Введение к работе
Актуальность проблемы.
Иатерес к проблеме связанных состоянии обусловлен, в первую очередь, тем, что в квантовой хоромодинамике(КХД) адроны описываются как связанные состояния кварков. В пределе высоких энергий и больших передач импульса КХД обладает свойством "асимптотической свободы" (то есть ведет себя как теория без взаимодействий). Поэтому п этой области с успехом используются вычислительные методы теории возмущений.
В области же'низких энергий константа сильного взаимодействия становится большой, и теория возмущений не. работает. Очевидно, для описания физической ситуации в этом случае требуется подобрать математически более простую модель, представляющую основные черты КХД. Считается, что КХД в нилкоонергстическом пределе феноменологически описывается четырехфермиошшми моделями.
Подходящим кандидатом на эту роль-является модель Намб.у - Иона-Лазинио (НИЛ). В своей современной формулировке это те,ория с кпар-ковыми степенями свободы. Существенным является тот факт, что плотность лагранжиана этой модели построена с учетом симметрии КХД, которые также наблюдаются в природе. Кроме точной динамической цветовой симметрии, » КХД имеется ряд приближенных симметрии. В области леї ких кварков это ароматовая SU(2) симметрия и существенная для понимания самых легких адронои кнрпльнал симметрия. Важную роль п КХД играют такжо различные механизмы нарушения этих симметрии. Модель НИЛ особенно полезна для наблюдения за тем, как это происходит. В частности, динамическая генерация фермионных масс, вызванная спонтанным нарушением кирг.льной симметрии, - одна из Черт модели НИЛ. Если лагранжиан инвариантен относительно некоторой группы преобразований G, то по теореме Нетср существуют сохраняющиеся ааряды Q, генерируемые преобразованиями С Теорема Голдстоуна утверждает: если вакуумные средние пт некоторых из зарядов Q не равны нулю, то в спектре состояний гамильтониана должны присутствовать беэмассопые состояния. Особая роль голдстоуновской моды (для двухкпарконых ароматом это пионы,
]
длн трехкнаркових - "шюнный октет") также может быть явно прослежена в модели НИЛ.
И модели НИЛ предполагается, что взаимодействие между кварками и антикварками, возникающее из сложных процессов глюошюго обмена, является притягивающим, и ведет к конденсации кварк - антн-кварковых па[) в вакууме, как только это притяжение превысит критическую точку. Другие эффекты, не играющие непосредственной роли и нарушении кпральной симметрии, при этом не рассматриваются.
Конечно, модель ПИЛ имеет своя недостатки. Один из них со-_
стоит в том, что, поскольку взаимодействие между кварками предпо
лагается точечным но характеру, то оно не описывает конфаинмеита
кварков. Однако для обсуждения многих вопросов происхождение кон
фаинмеита не должно быть существенным. Например, взаимодействие
адронов под порогом образования свободных кварков не зависит от
деталей механизма образования конфаинмеита. '<
Лагранжиан модели ПИЛ, инвариантный относительно преобразр-ваний 54/(2) х SU{2) х 1/(1), имеет вид:
С = їму'д^Л- у [(-ф(х)ф(х))'2 + фіх^афіх))*] (1)
Теперь встает фундаментальная проблема извлечения из этого лагранжиана информации об адронах. Описание адронов на основе этого эффективного четырехфермионного лагранжиана связано с различными вариантами процедуры бозонизацни.
Например, локальная бозонизация приводит к различным типам а -моделей, достоинства и недостатки которых хорошо известны.
В предлагаемой работе делается попытка прямого описания связан
ных состояний кварков на основе лагранжиана (1). Существующий
подход к этой задаче основан на суммировании диаграмм релятивист
ской квантовой чепрак ноли. Классическим примером этого подхода
может служить уравнение Неге - Солитера (ПС) (к нему ;ке приводит
и процесс бг.локалыпщ бозонизацни/. Не каетесь (еталыюго ппалігм
данного полгода, заметил, чить, тш нрпмо^ применение уравнении СС
< отряжено со зкачк гельнымч Ч|^ишп/П!і;мьіп -ми и і',,ічн-!ССі;им;і слож>
:'осл'ямм. ,
Практическое использование этого уравнения для описания обязанных состояний, как правило, предполагает его приближенную одновременную редукцию к точнорешаемому уравнению Шредингера (или Липпмаиа - Швингера). Имея (пусть даже приближенные) спектры и волновые функции связанных состояний, "ухватывающие1' главный эффект "связанности", можно потом вычислять различные релятивистские поправки. Главной целью настоящей работы является ответ на вопрос, что для лагранжиана (1) играет роль такого точнорешаемого уравнения. Основное приближение, которое при этом используется, -это нерелятивистское приближение, сделанное в предположении, что эффект "связанноеги" по своей сути имеет нерелятивистский характер. Простейший вариант возникающего при этом модельного лагранжиана имеет вид:
(х) - Ф< (*) (<| - Щ <М*) + ^хЧ*Ых), (2)
где изотопический индекс а = 1,2, е(р}'- энергетический спектр сво
бодных фермионов: >
е($)е**=е(к)е>К (31
и хЙ^еп,»*»^)*/?(*), хЦх) = е^Ф,\(х)Ф|,'(х), et„, = -ср„. Й)
Модели (1), (2) являются неперенормируемыми с точки зрения обычной теории возмущений, поэтому при вычислении физических неличин мы сталкиваемся с проблемой расходимостей интегралов в импульсном пространстве. Более того, в задачах о связанных состояниях эти расходимости возникают при формулировании определяющего условия :уществования связанного состояния и его спектра. Они порождаются сингуллрностлми п произведениях полевых'операторпых функций и присущи любой локальной теории поля. Однако здесь устранение возникающих бесконечностей п рамках стандартных методов перенормировки теряет смысл
В отличие от моделей сверхпроводящего типа в теории твердого гола, где имеется естественный параметр обрезания, связанный с сушо-зтвованием решетки неподвижных зарядов противоположного знака, іростое обрезание расходящихся интегралов п релятивистской модели
типа НЙЛ требует определенных физических обоснований. Бош же в теорию не вносить дополнительных "внутренних" параметров, то, наверное, необходимо требовать от возникающих физических величин, , чтобы в пределе параметра обрезания Л, стремящегося к бесконечности, они оставались конечными.
Цачь работы - построение полевой модели, допускающей точные решения и предельный переход Л -+ оо, вычисление энергетических сцектрон одно-, двух- и трехчастичных состояний. Нахождение волновых функций этих состояний. Обосиоралие этой перенормировочной процедуры и рамках теории самосопряженных расширений сингулярных операторов.
Научной новизна.
Удалось получить точные выражения для одночастичных и двухчастичных спектров и соответствующих волновых функций в неперенор-мцруемых четырехфермионных моделях.
Установлено, что в пределе параметра обрезания Л —> оо существуют коночные значения основных динамических величин. Таким образом показала возможность перенормировки существенно неперенормируе-мой в рамках теории возмущений модели по крайней мере в нерелятивистском случае.
Получен о перенормированное уравнение с фреді ольмовым ядром на волновую функцию трехчастичного связанного состояния.
Показано, что простая регуляризация обрезанием при определенной зависимости от пего затравочных величин и наличии "тонкой подстройки" приводит к единственному самосопряженному и полуограниченному гамильтониану в одно-, двух- и трехчастичном секторах. '
Основные защищаемые положения.
* Процедура перенормировки в " цеперенормируемой" модели контактного четмрехфермиониого взаимодействия "токXток" с векторным млеем.
а Точкые решения для переформированных дпухчги : ичных волновых функции i:)ir,:i-o!iiLix состояний и состояний рассеяния:
=t=>
const
<'(«0 - \ И- ч) + (-Ц'*.(& + ч)] + w-^У
hi)tC\ -
ЗД(к) = щ^,
Т<>*ГП. «Л - ,. (2^)2 + 7
Л-юо
(2тг2)"' T
(T + bTte)(6itq)' 2?Р(Є) =.(7 - 1)2 - I„(ri [(2mc)2 + 7 < ^ > -Я2 - (2 - 7)ff2J!
(5)
(6)
(27Г)3
1-^(=F«?)
i-i
Л-+00
=»>0:
(7)
в Точное выражение для перенормированного спектра составного голдстоуновского бозона:
gUWWa « ZuJdVcAU- +к)Л^(|-к)|0),, ' (S)
» - Г, 1„
MAa(V) - -— ~ V2\
(9)
' Фредгольмовое интегральное ураинсние на перенормиропанную волновую функцию трехчастичных связанных состояний с рачличпыми значениями изотолепкна:
Л'Г((№Ы) = ; к*р)Шг№ = ^№) - Л(<Ъ);
(ID)
rCV/*.
*х 4(}) = ^() + A(q2) - 2Д(<Ы; e(g) ='.
-q2 + о/2;
[Т -f- 6 + ,(,)] [6 - Є[Я)} ЯА{9) = Г- f dk k A(k) I„ (^^]
Практическая ценность работьі.
Полученные выражения для волновых функций двух- и трехчастич-них состояний могут быть использованы и модельных вычислениях адронных формфактором различных эксклюзивных процессов и для расчета ширин электромагнитных н слабых распадов.
Публикации. По материалам диссертации опубликованы десять работ.
Апробация работы- Результаты, представленные и настоящей . диссертации, докладывались на семинарах ЛТФ ОИ5Ш и ИЯФ (г.Но-поспбирск), на международных конференциях "Quantum Systems: New Trends and Methods" (Минск, 19SM), "IX International Workshop. High Energy Physics and Quantum Field Theory" (Звенигород, 1994), "X International WorkShop. High Energy Physics and Quantum Field Theory" (Звенигород, 1995), "IX International Seminar QUARKS-06" (Ярославль, 1996), "Problems of Quantum Field Theory" (Алушта, 1996), "Quantum Systems: New Trends and Methods" (Минск, 1990"), "XI International WorkShop. High, Energy Physics and Quantum Field Theory" (C-Пстербург, 199G).
