Содержание к диссертации
Введение
1 КЭД теория многозарядных ионов б
1.1 Современный статус физики МЗИ 6
1.2 Система единиц и обозначения 10
1.3 Применение методов КЭД к исследованию МЗИ 11
1.3.1 Электрон-позитронное поле 11
1.3.2 Электромагнитное поле 12
1.3.3 Взаимодействующие поля 15
1.3.4 Теорема Вика и правила Фейпмана 17
1.4 Классификация и отбор диаграмм 19
2 Модель динамического протона 21
2.1 Описание модели 21
2.2 Потенциал СТС в рамках МДП 23
3 Межэлектронное взаимодействие 26
3.1. Методы учета эффектов межэлсктронного взаимодействия 26
3.2 Вывод выражений для поправок на межэлектронкое взаимодействие . 27
4 Собственная энергия электрона 34
4.1 Вывод выражений для поправок на собственную энергию электрона . 34
4.2 Группировка диаграмм 36
4.3 Расчет в координатном представлении 41
4.4 Расчет в импульсном представлении 42
4.4.1 Поправки в волновую функцию 42
4.4.2 Вершина и приводимая часть 45
5 Результаты численных расчетов
Заключение
Приложения
- Теорема Вика и правила Фейпмана
- Методы учета эффектов межэлсктронного взаимодействия
- Вывод выражений для поправок на собственную энергию электрона
- Поправки в волновую функцию
Введение к работе
Актуальность работы
Многозарядные ионы (МЗИ) или тяжелые ионы-это ионы в которых совокупный заряд атсктронов много меньше заряда ядра в поле которого они движутся. Хорошим примером МЗИ служит литие-подобный висмут. Интерес к многозарядным ионам со стороны физиков, как теоретиков так и экспериментаторов, обусловлен следующими основными причинами. В МЗИ электроны движутся и очень сильном электрическом поле ядра и поэтому являются сильно релятивистскими. Для описания свойств таких ионов оказывается недостаточно уравнения Дирака, а уже требуются методы квантовой электродинамики (КЭД). Таким образом исследование МЗИ даст возможность проверки КЭД теории в сильных полях, недостижимых в настоящее время в лабораторных условиях. С другой стороны МЗИ это относительно простые системы, так как образованы небольшим числом частиц. Влияние структуры ядра в таких системах значительно и растет с ростом заряда ядра степенным образом. Таким образом, исследование этих систем дает дополнительную возможность уточнения наших знаний о структуре атомного ядра и в частности, паїучения значений физических величин, связанных с ядром, таких как магнитные и электрические моменты ядер. Настоящая диссертация посвящена расчету сверхтонкой структуры (СТС) уровней энергии в 2^Ві80+ (Li-подобном), 2ЦВ\п+ (В-подобном), 2^Bi76+ (N-подобіюм) ионах висмута. Цель работы
Развитие методов расчета и вывод выражений для поправок на собственную энергию электрона к СТС уровней многозарядных ионов 2gjBi с несколькими электронами и одним валентным электроном в состоянии 2рз. Выделение вкладов в СТС от магнитного дипольного, электрического квадрупольпого и магнитного октунольного моментов ядра №.
Развитие методов расчета и вывод выражений для поправок на межэлектрошюе вза- имодсйствие к СТС уровней многозарядных ионов 2^В\ с несколькими электронами и одним валентным атектропом в состоянии 2рз. Выделение вкладов в СТС от магнитного дипольного, азектрического квадрупольного и магнитного октупольиого моментов ядра
3. Численный расчет поправок к СТС на собственную энергию ачсктрона и межэлектронное взаимодействие для Li-подобного, В-подобного и N-нодобного ионов 2g-JBi. Выделение вкладов в СТС от магнитного дипольного, аіектрического квадрупольного и магнитного октуполыюго моментов ядра ^Вї. Научная новизна работы В диссертации получены следующие новые результаты:
Впервые рассчитана СТС возбужденных конфигураций Li-, В-подобных ионов висмута, а также основной конфигурации N-подобного иона висмута, содержащих один электрон в состоянии 2рз.
Впервые рассчитана поправка на собственную энергию электрона в состоянии 2pj для
Впервые произведен расчет межэлсктронного взаимодействия в ионах висмута, содержащих электроны в 2pj состоянии.
Впервые учтен вклад квадрупольного электрического и октупольного магнитного моментов ядра атома висмута в СТС висмута.
Научная и практическая ценность работы
Полученные результаты позволяют извлечь значение квадрупольного электрического момента ядра атома висмута из экспериментальных данных в том случае, если эксперименты с указанными ионами будут проведены. Апробация работы
Работа докладывалась на семинарах кафедры квантовой механики НИИФ СПбГУ и на семинаре ПИЯФ РАН. Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
1. К.В. Кошслсв, Л.Н. Лабзовский Сверхтопкая структура уровней энергии 2рз- состояния Li-t В- и N -подобных ионов :взВі. // Оптика и спектроскопия - 2003. - т.95, - стр.709
2. K.V, Koshelcv, L.N. Labzowsky, G. Plunien, G. Soff and P. Pyykko Hyperfine structure of the 2ps state of Li-like, B-like and N-iike 2g5jBi ions // Physical Review A - 2003. - vol.68. - p.052504-1-052504-7.
3. К. Koshclev, L. Labzowsky and I. Tupitsyn The interelectron interaction corrections to the hyperfine structure of the 2рз state in Li-like; Б-Нке and N-like ^ВІ ions // J. Phys. В -2004.- vol.37, -p.843-851. Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, четырех приложений и содержит 92 страницы, 10 рисунков и 5 таблиц. Список литературы содержит 90 наименований. Краткое содержание работы
В первой главе представлено современное состояние физики МЗИ, кратко изложен один из известных методов расчета КЭД поправок к уровням энергии в МЗИ. Во второй главе дано описание олночастичной модели ядра, содержащего один валентный протон, и построенного па се основе потенциала СТС. Главы 3 и 4 посвящены расчету поправок к СТС на межэлектропное взаимодействие и поправок на собственную энергию соответственно. В главе 5 проводится обсуждение полученных результатов. В Приложении А приведены формулы, полученные в результате интегрирования по углам. В Приложении В приведены регуляризоваїпіис выражения для операторов вершины и массового оператора в импульсном пространстве. В Приложении С описан метод численного решения уравнения Дирака. В Приложении D описан метод построения потепциала-локальнои версии потенциала Хартри-Фока-Дирака (ХФД).
Теорема Вика и правила Фейпмана
Поправки па межэлектрон нос взаимодействие играют существенную роль в системах, в которых присутствует больше одного электрона. Эти поправки дают, как правило, доминирующий вклад во вес наблюдаемые физические величины. Так как данная диссертация посвящена расчету СТС в таких системах как Li-подобный ион Ві804" в состоянии (1з)г2р, В-подобный ион Ві79 а состоянии (1з)г(2з)22рі и наконец N-подобішй ион 2gjBi76+ в состоянии (ls)a(2s)!(2pi)22p учет эффектов межэлектронпого взаимодействия является основной задачей.
К настоящему моменту разработано много методов учета эффектов межэлектронного взаимодействия. Одним из самых эффективных является метод Хартри-Фока-Дирака (ХФД) [73 или метод самосогласованного поля. Как показано в работе [64] при расчете СТС в МЗИ удобно сочетать метод КЭД теории возмущений и метод ХФД с целью учета поправок на межэлсктроппс взаимодействие высших порядков. Так как расчет этих поправок напрямую весьма сложен, метод предложенный в работе [64] предоставляет возможность приближенного учета вкладов высших поправок на межэлектрошюе взаимодействие. Суть метода сводится к тому, что в качестве исходного приближения используются атсктроны, двигающиеся не в Кулоновском паю ядра, а в некотором эффективном пате, учитывающем эффекты межэлектронпого взаимодействия и отличном от Кулонавского. Разумеется при использовании такого исходного приближения в теории возмущений должны появиться дополнительные диаграммы, компенсирующие разность между эффективным и Кулоновским полем в каждом порядке теории возмущений так, чтобы сумма вкладов всех порядков давала правильный результат, В низшем порядке теории возмущений примером таких диаграмм могут служить диаграммы, изображенные на Рис. G.
К сожалению использовать потенциал ХФД и расчетах затруднительно из-за того, что он калибровочно не инвариантен, поэтому приходится использовать те или иные приближения к нему. Одним из таких приближений является приближение локальной версии потенциала ХФД, построение которого описано в Приложении D. В диссертации эффекты межэлсктраппого взаимодействия рассчитаны двумя способами, а именно 1) в качество нулевого приближения используется самосогласованное поле (тем самым с самого начала частично учитываются эффекты межзлектронного взаимодействия) и 2) в качестве нулевого приближения используется Кулоновское поле. Разность значений, полученных этими двумя способами, может служить мерой точности расчета в целом.
Прежде всего выведем выражение для поправок на межэлектроппос взаимодействие для иона с выключенным СТС потенциалом. Графики Фейпмана, отвечающие этим поправкам, изображены иа Рис. 2, а также на Рис. 3. Как было указано в предыдущем разделе межэлектрон нос взаимодействие может быть рассчитано двумя способами. И тот и другой имеют в своей основе КЭД теорию возмущений! разница состоит лишь в том какое нулевое приближение выбирается. В том случае если нулевым приближением является приближение самосогласованного поля, в теории возмущений помимо диаграмм, изображенных на Рис. 3, фигурируют также диаграммы, изображенные на Рис. 2, описывающие компенсационные члены. В соответствии с формулой (1.3о) имеем выражение для матричного элемента S матрицы, соответствующего диаграмме, изображенной на Рис. 2
Суммирование по г и j распостраняется на весь спектр уравнения Дирака. Окончательно для интересующего нас вклада в энергию получаем обменными членами. Первый и третий члены соответствуют диаграммам (а, с) на Рис. 3, а второй и четвертый диаграммам (Ь, d) соответственно. Применяя формулы (1.42) к выражениям (3.2, 3.1) получаем выражение для поправки к СТС за счет межэлектронпого взаимодействия, отвечающее диаграммам, изображенным на Рис. 6 и Рис. Матричный элемент V;J определен как 1 = { jp) или 1 = - up [ ІР/ где р) волнован функция протона. Что касается матричных элементов «Шц, то они определяются как 5Uij = {i\SU\j), где 5U это разность между Кулоковским и потенциалом-локальной версией потенциала ХФД. Символ v обозначает валентное состояние 2pj . Суммирование по і распостраняется на весь спектр уравнения Дирака и индексы а,Ь пробегают состояния электронов из замкнутых оболочек как показано па Рис. 7. Суммирование по w производится но всем значениям магнитных квантовых чисел для состояния 2ps. Наконец использованы сокращения G (E) = jjjjj и 5Е = Ev — Ей, соответственно, 2 обозначают одно-элсктронные энергии Дирака. В формуле (3.5) также подразумевается, что волновые функции протона и электрона с помощью векторного сложения связаны в волновую функцию атома, соответствующую полному моменту F и проекции М. Прежде чем дать развернутое выражение формулы (3.5), пронумеруем различные члены в формуле и сделаем ряд замечаний относительно их вклада в СТС. Рассмотрим шесть слагаемых, заключенные в первой паре фигурных скобок и присвоим им номера 1, 2, 9, 5, 8, 10. Аналогичным образом слагаемые, заключенные во второй паре фигурных скобок, получают номера 3,4, 7, G. Члены с производными по сноси структуре подобны слагаемым 2 и А соответственно и номеров не получают. Во всех случаях {то есть для дипольного магнитного, квадрупольного электрического и октупольного магнитного моментов) члены с номерами 5, 8, 7, 6, 10 дают в СТС тот же самый вклад, что и члены 1, 2, 3, 4, 9 соответственно. Поэтому в дальнейшем будут даны развернутые выражения только для слагаемых под номерами 1, 2, 3, 4, 9. Как было отмечено выше члены с производными по своей структуре подобны слагаемым 2, 4 и поэтому для них развернутые выражения также даны не будут. Развернутое выражение для формулы (3.5) будет приведено только для случая дипольного магнитного момента, использование его для вычисления оклада в СТС квадрупольного аіектрического момента требует незначительной модификации (см. формулу 2.17).
Методы учета эффектов межэлсктронного взаимодействия
Все полученные в диссертации результаты представлены в Таблицах 1-5. В Таблице 1 даны рассчитанные значения моментов для МДП, а также значения экспериментальных моментов, на которые нормируются модельные моменты с целью удобства сравнения с данными опыта. В Таблице 2 представлены данные расчетов поправок к СТС на собственную энергию, который производился но формулам (4.7) и (4.10). В Таблицах 3-5 представлены данные расчетов поправок к СТС для Li-, В-, N-ііодобпого ионов соответственно. В Таблицах 3-5 собраны вес поправки, вычисленные в диссертации, а также добавлены поправки на поляризацию вакуума, которые рассчитывались ранее в [65]. Индексы cud обозначают расчет где в качестве нулевого приближения выбран Кулоновский потенциал и потенциал ХФД (локальная версия) соответственно. Первый порядок рассчитывался по формулам (2.16) и (2.17) для вклада дипольного магнитного и квадрупольного электрического потенциалов соответственно. Вклад эффектов мсэкэлектронпого взаимодействия был вычислен по формуле (3.5). Точность расчета для всех поправок за исключением поправок па собственную энергию меньше единицы в последнем знаке, для поправок на собственную энергию для случая дипольного магнитного потенциала погрешность расчета имеет величину ±2 в последнем знаке (погрешность цифры, данной в Таблицах 3-5), погрешность поправок па собственную энергию для случая квадруполыгого электрического момента меньше единицы в последнем знаке. Источниками этой погрешности являются приближенно оцененные вклады высших парциальных воли (смотри секцию 4.3), а также численная нестабильность при вычислении вкладов от виртуальных фотонов с большим импульсом, что происходит вследствии того, что в СТС дают существенный вклад состояния электронов с большими энергиями, волновые функции которых плохо воспроизводятся по методу конечного базиса [84), используемого в данной диссертации. При расчетах по методу конечного базиса применялись сплайны шестого порядка и использовались сетки (для построения сплайнов) с числом точек от 100 до ISO. Представленные в Таблицах 3-5 данные (данные расчетов поправок на межэлектронпое взаимодействие) позволяют сделать вывод о хорошей сходимости ряда теории возмущений и относительно небольшом вкладе высших поправок на межэлектронное взаимодействие, что подтверждает идеи, высказанные в работе [64].
Для сравнения, в Таблицах 3-5 приведены значения СТС расщепления первого порядка, рассчитанного с точными функциями ХФД [65]. Таким образом разность СТС расщепления первого порядка из работы (05) и из Таблиц 3-5 (помеченного индексом d) служит мерой того насколько близка локальная версия к точному потенциалу ХФД. Использование потенциала ХФД (локальной версии) в нулевом приближении заметно улучшает сходимость, что иллюстрируется числами S?fs — 5і/3, представляющими собой разность поправок, полученных исходя из нулевого приближения Кулоновского и ХФД (локальной версии) соответственно, также приведенными в Таблицах 3-5. Упомянутая выше разность может служить мерой точности расчета в целом, так как показывает влияние не учтенных поправок на межэлектроннос взаимодействие. Исходя из этой точности нужно отмстить, что вклад поправок на собственную энергию выше точности расчета, причем не только для случая дипольного магнитного момента, но и для электрического квадруполыюго момента и поэтому учет поправок на собственную энергию является существенным для извлечения момента Q из экспериментальных данных. Касаясь вопроса об относительной величине вкладов поправок на собственную энергию и поляризацию вакуума нужно отметить, что вклад поправок на собственную энергию приблизительно в пятьдесят раз больше вклада поправок на поляризацию вакуума. Причиной такого значительного различия (для основного состояния отношение равно двум) является не локальный характер оператора собственной энергии: несмотря па малую плотность состояния 2рі на ядре этот оператор, в отличие от локального оператора поляризации вакуума, дает все же заметный вклад.
Наконец, скажем нескат ько слов о методе извлечения значений моментов из экспериментальных данных. Наиболее простой способ это решение системы линейных уравнений Имея расщепления между уровнями СТС с F = Fi,F2,F3 мы можем найти моменты из Основные положения, выносимые на защиту 1. Впервые рассчитана СТС возбужденных конфигураций Li-, В-подобиых ионов висмута, а также основная конфигурация N-подобного иона висмута с валентным протоном в состоянии 2рз. 2. Впервые учтен вклад квадрупаїьного электрического и октупаїьного магнитного моментов в СТС висмута. 3. Впервые рассчитана поправка на собственную энергию к СТС в 2pj состоянии. 4. Результаты дают возможность нового определения электрического киадруполыюго момента ядра висмута, при условии что СТС ионов висмута будет измерена экспериментально. Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору Лабзовскому Леонтию Нахи-мовичу за постоянное внимание и помощь в работе. В этом приложении приведены выражения для угловых .матричных элементов, фигурирующих в формулах. Можно сказать, что приведенные ниже формулы получились в результате интегрирования по углам соответствующих выражений. Интегрирование по углам осуществлялось методами квантовой теории углового момента 81. Все определения объектов, используемых для записи формул (nj-символы и т.д.), такие же как и в [81]. Напомним лишь два определения, а именно fl(ji32—3n) = y/{2ji + 1)(2,72 + 1) (2j„ + 1), символ {abc} равен единице, если а,Ь,с удовлетворяют условию треугольника и нулю в противном случае. Формулы Л.1 и Л.2 необходимы при расчете вкладов в СТС низшего порядка за счет дипольного магнитного и квадруполыюго электрического моментов, соответственно.
Вывод выражений для поправок на собственную энергию электрона
Здесь символ хроналогического произведения Т означает упорядочение по времени. Для двух операторов хронологическое произведение определялось ранее в формулах (1.5, 1.20). Формализм 5-матрицы был развит для нужд теории рассеяния, поэтому в рамках этого формализма частицы в начальном и конечном состояниях предполагаются невзаимодействующими друг с другом. Очевидно также, что частицы в атомах взаимодействуют друг с другом вес время. Таким образом для получения значений тех или иных физических величин, связанных с атомом, необходимы специальные методы. Одним из таких методов является адиабатический формализм Гелл-Манпа (Gcll-Mann) и Лоу (Lo\v) [74], усовершенствованный Сыочером (Suchcr) [75]. Суть метода состоит в модификации гамильтониана взаимодействия согласно формуле где 7 0 адиабатический параметр. Легко видеть, что эта модификация означает, что взаимодействие полностью выключено в моменты времени t = — сю и ( = со и полностью включено в момент времени I = 0. В конце расчетов с адиабатической -матрицей необходимо устремить 7 к нулю. Этот предел означает, что взаимодействие полностью включено все время. В рамках адиабатического формализма поправка к уровню энергии атома дается формулой полученной Сыочером [75]. Здесь (Ф) обозначает вектор рассматриваемого состояния атома. Раскладывая выражение в правой части формулы (1-34) по степеням заряда е и ограничиваясь членами не выше третьего порядка получаем где введено обозначение (S ) = (Ф \ё\п Фд), а индекс п означает порядок е. Необходимо различать неприводимые и приводимые матричные элементы в формуле (1.35). Неприводимый матричный элемент это матричный атемент, который не содержит частей, которые могут быть записаны как произведение матричных элементов более низкого порядка. Таким образом неприводимыми матричными элементами могут быть только первые члены в каждой квадратной скобке в формуле (1.35), но даже в них могут встречаться приводимые части. Трудность вычисления приводимых матричных элементов, а также приводимых частей неприводимых матричных элементов состоит в том, что взятые по отдельности они расходятся при стремлении адиабатического параметра у к нулю. Конечный предел имеет место, в общем случае, только при рассмотрении одновременно всей совокупности матричных элементов, отвечающих рассматриваемому порядку теории возмущений. Для неприводимых частей неприводимых матричных элементов существует простая формула, позволяющая сделать предельный переход с самого начала до вычислений. Таким образом поправка к уровню энергии, даваемая неприводимой частью неприводимого матричного элемента в я-ом порядке теории возмущений, выражается формулой Для удобства обращения с матричным элементом Л/ " используются диаграммная техника, правила которой (правила Фейнмана), будут сформулированы далее. Теорема Вика (Wick) [7GJ позволяет представить хронологические произведения операторов поля в виде суммы нормальных произведений. Нормальное произведение операторов это такое произведение операторов при котором все операторы уничтожения частиц стоят справо от операторов рождения. Удобство перехода от хронологических произведений к нормальным состоит в том, что при расчетах матричных элементов не фигурируют явно операторы рождения и уничтожения виртуальных частиц. Перед тем как сформулировать теорему Вика дадим определение свертки двух операторов поля, а именно, свертка двух операторов А и В определяется как разность их хронологического и нормального произведений Причем последнее равенство возникает благодаря тому, что действие операторов уничтожения частиц на вакуум дает ноль. Важно отмстить, что свертка операторов уже не является оператором, а представляет собой комплексное число. Теорема Вика является обобщением написанной выше формули (1.38) и формулируется следующим образом, а именно, хроиаюгичсскос произведение операторов поля равно сумме их нормальных произведений со всевозможными свертками Таким образом теорема Вика позволяет представить S матрицу в виде суммы нормальных произведений операторов поли. Каждому нормальному произведению однозначно сопоставляется графическое изображение (диаграмма Фейнмана), элементы которого соответствуют определенным математическим объектам. Иными словами, имея диаграмму, легко написать соответствующее ей нормальное произведение. Формулируемые далее правила Фейнмана [771, связывающие диаграммы и соответствующие нормальные произведения, представляют собой удобный инструмент исследования рядов теории возмущений. Сдвиг энергии для неприводимого матричного элемента может быть выражен через амплитуду Фейнмана М как где n-порядок теории возмущений, а индекс j обозначает рассматриваемый процесс. Для вычисления вклада приводимого матричного элемента необходимо использовать формулу (1.35). Отдельные матричные элементы и в этом случае выражаются через амплитуды Фейнмана, но уже зависящие от адиабатического параметра 7 Для получения амплитуды Фейнмана необходимо произвести следующие действия: Для каждой выходящей электронной линии написать Ф+(х) Дія каждой входящей электронной линии Ф(х) Дтя каждой вершины (точка в которой сходятся две электронные и одна фотонная линии) ї еа" и для приводимого элемента дополнительный множитель 2л"Д7(2і — z$ — г2) (для неприводимого элемента имеет место закон сохранения энергии 2j = Jr3 + .). Для внешних электронных линий z заменяется на одпоэлектрои-иую энергию состояния, ват новая функция которого сопоставляется этой липни. Для потенциала, рассматриваемого как возмущение, Л" (х), причем параметр г = 0. Для внутренней фотонной ЛИНИИ iDp„(X2 X\,z) Для внутренней электронной ЛИНИИ tS(x2,X,z) Произвести интегрирование по всем хк: неременным, суммирование по спинорным индексам и индексам поляризации фотонов, приписать дополнительный множитель (2л")-1 для каждого нетривиального интегрирования по z.
Поправки в волновую функцию
В этом приложении собраны формулы, позволяющие вычислить вклады диаграмм, заключающих в себе операторы вершины и собственной энергии. Расчет подобных выражений производится в импульсном пространстве после регуляризации. В данной диссертации используется размерная регуляризация [85J, Основная идея метода размерной регуляризации заключается в том, что расходящиеся выражения записываются в терминах пространства меньшей размерности D (точнее реальные расходящиеся выражения явлаются пределом регуляризовапиых при стремлении безразмерного параметра D к четырем, то есть к реальной размерности физического пространства) и тем самым выражения регуляризуются то есть становятся конечными при любом D меньше четырех. Вводя обозначение є = 4 — D и устремляя є к нулю можно выделить расходящееся слагаемое из интересующего оператора (оно будет выглядеть как логарифм или как целая отрицательная степень параметра регуляризации є). Вес регуляризованные выражения для операторов в этом приложсииии даются без вывода (который имеется в работах [82,86]). Перенормированный по массе оператор собственной энергии электрона имеет вид где Д = 2/е — 7Е +1п47г- ультрафиолетово расходящаяся часть диаграммы (при стремлении є к нулю), а 7Е постоянная Эйлера. В формуле, также, использовано обозмачение
Важно отмстить, что величина р является положительна определенной для связанных электронов. Для расчета также необходимо знать выражение для производной от массового оператора по энергии (В.б).
Завершая раздел, посвященный перенормировке, скажем несколько слов о сокращении ультрафиолетовых расходимостей. Как было сказано ранее, фактически перенормировка происходит в три этапа. На первом этапе диаграммы группируются так, чтобы вклад группы вцелом был конечен {то есть вес расходимости внутри группы должны сокращаться), затем производится регуляризация и сокращение расходимостей. D качестве примера рассмотрим сокращение расходимостей для диаграмм (с) и (d), изображенных на Рис. 10. В состав этих диаграмм входят операторы вершины и производной от оператора собственной энергии электрона. Как было указано ранее расходящимися частями этих операторов являются только члены, содержащие Д. Используя явный вид регул я-ризоваииых операторов производной от собственной энергии электрона (В.З) и вершины (В.4), а также учитывая, что оператор производной от собственной энергии электрона домножяется на АЕ1, легко видеть, что члены содержащие ультрафиолетовые расходимости действительно сокращаются. Подобным образом можно показать, что сокращаются ультрафиапетовые расходимости в группе диаграмм, описывающих поправки в волновую функцию.
Данное приложение посвящено краткому обзору метода численного решения уравнения Днрака (1.2), а именно метода конечного базиса [84J. Суть метода сводится к тому, что иол новая функция аіектрона представляется в виде суммы конечного числа базисных функций и таким образом задача нахождения собственных функций уравнения Дирака н собственных значений, отвечающих этим функциям, трансформируется в задачу нахождения собственных функции и собственных значений » рамках обобщенной матричной задачи на собственные значения, которая в свою очередь может быть легко решена численными методами линейной алгебры.
Волновая функция стационарного уравнения Дирака для электрона, двигающегося в сферически симметричном нате, может быть представлена в виде (73 где Pnk,Qnk радиальные ваиювые функции, a XkmiX-km сферические спиноры [81] и наконец буквами п,к,т обозначены квантовые числа главное квантовое число, угловое квантовое число и проекции полного момента на ось г, соответственно. Угловое квантовое число А: связано со значением полного момента электрона j и его орбитальным моментом / следующими формулами Таким образом, поскачьку угловая часть волновой функции известна, определению подлежат только радиальные компоненты. В рамках метода конечного базиса решение ищется не во всем пространстве, а лишь и его части, точнее в области ограниченной сферой некоторого радиуса Л, имеющей центр в начале координат.
