Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Квазипотенциальный метод учета релятивистского характера взаимодействий и эффектов связанности в двухчастичной системе 21
1. Новый метод выделения кулоновского взаимодействия как основы теории возмущений в квазипотенциальном подходе Логунова-Тавхелидзе 21
2. Описание связанности частиц в промежуточных виртуальных состояниях ядра взаимодействия 43
3. Поправки к кулоновским уровням энергии в релятивистской теории спектров водородо подобных атомов 63
ГЛАВА II. Применение метода квазипотенциала к проблеме тонкой структуры уровней энергии атом водорода и сверхтонкого расщепления в мюонии 75
1. Влияние движения ядра и структуры протона на тонкое расщепление уровней энергии в атоме водорода 75
2. Методика расчета сверхтонкого расщепления основного уровня энергии водородоподобных атомов. Анализ простейших взаимодействий в мюонии 89
3. Поправки к кулоновским уровням энергии от двух- и трехфотонных обменов в мюонии 105
ГЛАВА ІV. Проблем сверхтонкого расщепления основного уровня позитрония 116
1. Позитроний как водородоподобная система частиц с равными массами 116
2. Анализ трехфотонных взаимодействий 123
3. Учет эффектов виртуальной аннигиляции электрон-позитронной пары 139
ГЛАВА V. Заключение 152
1. Сравнение полученных в диссертации теоретических значений по тонкой структуре и сверхтонкому расщеплению основного уровня водородоподобных атомов с имеющимися данными и экспериментом 152
2. Основные выводы и заключительные замечания 158
Литература 164
- Описание связанности частиц в промежуточных виртуальных состояниях ядра взаимодействия
- Влияние движения ядра и структуры протона на тонкое расщепление уровней энергии в атоме водорода
- Учет эффектов виртуальной аннигиляции электрон-позитронной пары
- Сравнение полученных в диссертации теоретических значений по тонкой структуре и сверхтонкому расщеплению основного уровня водородоподобных атомов с имеющимися данными и экспериментом
Введение к работе
I. Методы исследования проблемы двух тел в релятивистской квантовой теории.
Задача двух тел в нерелятивистской теории сводится к двум более простым: о равномерном движении центра масс и движении частицы с приведенной массой в потенциальном поле. В релятивистском случае явное отделение движения центра масс, а вместе с тем и непосредственное введение понятия потенциала невозможно.
Релятивистская проблема двух тел охватывает задачи на рассеяние и на связанные состояния частиц. В настоящее время наиболее разработана квантовая теория рассеяния: столкновение частиц может быть описано с помощью операторов свободных полей, что позволяет использовать аппарат S- матрицы.
В то же время создание и развитие квантовой теории тесно связано с исследованием спектра энергии атома водорода и водородопо-добных (ВП) атомов. По мере совершенствования теории, техники и методики эксперимента в число исследуемых Ш систем были включены позитронии, мюоней, дейтерий, мюонный и пионный водород. Сюда же в последнее время иногда относят и кварковые структуры типа чар-мония. В общем, Ш атомы - это простейшие связанные состояния частиц, наиболее доступные для теоретических и экспериментальных исследований и являющиеся поэтому идеальным объектом для проверки основных положений квантовой теории.
Поскольку в релятивистском случае задача о связанных состояниях частицы во внешнем поле и проблема связанных состояний системы двух частиц существенно различны, непосредственное использование уравнения Дирака, а тем более Щредингера для исследования ВП ато-
мов недостаточно. В квантовой релятивистской теории для этих целей имеется ряд специфических методов. Таковы подход Фока-Тамма-Данкова-Дайсона [1-4] или использование строго доказанных Н.Н.Боголюбовым [5,6] дисперсионных соотношений в сочетании с условием унитарности для амплитуды рассеяния. Практическое приложение этих методов, тем не менее, сопряжено с известными трудностями.
Особую роль в развитии теории связанных состояний сыграл формализм Швингера-Бете-Солпитера [7,8]. В основе его лежит использование операторов взаимодействующих полей и, следовательно, полных двухчастичных функций Грина [9,10].
Полная четырехвременная функция Грина G^X^X^X^X^) для двух фермионов с массами т4 и Ш2 в координатном представлении удовлетворяет уравнению Бете-Солпитера
+ Ь(хл-ХхЭвХбйЙ^НбЙД*ЛА)
где Q.o - функция Грина невзаимодействующих частиц, К, - ядро взаимодействия двух фермионов, представляющее собой сумму двухчастично неприводимых фейнмановских диаграмм. По повторяющимся переменным в (I.I.I) подразумевается интегрирование.
Уравнение Вете-Солпитера можно также переписать в виде:
(Go-K)&=I U.I.2)
где обратная функция Грина невзаимодействующих фермионов G0=57-,^1, Si - функция распространения t-ой частицы, I - единичный оператор.
Состояние двухчастичной системы определяет двухвременная волновая функция "Ч*" - решение соответствующего (I.I.2) однородного уравнения
(6Ґ-ОТ-0 (I.I.3)
Задача на собственные значения полной энергии системы двух частиц может быть поставлена в результате перехода к координате центра масс X и относительной координате х. [П,12] :
X ^ОтЧХі+ПГІгХгМті+тг) > х = Х1-Хг (І.І.4)
Тогда состоянию с полным четырехимпульсом (р отвечает волновая функция
V (Xi,X,)» elWt-f9(x) (I.I.5)
Зависящая от относительной координаты функция Нл&с) удовлетво-ряет уравнению [13] :
С G^frX) -Xy(x,x')]-fy(x') «О (і.і.б)
&. (х,х') = $&t zm'\fct+M*-*))S$X-U**>) К (Х.Х') » рҐе^К(х,х'ОС-Г), *u
В системе центра масс (с.ц.м.) отличная от нуля компонента полного четырехимпульса *р0 совпадает с полной энергией двух взаимодействующих частиц .
В отличие от нерелятивистской собственной функции, соответствующей состоянию с определенным значением энергии Е , функция ^(Х) является нестационарной. Параметр относительного времени Х0 не имеет непосредственной физической интерпретации. В то же время ясно, что взаимодействие заряженных частиц в нерелятивистском пределе является кулоновским и разложение функции *Р_ СХ) в рад теории возмущений должно быть связано с кулоновской волновой функцией, не зависящей от времени. Построение такого разложения -задача далеко нетривиальная. Математические трудности вызывает
также нормировка и формулировка граничных условий для волновой функции, зависящей от относительного времени [4] .
Весьма эффективным оказывается квазипотенциальный метод в квантовой теории, предложенный А.А .Логуновым и А.Н.Тавхелидзе [14,15] , в котором параметр относительного времени исключается с самого начала. При таком подходе квантовополевые уравнения для системы двух частиц приводятся к уравнению типа Щредингера с квазипотенциалом, определяемым через амплитуду рассеяния. Несмотря на отсутствие явной релятивистской ковариантности, квазипотенциальный метод Логунова-Тавхелидзе содержит всю информацию о свойствах амплитуды рассеяния, которую можно получить, исходя из общих принципов квантовой теории поля. Поэтому с помощью квазипо-тенпиального уравнения можно изучать как свойства аналитичности и асимптотического поведения амплитуда рассеяния, так и некоторые закономерности потенциального рассеяния, в частности, при высоких энергиях [16-28]. Перенормировка квазипотенциального уравнения сводится, как и в обычной теории $- матрицы, к перенормировке массы и заряда [29].
В ряде случаев, например, в задаче о нахождении матричных элементов локальных операторов между связанными состояниями [30-32], явная релятивистская ковариантность уравнения оказывается важной. Различные ковариантные формулировки квазипотенциального подхода предложены в работах [33-37]. Оригинальный вывод квазипотенциального уравнения в квантовой теории поля дан в работе [38].
В квазипотенциальном подходе А.А .Логунова и А.Н.Тавхелидзе связанное состояние системы двух скалярных частиц описывается уравнением
її1-Уф *(?W* №&1ШЦ «-і-?)
где Р г(Ег-рг-гпг} - двухвременная фуніщия Грина свободных
скалярных частиц.
С?
В случае частиц со спинами, отличными от нуля, оператор g- не
имеет обратного, и уравнение (I.I.7) должно быть модифицировано [39-43]. Для практических приложений наибольшее значение имеет развитие квазипотенциального метода, предпринятое в работах [44-50]. Расчет уровней энергии связанных состояний с помощью квазипотенциального уравнения был впервые выполнен в работах [39,40,51,52].
Новое ковариантное обобщение квазипотенциального метода [53-56] позволило с высокой точностью вычислить релятивистские поправки к магнитному моменту связанной системы двух фермионов, а также атомные а - факторы электрона и протона.
На основе квазипотенциального уравнения В.ГДадышевского [33, 57] получена важная информация о Ш атомах и связанных состояниях кварков [58-64].
Возможность исследования структуры уровней энергии Ш атомов связана с использованием теории возмущений, которая может быть построена на основе уравнений Шредингера или Дирака с кулоновскнм потенциалом. Различные модификации уравнения Дирака [65-67] представляют собой по существу вариации идеологии, реализуемой в квазипотенциальной теории Логунова-Тавхелидзе.
2. Квазипотенциальный подход к описанию слабо
связанных систем.
Наиболее эффективный метод исследования уровней энергии Ш атомов может быть развит на основе квазипотенциального уравнения Логунова -Тавхелидзе (I.I.7). Важная роль в этом отношении принадлежит работам Р.Н.Фаустова [39,40,44-50,56].
Исходным положением квазипотенциальной теории, описывающей систему двух частиц, является понятие двухвременной полной функции Грина, связанной с четырехвременной соотношением:
&(v.x.y;x1;x'.y') [&(«л .«WOJ^.n^y.'.x,' ад л)
В импульсном пространстве и с.ц.м. операции приравниззания времен частиц соответствует интегрирование по относительным энергиям:
frCftf-,Е) =С2ігУг $ GC^.p.l^.qjap.aq. 1-2-2)
-во
При этом импульсы частиц удобно задать в соответствии с рис.1,где
М - масса связанной системы, П14 и п\г - массы обязующих ее частиц и полная энергия системы Е s М
Из спектрального представления [46] следует, что двухвременная
функция Грина имеет при значении энергии Е гЕа полюс, соответ
ствующий связанному состоянию "V^e , и вблизи полюса может быть
представлена в виде: .
'gftfrEjaftft?^ (1-2-3)
Если у функции Грина невзаимодействующих частиц Q. существует обратная, то квазипотенциал определяется следующим образом:
Т(?Д;Е) - &;W.e ) -E"tytf іЕ) (і .2.4)
Заменяя в равенстве ^ші0г -І функции fr и '(j"* согласно выражениям (1,2.3), (1.2.4) и приравнивая вычеты в полюсе Е=Е& » получим для'волновой" функции "Ц7*в уравнение
Собственные функции этого уравнения нормированы условием [46]:
о-
fa-
+
I
.с9
Спектральное представление для функции (jr позволяет непосредственно получить выражение для двухвременной функции Грина невзаимодействующих частиц со спином V2 :
&eCp.^.E) = (A++F-X"F')tr0 u-2-v
!*.-(..&. F-e*W-$(E-6,P-fc»rVl, F'^nOW-^CE+e»,^)"', &i?=\lp**+m?-
Проекционные операторы на состояния с положительной л отрицательной энергией выражаются через прямое произведение биспиноров -решений уравнения Дирака для і -ой свободной частицы
Дираковские биспиноры нормированы на единицу И U = { а условие их полноты записывается в виде:
А++А"=І (1.2.9)
Из выражения (1.2.7) непосредственно следует, что оператор не имеет обратного. На практике наиболее удобно устранить эту трудность, спроектировав двухвременные функции Грина на состояния с положительными значениями энергии фермионов [68]:
&+(?.q;E)=u1(p5u2(-?)?(?;?;E)^ui6f)U1(-q> (1-2Д0)
Соответствующая функция Грина невзаимодействующих частиц на основе соотношений (1.2.7) и (1.2.10) принимает вид:
Поэтому основное уравнение квазипотенциального подхода (1.2.5) переходит в
(Е-^-&*Ш?> = &tf \ЧШ)%^ ci.2.12)
Введем в рассмотрение оператор
^o=F"iT0*F"i (I.2.I3)
где T+,-G"T&+ ,а релятивистская амплитуда рассения вне массовой поверхности Т(р>Я >Р>Яв > ^ ) определяется из уравнения Бете-Солпитера в импульсном представлении
Здесь операторное умножение означает интегрирование по относительным импульсам.
Выполняя над обеими частями уравнения Бете-Солпитера преобразования, заданные соотношениями (1.2.2) и (1.2.10), находим
(*?.г1-г1т*@*у1 (1-2Д5)
Выражение квазипотенциала (1.2.4) для системы двух фермионов может быть представлено с помощью оператора $0 :
Y-F^-^f-t.a+Fi;.)"1 (1-2Л6)
На массовой поверхности = tySmJ+^+mJ *Jq4m* +^q4mi оператор Тв(Й^Е) и физическая амплитуда рассеяния
T+(ftf;E) = ЙІС?ій1фТ(?'ЛЕ;р^.0)и1ф.и.Й1 »-2-I7>
( U^ 2 - положительно-частотные решения свободного уравнения Дирака, черта символизирует дираковское сопряжение) совпадают [69]. Поскольку физическая амплитуда рассеяния правильно воспроизводит
- ІЗ -
связанные состояния как полюса по полной энергии двухчастичной системы в области <ги^ + П\2, » для определения квазилотен-циала наряду с оператором <в можно использовать амплитуду
T-T+(1 + FTJl (I-2-I8)
В последнем выражении параметры j^q и Е можно считать независимыми, так что существуют два варианта определения квазипотенциала і (p'jJiE) в соответствии с равенствами (1.2.16) и (1.2.18).
Используя обычное разложение f - матрицы в ряд по степеням константы связи
т = т<1Чт(/п+...
В выражениях (1.2.16) и (1.2.18) получим соответственно:
ti?,-F1ES^F4lif)-F46№FJ
(1.2.19)
у Ф . гр ft) у№ ящ(Ц) mttlpmft) (1.2.20)
В случае исследования уровней энергии Ш атомов с точностью с до о( на основе разложения (1.2.20) элементам квазипотенциала
сопоставлялись диаграммы Фейнмана второго и четвертого порядков,
приведенные на рис.2. Если Ш атом образован частицами с разными
массами, то взаимодействия происходят только в прямом канале.
В слабо связанных системах частицы находятся вблизи массовой
поверхности, поэтому для исследования структуры уровней энергии ВП атомов с точностью до at можно воспользоваться так называемым приближением рассеяния [68J« в области больших виртуальных
*ч
импульсов элементы амплитуды рассеяния Т+ могут быть приближенно отнесены к тесовой поверхности, т.е. вычислены при значениях 1р1,1Я1*0>Е*ПЧ+ГОг Поэтому квазипотенциальнпе уравнение (1.2. 12) переходит в уравнение Шредингера с нелокальным потенциалом, зависящим от полной энергии системы [47].
где мгпцт^т^Ш})"^- приведенная масса,'У/вЕ-пЦ-лЦ - энергия
связи системы.
Представим квазипотенциал в виде разложения
Члены этого разложения могут быть определены равенствами (1.2.19), или (1.2.20), 14в^^а/^?-?)г ~ кулоиовский потенциал. Поправки к кулоновским уровням энергии
Ч'-^ OU,...)
получим, решая уравнение (1.2.21) по теории возмущений
где |а>,|Ш> - собственные функции указанного уравнения с кулоновским потенциалом, соответствующие значениям энергии а и . Волновая функция основного состояния имеет вид
^'Щ^Ьй^АЧМ2^* VCPV***"1 (I-2-24)
0 помощью формулы (1.2.23) значения сверхтонкого расщепления ос-повного уровня Ш атома с точностью до <*. находятся наиболее просто, если положить
%(?) аь &,«? %(?) fcC0) , ЕЗШі+ПІ! (1-2.25)
Возникающие при этом инфракрасные особенности обычно устраняются путем введения обрезания величины виртуального трехимпульса [12, 40].
3. Обзор важнейших исследований спектров энергии водородоподобных атомов, цели и задачи диссертации.
Одним из основных приложений квантовой релятивистской теории связанных состояний являются задачи о тонкой и сверхтонкой структуре уровней энергии Ш атомов.
Лэмбовский сдвиг уровней энергии, возникающий в простейшем случае при учете собственной энергии электрона в статическом по-ле ядра атома водорода, был впервые исследован Вете [70]. В настоящее время подобную задачу можно решить более корректно, используя, например, уравнение Дирака с радиационными поправками [б]. Модификация этого уравнения дает возможность строгого рассмотрения эффектов отдачи ядра и влияния его структуры на сдвиги уровней энергии [65-67].
Последовательная теория учета радиационных поправок для вычисления лэмбовокого сдвига уровней энергии в Ш атомах была развита на основе уравнения Вете-Солпитера [71,72] и в рамках квазшютен-циального подхода Г68]» Значительную трудность для теории лэмбовокого сдвига в атоме водорода представляет неопределенность поправок, характеризующих электромагнитную структуру ядра. Обычно ее описывают феноменологически, с помощью введения в вершинную часть электрического и магнитного форм^акторов [73,74,51]. Теоретическое значение лэмбовокого сдвига зависит кроме того от вклада конечных размеров протона, которые пока не поддаются точной оценке [75,76].
Последние теоретические результаты для лэмбовского сдвига уровней энергии в водороде
ч* (1057,916 (10) МГц
^ = (.1057,864 (14) МГц (I*
не вполне согласуются друг с другом.
Если роль логарифмических по оС поправок для тонкой структуры Ш атомов стала очевидной уже после первой работы Бете, то ситуация с изучением сверхтонкого расщепления уровней энергии сложилась несколько иначе.
Первые расчеты сверхтонкого расщепления основного уровня позитрония с точностью до оС были выполнены Каршгосом и Клейном [12]. Этот результат на основе квазипотенциального подхода был подтвержден в работе [39]. Более строгий анализ сверхтонкого сдвига основного уровня возможен при учете эффектов связанности в области малых виртуальных импульсов [79,80]. Только в 1971 году были впервые получены поправки порядка оС iXlcL к сверхтонкому расщеплению в позитронии от ряда фейнмановских диаграмм в прямом канале [із]. Немного спустя, было установлено наличие подобных вкладов и в аннигилляционном канале [8l]. Этот результат был позднее подтвержден [82] и обобщен [83,84] другими авторами. Дополнительные вклады порядка cChnck были найдены в работе [85]. Ряд новых результатов был получен на основе модифицированного уравнения Дирака [86,87] и подтвержден затем исследованиями Бодвина и Іенни [88]. Важное значение для совершенствования методов расчета и установления теоретического результата сверхтонкого сдвига основного уровня позитрония имеют работы [89-100].
Таким образом, в настоящее время теоретическое значение величины сверхтонкого расщепления в позитронии может быть рассчитано
с точностью до оС VfloL .
Аналитическое выражение для этой величины в мюонии запишем в виде [76]:
)т =4 ( L + &+%) ^-3-2)
где Np = (8/3) oC(*r /(fd^Wl^.) , m^- масса мюона,
me - шсса электрона, /* - приведенная масса. При & = 0, 8*=0 отсюда следует результат Ферми: 0^е = F С I01 ^ *
Величина Ъ э определяющая совокупность радиационных поправок при условии неподвижности мюона (fTle/rrU*-^ О ) быта впервые учтена в работах р02-104] и впослёдствие вычислена вплоть до порядка оС [І05,72,'40,ЇОб]. В последней работе [Ї06] было положено начало расчету поправки о » связанной с конечностью массы мюона * В настоящее время могут быть вычислены части выражения о , пропорциональные
Таким образом, в последние годы происходит интенсивное теоретическое исследование проблемы связанных состояний в квантовой электродинамике, позволяющее существенно увеличить точность определения тонкой и сверхтонкой структур Ш атомов.
Цель диссертации состоит в разработке в рамках квазипотенциального подхода единого метода для анализа спектров Ш атомов на основе учета релятивистского характера взаимодействий и эффектов связанности частиц.
В диссертации обобщены исследования автора в области связанных состояний, проводившиеся на физфаке СІУ в период 1972-1983 годов. Диссертация состоит из пяти глав и списка литературы.
Вводная глава посвящена описанию методов исследования проблемы двух тел в релятивистской квантовой теории и полученных с их помощью важнейших результатов по спектрам энергии ВП атомов. При этом особое внимание уделено квазипотенциальному методу, являюще-
муся при решении задач на связанные состояния наиболее эффективным*
Во второй главе предложен теоретический аппарат для исследования спектров Ш атомов.
В I на основе нового метода учета кулоновских взаимодействий в квазипотенциальном подходе Логунова-Тавхелидзе рассмотрен более точный способ решения квазипотенциального уравнения и развита теория возмущений, позволяющая анализировать поправки к уровням энергии от обменов одним или двумя поперечными и любым числом кулоновских фотонов.
В 2 изложена процедура построения ядра уравнения для полной функции Грина двухчастичной системы с учетом эффектов связанности в промежуточных виртуальных состояниях.
В 3 выписаны в аналитическом виде поправки к кулоновским уровням энергии от одно-, двух- и трехфотонных взаимодействий в Ш атомах.
Величина сверхтонкого расщепления с точностью до о( получается из этих общих выражений в частном случае при использовании для волновой кулоновской функции и полной энергии приближений (1.2.25).
Точные аналитические выражения для поправок позволяют найти дополнительные логарифмические оС вклады в тонкое и сверхтонкое расщепление уровней энергии Ш атомов.
Созданный таким образом единый метод теоретического исследования связанных состояний в квантовой электродинамике применен в третьей и четвертой главах к анализу тонкой и сверхтонкой структур атомов водорода, мюония и позитрония.
В I главы Ш исследовались поправки к тонкому сдвигу уровней энергии Ш атома, связанные с движением тяжелой частицы, а также с ее электромагнитной структурой.
В 2 этой главы изложена методика расчета поправок к фермиев-скому расщеплению основного уровня относительного порядка Ы (л\А^» ІКоС . Рассчитаны вклады от однофотонных диаграмм, а также от обменов двумя фотонами, один из которых поперечный.
В 3 анализируются поправки от обменов двумя поперечными фотонами и трехфотонные взаимодействия-в мюонии.
Источником логарифмических поправок к фермиевскому расщеплению основного уровня мюония являетоя сравнительно небольшое число диаграмм. Однако, этот факт должен быть строго обоснован тщательным рассмотрением кулоновских взаимодействий, а также трэхфотонных обменов. Подобный анализ проиллюстрирован на примере позитрония в четвертой главе.
В I и 2 исследуются взаимодействия электрона и позитрона в прямом канале. У системы, состоящей из частицы и античастицы имеется также аннигиляционный канал взаимодействия.
Логарифмические вклады от эффектов виртуальной аннигиляции электрончюзитронной пары вычислены в 3.
В заключительной главе проведено сравнение теоретических значений по тонкой и сверхтонкой структуре Ш атомов, полученных различными методами, а также их сопоставление с имеющимися в настоящее время данными эксперимента.
Совокупность изложенных в диссертации материалов дает возможность говорить о формировании нового научного направления - разработке в рамках квазипотенциального подхода единого метода исследования связанных состояний двух частиц и техники, позволяющей эффективно рассчитывать спектр энергии Ш атомов с высокой точностью .
Материалы, изложенные в диссертации, докладывались на международных конференции и семинаре, сессиях ОЯФ АН СССР, на теоретических семинарах в ИФВЭ (г.Серпухов) и ОИЯИ (г.Дубна).
Описание связанности частиц в промежуточных виртуальных состояниях ядра взаимодействия
Если роль логарифмических по оС поправок для тонкой структуры Ш атомов стала очевидной уже после первой работы Бете, то ситуация с изучением сверхтонкого расщепления уровней энергии сложилась несколько иначе.
Первые расчеты сверхтонкого расщепления основного уровня позитрония с точностью до оС были выполнены Каршгосом и Клейном [12]. Этот результат на основе квазипотенциального подхода был подтвержден в работе [39]. Более строгий анализ сверхтонкого сдвига основного уровня возможен при учете эффектов связанности в области малых виртуальных импульсов [79,80]. Только в 1971 году были впервые получены поправки порядка оС iXlcL к сверхтонкому расщеплению в позитронии от ряда фейнмановских диаграмм в прямом канале [із]. Немного спустя, было установлено наличие подобных вкладов и в аннигилляционном канале [8l]. Этот результат был позднее подтвержден [82] и обобщен [83,84] другими авторами. Дополнительные вклады порядка cChnck были найдены в работе [85]. Ряд новых результатов был получен на основе модифицированного уравнения Дирака [86,87] и подтвержден затем исследованиями Бодвина и Іенни [88]. Важное значение для совершенствования методов расчета и установления теоретического результата сверхтонкого сдвига основного уровня позитрония имеют работы [89-100].
Таким образом, в настоящее время теоретическое значение величины сверхтонкого расщепления в позитронии может быть рассчитано с точностью до оС VfloL . Аналитическое выражение для этой величины в мюонии запишем в виде [76]. Величина Ъ э определяющая совокупность радиационных поправок при условии неподвижности мюона (fTle/rrU - О ) быта впервые учтена в работах р02-104] и впослёдствие вычислена вплоть до порядка оС [І05,72, 40,ЇОб]. В последней работе [Ї06] было положено начало расчету поправки о » связанной с конечностью массы мюона В настоящее время могут быть вычислены части выражения о , пропорциональные Таким образом, в последние годы происходит интенсивное теоретическое исследование проблемы связанных состояний в квантовой электродинамике, позволяющее существенно увеличить точность определения тонкой и сверхтонкой структур Ш атомов. Цель диссертации состоит в разработке в рамках квазипотенциального подхода единого метода для анализа спектров Ш атомов на основе учета релятивистского характера взаимодействий и эффектов связанности частиц. В диссертации обобщены исследования автора в области связанных состояний, проводившиеся на физфаке СІУ в период 1972-1983 годов. Диссертация состоит из пяти глав и списка литературы. Вводная глава посвящена описанию методов исследования проблемы двух тел в релятивистской квантовой теории и полученных с их помощью важнейших результатов по спектрам энергии ВП атомов. При этом особое внимание уделено квазипотенциальному методу, являющемуся при решении задач на связанные состояния наиболее эффективным Во второй главе предложен теоретический аппарат для исследования спектров Ш атомов. В I на основе нового метода учета кулоновских взаимодействий в квазипотенциальном подходе Логунова-Тавхелидзе рассмотрен более точный способ решения квазипотенциального уравнения и развита теория возмущений, позволяющая анализировать поправки к уровням энергии от обменов одним или двумя поперечными и любым числом кулоновских фотонов. В 2 изложена процедура построения ядра уравнения для полной функции Грина двухчастичной системы с учетом эффектов связанности в промежуточных виртуальных состояниях. В 3 выписаны в аналитическом виде поправки к кулоновским уровням энергии от одно-, двух- и трехфотонных взаимодействий в Ш атомах. Величина сверхтонкого расщепления с точностью до о( получается из этих общих выражений в частном случае при использовании для волновой кулоновской функции и полной энергии приближений (1.2.25). Точные аналитические выражения для поправок позволяют найти дополнительные логарифмические оС \Xitk вклады в тонкое и сверхтонкое расщепление уровней энергии Ш атомов. Созданный таким образом единый метод теоретического исследования связанных состояний в квантовой электродинамике применен в третьей и четвертой главах к анализу тонкой и сверхтонкой структур атомов водорода, мюония и позитрония. В I главы Ш исследовались поправки к тонкому сдвигу уровней энергии Ш атома, связанные с движением тяжелой частицы, а также с ее электромагнитной структурой. В 2 этой главы изложена методика расчета поправок к фермиев-скому расщеплению основного уровня относительного порядка Ы (л\А » ІКоС . Рассчитаны вклады от однофотонных диаграмм, а также от обменов двумя фотонами, один из которых поперечный. В 3 анализируются поправки от обменов двумя поперечными фотонами и трехфотонные взаимодействия-в мюонии. Источником логарифмических поправок к фермиевскому расщеплению основного уровня мюония являетоя сравнительно небольшое число диаграмм. Однако, этот факт должен быть строго обоснован тщательным рассмотрением кулоновских взаимодействий, а также трэхфотонных обменов. Подобный анализ проиллюстрирован на примере позитрония в четвертой главе.
Влияние движения ядра и структуры протона на тонкое расщепление уровней энергии в атоме водорода
В нерелятивистской квантовой механике кулоновские уровни энергии в Ш атомах полностью определяются заданием главного квантового числа. В теории Дирака выроадение уровней энергии,отвечающих одному и тому же главноглу квантовому числу, но различным значениям квантового числа полного момента, снимается: появляется так называемая тонкая структура уровней энергии. Хорошо известны соответствующие экспериментальные данные, в частности, особенно точно измеренное значение смещения уровней 2.Рь и ЙРзу в квантовой электродинамике вследствие учета радиационных поправок происходит отклонение тонкой структуры от расчетов, выполненных на основе уравнения Дирака. Так очень хорошо исследован лэмбов-ский сдвиг уровней 2S /, и 2Pty«
Поскольку тонкое расщепление кулоновских уровней при взаимодействии частиц посредством обмена одним фотоном хорошо изучено ранее, рассмотрим поправки на движение тяжелой частицы и ее электромагнитную структуру [іІ5,ІІб].
Учитывая, что основное взаимодействие связанных частиц происходит в нерелятивистской области, при исследовании эффектов отдачи будем исходить из выражения (2.3.42), в котором будем понимать кулоновскую волновую функцию в приближении Паули. Движение ядра дает поправку к уровням энергии В принятом выше приближении итерационные слагаемые запишем в Выражения (3.1.9) и (ЗД.І0) содержат инфракрасные особенности. Однако, после интегрирования по энергетической компоненте в равенстве (3.1.9) нетрудно показать, что в суммарном сдвиге эти особенности взаимно компенсируются, приводя к выражению, свободному от параметра . Окончательно в соответствии с формулой (3.I.I) имеем Таким образом, рассмотренная поправка приводит лишь к сдвигу S -уровней. При анализе вклада в тонкое расщепление от диаграммы обмена поперечными фотонами в высокочастотной области оказывается, что соответствующее выражение содержит параметр \ . где 2« Р т«,р/И , M = rne+mp Наличие здесь логарифмического по X слагаемого требует дополнительного рассмотрения вклада низкочастотной области, где приближение (1.2.24) вообще говоря неприменимо. Полагая лишь « г W\ ч- VW а в этом У438 находим матрицы Паули соответствующей частицы. Выделяя их полученного выражения не зависящую от спинов часть, имеем ,-» - 2/.,., у-». Вычисление сдвига уровня для &S - состояния приводит к резуль Таким образом, логарифмическая зависимость от параметра сохраняется на промежуточном этапе, но при суммировании вкладов низкочастотной и высокочастотной областей подобные члены компенсируются. Полный вклад обмена двумя поперечными фотонами в сдвиг 2S - уровня принимает вид Наиболее тонким местом является вычисление вклада в сдвиг уровней энергии от обмена кулоновским и поперечным фотонами, которое начнем с рассмотрения высокочастотной области. Однако, анализ поведения данных диаграмм вблизи нижней границы этой области дополним исследованием влияния малых компонент дираковских биспиноров, Используя симметрию подинтегральной функции по трехимпульсам, с необходимой точностью находим: Выполняя здесь интегрирование по переменной К0 и учитывая наличие соответствующих итерационных слагаемых в выражении (3.I.I), а также их значения вблизи нижней границы высокочастот ной области (р/0)(?#о) » запишем.
Учет эффектов виртуальной аннигиляции электрон-позитронной пары
Из всех ВП атомов позитроний может быть описан в рамках квантовой электродинамики наиболее полно. Изучение этой системы дает, таким образом, один из радикальных способов проверки квантовой теории вообще и релятивистской теории связанных состояний двух частиц - в частности.
Особенность атома позитрония заключается в том, что он состоит из частицы и античастицы. Как отмечалось выше, квазипотенциал . взаимодействия двух частиц с массами тл и Wt выражается через матричные элементы амплитуды рассеяния, спроектированные на состояния с положительными энергиями с помощью дираковских бис-пиноров. В то же время, согласно правилам Фейнмана, свободной античастице в начальном и конечном состояниях соответствуют бие-пиноры с отрицательными энергиями. Аналогию в описании мюония и позитрония в прямом канале взаимодействия можно установить с помощью матриц зарядового сопряжения С В полном соответствии с определением позитронных полевых операторов через электронные (2.2.3) введем волновые функции позитрона:
Воспользовавшись этими выражениями и правилами перестановки матрицы зарядового сопряжения с / - матрицами, легко показать [120] :
Представляя амплитуду рассеяния Т через ядро взаимодействия электрон-позитронной пары Г+- (2.2.52), приходим в прямом канале к выражениям, содержащим токи каждой из рассматриваемых частиц. Применяя для их преобразования соотношения типа (4.1.2), приходим к выводу о том, что в этом канале взаимодействия между электроном и позитроном квазипотенциал можно строить, как и в случае мюония, с помощью амплитуды рассеяния t0 . Таким образом, величина вкладов в сверхтонкое расщепление основного уровня позитрония от диаграмм прямого канала может быть получена из таблицы I, если в соответствующих результатах положить m4-w\x m » где ю - масса электрона или позитрона. Важно на этом этапе надежно установить отсутствие логарифмических вкладов от других взаимодействий электрона с позитроном в прямом канале. В случае кулоновских обменов достаточно ограничиться рассмотрением двухфотонных процессов, вклады от которых уже пропорциональны С6 р21]. Вычисляя поправку к сверхтонкому расщеплению в позитронии от диаграммы обмена одним кулоновским фотоном, с точностью до о( Как отмечалось в главе Ш, логарифмические по константе тонкой структуры вклады в сверхтонкий сдвиг основного уровня всегда обеспечивает стандартный интеграл Гсг , который не может быть выделен из выражения (4.1,26). Расчеты же с точностью до о( приводят к результату: Таким образом, при исследовании обменов кулоновскими фотонами с точностью до dir M oL можно ограничиться рассмотрением простейшей однофотонной диаграммы. Двухфотонные процессы приводят в этом случае к вкладам в сверхтонкое расщепление основного уровня позитрония, пропорциональным ос Ьолее сложные взаимодействия, которые могут привести к логарифмическим вкладам должны включать обмены не только кулоновскими, но и поперечными фотонами.
Полное исследование трехфотонных взаимодействий может быть выполнено на основе общего выражения (2.3.45), для которого характерен учет диаграмм, включающих не более двух поперечных фотонов. Обоснованием достаточности подобного приближения для рассмотрения всех вкладов » Л лм\ск в сверхтонкое расщепление позитрония может служить анализ приводимых диаграмм с тремя поперечными, а также с двумя поперечными и двумя кулоновскими фотонами.
Сравнение полученных в диссертации теоретических значений по тонкой структуре и сверхтонкому расщеплению основного уровня водородоподобных атомов с имеющимися данными и экспериментом
В настоящее время единственной последовательной моделью взаимодействия элементарных частиц остается квантовая электродинамика, теоретические предсказания которой могут быть проверены с высокой степенью точности. В связи с этим существует возможность изучить применимость основных принципов релятивистской квантовой теории, которые используются и в других моделях взаимодействия элементарных частиц. Водородоподобные атомы - простейшие связанные системы - наиболее доступны для теоретического и экспериментального исследования. Фундаментальная роль в становлении и развитии квантовой теории принадлежит задачам о тонкой и сверхтонкой структуре водородоподобных систем. Измерение сверхтонкого расщепления основного уровня энергии позитрония выполнены в настоящее время с относительной точностью порядка 6.10 , а мюония - 1.2 10 . Для расчетов с подобной точностью соответствующих теоретических значений необходимо вычислить члены порядка (4г в позитронии Ио( — (W в мюонии. Существенное совершенсішование теории и техники расчета уровней энергии водородоподобных атомов требуется уже для получения вкладов порядка (vAfc/wu ) . Подобная задача была сформулирована применительно к атому позитрония в начале семидесятых годов.
С одной стороны, Фултон, Оуэн и Репко [із] при исследовании одно- и двухфотонных взаимодействий учли более точное выражение для волновой функции связанной системы и зависимость ядра уравнения Бете-Солпитера от относительных трехимпульсов и полной энергии. С другой стороны, в нашей работе 813 было показано, что вклад в сверхтонкое расщепление от неизучавшихся при расчетах с точностью до сИ трехфотонных взаимодействий может начинаться с величин порядка Л л/л сС . В такой ситуации логично использовать волновую функцию связанной системы в приближении (1.2.25), а полной энергии Е М4 + г придать характер параметра обрезания, фиксирующего инфракрасные (в аннигиляционном канале - пороговые) особенности. Полученный нами результат расчета аннигиляционной диаграммы с оператором поляризации 4-го порядка был впоследствии подтвержден Оуэном и обобщен Барбиери, Кристиллином и Ремидди y32,83j. Последние, кроме того, суммировали все логарифмические вклады, вычисленные с помощью непосредственного применения уравнения Бете-Солпитера l3,84,85].
Позднее Лепаж \Ь1] применил для анализа спектра энергии мюония модифицированное уравнение Дирака и рассчитал, в частности, ряд новых поправок порядка d Ь/\ oL к величине сверхтонкого расщепления основного уровня позитрония. Поскольку оказалось сложным выяснить путем прямого сравнения причины расхождения результатов работ [84] и [87], Бодвин и Пенни предприняли на основе уравнения Солпитера новое исследование несовпадающих вкладов от обменов одним поперечным и некоторым числом кулоновских фотонов 88]. Их вычисления подтвердили первоначальный результат Лепажа. Впоследствии дополнительный анализ процессов виртуальной аннигиляции привел к несколько иному значению величины сверхтонкого расщепления основного уровня позитрония [125].
Несмотря на разнообразие использованных методов и большое число полученных результатов, рассмотренные выше исследования проблемы сверхтонкого расщепления уровней энергии в водородоподобных атомах не являются достаточно систематическими и полными. Ни один из указанных методов не был применен для детального анализа всех без исключения процессов взаимодействия, приводящих к логарифмическим вкладам. Остается невыясненным до конца и вопрос о том, все ли логарифмические поправки рассчитаны. Важными в этом отношении представляются проводившиеся нами исследования.
Развитый на основе квазипотенциального уравнения Логунова -Тавхелидзе метод учета эффектов связанности и релятивистского характера электромагнитного взаимодействия частиц был применен к решению трех задач:
1. 0 поправках (ZoC ) к тонкой структуре уровней энергии водородоподобных атомов.
2. О поправках JL (Wе/Мм)ц\б1 к фермиевскому расщеплению основного уровня мюония.
3. О сверхтонком расщеплении основного уровня позитрония с точностью до оС Ьл at .
Результаты решения первой задачи находятся в полном согласии с данными расчетов, выполненных другими методами [65,71,72].
Структура протона учитывалась с помощью введения электромагнитных формфакторов. При этом, в частности, получена новая поправка к сдвигу уровней энергии водородоподобных атомов, пропорциональная квадрату аномального магнитного момента тяжелой частицы. Однако, вклад этого члена лежит пока за пределами достигнутой экспериментальной точности.
Установленная в работах [81,126] связь поведения интегралов по виртуальным импульсам вблизи инфракрасных (пороговых) особенностей с появлением логарифмических вкладов в сверхтонкое расщепление вызвала необходимость дополнительного анализа одно- и двух-фотонных диаграмм с точностью до [80]. Квазипотенциальный метод учета эффектов связанности и релятивистского характера взаимодействия частиц в водородоподобных системах на основе уравнения Логунова-Тавхелидзе был разработан нами в работах 122,127, 13о]. Применение его для вычисления величины сверхтонкого расщепления основного уровня позитрония с точностью до А Ам Ы, » а также для исследования кулоновского взаимодействия с точностью до шестого порядка по d\ выполнено в работах [iQI,121,128,129].
На заключительном этапе нами проведен детальный анализ эффектов виртуальной аннигиляции в позитронии, учтена поправка к ку-лоновской волновой функции, найденная в результате более точного решения квазипотенциального уравнения с кулоновским ядром, исследовано сверхтонкое расщепление основного уровня мюония [ill, 118].
Выполненные нами вычисления являются результатом анализа единого и весьма общего выражения для поправок к уровням энергии во-дородоподобниго атома, которое с требуемой точностью учитывает все взаимодействия в этой системе.
