Содержание к диссертации
Введение
1 Минимальная Лиувиллевская гравитация M(2,3) 20
1.1 Обозначения 21
1.2 БРСТ комплекс относительных когомологий 23
1.2.1 Теоремы Лиана-Цукермана 23
1.2.2 Процедура рекуррентного построения базисных состояний 25
1.2.3 Рекуррентные уравнения 27
1.2.4 Операторы, действующие на пространстве относительных когомлогий 32
1.2.5 Операторная алгебра 34
1.3 Абсолютные когомологии 36
1.3.1 Базис в пространстве когмологических классов 36
1.3.2 Операторная алгебра 38
1.4 Некоторые представители классов когомлогий 42
2 Форм факторы локальных операторов в теория Тоды для аффинной алгебры A(L1-) 1 44
2.1 Теория Тоды для аффинной алгебры Ли A(L1-) 1 44
2.2 Cвободно-полевое представление для форм факторов локальных операторов 49 2.2.1 форм факторы экспоненциальных операторов 49
2.3 Форм факторы операторов потомков 51
2.3.1 Интегралы движения 54
2.3.2 Свойство кластерной факторизации и асимптотическое поведение . 55
2.3.3 Подсчет операторов потомков 56
2.4 Альтернативная процедура бозонизации 58
2.4.1 Рекуррентные соотношения и отражательные свойства для форм факторов экспоненциальных операторов 62
2.4.2 Уравнения движения 68
2.5 Отражательные соотношения для форм факторов операторов потомков . 72
2.5.1 Решения для уравнений и форм факторы 77
2.6 Операторы потомки на уровне (1,0) 79
3 Форм факторы локальных операторов в модели Буллоу-Додда 83
3.1 Модель Буллоу-Додда 83
3.2 Свободно-полевое представление для форм факторов локальных операторов 86
3.2.1 Свойства форм факторов 90
3.2.2 Отражательные свойства форм факторов локальных операторов . 92
3.3 Альтернативная процедура бозонизации 93
3.4 Реккурентные соотношения для форм факторов экспоненциальных опера-
3.4.1 Рекуррентные соотношения 97
3.4.2 Уравнения движения для форм факторов 99
3.5 Явные выражения для форм факторов экспоненциальных операторов . 99
3.6 Минимальные модели, возмущенные оператором і2 101
3.6.1 Теория рассеяния 102
3.6.2 Форм факторы 103
3.7 Модель Изинга в магнитном поле 104
3.7.1 Теория рассеяния 105
3.7.2 Форм факторы 105
Заключение 108
Список литературы 110
- Процедура рекуррентного построения базисных состояний
- Подсчет операторов потомков
- Свободно-полевое представление для форм факторов локальных операторов
- Минимальные модели, возмущенные оператором і2
Введение к работе
Актуальность темы.
Диссертация посвящена изучению некоторых вопросов, касающихся двумерных точно решаемых моделей квантовой теории поля. Обсуждаемые вопросы связаны с тремя конкретными моделями: двумерной Лиувиллевской гравитацией, двумерной теорией Тоды для афшшоп алгебры А^_г и моделью Буллоу-Додда.
Теория двумерной квантовой гравитации была впервые рассмотрена в работе Полякова [1|. Под теорией Лиувиллевской гравитации обычно понимается динамическая теория метрики па некотором двумерном многообразии. Действие для метрики дается в виде суммы действий трех конформных теории поля: конформной теории поля для полей материи на рассматриваемом многообразии, теории Лпувплля и конформной теории ноля для духовых полей. Суммарный центральный заряд эти конформных теорий поля равен пулю [2]. Если рассматриваемая конформная теория поля для полей материи япляется минимальной, то соответствующая ей теория гравитации называется минимальной Лиувиллевской гравитациейь [3]. Отметим, недавний прогресс в изучении физических состояний этой модели, а именно, удалось вычислить трех и четырех-точечпые функции для простейших операторов [4, 5].
Квантование Минимальной Лиувиллевской гравитации удобно осуществлять, используя процедуру БРСТ квантования. С помощью этого метода удалось построить бесконечное количество физических состояний, духовые числа которых могут принимать любые целые значения [6|. Изучение таких состояний, в частности, исследование их операторной алгебры, является важным шагом в построении всех корреляционных функций в рассматриваемой модели.
Аналогичная задача об изучении пространства физических состояний возникает во многих точно решаемы моделях квантовой теории поля. До сих пор обсуждалась безмассовая конформная теория поля. Однако, существует подкласс массивных двумерных квантовых теории поля, для которых можно построить удобный формализм для изучения пространства физических состояний. Речь идет о двумерных массивных интегрируемых моделях квантовой теории поля, т.е. моделях, в которых существует бесконечное количество сохраняющихся интегралов движения. В данной работе
мы подробно рассмотрим две такие модели: теорию Тоды для афшпгой алгебры Ли А^' [7| и модель Буллоу-Додда [8].
Для исследования пространства физических состояний рассматриваемых моделей и, в частности, для вычисления корреляционных функций удобно использовать форм-факторпый формализм \9]. В частности, корреляционные функции могут быть построены, используя спектральное представление. Быстрый радиус сходимости спектральных серий для всех масштабов позволяет вычислять их достаточно точно. Пространство физических состояний исследуемых моделей содержит бесконечное число операторов. Вычисление форм-факторов этих операторов позволит приблизиться к задаче вычисления корреляционных функций.
Отметим, что модель Буллоу-Додда связана с некоторым подклассом возмущенных минимальных моделей квантовой теории поля. В работе [10] показано, что при аналитическом продолжении константы связи до некоторых мнимых значений и дополнительных ограничениях на пространство физических состояний, модель Буллоу-Додда описывает класс минимальных моделей, возмущенных оператором Ф12. Такие модели, как известно, являются иптегрирумыми [11, 12]. В частности, модель Изгшга. при критической температуре в ненулевом магнитном поле может описываться таким образом. В результате, появляется возможность исследования свойств определенного подкласса возмущенных минимальных моделей, используя форм-факторпый подход.
Цель работы. Целью настоящей работы является исследование пространства физических состояний в двумерных интегрируемых моделях квантовой теории поля. В частности, изучение операторной алгебры физических состояний в Минимальной Лиувиллевской гравитации, вычисление форм-фаткоров физических состояний в двумерной теории Тоды для афшпгой алгебры Л^_\ и в модели Буллоу-Додда и исследование их свойств.
Основные результаты. Результаты диссертации состоят в следующем:
1. Найдена размерность пространства физических состояний в минимальной Лиувиллевской гравитации М(2,3). Изучена структура операторной алгебры.
-
Представлено свободно полевое представление для форм-факторов локальных операторов для двумерной теории Тоды для алгебры Ли AL_i: в частности и для операторов потомков. Установлены рекуррентные соотношения между ними. Доказаны отражательные свойства.
-
Найдено свободно-полевое представление для форм-факторов операторов потомков в модели Буллоу-Додд. Найдены рекуррентные соотношения и доказаны отражательные свойства. Вычислены некоторые много-частичные форм-факторы легчайших частиц в Ф12 возмущенных минимальных моделях п, в частности, в модели Изннга при критической температуре в ненулевом магнитном поле.
Научная новизна и достоверность. Результаты, представленные в диссертации, являются новыми. Выводы обоснованы надежностью современных методов теоретической физики, таких как методов гомологической алгебры и методов теории представлении, применявшихся при исследовании, и подтверждаются результатами апробации работы.
Научная и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут иметь применение в теории представлений, в конформной теории поля и при исследовании двумерных массив-пых моделей квантовой теории поля.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались: на международной конференции ''Second International Conference on String Field Theory and Related Aspects", Москва 2009, на международной конференции "Conformal Field Theory, Integrable Models and Liouville Gravity", Черноголовка 2009 г., а также на научных семинарах в ИТФ им. Ландау, семинарах в Корейском Институте Передовых Исследований, Сеул, Корея п семинарах в центре Квантового пространства-времени Университета Со-гапг, Сеул, Корея.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех статьях в научных журналах, входящих в перечень ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения н списка литературы.
Процедура рекуррентного построения базисных состояний
Для любого значения А существует отображение Уд — д из модуля Верма со старшим весом А в неприводимый модуль алгебры Вирасоро с тем же значением старшего веса. Это отображение индуцирует отображения Сге1(Уд) — Сге1(д) и і7ге1(Уд) — і7ге1(д). Сравнивая духовые числа, мы заключаем, что, при таком отображении, образ единственного класса из і7ге1(Уд) является классом когомлогий с наибольшим возможным духовым числом в і7ге1(д). Класс БРСТ когомлогий с наибольшим духовым числом из пространства относительных когомлогий і7ге1(д) будет в дальнейшем называться старшей когом-логией.
Как мы отмечали, в другом варианте двумерной Лиувиллевской гравитации, пространство состояний в гравитационном секторе представлено модулями Фейгина-Фукса. Пространством физических состояний в этом случае является Hve[(T), где Т — это модуль Фейгина-Фукса с центральным зарядом CL = 26. В случае, когда с 25, модуль Фейгина-Фукса изоморфен либо модулю Верма, либо контрградиентному модулю Верма. В первом случае пространство классов относительных когомлогий Hve[(T) = і7ге1(Уд) соответствует старшим когомлогиям из і7ге1(д). Можно показать, что во втором случае когомлогии Hre (Т) соответствуют младшим когомлогиям из Нге (д). Это наблюдение позволяет сравнивать результаты, полученные нами, с результатами работ [8, 11, 12].
Мы полагаем, что существует связь между явными выражениями для физических состояний и видом соответствующих особых векторов. Эта связь приводит к явной рекуррентной процедуре построения классов БРСТ когомлогий. Точнее, мы покажем, что все классы когомлогий однозначным образом определяются только старшими когомлогиями.
Классы старших БРСТ когомлогий
Процедура построения старших классов когомлогий упрощается в силу следующего предложения Предложение 1. Все старшие классы когомологий могут быть получены применением операторов c_i,c_2,... к вакуумным векторам Фд, которые мы ввели в(1.1).
Это предположение легко следует из Предложения 1.11 работы [13]. Важной частью доказательства этого предложения является следующая конструкция классов старших когомлогий. Пусть Кп — это векторное пространство всех (возможно бесконечных) линейных комбинаций антисимметричных мономов
Вектора ип и vn определены с точностью 8 точных членов.
Вернемся к построению классов старших БРСТ когомологий для неприводимых модулей алгебры Вирасоро а„. Рассмотрим вектор
Un an = Агп) Un\v9) с духовым числом п + 1 и конформной размерностью 0 (так как ап + d(un) — 1 = 0, где ап определено в (1.2), а d(un) определено в (1.6)). Очевидно, что вектор ипЧ ап является БРСТ замкнутым. Более того, можно показать, что этот вектор не является БРСТ точным. Поэтому, состояние СУ п —— Urn W/i является представителем классов относительных когомологий ії +і( Сап).
Старшие классы когомологий любого неприводимого модуля Верма Сьп могут быть построены подобным образом. Мы приведем явный вид некоторых старших классов ко-гомлогий
В этом разделе мы будем использовать следующие обозначения. Рассмотрим BRST комплекс C(VA), где Уд — это Верма модуль со старшим весом А. Пусть Уд) — это вектор со старшим весом в этом модуле Верма. Мы определим вакуумный вектор в этом комплексе следующим образом
Фд = Уд) \vg) Для того, чтобы подчеркнуть разницу между этим вакуумным вектором и вакуумным вектором, определенным в (1.1), мы будем обозначать последний как Фд.
Классы когомлогий, за исключением старших классов когомлогий, могут быть построены рекуррентно. Смысл этой процедуры в следующем. Мы берем резольвенту неприводимого модуля алгебры Вирасоро, состоящую из модулей Верма, и вычисляем БРСТ когомлогии с коэффициентами в этой резольвенте. Тогда когомологии неприводимых модулей Вирасоро можно получить с помощью спектральной последовательности, которая вырождается в первом члене. Эта конструкция позволяет находить явные выражения для классов когомлогий, относящихся к векторам старшего веса в модулях Верма диаграммы вложений, одно за другим, начиная с вершины и спускаясь все ниже. Ниже мы представим несколько первых шагов явно. Затем, мы опишем n-ый шаг.
Уровень вложения Вершина диаграммы вложений соответствует старшему весу ао = 1. Размерность пространства когомлогий равна dim_ff el(/2ao) = 6k,i. Нахождение представителей классов ко гомлогий является прямолинейной задачей. Однако, мы приведем процедуру вычисления этих представителей явно, так как в дальнейшем будем ссылаться на нее. Рассмотрим относительный БРСТ комплекс Cve[(Vnn). Легко проверить, что состояние
Подсчет операторов потомков
Мы хотим доказать, что для общих значений параметра й, операторы V с различными значениями д различаются. Мы сперва докажем это предположение для некоторой асимптотики по параметру а. Далее, мы применим деформационный аргумент.
Произведения полиномов Sn для п 0 заданной степени образуют базис симметрических полиномов соответствующей степени для достаточно большого числа переменных.
Для начала, рассмотрим случай д Є Л. Так как мы интересуемся полным набором форм факторов, а не форм факторами с заданным числом частиц, мы можем рассматривать функции Zin = Sn(Xi), і = 1,... ,L — 1 как независимые переменные. Заметим, что уравнение (2.51b) определяет отображение из алгебры Л в алгебру полиномов от переменных Zin. Это отображение является обратимым. Действительно, уравнение (2.51b) позволяет выразить любой моном Zin посредством полинома PaiC-n и мономов Zjn, j і. Применяя это уравнение рекуррентно, мы можем выразить любой моном Zin посредством линейной комбинации полиномов рчс-п с j і. Поэтому, Zin = Pgin, где Qin = J 7=i AjCXjC-n с некоторыми однозначно определенными коэффициентами Aj. Таким образом, данная конструкция определяет отображение из алгебры полиномов от переменных Zin в алгебру А.
Следовательно, данное рассуждение доказывает, что различные элементы д\ ф $2 Є Л будут генерировать различные полиномы Р91 ф Р92 от переменных Zkn. В силу того, что форм факторы являются аналитическими функциями переменной а, эти элементы будут генерировать различные наборы форм факторов f91 ф f92.
Теперь предположим, что д = hih i, где {hi},{h A- С Лі - это наборы линейно независимых элементов. Предположим, что f9 = 0. Тогда, в силу свойства кластерной факто ризации мы получаем
Это противоречит тому, что форм факторы fhi являются линейно независимыми для общих значений а. Таким образом, мы доказали следующую теорему Теорема 3. Для общих значений параметра а линейное отображение д ь-) /f из Л Л в пространство наборов функций является инъекцией, т.е. это обратимое отображение на свой образ.
Немедленным следствием данной теоремы является следующее предложение Предложение 5. Для общих значений параметра а размерность пространства операторов V с д Є Лі S Лі совпадает с размерностью пространства Фока dim(J-J 8 Tj) = dim Ті dim Tj. Размерности пространств операторов V9 с g Є Лі или g Є Лі совпадают с размерностями соответствующих подпространств dim Ті.
Для киральных (антикиральных) операторов Предложение 5 означает, что предположение, что киральные (антикиральные) операторы потомки - это операторы V{x) с g Є Л (g Є Л), согласовано с подсчетом операторов в Лагранжевом формализме (2.6), (2.7).
Для доказательства отражательных свойств для форм факторов операторов потомков нам понадобится свобо дно полевое представление для функций JN а, которые получаются из функций / с помощью отбрасывания множителя, состоящего из произведения минимальных форм факторов R. Данное свободно полевое представление в дальнейшем будет называться альтернативной бозонизацией. Это представление отличается от представления, рассмотренного в [29, 30], тем, что, во-первых, алгебра Гейзенберга порождается счетным набором генераторов, а не непрерывным набором, и, во-вторых, функции J9N а для всех g Є Л Л выражаются с помощью матричных элементов а не следов. Цена, которую приходится заплатить за эти преимущества, заключается в том, что вычеты в кинематических полюсах являются новыми вертексными операторами, а не просто некоторыми комплексными числами. Как мы увидим ниже, данные вертексные операторы будут играть важную роль при доказательстве отражательных свойств форм факторов.
Рассмотри алгебру Гейзенберга, порождаемую генераторами dii , s — 1,... , -Zv, ТІ , п ф 0, со следующими коммутационными соотношениями Отметим важные соотношения для этих коэффициентов, которые мы будем использовать ниже А = А _п = шп А . (2.54)
Введем дополнительный центральный элемент а и определим вакуумы 1)а и а(1 с помощью соотношений и пусть это соответствующая процедура нормального упорядочивания. Мы так же будем писать ( )а = а(1 1)а. (2.56)
Фоковское пространство, порождаемое операторами dk , п 0, из вакуума а(1 будет обозначаться как Т , в то время, как Фоковское пространство, порождаемое генераторами d-n, п 0, из вакуума 1)а будет обозначаться как Т %. Эти пространства допускают a,m-\-n dn Т ат — ат-п. Рассмотрим следующие экспоненциальные операторы
Свободно-полевое представление для форм факторов локальных операторов
Опишем кратко Лукьяновское свободно-полевое представление для форм факторов экспоненциальных операторов для модели Буллоу-Додда [65]. Введем пару операторов А+(в) и Л (6) и определим двух-точечную следовую функцию (()) следующим образом
Отметим, что эти обозначения отличаются от обозначений в [65] заменой Ъ — Ъ 1. Предложенная свободно-полевая конструкция допускает преобразованием дуальности 6н&-1, которое так же является симметрией б -матрицы. Однако, данная замена используется нами, чтобы адаптировать общепринятые обозначения, используемые в конформной теории поля.
Форм факторы экспоненциальных операторов могут быть представлены в виде многоточечной следовой функции Лукьяновских генераторов (3.18), а именно Fa{9\)..., 9N) = {eaip)fa(9i,..., ON) = (е Ж Х лг) Т(в\))), (3.19)
Функции /а(#1,... , ON) являются аналитическими функциями аргументов в І, с довольно сложной аналитической структурой. С помощью соотношений (3.15) несложно показать, что эти функции могут быть представлены в виде где функции J/v,a( i) XN) — это симметрические рациональные функции аргументов Хг. Аналитическая структура полюсов этих функции определяется форм факторными аксиомами. Именно, полюса этой функции находятся при относительной разности быстрот 9ij = ітг и 9ij = 2тті/3 и, в дальнейшем, будут именоваться кинематическими и дина мическими полюсами соответственно. Отметим, что в предложенном свободно-полевом представлении вычислении форм факторов сводится к комбинаторной процедуре.
Метод, предложенный в предыдущей главе для для построения свободно-полевого представления для форм факторов операторов потомков, легко применить для решения аналогичной задаче в модели Буллоу-Додда. Действуя в соответствии со схемой, предложенной в прошлой главе, мы рассмотрим две коммутативные алгебры Л = =0An и Л = =0Ап, порождаемые элементами {о;_га} и {«_„} (п 0) соответственно. Канонический гомоморфизм между этими алгебрами определяется следующим соотношением: а_п — а-п. Элемент д = hh будет называться потомком уровня (п,п), если h Є Л,п и Ы Є Лп.
Определим следующую скобку на алгебре Л
В выражение (3.25) мы ввели множество целых чисел, / = {1,... , N} и сумма берется по всем разбиениям множества / в три подмножества 1а, а = {+,—,0}, так что /+Ui_ U/o = I and Iai П Ia = 0 if а ф а. Каждому подмножеству Ia мы поставили в соответствие подмножество Ха = {хі\г Є Іа}. Функции Pg(X\Y\Z) являются полиномами, определяемыми с помощью соотношений мы обозначили степенные суммы порядка т как bm(xi,..., XN) = Z i=i х
Подводя итог вышесказанному, используя формализм свободно полевого представления, мы получили набор решений f9 для форм факторных аксиом. Кроме того, в выражениях (3.24) мы (3.25) привели явный вид для этих функций. Однако, остается нерешенной задача об отождествлении пространства решений форм факторных аксиом f9 и полей из ТТ. Необходимы некоторые дополнительные условия для того, чтоб определить какому оператору соответствует полученный форм фактор. В случае экспоненциальных операторов решение данной задачи известно. Достаточно потребовать правильную асимптотику форм факторов при больших значениях быстрот [67] и потребовать выполнения свойства кластерной факторизации [68]. Однако, для операторов потомков этих критериев оказывается недостаточно и эта задача не решена. Тем не менее, мы можем исследовать некоторые аналитические свойства полученных решений, что, возможно, приблизит нас к решению поставленной задачи.
В этом подразделе мы кратко опишем основные аналитические свойства форм факторов / . Доказательство этих свойств во многом аналогично доказательству подобных свойств, рассмотренных подробно в предыдущей главе. Поэтому, в этом подразделе мы только сформулируем основные результаты. Отметим, что формализм, разработанный в предыдущей главе, позволяет легко исследовать аналитические свойства форм факторов и является универсальным формализмом, который может быть построен для любой интегрируемой модели.
Свойство кластерной факторизации
Используя свободно полевое представление для форм факторов операторов потомков (3.23), скобку на алгебре (3.21) и свойства функций (3.27), мы легко получаем, что для любого элемента д = hh G Л Л выполняется соотношение при Л — +оо. Полученный результат согласуется с результатами, полученными в работе [38] с помощью других методов. Таким образом, всегда можно выделить киральные части операторов потомков при помощи этой асимптотики. Аналогично случаю, рассмотренному в предыдущей главе, можно показать, что операторы V , h Є An и V , h Є An являются операторами потомками на уровнях (п, 0) и (0, п) соответственно.
Подсчет операторов потомков
Аналогично доказательству, приведенному в предыдущей главе, мы можем доказать, что количество независимых решений / форм факторных аксиом в каждом уровневом подпространстве совпадает с количеством операторов потомков в соответствующих уров-невых подпространствах в Лагранжевом формализме. Это утверждение является следствием теоремы Теорема 9. Для общих значений параметра а, отображение (3.23) из алгебры Л Л в пространство функций /f является биекцией.
Мы не приводим доказательство этой теоремы, потому что оно во многом повторяет основные шаги доказательства теоремы 3. Отметим только, что в этом случае мы рассматриваем предел а — — ioo. После доказательства теоремы в этом предел, мы применяем деформационный аргумент. Следствием этой теоремы является следующее предложение. Предложение 6. Для общих значений параметра а размерность пространства операторов V9 с д Є ЛпЛп совпадает с размерностью соответствующего подпространства в Фоковском модуле dim(Jrra Т ).
Минимальные модели, возмущенные оператором і2
В первой главе нашей основной задачей было прояснение разницы между классами абсолютных и относительных когомологий. С математической точки зрения, удобно найти относительные когомологии, а затем постоить абсолютные. В некоторых случаях, например в случае, когда пространство состояний в Лиувиллевском секторе реализуется модулями Фейгина-Фукса, существует изоморфизм H hs = Н х + CQH . В частности, любой представитель класса относительных когомологий является так же и представителем класса абсолютных когомлогий. Однако, в рассматриваемом нами случае связь между классами относительных и абсолютных когомлогий является более сложной.
В Предложении 3 мы доказали, что структура операторной алгебры в пространстве Н1еХ(Сп ) П Hfs(Cn ) изоморфна алгебре полиномов от двух переменных С fa, 61, причем этот изоморфизм реализуется оператором
Хорошо известно, что на С[а, 6] действует алгебра s/г. Поэтому, естественно ожидать, что эта же алгебра действует в пространстве Н1еХ(Сп ) П Hfs(Cn ). Легко проверить, что оператор X+ соответствует повышаещему оператору этой алгебры
Естественно ожидать, что существует такой оператор Х_, который соответствует понижающему оператору алгебры s/г, а именно
Построение такого оператора является нерешенной задачей. Похоже, что не существует оператора Х_, такого что [Q,X_] = 0 и оператор Х_ действует не нулем на пространстве когомлогий. Можно ожидать, что существует оператор Х_, такой что [Q,X_] ф О, но Х_ действует на некоторых представителях пространства относительных когомологий НІ ІСп ) П Hfs(Cn ). Эта схема похожа на действие алгебры slo на пространстве гармо-нических форм многообразия Кахлера [17].
Во второй главе мы рассмотрели свободно-полевое представление для форм факторов операторов потомков в модели Тоды, связанной с алгеброй Аь_г. Мы построили пространство решений форм факторных аксиом, которое, как мы показали, может быть биективно отображено на Фоковские пространства операторов потомков над экспоненциальными операторами Va(x) для параметра а в случае общего положения. Мы предложили способ построения Вейль-инвариантных семейств базисов в этих пространствах. Данный способ основывается на разложении форм факторов экспоненциальных операторов при больших значениях быстрот. В принципе, возможно, по крайней мере на нижних уровнях, получить Вейль инвариантные семейства базисов в Фоковских пространствах операторов потомков в Лагранжевом формализме [42]. Однако, отождествление двух типов базисов не может быть однозначным без какой-либо дополнительной информации. Возможно, мы могли бы фиксировать отождествление в некоторых резонансных точках, но это не сделано в настоящий момент. Поэтому, задача отождествления полей и форм факторов остается не решенной.
Недавно в работах [43, 44] с использованием скейлингого предела решеточных моделей, было показано, что пространство операторов потомков, по крайней мере для модели синус-Гор дона, может быть описываться с помощью некоторых фермионных операторов, действующих на пространстве локальных операторов теории. В частности, оказывается возможным точное вычисление всех вакуумных ожидаемых операторов потомков в модели [44]. Будет крайне не естественным, если эти фермионные операторы не индуцируют действие на алгебре A A в нашей конструкции. Поэтому, выявление подобных фермио-нов в конструкции для форм факторов будет важным дальнейшим шагом по направлению к решению задачи об идентификации полей, если не полным ее решением.
В третьей главе в формализме свободно-полевого представления мы построили решения для форм факторных аксиом для модели Буллоу-Додда. Предложенная нами процедура бозонизации отличается от Лукьяновской тем, что минимальные форм факторы исключены из конструкции. В результате, вычисление много-точечных форм факторов сводится к вычислению определенных матричных элементов. Простая аналитическая структура этих матричных элементов позволяет получить явные рекуррентные соотношения между ними. Используя эти соотношения, мы доказываем, что форм факторы удовлетворяют квантовым уравнениям движения и удовлетворяют отражательным свойствам. Кроме того, мы приводим явные выражения для много-точечных форм факторов.
Рассматриваем квантово-групповое ограничение модели Жибера-Михайлова-Шабата, которая возникает при аналитическом продолжении модели Буллоу-Додда к мнимым значениям константы связи b. Предложенное свободно-полевое представление позволяет вычислять форм факторы легчайших бризеров в минимальных моделях конформной теории поля, возмущенных оператором 1,2. При этом, процедура вычисления генерирует функции, аналитические свойства которых совпадают с аналитическими свойствами этих функций в модели Буллоу-Додда. Это значит, что никаких дополнительных полюсов функций JNg ,a при аналитическом продолжении не возникает.
В качестве примера применения предложенной конструкции мы рассматриваем модель Изинга в магнитном поле. Нетривиальной задачей является получения свободно-полевого представления для алгебры E8 напрямую. Замечательная связь между этими моделями была установлена в работах [64, 65]. В этой работе мы получили удобное для вычислений свободно-полевое представление для фундаментальных частиц в модели Изин-га в магнитном поле и привели результаты вычислений много-точечных форм факторов.
