонкой структуры.
Во втором параграфе третьей главы вычисляется новый логарифмический ос6ц?по щіпи вклад, пропорциональный j8lnj5_1,
В четвёртой главе обсуждаются логарифмические по гщ/щ поправки к уровням энергии водородоподобных атомов, возникающие за счёт движения тяжёлой частицы.
Результаты, полученные в диссертации, были опубликованы в [21-25,33-
Основные результаты и положения диссертации, выносимые на защиту
Существование логарифмических по параметру отношения масс частиц вкладов в тонкий сдвиг 5-уровней энергии от простейшего взаимодействия частиц путём обмена кулоновским фотоном.
Новые логарифмические по параметру отношения масс частиц вклады порядка а5.
Компенсация вкладов порядка —— jSln/J4 при однофотонном обмене.
Возникновение логарифмических по параметру j8 вкладов в случае использования при вычислениях б-приближения кулоновских волновых функций.
Численные оценки обнаруженных логарифмических вкладов и сравнение полученных величин сдвигов с последними данными теории и эксперимента.
Задача об уровнях энергии водородоподобных атомов в квазипотенциальном подходе
Точный расчет интеграла (2.1.33) убеждает, что использование -приближения кулоновской волновой функции (2.1.34) приводит к точному результату только при вычислении лидирующего вклада.
В частности, в разложении (2.1.36) в этом приближении сохраняется вклад лишь от первого слагаемого. Для прецизионного расчета в разложении (2.1.36) необходимо учитывать радикалы типа Et (р), которые и приводят к логарифмическим вкладам по отношению масс образующих водородоподобный атом частиц. Работы [45] и [46] посвящены вычислению поправки In а-1. Суммируя результаты выражений (2.1,31) и (2.1.36), приходим к следующему выводу: использование -приближения для расчета такой поправки не применимо. Следовательно, можно предположить, что эта неприменимость распространяется и на вычисление поправки In0 1. Поэтому для выявления логарифмических по отношению масс частиц вкладов необходимо проводить прецизионные расчеты. 2.2. О новых логарифмических по отношению масс частиц вкладах в S-уровни энергии водородоподобных атомов от однофотонного взаимодействия частиц Теперь имеет смысл продолжить анализ выражения квазипотенциала, отвечающего однофотонному взаимодействию частиц. Рассмотрим вначале кулоновскую часть взаимодействия (слагаемые, отвечающие за сверхтонкий сдвиг, опущены). Остановимся более подробно на первом слагаемом, которое представим в виде Оценка последнего слагаемого в (2.2.2), имеющего вид Pc(P)vc(l- p)(l-JV,)«pc( , приводит нас к стандартному интегралу [42] Согласно последним данным такого рода поправки компенсируются в сумме диаграмм, и это слагаемое можно исключить из дальнейшего рассмотрения. После этого в выражении (2.2.2) можно использовать симметрию по переменным р и q 47 Можно считать установленными значения сдвигов 5-уровней энергии, а4цг сс5и? пропорциональных — - и — -—. Представляет интерес выяснение зависимо тхт2 ЩПІ2 сти величины сдвига 5-уровней энергии от эффектов отдачи. Отличительным признаком выражений, описывающих вклады в тонкий сдвиг уровней энергии водородоподобных атомов, обусловленные эффектами отдачи, является их зависимость от параметра j8 = гщ/щ (т, - масса лёгкой, а щ - тяжелой частицы). Величина тп Іщ мала, если массы частиц различны (для мюония те/тПр 4,836 -10-3, для водорода mjmp -5,446-10-4). В случае равенства частиц достигается максимальное значение іщ/іщ =1. Пока зависимость от параметра щ/щ степенная, поправки отдачи для водородоподобных атомов с различными массами частиц относительно малы. Другое дело, когда величина сдвигов пропорциональна Хпщ/щ . Такие поправки можно считать специфическими для атомов, образованных частицами, массы которых различны, так как при m, = ftij, соответствующие вклады исчезают. Проведем расчет выражения (2.2.3) с точностью до появления членов пропорциональных In/Г1. Воспользуемся тривиальным алгебраическим преобразованием vc(l- ) = vc(l-(l-(l-iVmip))(l-(l-iVm2/?))) = vc[a-JVmiP) + (l- )
О пределах применимости 5-приближения кулоновских волновых функций к прецизионным расчётам сдвигов уровней энергии
Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему: В рамках метода квазипотенциала в диссертации разработана и применена техника расчетов логарифмических по щ/щ вкладов в тонкий сдвиг уровней энергии водородоподобных атомов, 2. Выяснен предел применимости -приближения для волновых функций уравнения Шредингера с кулоновским потенциалом при вычислении вкладов пропорциональных Іпщ/пц . Все новые поправки такого рода получаются при использовании точных значений волновых функций S-состояний. 3. Вычисление вкладов от однофотонных обменов даже в низших порядках по а невозможно без использования точных значений функций с (р). При прецизионном исследовании обмена одним кулоновским фотоном между частицами установлено новое значение величины вклада порядка 4. Исследование обмена поперечным фотоном показало взаимное уничтоже 5 3 5 3 5 3 ние поправок —— 1п \ ——J31n/T\ —— jS2lnj8_1. Это обстоятель щщ пцщ щт2 ство с учетом вклада от обмена одним кулоновским фотоном приводит к достоверности вывода о существовании новых вкладов Ъщ/гщ в пятом порядке по константе тонкой структуры. 5. Проанализировано влияние эффекта запаздывания на величину вклада. Установлено, что для пятого порядка по константе тонкой структуры ве 7. Сравнение результатов, полученных в диссертации, с аналогичными данными других авторов показано в таблицах 3 и 4. Мню кий,IS состояние,кГц Фултон, Мартин [5] Бойкова, Тюх-тяев, Фаустов [16], [21], [23] Блокланд и др. [27] Результаты диссертации Величина сдвига, записанная в таблице 4, определяется из соотношения Что касается атома мюония, то из таблицы 3 видно, что результат dv\s_2s =56.0876 кГц укладывается как в пределы точности известного в настоящее время теоретического [12], так и последнего прецизионного экспериментального [30] результата для 15-25 сдвига уровней энергии атома мюония. Результат расчета поправок к 25 уровню энергии атома водорода представляет особый интерес в связи с тем, что значение классического лэмбовского сдвига измерено в настоящее время особенно точно. Как подчеркивалось во введении, экспериментальное значение лэмбовского сдвига превышает известное теоретическое значение примерно на 5 кГц. Из таблицы 4 следует, что прецизионный расчет логарифмических по щ/щ вкладов чрезвычайно важен. Суммарное значение поправок, найденных в работе [21] и в настоящей диссертации, приводит к значительному сближению теоретического (25) и экспериментального значения величины лэмбовского сдвига уровней 2Sy2 2/у2 Представляет интерес и найденная в диссертации поправка, имеющая тот же порядок величины, что и единственно известный до последнего времени логарифмический по гпгіщ вклад, вычисленный в работе [5]. Учитывая полученные в диссертации новые логарифмические по отношению масс частиц вклады, выражению (21) можно придать вид: Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям профессору Тюхтяеву Ю.Н. и профессору Фаустову Р.Н. за предложение темы и руководство ходом выполнения диссертационной работы, а также доцентам Бойковой Н.А. за совместную работу над многими задачами, результаты кото 99 рых включены в диссертацию, и Нюнько Н.Е. за полезные консультации. Автор приносит благодарность профессору Хрустапёву О.А. за поддержку научной группы, участницей работы которой я являюсь, профессорам Саврину В.И. и Багаеву СМ. за внимание к работе, профессору ЬСаршенбойму С.Г. за стимулирующие критические замечания, профессору Дербову В.Л. за содействие в выполнении диссертационной работы, а также сотрудникам кафедры теоретической и ядерной физики СГУ за всевозможную помощь.
О поправках от взаимодействия частиц посредством обмена одним поперечным фотоном
Полная одночастинная функция Грина G, изображённая на рисунке 3, позволяет описывать изолированную связанную систему двух частиц в приближении внешнего поля.
Вершинный оператор Г [2] графически изображён на рисунке 4 (жирная точка символизирует вершинный оператор). где функции fik ) и g{k ) - дираковский и паулиевский формфакторы электрона соответственно. Точно также как вершинный оператор Г является обобщением обычной дираковской вершины у , уравнения (1) и (3) показывают, что полная функция Грина электрона является обобщением пропагатора свободного электрона 5е, а полная фотонная функция Грина - обобщением функции распространения свободного фотона Dc. Поэтому обобщение графа, характеризующего простейшее взаимодействие с внешним полем, можно изобразить следующим образом. В результате разложения функций, изображённых на рисунке 5, с точностью до второго порядка по заряду имеем следующую картину Из приведённых схем видно, что операторы М и Р включают все радиационные поправки к движению фермиона и фотона, а оператор Г соответствует вершинной части диаграмм, чем и оправдывается его название. Для описания движения частицы во внешнем электромагнитном поле используется уравнение Дирака. Однако это уравнение не учитывает такие эффекты, как поляризация вакуума, рождение виртуальных пар и т.п., ввиду чего в квантовой теории поля оно должно быть обобщено. Уравнение Дирака с радиационными поправками [1] строится на основе полной одночастичной функции Грина (9). Здесь Sc(x, у Aext) - функция Грина классического электрона, движущегося в заданном внешнем поле Aext. Она представляется суммой диаграмм с двумя внешними электронными линиями и любым числом внешних фотонных линий, соответствующих заданному полю Aext (рис, 7). Уравнение (10) позволяет вычислить радиационные поправки к энергетическим уровням связанных состояний. При этом радиационные поправки любой степени сложности отражают взаимодействие частицы с собственным электромагнитным полем и не могут зависеть от параметра = / (/ , т2 - массы лёгкой и тяжёлой частиц соответственно). В частности, уравнение (10) применяется в [1] для вычисления лэмбовского сдвига. Видно, однако, что графы рисунка 3 не могут содержать действия одной частицы на другую. При решении задачи на связанные состояния двух частиц необходимо введение двухчастичной функции Грина. Полная двухчастичная функция Грина в представлении взаимодействия [3] имеет вид Уравнение для функции Грина двух фермионов может быть записано в форме Бете-Солпитера где Ga b - функция Грина свободных фермионов; KBS - ядро уравнения Бете-Солпитера, представляющее собой сумму двухчастично-неприводимых фейнмановских диаграмм, изображённых на рисунке 8; по повторяющимся переменным подразумевается интегрирование. Диаграмма называется приводимой, если её можно разделить на две несвязанные части линией, которая не пересекает бозонных линий, а каждую из фер-мионных пересекает лишь один раз. В противном случае диаграмма называется неприводимой. Если сравнить диаграммы, изображённые на рисунках 6 и 8, то легко убедиться, что для анализа вкладов отдачи в тонкий сдвиг уровней энергии приближения внешнего поля недостаточно. Уже в простейшем случае однофотонного обмена (без учёта радиационных вставок) диаграммы рисунка 9 несут разную информацию о поправках отдачи.
Логарифмические по константе тонкой структуры вклады в гонкий сдвиг уровней энергии, исчезающие в пределе
Наиболее простой метод перехода от двухчастичного описания связанных состояний к описанию связанных состояний в приближении внешнего поля дает метод эффективного уравнения Дирака [9-11].
В рамках данного метода была проведена классификация поправок к уровням энергии связанных состояний. Наиболее полно эти поправки рассмотрены в обзоре [12]. Все электродинамические поправки могут быть подразделены на несколько классов, включающих в себя три малых параметра a, Za щ/пц. Опишем только некоторые из них. Поправки, которые зависят только от параметра Za, называются релятивистскими поправками. Более высокие по Za вклады возникают из-за отклонения теории от нерелятивистского предела. Поправки к энергии, которые зависят только от малых параметров а и Za, называются радиационными поправками. Вклады по а возникают только при рассмотрении квантово-электродинамических петель, и все относящиеся к ним поправки следуют из квантовой теории поля. Радиационные поправки не зависят от коэффициента отдачи гщ/щ , и ряд из них был вычислен в приближении внешнего поля [13]. Необходимость использования двухчастичной теории связанных состояний возникает лишь при рассмотрении радиационных поправок отдачи.
Поправки к уровням энергии, зависящие от пц/пц и Za, называются по правками отдачи. Они описывают поправки к уровням энергии, которые не могут быть объяснены без использования приведённой массы и эффектов движения обеих частиц. Вычисление поправок отдачи упрощается из-за отсутствия ультрафиолетовой расходимости, связанной исключительно с радиационными петлями. Характерной чертой данного метода является непосредственный переход к уравнению Дирака и к поправкам, связанным с приближением внешнего поля. Несмотря на свои достоинства, метод эффективного уравнения Дирака имеет и ряд недостатков. В работе Гротча и Йенни [9] вычисление поправок к тонкой структуре атома водорода существенно усложняется из-за наличия инфракрасных расходимостей. В упомянутой работе устранение инфракрасных особенностей произведено в рамках нековариантного трёхмерного формализма старой теории поля, в то время как для вычисления других частей потенциала привлечён обычный четырёхмерный формализм диаграмм Фейнмана. К недостаткам можно отнести также и тот факт, что в обзоре [12] вообще не рассмотрен позитроний, что свидетельствует о трудностях, связанных с рассмотрением систем с равными массами. У квазипотенциального метода имеется ряд преимуществ по сравнению с этим подходом. Квазипотенциальный метод позволяет совмещать простоту и наглядность трёхмерного описания нерелятивистской квантовой механики (уравнения Шредингера) с ковариантным аппаратом квантовой теории поля (электродинамики). Он универсален и симметричен в описании обеих частиц. Благодаря этому он применим для рассмотрения любой системы частиц с произвольными (в том числе и равными) массами. Это обстоятельство играет важную роль в определении величины тонкого сдвига S-уровней энергии водородоподобного атома. Данная задача анализировалась уже на раннем этапе исследований проблемы связанных состояний двух частиц (численно в работе Солпитера [14], а в аналитическом виде для произвольных масс частиц в работе Фултона и Мартина [5]). Найденное теоретическое значение величины сдвига, воспроизведённое впоследствии другими методами [9,15], можно записать в виде: Целью настоящей диссертации является анализ предыдущих результатов и расчёт новых вкладов в сдвиг 15-25 уровней энергии ВП атомов, пропорциональных \пт2/т1. Об актуальности данной работы свидетельствуют интенсивные экспериментальные и теоретические исследования уровней энергии водородоподобных атомов. В последние годы стало ясно, что повышение точности измерений величин сдвигов уровней энергии водородоподобных атомов с помощью радиочастотиых методов наталкивается на серьезные препятствия. Новые перспективы уменьшения экспериментальных ошибок открывают методы бездоплеровской двухфотонной лазерной спектроскопии. Эти эксперименты позволяют с рекордной точностью определить значение такой фундаментальной величины как постоянная Ридберга. Интервал 2Sy2-lSy2 измерен в настоящее время [17,18] в атоме водорода с точностью до десятка кГц: Прогресс, достигнутый в последних экспериментальных работах, стимулирует развитие теоретических методов по прецизионному определению поправок к известным значениям величины сдвигов уровней энергии. Об актуальности работы, заявленной в цели диссертации, свидетельствует ещё тот факт, что поправки к Р-уровням, известны сейчас с большей точностью, чем поправки к 5-уровням [12]. Новизна выполненных в настоящей диссертации исследований подчеркивается следующим обстоятельством. В таблице VIII обзора [12] перечислены поправки отдачи, рассчитанные к 2000 году. Среди них фигурирует лишь один единственный логарифмический по параметру Д вклад, полученный еще в цитируемой работе Фултона, Мартина [5] 1954 года.
Вопрос о других подобных вкладах был впервые поставлен и частично решен почти пятьдесят лет спустя в работе [16].
Необходимо отметить, что полученные в этой работе данные используются при определении рекомендуемого значения постоянной Ридберга [19]. Дальнейшее исследование диаграмм, связанных с эффектами отдачи, продолжено в работах [20-25]. Принцип разложения по степеням тщ/щ при исследовании поправок, содержащих Ыщ/гщ, изложенный в этих работах, развивается в статьях [26,27] и в настоящей диссертации.
