Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Слабосвязанный электрон с ненулевым орбитальным моментом в сильном эллиптически поляризованномлазерном поле 16
1.1. Постановка задачи и граничное условие для ККЭС вблизи начала координат 16
1.2. Общий вид ККЭС для начального состояния /-симметрии . 23
1.3. Случай начального s-состояния. Связь с моделью ПНР . 27
1.4. Случай циркулярной поляризации и результаты для начального р-состояния 32
1.5. Случай линейной поляризации и результаты для начального р-состояния 37
1.6. Начальное р-состояние в эллиптически поляризованном поле 39
1.7. Линейная и циркулярная поляризации как предельные случаи эллиптической 45
1.7.1. Линейная поляризация 45
1.7.2. Циркулярная поляризация 46
1.8. Надпороговый распад F- 47
Глава 2. Эффект ПІтарка для ^состояний в короткодейству ющем потенциале 55
2.1. Динамическая поляризуемость 55
2.1.1. Случай эллиптически поляризованного поля (/,) . 55
2.1.2. Случай линейно поляризованного поля (I — 1, = 0) . 60
2.1.3. Случай циркулярно поляризованного поля ( = 0, = 1) 62
2.2. Динамическая гиперполяризуемость 65
2.2.1. Эллиптическая поляризация 65
2.2.2. Циркулярная поляризация 68
2.2.3. Линейная поляризация 69
2,3. Численные результаты и обсуждение 70
Глава 3. Ридберговские состояния атома водорода в сильном лазерном поле 77
3.1. Общие формулы для ДГП и техника расчетов 79
3.1.1. Изолированные уровни 79
3.1.2. Вырожденные уровни 81
3.1.3. Отделение угловых переменных 84
3.1.4. Расчет составных радиальных матричных элементов для виртуальных переходов в континуум 87
3.2. Численные результаты и обсуждение 90
3.2.1. Дисперсионная зависимость ДГП и сдвиг уровней в сильном световом поле 90
3.2.2. Поправки к вероятности фотоэффекта в сильном световом поле 104
3.3. Общие формулы для Е^ и техника расчетов 113
3.4. Численные результаты и обсуждение 116
3.4.1. Дисперсионная зависимость и сдвиг уровней в сильном световом поле 116
3.4.2. Учет поправки Е^ в расчете интенсивности, соответ ствующей началу стабилизации 121
Заключение 128
Приложение
- Общий вид ККЭС для начального состояния /-симметрии
- Линейная и циркулярная поляризации как предельные случаи эллиптической
- Динамическая гиперполяризуемость
- Расчет составных радиальных матричных элементов для виртуальных переходов в континуум
Введение к работе
Исследование газообразных (в том числе, атомарных) сред в сильных лазерных полях фемтосекундной длительности является в настоящее время интенсивно развивающимся разделом лазерной физики. Это связано с бурным развитием экспериментальной лазерной техники, в частности, способов получения лазерных импульсов с пиковой интенсивностью, превышающей характерную атомную интенсивность 1а = 3.5 1016 Вт/см2, а также с возможностью существенного расширения диапазона частот источников когерентного излучения путем генерации высших гармоник (ГВГ) лазерного излучения в газах. Новые технические возможности позволили экспериментально исследовать эффекты обнаруженной в 1979 г. [1] надпороговой ионизации (НТТИ) [2] (состоящей в отрыве атомного электрона в результате поглощения большего, чем минимально необходимо, числа фотонов) и ГВГ [3, 4]. При этом особый интерес вызывают явления, специфичные для сильных полей и не поддающиеся описанию в рамках теории возмущений по взаимодействию атома с полем, например, "плато" в спектрах ГВГ и НПИ (слабая зависимость сечений фотопроцессов от числа испущенных (поглощенных) фотонов), а также стабилизация атомов в сильном лазерном поле [5, 6] (замедление роста или даже убывание вероятности распада атома с ростом интенсивности поля; эффект был обнаружен экспериментально в 1993 г. [7]).
Существует относительно немного аналитических моделей (см. обзоры [2]3[4],[5]), применимых для описания таких процессов. Наиболее известно из них приближение Келдыша [8] в теории ионизации, а также другие подходы, построенные на его основе и обобщающие результат оригинальной работы [8], такие как обобщение на общий случай эллиптической поляризации [9, 10] и коротких импульсов [11, 12, 13] (см. также обзор [14] и цитируемую там литературу), подход Файсала [15] и Риса [16]. Ввиду прозрачности и простоты теории Келдыша, были определены кулоновские поправки к вероятности ионизации атомов [14, 17]. Приближение Келдыша в предельных случаях (в зависимости от адиабатического параметра
1кеы — —Fi—> гДе w "" частота лазерного поля, г - его напряженность, г а Еі - энергия связанного состояния) описывает либо процесс туннельной ионизации, либо многофотонную ионизацию. В режиме туннельной ионизации {Jkeid *С 1), а также промежуточного случая ("ykeld ~ l)i приближение Келдыша дает не только хорошее качественное, но и приемлемое количественное согласие с экспериментом. Однако в многофотонном пределе {ikeld ^ 1) то есть при большой частоте лазерного поля и относительно небольшой напряженности) теория Келдыша не дает количественного согласия с результатами современных экспериментов. При этом несомненным преимуществом приближения Келдыша является возможность использовать его для самых разных атомарных систем: ионов, атомов, молекул. Метод Крамерса-Хеннебергера [18] (см. также [5]), основанный на переходе в колеблющуюся с частотой поля систему координат, применим лишь для частот излучения, превышающих потенциал ионизации и больших напря-женностей поля, подавляющих потенциальный барьер. В последнее время также стали широко применяться квазиклассические методы анализа эффектов в сильном лазерном поле, в частности, эффектов перерассеяния, позволяющих интерпретировать эффекты плато на языке классических траекторий [19, 20, 21].
Для описания атомных систем, находящихся под действием периодического по времени возмущения часто используется формализм квазиэнергетических состояний (КЭС). Понятия квазиэнергии и КЭС впервые были введены в середине 60-х годов. Сначала при рассмотрении релятивистского электрона в работе [22] было введено понятие четырехмерного квазиимпульса, четвертая компонента которого была названа квазиэнергией, а затем практически одновременно в [23, 24, 25] понятие квазиэнергии было применено к атомной системе в поле электромагнитной волны. Используя теорему Флоке [26], Ширли [24] свел решение нестационарного уравнения Шредингера для двухуровневой системы к стационарной матрице Флоке. Понятие квазиэнергии для системы во внешнем периодическом поле как нового квантового числа, было введено Зельдовичем [23] и Ритусом [25] аналогично тому, как вводится понятие квазиимпульса электрона, находящегося в пространственно периодическом потенциале. Ритус [25] применил КЭС подход для анализа линейной поправки по интенсивности к сдвигу атомных уровней в водороде. Основной вклад в развитие теории КЭС был сделан Зельдовичем в [23, 27], где были проанализированы элементарные свойства КЭС и показано, что КЭС-подход является наиболее удобным и естественным методом описания подверженных периодическому возмущению систем. Сэмб в [28] ввел понятие расширенного гильбертова пространства, определяемого прямым произведением, Дз Ф Т, конфигурационного гильбертова пространства . и полного ортонормированного набора Т периодических функций. В таком представлении уравнение Шредингера для КЭС и квазиэнергии є формально совпадает со стационарным уравнением Шредингера для консервативных систем в пространстве Яз. Кроме того, в [28] был обобщен ряд основных теорем теории стационарного уравнения Шредингера на случай пространства R$T (вариационный принцип, теорема Геллмана-Фейнмана и формализм теории возмущений). В [29] были рассмотрены некоторые другие общие свойства КЭС.
Однако формализм КЭС, позволяя получить полный набор нормированных функций непрерывного спектра, удобен только для анализа столк-новительных процессов (задач рассеяния) в лазерном поле. Для описания распада связанных состояний в сильном периодическом поле более применима построенная в середине 70-х годов теория квазистационарных КЭС (ККЭС), позволяющая наиболее просто рассчитывать вероятность ионизации системы иод действием внешнего периодического излучения. Термин "комплексная квазиэнергия" был введен при непертурбативном анализе отрыва слабосвязанной частицы циркулярно поляризованным полем [30, 31, 32]. В [31] комплексная квазиэнергия (е = Re е — гГ/2) была получена аналогично стандартному квазистационарному подходу для стационарного гамильтониана [33]. Точное решение задачи на ККЭС для случая эллиптически поляризованного поля было получено в [34, 35]. В последних работах по изучению поведения слабосвязанных атомных систем в лазерном поле (см. [36] и указанные там ссылки) был уточнен ряд проблемных до этого вопросов в теории ККЭС (нормировка волновых функций ККЭС, вычисление матричных элементов на волновых функциях ККЭС, точная связь комплексной квазиэнергии с амплитудой рассеяния фотона).
Цель настоящей работы состоит в развитии общих методов для описания взаимодействия сильного электромагнитного ноля с отрицательными ионами и нейтральными атомами в ридберговских состояниях и в расчете на их основе квазиэнергии и вероятности распада этих систем в поле интенсивного лазерного излучения.
Исследованию поведения отрицательных ионов в сильном лазерном поле посвящено множество работ. Так в работе [37] в рамках квазиклассического приближения были получены поляризационные поправки к сечениям многофотонного распада отрицательных ионов щелочных элементов и рассчитаны сечения двухфотонного и пятифотонного распада ионов Na~, К" и Rb~. В обзоре [38] детально рассмотрены теоретические методы описания нелинейных процессов в отрицательных ионах, основанные на одноэлек-тронном приближении, и определены области применимости рассматриваемых методов. Особое внимание уделено роли межэлсктронного корреляционного взаимодействия, при этом подчеркивается важность роли корре- ляционного взаимодействия в процессах с малой степенью нелинейности.
При исследовании взаимодействия отрицательных ионов с сильным лазерным полем для учета взаимодействия оптического электрона с атомом наиболее удобной является модель потенциала нулевого радиуса (ПНР) [39]. Простота и аналитичность этой модели позволяет существенно продвинуться в точном решении нестационарного уравнения Шредингера, что дает возможность последовательно изучить как качественные особенности поведения атомной системы в сильном поле, так и провести анализ частотной (а также зависимости от интенсивности падающей волны) и поляризационной зависимости эффектов, возникающих в сильном лазерном поле. Начиная с работы [40], в которой рассматривался двухфотонный фотоотрыв электронов от отрицательных ионов, модель короткодействующего потенциала неоднократно использовалась в задачах о взаимодействии атомных систем с электромагнитным полем. В [41, 42] рассматривался 2-х и 3-х фотонный распад отрицательного иона водорода, в [43, 42] ~ п-фотониый распад Н~ при п > 3. Первые вычисления на основе этой модели с использованием формализма комплексных квазиэнергий были выполнены в [31], [44]. В [35], [34] было показано, что предельным случаем точных результатов для мнимой части комплексной квазиэнергии в модели потенциала нулевого радиуса в сильной эллиптически поляризованной волне являются исходные уравнения приближения Келдыша. Существование плато в спектре генерации высоких гармоник и надпороговой ионизации было подтверждено на основе численных результатов для ПНР в [45, 46, 47]. В недавних работах [48, 36, 49] ПНР был успешно применен для анализа многофотонного распада отрицательных ионов в сильных электромагнитных полях.
Ограниченность метода потенциала нулевого радиуса состоит в том, что он позволяет рассмотреть только отрицательные ионы, у которых оптический электрон находится в начальном состоянии с нулевым орбитальным моментом; такая ситуация реализуется, например, в отрицательном ионе водорода. В работах [50, 51, 52] был развит метод, основанный на теории эффективного радиуса, позволяющий для короткодействующего потенциала рассматривать слабосвязанные состояния с ненулевым начальным орбитальным моментом (в частности, р-состояние) в поле статических возмущений. Используя указанный подход были вычислены ширина и сдвиг уровня в постоянном электрическом поле и поле циркулярно-поляризованной монохроматической лазерной волны.
В недавнем эксперименте по фотоотрыву слабосвязанного электрона иона F- сильным лазерным полем линейной поляризации [53] наблюдался надбарьерный распад иона с поглощением до 23 избыточных фотонов. Эксперимент интерпретировался на основе теории Келдыша, при этом были воспроизведены основные особенности наблюдавшегося спектра электронов, за исключением его высокоэнергетической части. Авторы отмечают, что в такой интерпретации никак не учитывались эффекты перерассеяния электронов на атомном остове и необходима модель, позволяющая провести такой учет. Таким образом, задача о воздействии сильного лазерного поля на отрицательные ионы с оптическим электроном в состоянии с ненулевым орбитальным моментом (например, ионы галогенов) является актуальной.
В настоящей диссертации для ее решения развит модельно-независимый подход, основанный на комбинации двух методов: известного из теории столкновений метода эффективного радиуса [33] и метода ККЭС [54]. Главная идея метода эффективного радиуса состоит в том, что при малых г, когда потенциалом взаимодействия с лазерным полем можно пренебречь по сравнению со связывающим потенциалом U(г), решение уравнения Шре-дингера представляется в универсальной форме, не зависящей от явного вида потенциала U(г). На больших расстояниях г можно не учитывать U(r) и решение уравнения Шредингера с асимптотикой расходящейся вол- ны можно построить как волновой пакет состояний свободного электрона в лазерном поле. Уравнение на квазиэнергию может быть получено сшиванием решений при малых и при больших г в некоторой точке г ру гС) где гс - радиус действия потенциала U(r). При этом реальное сшивание может быть заменено наложением на решение в области U(r) — 0 соответствующего граничного условия при малых г ^ гс, которое определяется видом волновой функции в области г < гс. Основное преимущество этого подхода заключается в том, что конечные соотношения не зависят от явного вида /(г), причем вся информация об атомном потенциале сосредоточена в двух эмпирических константах: длине рассеяния щ и эффективном радиусе г і (см. ниже уравнение (11)).
Если рассматривать поля с достаточно большими частотами (имеющими порядкок энергии связи электрона), то лазерное поле можно учитывать пертурбативно (конечно, напряженность ноля ограничена условием сходимости ряда теории возмущений). Тогда из точных уравнений на квазиэнергию е, которые в общем случае решаются только численно, удается получить важные аналитические результаты. А именно, удается найти аналитическое выражение для динамической поляризуемости (ДП) а, определяющей с точностью до членов ~ F2 сдвиг, расщепление, а также ионизационное уширение исходных невозмущенных, вырожденных по проекции углового момента та подуровней состояния с моментом / (в данной работе рассматривается случай / = 1), а также выражение для динамической гиперполяризуемости (ДГП) 7, которая определяет поправки ~ F4 к сдвигу, расщеплению и ионизационному уширению уровней, а в интервале частот \Eq\/2 Вопрос о поведении нейтральных водородоподобных атомов в сильном лазерном ноле имеет обширную историю изучения, но результаты, в большинстве случаев, относятся к основному и первым возбужденным состо- яниям. Характеристики ридберговских состояний в поле, которые важны при рассмотрении таких процессов, как резонансная ионизация, изучены менее подробно. При оптических частотах лазерного излучения, которые для ридберговских уровней значительно превышают энергию связи электрона, зачастую достаточно ограничиться результатами теории возмущений. При этом для монохроматического лазерного поля квазиэнергию можно представить в виде ряда по напряженности поля: Е = Е^ + Е + Е^+Е^\.., E^~Fk, (1) где Е^0' - энергия невозмущенного уровня, Я<2> = -laF\ Е^ = ~^F\ <6> = ~^7(6)^6. (2) Здесь а - ДП 7 = 7^ ~ ДГП четвертого порядка (далее просто ДГП), 7^ - ДГП шестого порядка. Поляризуемости водородоподобных состояний, определяющие главную по F поправку к энергии и ширине (при Ьш > \Е^'\ ) уровней, исследовались в десятках работ, начиная с середины 60-х годов, и к настоящему времени изучены достаточно детально (см., например, [54, 55, 56, 57] и ссылки в [57]). В частности, в недавней работе [57] получены замкнутые аналитические выражения для ДП произвольных состояний ), позволяющие достаточно просто проводить численные расчеты и исследовать асимптотическое поведение ДП, в том числе в ридберговской области спектра. ДГП и квадратичная по интенсивности поправка к энергии в (1) изучены значительно менее подробно, поскольку в этом случае расчеты не могут быть выполнены в аналитическом виде даже для основного состояния1, а результаты, полученные путем численных расчетов, весьма ограниченны. Большинство из них относится к основному состоянию и подпороговым значена исключением области малых частот, где 7 может быть разложена в сходящийся ряд по и/2 с рациональными коэффициентами [58, 59[. ниям частот [54, 55]. Хотя для случая кулоновского потенциала существуют методы прямого численного расчёта членов Л ' разложения (1) даже для значений к, значительно превышающих 4 (см., например, [60, 61]), их использование для высоковозбужденных состояний и/или надпороговых частот представляет значительные вычислительные трудности. Дисперсионная зависимость 7 при подпороговых и надпороговых частотах fou? ~ \Еп\ для основного и первых возбужденных состояний водорода исследована в [62], где показано, что типичная величина 7 в разных частотных интервалах может различаться на много порядков. Поправка л ' к настоящему времени практически не изучена, существуют лишь ряд результатов для основного Is - состояния атома водорода [60] для частот ниже порога ионизации. Таким образом, представляет интерес комплексный анализ ДГП и поправок шестого порядка для возбужденных состояний атома водорода (прежде всего в надпороговой области), оценка их значимости и выявлением специфических явлений, обусловленных их учетом. В настоящей работе на основе полученного в [63] (см. также [57]) специального представления для радиальной кулоновской функции Грина (КФГ) предложен метод, с помощью которого удается рассчитать ДГП возбужденных состояний водорода с главным квантовым числом п ~ 10, в том числе и для надпороговых частот, в десятки раз превышающих порог ионизации \Еп\ рассматриваемого состояния. Атомные параметры, описывающие многофотонные процессы в надпороговой области частот, представляют интерес в связи с использованием в последних экспериментах излучения высших (ультрафиолетовых) гармоник лазеров оптического диапазона, развитием методов нелинейной лазерной спектроскопии высоковозбужденных атомных уровней (для которых уже частоты оптических лазеров соответствуют далекой надпороговой области), а также реальной возможностью использования жесткого УФ излучения лазеров на свобод- ных электронах в атомных экспериментах. Надпороговые многофотонные переходы через виртуальные состояния континуума представляют особый интерес при анализе явления стабилизации (замедления) распада атома в высокочастотном поле с ростом интенсивности поля, обнаруженного экспериментально в 1993 г. [7]. Как показывают эксперименты по стабилизации водородоподобных 5^-состояний неона [64, 65], начало стабилизации соответствует пороговой области интенсивностей Ithr ~ (Ю13 — 10і4) Вт/см2, меньших внутриатомной (~ 3,5 х 1016 Вт/см2), так что Ithr можно оценить, анализируя мнимую часть последовательных членов разложения (1) (см. разделы 3.2.2 и 3.4.2). Диссертация состоит из трех глав и двух приложений. В главе 1 развивается модельно-независимый подход для состояний с / ф 0. В разделе 1.1 формулируется граничное условие на волновую функцию, причем, в отличие от метода ПНР, где волновая функция имеет известное поведение в начале координат, для состояний с I > 0 граничное условие формулируется при конечном (хотя и малом) значении координаты: г и гс. В разделе 1.2 получен общий вид волновой функции ККЭС для состояния с произвольным I и изложена общая схема получения уравнений на квазиэнергию є коэффициенты fy ' определяющие вид волновой функции при больших г. В разделе 1.3 рассматриваются частный случай слабосвязанного s-состояния на основе полученного общего метода, применимого для описания состояний с произвольным моментом I, и связь полученных результатов с моделью ПНР. В частности, отмечается, что наш метод уточняет результаты, даваемые методом ПНР, так как учитывается конечность радиуса действия потенциала. В разделах 1.4, 1.5 и 1.6 рассмотрены, соответственно; случаи циркулярно, линейно и эллиптически поляризованных полей и получены уравнения для є и /2V слабосвязанного р-состояния. В разделе 1.7 линейная и циркулярная иолязирации рассматриваются как предельные случаи эллиптической. В разделе 1.8 наш метод использован для анализа распада иона F" в сильном лазерном поле и интерпретации недавнего эксперимента [53]. Здесь же полученные результаты сравниваются с другими приближениями, используемыми для описания отрицательных ионов, в частности, с методом ПНР, приближением Келдыша и приближением перерассеяния. В главе 2 рассмотрен эффект Штарка для ^состояний в короткодействующем потенциале, получены алгебраические выражения для ДП и ДГП вырожденных подуровней с различными проекциями орбитального момента в поле произвольной (эллиптической) поляризации. Проведено численное сравнение полученных результатов с точными расчетами, позволяющее оценить скорость сходимости ряда теории возмущений и точность результатов, даваемых его двумя первыми членами. В главе 3 рассматривается изменение энергии ридберговских состоя ний в сильном лазерном иоле, частота которого может превышать порог ионизации, причем основное внимание уделяется поправкам четвертого и шестого порядка теории возмущений. В разделе 3.1 приведены общие фор мулы для расчета ДГП возбужденных состояний и изложен метод расчета составных радиальных МЭ, вычисление которых представляет основную сложность при анализе амплитуд многофотонных переходов. В разделе 3.2 приводятся результаты численных расчетов сдвига и ширины уровней энер гии возбужденных кулоновских состояний, обсуждается частотная зависи мость различия для случаев линейной и циркулярной поляризации поля и соотношение между вещественными и мнимыми частями, опреде ляющими поправки к положению и ширине уровней. На примере п = 5 показана существенная роль перемешивания состояний ) с различны ми I лазерным полем в области резонансов на промежуточных связанных состояниях. Рассмотрены линейные по интенсивности волны поправки к вероятности фотоэффекта и приведены оценки критических полей, соот- ветствующих началу стабилизации атомных уровней. В разделе 3.3 приведены общие формулы для расчета поправки возбужденных состояний и изложена схема расчета составных радиальных МЭ 6-го порядка. В разделе 3.4 приводятся численные значения поправ ки для возбужденных кулоновских состояний, а также рассмотрены поправки к вероятности ионизации и приведены уточненные оценки кри тических полей, соответствующих началу стабилизации атомных уровней. В приложении А выписан явный вид матричных элементов, входящих в выражение для ДГП слабосвязанного р-состояния. В приложении Б описаны детали алгоритма расчета составных МЭ для надпороговых частот, применимого к анализу произвольных переходов 4-го и 6-го порядка в дискретном спектре с точным учетом виртуальных состояний континуума. Так как уравнение (13) при малых г содержит неизвестные функции то эти функции необходимо добавить в общее решение уравнения (9) вне ямы. С одной стороны, это решение должно удовлетворять граничному условию в форме расходящейся волны при г — оо, следовательно оно может быть выражено через запаздывающую функцию Грина свободного электрона в лазерном поле G(r, t; г = 0, tf) умноженную на f( m (i?) и проинтегрированную по t1. Функция Грина G(r, ;r ,i ) определяется уравнением: и где F(i) = dF(t)/dt. Q(x) - функция Хєвисайда. С другой стороны, как видно из уравнения (13), необходимо, чтобы Фе(г, t) содержала сингулярные члены г У т(г) при г — 0. Введем вспомогательную функцию, где /(f) - некоторая периодическая функция. Тогда такие члены могут возникнуть после дифференцирования хе(г, r i 0 по г с последующей подстановки г = 0. Как видно из явного вида х, такое дифференцирование не меняет асимптотическое поведение при г —» оо. Идея дифференцирования функции Грина для получения сингулярных решений для слабосвязанного электрона с I 0 была впервые использована Демковым и Друкаревым [50] для статических потенциалов V(r) (см. также ссылки в [51, 52, 67]). Введем следующий дифференциальный оператор Уііт{уг) где ЭД,т(а) — a ,m(a), {a}i,m неприводимое тензорное произведение I тензоров первого ранга (например, г или Vr), которое не зависит от схемы связи операторов а [70]. Здесь используются стандартные определения и обозначения алгебры углового момента [71]; в частности, У (г) = у/[21 + 1)П/(Ш\){т}і т. Общий вид ККЭС Фе(г,), соответствующего начальному состоянию с /-симметрией, при г гс можно представить в следующем виде: Чтобы проверить граничное условие (13) для Фе в соотношении (20), заметим, что члены, явно зависящие от F в интеграле в (20), не дают вклад в разложение компоненты с угловым моментом I функции Фє(г, t) вплоть до членов порядка г . Сохраняя в тензорном произведении в подынтегральном выражении (20) только члены, содержащие г, получим Затем, после разложения f",m (t ) в ряд Фурье, используем известные результаты для интегралов, содержащих функцию Грина свободного электрона [69], позволяет получить разложение Фб(г, t) при малых г, сравнивая которое с выражением (13), получим уравнения для є и pl m\t). Для практических вычислений неприводимых тензорных произведений в уравнении (20), которые содержат вектор F(t), приведем несколько полезных равенств для тензорных произведений (19), содержащих векторы в циклическом базисе, e±i = f (ех ± геу)/\/2 и ео = ег: Так как явный вид Фе(г, t) вне ямы U(r) существенно зависит от значения орбитального момента I начального состояния и от симметрии оператора дипольного взаимодействия V(r, і) (то есть от состояния поляризации лазерного ноля), то общие результаты достаточно сложны. Поэтому ниже мы представляем результаты для некоторых наи на f( m (i?) и проинтегрированную по t1. Функция Грина G(r, ;r ,i ) определяется уравнением: и где F(i) = dF(t)/dt. Q(x) - функция Хєвисайда. С другой стороны, как видно из уравнения (13), необходимо, чтобы Фе(г, t) содержала сингулярные члены г У т(г) при г — 0. Введем вспомогательную функцию, где /(f) - некоторая периодическая функция. Тогда такие члены могут возникнуть после дифференцирования хе(г, r i 0 по г с последующей подстановки г = 0. Как видно из явного вида х, такое дифференцирование не меняет асимптотическое поведение при г —» оо. Идея дифференцирования функции Грина для получения сингулярных решений для слабосвязанного электрона с I 0 была впервые использована Демковым и Друкаревым [50] для статических потенциалов V(r) (см. также ссылки в [51, 52, 67]). Введем следующий дифференциальный оператор Уііт{уг) где ЭД,т(а) — a ,m(a), {a}i,m неприводимое тензорное произведение I тензоров первого ранга (например, г или Vr), которое не зависит от схемы связи операторов а [70]. Здесь используются стандартные определения и обозначения алгебры углового момента [71]; в частности, У (г) = у/[21 + 1)П/(Ш\){т}і т. Общий вид ККЭС Фе(г,), соответствующего начальному состоянию с /-симметрией, при г гс можно представить в следующем виде: Чтобы проверить граничное условие (13) для Фе в соотношении (20), заметим, что члены, явно зависящие от F в интеграле в (20), не дают вклад в разложение компоненты с угловым моментом I функции Фє(г, t) вплоть до членов порядка г . Сохраняя в тензорном произведении в подынтегральном выражении (20) только члены, содержащие г, получим Затем, после разложения f",m (t ) в ряд Фурье, используем известные результаты для интегралов, содержащих функцию Грина свободного электрона [69], позволяет получить разложение Фб(г, t) при малых г, сравнивая которое с выражением (13), получим уравнения для є и pl m\t). Для практических вычислений неприводимых тензорных произведений в уравнении (20), которые содержат вектор F(t), приведем несколько полезных равенств для тензорных произведений (19), содержащих векторы в циклическом базисе, e±i = f (ех более интересных случаев, а именно для случая s и р- состояний. При этом отметим, что общий алгоритм получения уравнений для є и f l m (t)} описанный выше (как и сами эти уравнения) может незначительно изменяться в зависимости от параметров задачи. В частности, магнитное квантовое число т начального состояния сохраняется (как полагалось в уравнениях выше) только в случае линейно поляризованного поля с вектором поляризации е = ez = є вдоль оси z. Для случая эллиптической и циркулярной поляризаций, подуровни с разными значениями т перемешиваются лазерным полем. Таким образом, в общем случае волновая функция ККЭС содержит суперпозицию решений (20) с различными значениями т и различными, зависящими от тга, функциями / ,m (f). Поэтому мы представляем соответствующий анализ р-состояний раздельно для случаев циркулярной и линейной поляризаций. В этом разделе мы показываем, как результаты для линейной и циркулярной поляризаций следуют из общих результатов для эллиптической поляризации. В случае линейной поляризации ( = 0), проекция углового момента на ось поляризации лазерного поля сохраняется, а система (70) становится вырожденной. В этом случае возможны два решения для функции y(i,±i) j. СИММетричное решение, f(1,+1 (t) = / " (i) — f +\t) и антисимметричное, f +1\i) = —f l\t) = f \t). Подставив оба этих решения в уравнения (70), мы получим две системы уравнений: где матричные элементы Мь и Mk,k определены уравнением (57), и коэффициенты Фурье /2fc определяют периодические функции f (t). Как и ожидалось, для случая = 0 из общей системы (70) получаем две независимые подсистемы (78) и (79), которые соответствуют случаю состояния в линейно поляризованном поле. Систему (70) можно упростить и для случая циркулярной поляризации = 1 (с использованием соотношений симметрии (76) и (77) результаты для случая = — 1 получаются простой заменой обозначений). Анализ матричных элементов Мк,к и Mk,w в уравнениях (71) и (72) показывает, что для частного случая = ±1, = 0 эти матричные элементы упрощаются и имеют следующий вид: где явный вид матричных элементов Mi(E,) и Мг(Е) задается уравнениями (46) и (47). Учитывая соотношение (80), легко увидеть, что система (70) для случая = +1 преобразуется в бесконечный набор независимых подсистем, каждая из которых содержит только два линейных уравнения: При подстановке fc = 0, уравнение (81) переходит в уравнение (44) в циркулярно поляризованном поле для подуровня с т = 1. Уравнение (44) для т Если известна квазиэнергия с-т и коэффициенты / , то амплитуда n-фотонного НПР Аъ (п) для электрона, вылетающего в направлении п, дается п-м коэффициентом Фурье функции Фе(г, t) при г —+ со [79]. В частности, для р-состояния получаем (в этом разделе мы рассматриваем линейно поляризованное поле): где -у/є -f nw — Мр и Jm(s, а,/3) - обобщенная функция Бесселя [22], которая удовлетворяет следующий соотношениям: Как видно из выражений (82) и (83), дифференциальное сечение те-фотонного распада зависит только от модуля проекции углового момента т начального состояния, которая в присутствии линейно поляризованного поля является сохраняющимся квантовым числом: Точные выражения (82)-(85) имеют достаточно простую структуру, что позволяет найти связь между нашими результатами и другими приближениями, используемыми для описания НПР отрицательных ионов. (і) Связь с моделью ПНР. Используя наш подход для описания начального s-состояния, мы получаем для е и / систему уравнений (32), содержащих го = « — 2CQ . Эта система совпадает с результатом в модели ПНР [34, 69] после замены г0 — 0 и Со —» С$нр — V2KL Это ожидаемый результат, так как связанное состояние в данном случае имеет вид фо(г) — Як;(г)Ут(г) (при 1 = 0) для любого г, то в пределе го — 0 сшивание решений внутри и вне потенциальной ямы может быть заменено хорошо известным из метода ПНР граничным условием для Фе(г, t) в начале координат. Следовательно, даже для 5-состояния наш подход более общий, чем модель ПНР, давая основания, исходя из теории эффективного радиуса, для введения асимптотического множителя Со при использовании метода ПНР для описания НПР реальных ионов, таких, как, например, Н (смотри [73] для случая фотораспада). (ii) Приближение Келдыша. Приближение Келдыша следует из нашего метода как предельный случай при є = EQ = — 1 и / = 5fc,o-Поэтому "точная" (то есть записанная через обобщенные функции Бесселя, без использования низкочастотного разложения) амплитуда в рамках приближения Келдыша дается членом Л {та) в (83). Численно наши результаты для приближения Келдыша при и 0.3 очень хорошо согласуются с результатами обычного приближения Келдыша [80], которое в рамках нашего метода соответствуют анализу седловой точки одномерного интегрального представления для обобщенных функций Бесселя. (iii) Приблиоюеиие перерассеяния первого порядка (ПП). Коэффициенты (83) с к ф 0 описывают эффекты, связанные с наличием связывающего потенциала (или, в квазиклассической терминологии, перерассеяния) в амплитуде НПР (82), которыми пренебрегают в приближении Келдыша. Их "интенсивность" определяется коэффициентами fyk Эллиптическая поляризация Случай т = О 4. Запишем систему уравнений (67) с точностью до членов F «)(I)+42,/ro) = o(a M + Е М(1)- (125) fc =0,±l Учитывая решение уравнений (104) и (105), получаем выражение для величины IZQ И, соответственно, ДГП у: где введено обозначение Из (131) видно, что вещественная часть ДГП при больших частотах ведет себя 1/w3 5, а мнимая 1/аА Интересно отметить, что при ш — со ДГП данного подуровня не зависят от степени эллиптичности падающей волны. Случай т = ±1 Запишем систему (70) с точностью до членов порядка F : 1),(+1)(1) + (2),(+1)(0) = г(1), rd), .(+1)(1) В этих уравнениях неизвестны три величины — коэффициенты /д и 7 . Для их определения к двум уравнениям (133) можно добавить дополнительное "соотношение ортогональности", которое следует из (77) и связывает коэффициенты f$ . Но можно не использовать его непосред-ственно, а умножить первое уравнение на JQ , а второе на /Q . Учитывая, что [41)-Мо(±0]/о±)(0) = М$(±)/ т, получаем следующую систему уравнений: ft 21 (1 21 согласно уравнению (95). Явный вид матричных элементов М , и Mk , , входящих в выражения (136), аналогичен виду матричных элементов М , (127)-(129) и приведен в приложении А. Так как во втором порядке теории возмущений уровни ст=±1 расщепились, и в результате мы получили два решения (для величины а и собственных векторов (/Q ,/Q )), то имеем и два значения ДПГ 7, для каждого из уже расщепленных уровня. Сл порядка F : 1),(+1)(1) + (2),(+1)(0) = г(1), rd), .(+1)(1) В этих уравнениях неизвестны три величины — коэффициенты /д и 7 . Для их определения к двум уравнениям (133) можно добавить дополнительное "соотношение ортогональности", которое следует из (77) и связывает коэффициенты f$ . Но можно не использовать его непосред-ственно, а умножить первое уравнение на JQ , а второе на /Q . Учитывая, что [41)-Мо(±0]/о±)(0) = М$(±)/ т, получаем следующую систему уравнений: ft 21 (1 21 согласно уравнению (95). Явный вид матричных элементов М , и Mk , , входящих в выражения (136), аналогичен виду матричных элементов М , (127)-(129) и приведен в приложении А. Так как во втором порядке теории возмущений уровни ст=±1 расщепились, и в результате мы получили два решения (для величины а и собственных векторов (/Q ,/Q )), то имеем и два значения ДПГ 7, для каждого из уже расщепленных уровня. Случай m = О В циркулярно поляризованном поле выражения для ДГП существенно упрощаются. Полагая I О, — 1, из случая эллиптически поляризованной волны (126) получаем следующее выражение для ДГП подуровня с т = 0: где MQ0 определена согласно (127). Примечательно, что в отличие от ДП подуровня с т — 0, которая не зависит от степени эллиптичности лазерной волны, ДГП этого подуровня уже различна для разных поляризаций. Случай т = ±1 Подстановка двух решений (116) и (117) во втором порядке теории возмущений в систему (133) с учетом, что для данного случая I = 0, = 1, сразу дает нам два значения ДГП (в одном случае из первого уравнения системы (133), в другом из второго); (140) (141) Для подуровней с т = ±1 в циркулярном поле несложно получить асимптотические выражения для ДГП: В случае линейно поляризованного поля выражения для ДГП непосред ственно получаются из случая эллиптической поляризации при — 1, = 0. В этом случае система (96), как отмечалось выше, имеет два решения: симметричное /0 = /о J (для подуровня с т = 0) и антисимметрич ное /Q = —/о (для подуровней с т = ±1). С учетом этого факта из выражения для ДГП в эллиптическом поле (135) получаем следующие выражения для ДГП в линейно поляризованном учай m = О В циркулярно поляризованном поле выражения для ДГП существенно упрощаются. Полагая I О, — 1, из случая эллиптически поляризованной волны (126) получаем следующее выражение для ДГП подуровня с т = 0: где MQ0 определена согласно (127). Примечательно, что в отличие от ДП подуровня с т — 0, которая не зависит от степени эллиптичности лазерной волны, ДГП этого подуровня уже различна для разных поляризаций. Случай т = ±1 Подстановка двух решений (116) и (117) во втором порядке теории возмущений в систему (133) с учетом, что для данного случая I = 0, = 1, сразу дает нам два значения ДГП (в одном случае из первого уравнения системы (133), в другом из второго); (140) (141) Для подуровней с т = ±1 в циркулярном поле несложно получить асимптотические выражения для ДГП: В случае линейно поляризованного поля выражения для ДГП непосред ственно получаются из случая эллиптической поляризации при — 1, = 0. В этом случае система (96), как отмечалось выше, имеет два решения: симметричное /0 = /о J (для подуровня с т = 0) и антисимметрич ное /Q = —/о (для подуровней с т = ±1). С учетом этого факта из выражения для ДГП в эллиптическом поле (135) получаем следующие выражения для ДГП в линейно поляризованном поле: Основную проблему при расчете ДГП для надпороговых значений частоты представляет вычисление радиальных МЭ 4-го порядка (168), Главным условием успешного проведения вычислений составных МЭ является наличие подходящего представления для радиальной части КФГ. Использование спектрального разложения полезно для общего анализа радиальных МЭ (исследования резонансной структуры, высокочастотной асимптотики, отделения реальной и мнимой части амплитуд переходов), однако совершенно неэффективно для численных расчетов из-за необходимости вычислять интеграл по непрерывному спектру, медленной сходимости суммы по дискретному спектру и компенсации вкладов от них в МЭ. Наиболее удобно для вычисления (168) использовать разложение КФГ по штурмовским функциям Ski{2r/v) [91] где Щ обобщенный полином Лагерра, v = {—2Е — гО)-1 2, ц — Zv, Z -заряд ядра. С помощью (176) МЭ (168), (170) представляются в виде рядов гипергеометрических полиномов, которые, однако, сходятся лишь при отрицательных энергетических параметрах функций Грина Е{ 0. При надпороговых значениях частот, когда хотя бы некоторые энергии функций Грина становятся положительными, сходимость штурмовских рядов для МЭ нарушается, так что их вычисление в этом случае представляет более сложную задачу. Для ее решения в [92] было предложено обобщенное штурмовское разложение КФГ, содержащее свободный параметр а, подходящим выбором которого удается обеспечить сходимость рядов для МЭ в том числе и при положительных энергиях КФГ ЄІ 0. С использованием указанного представления КФГ были рассчитаны нелинейные восприимчивости водородного атома при частотах, превышающих порог ионизации, в частности, ДГП 1$, 2s, 2р- состояний [62], хотя эффективность такого метода быстро падает с ростом частоты и главного квантового числа п исходного атомного состояния. Удобный вариант разложения КФГ по штурмовским функциям со свободными параметрами получен в [63, 57], где gi(E) была представлена в виде двойного ряда по функциям Зц(2г/а), Sk i{2r /a ): Коэффициенты gfcjj разложения (178) выражаются через гипергеометрические функции Гаусса 2 1 [93] и Аппеля Fi [94] (где Ar = min{&, & }, & = max{&, V}) и (178) совпадает с результатом работы [95]. При а — а = и разложение (178) переходит в (176). Важным обстоятельством, обеспечивающим значительную гибкость в использовании разложения (178) в практических приложениях, является факторизованная зависимость членов ряда от г, г и энергетического параметра v. Вся зависимость от энергии содержится в ядре gkk,(v;a, а ), которое не зависит от радиальных переменных. Рациональный выбор параметров а и а (в общем случае комплексных) в соответствии со спецификой конкретной задачи позволяет в ряде случаев кардинально упростить процедуру расчета МЭ. Представление (178) оказалось полезным в аналитических расчетах и позволило получить универсальные замкнутые выражения для МЭ двухфотонных связанно-связанных и связанно-свободных переходов из произвольного \nl)-состояния в виде линейной комбинации в общем случае 4-х величин кк, [57]. Как показано в Приложении Б, использование (178) оказывается весьма эффективным и для численных расчетов амплитуд многофотонных переходов более высоких порядков. С использованием алгоритма, изложенного в Приложении Bj были выполнены систематические расчеты ДГП состояний с п = 1 — 10. Для Is-, 2 s- и 2р-состояний имеется полное согласие с известными результатами в области частот ниже порога двухфотошой ионизации [62, 96], а в надпорото вой области полученные результаты существенно расширяют данные, приведенные в [62]. Контроль точности вычислений проводился также путем параллельного расчета 7 с оператором взаимодействия в Ар (151) и Fr (155) представлении, при этом результаты полностью совпали. Как следует из общих формул разд. 3.1, ДГП 7 (или квадратичная по интенсивности поправка Е к квазиэнергии) весьма сложным образом зависит как от квантовых чисел рассматриваемого атомного состояния, так и от частоты и поляризации световой волны. Среди общих свойств ДГП отметим полюсные и пороговые особенности в дисперсионной зависимости: однофотонные (третьего порядка) и двухфотонные (первого порядка) резонансы, а также типичные для потенциалов с кулоновской асимптотикой пороговые аномалии [68] при открытии каналов одно- и двухфотонной ионизации. ДГП невырожденных п/т)-состояниЙ, 7 = lnim- в линейном () и циркулярном (с) поле мы записываем через неприводимые части (которые пропорциональны величинам 7 ,с в (171)). Для сферически-симметричных 5-состояний ДГП определяется единственным параметром — скалярной ДГП, который, в отличие от ДП, оказывается разным для линейного и циркулярного поля В случае р-состояний 7n/m после отделения зависимости от магнитного квантового числа определяется скалярной {Уіс) , векторной (7с ) и тен зорной (7ІС) ДГП, аналогичными соответствующим неприводимым компонентами поляризуемости состояния \nlrn) [62]: где = ±1 - степень циркулярной поляризации световой волны. На рис. 8 представлена ДГП ls-состояния для линейно и циркулярно поляризованного поля при частотах выше порога однофотонной ионизации вплоть до значений w = 100jisJ = 50 а.е. (При ббльших частотах возникает вопрос о применимости дипольного приближения, поскольку порядок величины недипольных поправок определяется параметром (acj)2, а — 1/137). Приведенные данные демонстрируют расчетные возможности метода и особенности выхода ДГП на асимптотику в высокочастотной области. При построении графиков выделена асимптотика ДГП [62]Общий вид ККЭС для начального состояния /-симметрии
Линейная и циркулярная поляризации как предельные случаи эллиптической
Динамическая гиперполяризуемость
Расчет составных радиальных матричных элементов для виртуальных переходов в континуум
Похожие диссертации на Изменение энергии связанного состояния отрицательных ионов и ридберговских уровней атома водорода в сильном лазерном поле
