Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Современное состояние проблемы расчета изотопического сдвига и сверхтонкой структуры уровней энергий в теории атом 10
1.1. Изотопический сдвиг. Эффект отдачи 10
1.2. Изотопический сдвиг. Эффект объема 18
1.3. Сверхтонкая структура 24
ГЛАВА 2. Поправки на конечную массу ядра в релятивистской теории атом 31
2.1. Вывод модифицированного уравнения Дирака 31
2.2. Нулевое приближение 35
2.3. Поправки, к энергии от диаграмм с кулоновскими фотонами 39
2.4. Поправки к энергии от диаграмм с одним поперечным, фотоном 45
2.5. Поправки к энергии от диаграмм с двумя поперечными фотонами 51
ГЛАВА 3. Учение конечного размера ядра в релятивистской теории атома 55
3.1. Изотопический сдвиг одноэлектронного атома 55
3.2. Поправки на конечный размер ядра к энергии межэлектронного взаимодействия 62
3.3. Релятивистская кулоновская функция Грина с учетом конечного размера ядра 64
ГЛАВА 4. Расчет сверхтонкой структуры уровней энергии в релятивистской теории ионов 71
4.1. Сверхтонкая структура в случае точечного ядра 71
4.2. Поправка Розенталь-Брейта-Кроуфорда-Шавлова 73
4.3. Поправка Бора-Вайскопфа 80
ГЛАВА 5. Гипервириальные соотношения для уравнения дирака и их применение к вычислению радиальных интегралов в случае кулоновского потенциала . 83
5.1. Гипервириальные соотношения 83
5.2. Вычисление интегралов 85
Заключение v 89
Литература
- Изотопический сдвиг. Эффект объема
- Поправки, к энергии от диаграмм с кулоновскими фотонами
- Поправки на конечный размер ядра к энергии межэлектронного взаимодействия
- Поправка Розенталь-Брейта-Кроуфорда-Шавлова
Изотопический сдвиг. Эффект объема
Таким образом, для решения нашей задачи представляется удобным взять за основу уравнение (І.ІЗ). К тому же, как указано в [ю], можно воспользоваться удобным методом построения квазипотенциала с помощью элементов матрицы рассеяния на массовой поверхности [9,26].
Во второй главе настоящей диссертации дан другой вывод уравнения (і.ІЗ), В котором, в отличие от работы [Ю], времена частиц приравниваются. Затем на основе этого уравнения получены замкнутые выражения для всех массовых поправок в первом порядке по TJ7- без разложения по ofd . Полученные выражения сравниваются с результатами работы [8J.
Изотопический сдвиг. Эффект объема. Распределение заряда по объему ядра приводит, очевидно, к ослаблению кулоновского взаимодействия ядра с электронами, которые уже не будут подвергаться на самых малых расстояниях воздействию полного заряда, сосредоточенного в точке. Сглаживание слишком быстрого возрастания абсолютного значения кулоновского потенциала при уменьшении 1 / 1 - радиус электрона относительно центра ядра/ несомненно соответствует действительности. Наглядно говоря, оно приводит к уменьшению притяжения к ядру, а следовательно, к уменьшению энергии связи.
Вне ядра при Z Ко / А-о - радиус ядра/ потенциальная энергия электрона будет по-прежнему иметь кулоновский вид при кулоновский потенциал будет модифицирован в сторону ослабления слишком быстрого возрастания абсолютного значения при Z-+ 0 , Для задания потенциала внутри ядра мы должны опираться на ту или иную /пока что приближенную/ модель ядра. Приближенный характер той или иной модели обусловлен, во-первых, отсутствием точного закона ядерных сил, во-вторых, даже при наличии подобного закона неизбежно применение приближенных методов в рассматриваемой задаче многих тел. Можно, например, использовать для предварительного анализа приближенную картину равномерного распределения заряда по объему ядра, что является разумным приближением для средних ядер. Тогда при 1 - К0 имеем
В тяжелых ядрах имеет место тенденция к вытеснению заряда на поверхность. В крайнем случае чисто поверхностного распределе ния заряда потенциал внутри ядра будет постоянным
Остановившись на том или ином наиболее разумном для данного атома приближенном виде распределения заряда по объему ядра, а следовательно, и потенциальной энергии у/fit) ПРИ " 0 » можно перейти к определению сдвига энергии электрона, обусловленного, конечным размером ядра. При этом, ввиду того,; что распределение заряда может меняться от ядра к ядру, а также с развитием теории ядерных сил вид распределения заряда будет уточняться, хотелось бы иметь достаточно точные аналитические формулы для изотопического сдвига, в которые, зависимость от конкретного распределения заряда по ядру входит простым образом.
Самый простой метод расчета эффекта объема заключается в применении; метода обычной теории возмущений. Тогда для изменения энергии электрона имеем где тМ - волновая функция электрона в кулоновском поле ядра. Хотя интегрирование здесь формально распространено по всему пространству, но фактически подинтегральное выражение отлично от нуля лишь внутри объема ядра. Б нерелятивистской теории расчет по формуле (Ї.І8) для о - состояний / только для этих состояний изотопический сдвиг является существенным в нерелятивистской теории/ дает [16] есть протонный средний квадратичный радиус ядра, $ - плотность распределения протонов в ядре, нормированная условием \ а 1 - 1 . Релятивистское вычисление изотопического сдвига по Сі.18) было проведено Рака [S7j, а также Брейтом и Розенталь J28J. Для S - состояний была получена формула
Поправки, к энергии от диаграмм с кулоновскими фотонами
Как будет показано в следующем разделе, Vc не зависит от Ь и является просто оператором; кулоновского потенциала. Уравне -ние (2.18) в нулевом приближении переходит в уравнение Дирака для электрона в кулоновском поле ядра
В нулевом порядке по М нужно оставить только первый член в: (2.22). Четвертый член соответствует отрицательно-частотным состояниям ядра и будет давать вклад, также как второй и третий члены, порядка У/Ц . Пятый и шестой, как и все, последующие члены, будут давать вклад не ниже чем [m/Ml .
Нам понадобится также выражение для фотонного пропагато-ра в кулоновской калибровке Везде в дальнейшем пунктирной линией будем обозначать кулонов-ский фотон, волнистой - брейтовский. Возможные инфракрасные; расходимости устраним обычным способом, вводя малую массу фотона л
Рассмотрим вклад в амплитуду от всевозможных диаграмм порядка Л только с кулоновскими фотонами в нулевом порядке по т/1 \ I диаграммы с поперечными фотонами в этом порядке вклада не дают/ /рис.1/
В первом:порядке.- по /$\ в диаграммах с кулоновскими фотонами нужно учесть первый и третий члены в разложении (2.22). Амплитуда рассеяния в Л -м порядке по % дается выражением (2.24), в котором Выполним, суммирование: в этом выражении. Рассмотрим первый член
Поправка суд является главной в нерелятивистском пределе. Вычислим ее на дираковских волновых функциях. Преобразуя и используя формулы для средних значений 1 и / / / 5 - целое число/, приведенные в пятом разделе настоящей работы, получим / Л1 - і /: (2.39) где полный момент электрона, I - орбитальный момент электрона, tit - радиальное квантовое число, главное квантовое число.
Поправка уи в низшем порядке, по дает поправку t Ьсс t вычисленную Солпитером [20J , /если последнюю умножить Полученными выражениями исчерпываются все массовые поправки первого порядка по и нулевого порядка по С
При сравнении наших результатов с результатами работы [8] обнаруживается следующее. Часть полученных наїли поправок содержится в этой работе. Но кроме этого у нас есть дополнительные члены, отсутствующие в [8І, а именно, в [ё] не содержится поправок, соответствующих формулам (2.35) и (2.53). В случае невырожденного /основного/ состояния поправки от этих членов /(2.35),(2.53)/ равны нулю, и наши результаты совпадут с результатами работы [8J /если исправить сделанные там технические погрешности/. На наш взгляд, отличие наших результатов; от полученных в [в]объясняется недостаточной обоснованностью связи полюсов, функции Грина электрона, изученной в [8], с; полюсами полной функции Грина.
Отметим также, что, в отличие от [8], мы не пытались в формулах (2.38),(2.56),(2.65) выполнить интегрирование по вещественной оси 0 , так как для непосредственного вычисления этих поправок, на наш взгляд, лучше перейти в указанных формулах от интегрирования по вещественной оси; 0 к интегрированию по контуру в комплексной плоскости, выбранному соот-ветсивующим образом.
Это выражение имеет ту же точность, что и формула (1.23),, найденная в [I2J. Нетрудно оценить относительную точность формул -58 (3.12)-(3.14). При выводе (3.12)-(3.13) мы пренебрегли членами порядка f J , а при выводе (3.14) членами к0 . Параметр » фигурирующий в (3.12)-(3.14), следует вычислять по формуле (3.9) при Ь я Ь0 /заметим, что это не ухудшает точности формул (3.12)-0.14)/. Разумеется, формулами (3.12)-(З.ІЗ) имеет смысл пользоваться тогда, когда рассматривается достаточно реальная модель ядра. В остальных случаях достаточно ограничиться вычислением по формуле (3.14).
Поправки на конечный размер ядра к энергии межэлектронного взаимодействия
В ряде задач релятивистской теории атома и особенно в теории многозарядных ионов возникает необходимость использовать релятивистскую кулоновскую функцию Грина [74]. При этом для достаточно больших зарядов ядра становится необходимым учет конечного размера ядра.
В этом параграфе мы получим удобное для расчетов штур-мовское разложение релятивистской кулоновской функции Грина с учетом конечного размера ядра. При этом ограничимся значениями энергии \Е\ { . Дираковская функция Грина обычно определяется уравнением Потенциал ядра у имеет вид (З.і). Рассмотрим штурмовскую задачу на собственные значения Спектр собственных значений определяется требованием конечности решений на отрезке [0, с1 3) . В данном случае (1Е1 {) он дискретен. Функция Грина представляется рядом /Приложение II/ Нашей задачей является нахождение собственных чисел и собственных функций уравнения (3.35). В силу того, что оператор в круглых скобках уравнения (3.35) коммутирует с оператором полного момента количества движения, можно искать решение в виде - шаровые спиноры, явный вид которых дан в J75]. Для радиальных частей О , j получим урав нения Решения уравнения (3.40) выбираем в виде Функции Уиттекера, убывающие на бесконечности;. С і -константы, связанные соотношением Обозначим функции, связанные с при Х4 К0 через %А , %2 Из условия непрерывности в точке 7.= Кв получим систему уравнений Прежде всего найдем собственные числа с . Условие разрешимости системы (3.41) дает уравнение для определения где " / - . Уравнение (3.42) преобразуется к виду где F вырожденная гипергеометрическая функция. Из этого уравнения можно заметить, что при А0 — О и подставим в (3.43). Пренебрегая членами порядка, (д ) / считаем, что поправка на конечный размер ядра мала /, получим при П = 0 (Х 0) /Приложение I/ величина J определяется отношением %2(И )4с(ІЦпРи =( . Если в правых частях (3.45)-(3.46) ограничиться первым порядком по я о , то для Д находим
Для модели ядра II решение при t К можно представить следующим образом: где f/hsfns 0 при П -0 ; jjt, i при n—(4+%)?0tl fn=d при П=-(1-ф0 ; ХЕ - „4 д(4-)„ Окончательно для функции Грина имеем / jt\ " { / где сля определяется формулами (3.44)-(3.48), тпзст формулами (3.37), (3.49)-(3.52). В пределе И0— 0 (3.53) совпадает с выражением для функции Грина в поле точечного ядра [76].
При расчетах матричных элементов стационарной теории возмущений используется так называемая редуцированная функция энергия связанного состояния injlrrt . Согласно работам J77, 78] редуцированную функцию Грина удобно представить в виде штрих у знака суммы означает, что суммирование идет по всем значениям К,
Сверхтонкая структура в случае точечного ядра. Релятивистское выражение Ферми-Брейта для оператора сверхтонкого магнитного взаимодействия имеет вид [її] ty, - \ЯГ Щ] . (4-І) где fi - магнитный момент ядра, Z - радиус-вектор электрона. Величина сверхтонкого расщепления уровней энергии одноэлектронного атома получается при усреднении оператора \$и с волновой функцией где тімх - волновая функция ядра; I , Мі - значения спина ядра и его проекция; rnjCm - дираковская волновая функция электрона в кулоновском поле ядра; р , Мр - полный момент атома и его проекция. После усреднения по угловым переменным получим где Jil0 - ядерный магнетон, 01 - гиромагнитный множитель, определяемый соотношением Ц J oQi 1 . Вычисление интеграла J О j cfz , выполненное в пятом разделе
Это выражение впервые было получено в [бО]. Правая часть формулы (4.3) имеет в знаменателе множитель (2Ц-І] , который для состояния с j s f обращается в нуль при И & М . Это говорит о том, что для таких состояний при больших следует учитывать конечный размер ядра.
Для электрического квадрупольного расщепления используем обозначения, принятые в [їв] Q - электрический квадрупольный момент ядра, / - действующий на электронные переменные неприводимый тензорный оператор, компоненты которого определяются соотношением
Вычисление выражения (4.5) на дираковских функциях после интегрирования по углам приводит к радиальному интегралу \St dx » который вычисляется в пятом разделе настоящей работы. В итоге получается
Представляет интерес сравнение магнитного дипольного расщепления с электрическим квадрупольным расщеплением. Непосредственное, вычисление величины расщепления и соответствующей величины ACQ для состояния 1Рз/2 было проделано для различных ядер. Результаты расчета приведены в табл. 2. В этой же таблице для сравнения приведены величины расщепления А С „ , A Lq , полученные в нерелятивистской теории. Как видно из таблицы, для тяжелых ядер величина й LQ становится сравнимой с А Ь .
Поправка Розенталь-Брейта-Кроуфорда-Шавлова. Как уже отмечалось, при больших значениях заряда ядра становятся существенными поправки на конечный размер ядра к величине магнитного сверхтонкого расщепления. Рассмотрим сначала поправку Розенталь-Брейта-Кроуфорда-Шавлова, учитывающую распределение заряда при предположении о точечном магнитном диполе.
Поправка Розенталь-Брейта-Кроуфорда-Шавлова
Апробация работы и публикации. Результаты диссертации систематически, обсуждались на семинарах кафедры квантовой механики ЛГУ, докладывались на Всесоюзной конференции по теории атомов и атомных спектров /Минск 1983/. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех статьях и в тезисах одного доклада.
Краткое содержание работы. В первой главе. диссертации содержится обзор литературных данных по теории изотопического сдвига и сверхтонкой структуры уровней энергии атома, дается постановка-, основных задач диссертации. В первом параграфе,1 главы обсуждаются различные методы исследования эффекта отдачи в релятивистской теории атома.. Отмечаются положительные и отрицательные стороны предыдущих работ [7»8j г посвященных этому вопросу. В результате анализа различных методов показано, что наиболее удобным для решения поставленной задачи является один из вариантов квазипотенциального подхода Логунова-Тавхелидзе [9J„ впервые предложенный в работе [IOj. Во втором параграфе главы изложено развитие: теории изотопического сдвига, обусловленного конечным размером ядра. Обсуждается точность аналитических выражений для этого сдвига,, полученных различными авторами. В третьем параграфе приведены основные формулы теории сверхтонкой структуры как:и случае точечного ядра так: и с учетом распределения заряда, и магнитного момента по объему ядра. Указаны основные работы,, посвященные расчету этого эффекта.
Во второй главе диссертации получены замкнутые, выражения для массовых поправок в случае одноэлектронного атома с произвольным зарядом ядра Z- . В первом параграфе показано, что модифицированное уравнение Диракаг впервые предложенное: в \lOJ,} может быть выведено обычным путем, когда времена частиц приравниваются, в отличие от первоначального вывода этого уравнения I0J, в котором время одной из частиц устремлялось к бесконечности. На основании этого уравнения формулируется теория возмущений по /Ц Іїї\- масса электрона, М -масса ядра/ . Во втором параграфе показано, что в нулевом порядке по /У это уравнение переходит в уравнение- Дирака для электрона в кулоновском поле ядра. В третьем параграфе полу -8 чено выражение для поправки, обусловленной обменом, только ку-лоновскими фотонами. В четвертом параграфе найден вклад от диаграмм с одним поперечным фотоном и произвольным числом ку-лоновских фотонов. Показано, что часть поправки, зависящая от спина ядра, совпадает с выражением Шерми-Брейта для сверхтонкого взаимодействия [11/. В пятом параграфе рассмотрена поправка от диаграмм с двумя поперечными и произвольным числом куло-новских фотонов. Найденные выражения сравниваются с результатами работы [8J.
В третьей главе рассмотрен изотопический сдвиг уровней энергии, обусловленный конечным размером ядра. В первом параграфе получена наиболее точная аналитическая формула для этого сдвига, которая в низшем приближении подобна полученным ранее формулам [12-14]. Рассмотрены простейшие модели ядра: равномерно заряженная сфера и равномерно заряженный шар. На основании полученных формул произведен численный расчет изотопического сдвига.для различных состояний и различных 2- . Для вычисления изотопического сдвига в случае произвольной сферически-симметричной модели ядра предложен эффективный метод, позволяющий свести произвольную модель ядра к модели с равномерным распределением заряда, по объему ядра. Во втором параграфе произведена численная оценка влияния конечного размера ядра на величину межэлектронного взаимодействия, вычисленную в первом: порядке квантовоэлектродинамической теории возмущений для основного состояния гелиеподобного иона. В третьем параграфе получено аналитическое:- штурмовское разложение релятивистской кулоновской функции Грина с учетом конечного размера ядра.
