Классические и квантованные поля в пространствах с нетривиальными топологической и причинной структурами Сушков Сергей Владимирович

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Сушков Сергей Владимирович. Классические и квантованные поля в пространствах с нетривиальными топологической и причинной структурами : дис. ... д-ра физ.-мат. наук : 01.04.02 Казань, 2006 307 с. РГБ ОД, 71:07-1/142

Содержание к диссертации

Введение

1 Введение в физику кротовых нор 20

1.1 Экскурс в историю 20

1.2 Что называют кротовыми норами? 22

1.3 Геометрия горловины 25

1.3.1 Произвольная статическая горловина 26

1.3.2 Произвольная нестатическая горловина 28

1.4 Статическая сферически симметричная кротовая нора 30

1.4.1 Метрика кротовой норы, выраженная через собственную

радиальную координату 30

1.4.2 Метрика кротовой норы в координатах кривизн 33

1.4.3 Диаграмма погружения 35

1.5 Кротовые норы и проблема нарушения энергетических условий 37

1.5.1 Энергетические условия в общей теории относительности 38

1.6 Кротовые норы и проблема машины времени 46

1.7 Кротовые норы: Библиографический обзор 48

2 Кротовые норы в теории гравитации с классическими материальными полями 58

2.1 Введение 58

2.2 Космологичегжая эволюция кротовых нор в теории гравитации с фантомным скалярным полем 63

2.2.1 Основные уравнения 63

2.2.2 Статическое решение 64

2.2.3 Решение, зависящее от времени 65

2.2.4 Кротовая нора в космологическом окружении 67

2.2.5 Тензор энергии-импульса духового скалярного поля . 70

2.3 Кротовые норы в теории гравитации с фантомной энергией . 72

2.3.1 Основные уравнения 72

2.3.2 Сферически симметричное распределение фантомной энергии 74

2.3.3 Кротовые норы с фантомной энергией 75

2.4 Кротовые норы, поддерживаемые скалярным полем с хиггсовским потенциалом 80

2.4.1 Основные уравнения 81

2.4.2 Кротовые норы и конфигурация типа кинка для скаляр ного поля: Общие результаты 84

2.4.3 Решение с кротовой норой 90

2.5 Доменные стенки в пространстве-времени кротовой норы . 97

2.5.1 Решение с доменной стенкой 97

2.5.2 Доменная стенка в модели кротовой норы 101

2.5.3 Тензор энергии-импульса доменной стенки 103

STRONG Заключение 104

Кротовые норы в теории гравитации с квантованными полями STRONG 108

3.1 Введение 108

3.2 Самосогласованное полуклассическое решение с горловиной в теории гравитации с источником в виде вакуума квантованных полей 111

3.2.1 Приближение Фролова-Зельникова для перенормированного вакуумного среднего значения тензора

энергии-импульса 111

3.2.2 Решение с горловиной в рамках приближения Фролова-Зельникова 112

3.3 Энергия нулевых колебаний скалярного массивного поля в про

странстве-времени кротовой норы 119

3.3.1 Модель кротовой норы с бесконечно короткой горловиной 119 3.3.2 Энергия нулевых колебаний и коэффициенты теплового

ядра 123

3.3.3 Обсуждение 131

3.4 Аналитическое приближение для (0|2|0) в случае массивного скалярного поля в статическом сферически симметричном пространстве-времени 134

3.4.1 Метод ВКБ для построения неперенормированного выражения для (0|^2|0) 134

3.4.2 Перенормированное выражение для (О|02|О) 138

3.4.3 (О|02|О) в пространстве-времени Шварцшильда 142

3.4.4 (О|02|О) в пространстве-времени кротовой норы 144

3.5 Однородное приближение 146

3.5.1 Функции Грина 148

3.5.2 Точно решаемые модели 151

3.5.3 Приближение ВКБ для радиальных мод 153

3.5.4 Новое равномерное приближение для радиальных мод 154

3.5.5 Вычисление (О|02|О) с помощью равномерного приближения 161

Заключение 165

Квантовая теория поля в пространствах с замкнутыми времениподобными линиями 167

Введение 167

4.1 Теория поля в многосвязном пространстве-времени 170

4.2 Квантованное комплексное скалярное поле в двумерном пространстве-времени с замкнутыми времениподобными линиями 172

4.2.1 Двумерная модель пространства-времени с хронологическим горизонтом 172

4.2.2 Вакуумный тензор энергии-импульса 173

4.2.3 Поведение тензора энергии-импульса вблизи хронологического горизонта 180

4.3 Комплексное автоморфпое скалярное поле в пространстве Мизнера 184

4.3.1 Пространство Мизнера 184

4.3.2 (0|Г^|0)ге" и (0\фф\0)геп для комплексного скалярного поля в пространстве Мизнера 186

4.3.3 Поведение (0|ТМ„|0) и (0\фф\0) вблизи хронологического горизонта 191

4.4 Рождение частиц вблизи хронологического горизонта 194

4.4.1 Модель пространства-времени 194

4.4.2 Рождение частиц 197

4.5 Квантованные поля в неглобально гиперболических пространствах 206

4.5.1 Проблемы квантовой теории поля в пространствах с замкнутыми времениподобными линиями 208

4.5.2 Модифицированная процедура квантования 212

4.5.3 Функция Адамара и (О|02|О) 216

4.5.4 Метод изображений 219

Заключение 221

Основные результаты и выводы 224

Приложения 231

Литература

Произвольная статическая горловина
Тензор энергии-импульса духового скалярного поля
Самосогласованное полуклассическое решение с горловиной в теории гравитации с источником в виде вакуума квантованных полей
Квантованное комплексное скалярное поле в двумерном пространстве-времени с замкнутыми времениподобными линиями

Введение к работе

Актуальность работы

Уравнения Эйнштейна, лежащие в основе общей теории относительности (ОТО), будучи дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка, позволяют, вообще говоря, устанавливать лишь локальные свойства пространства-времени. В частности, это означает, что в ОТО оказывается возможным существование решений, описывающих пространственно-временные конфигурации с нетривиальными топологической и причинной структурами. Для характеристики глобальных свойств пространства-времени требуется физическая теория, выходящая за рамки ОТО. Возможно, такой теорией в будущем станет квантовая гравитация, на построение которой в течение многих лет направлены значительные усилия многих ученых. В отсутствие законченной квантовой теории гравитации особое значение приобретают исследования, нацеленные на изучение топологической и причинной структур пространства-времени и их связей с различными физическими процессами.

Идея о нетривиальной топологии пространства имеет долгую историю. В частности, еще в 1900 году Шварцшильд¹ обсуждал такую возможность и использовал представление о двойных изображениях для определения нижней границы размера Вселенной. Вопрос о топологии Вселенной и сегодня является актуальным и открытым. В последние годы исследование этой проблемы получило новый импульс в связи достижениями наблюдательной космологии.²

Важный вклад в развитие топологических идей в физике был сделан Эйнштейном и Уилером. В 1935 году Эйнштейн и Розен опубликовали работу,³ в которой была предложена свободная от сингулярностей геометрическая модель элементарной "частицы"; роль частицы в этой модели выполнял "мост", соединяющий два пространства

/ r-.~ d „ _ ivr>,. Рис. 1. Мост, связывающий

(мост Эинштеина-Розена: см. рис. 1). Раз- ,, '

га- т-> Две вселенные .

витием модели Эйнштейна и Розена яви-

¹Schwarzschild К. On the permissible curvature of space // Classical and Quantum Gravity.—1998.-V.15.-P.2539-2544.

²Levin J. Topology and the cosmic microwave background // Phys. Rept..-2002.-V.365.—P.251-333.

³Einstein A., Rosen N. The partical problem in the general theory of gravity // Physical Review—1935.-V.48—P. 73-77.

лась геометродинамика Уилера,⁴ основанная па представлении о многосвязном пространстве.

Топологическая ручка в многосвязном пространстве получила название "wormhole" или "кротовая нора". Идеи Уилера о роли топологии в гравитации оказали глубокое влияние на физические представления о

структуре пространства-времени. Понятия Рис. 2. Топологическая руч-о кротовых норах и пространственно-вре- ^ка (кротовая пора), соеди-менной пене прочно вошли в физический няющая удаленные области лексикон и мышление. Новый всплеск иите- вселенной . реса к кротовым норам был вызван работами Морриса и Торна,⁵ которые ввели понятие проходимой кротовой норы и показали, что существование таких объектов неизбежно приводит к формированию в пространстве-времени замкнутых времениподобных мировых линий, т.е. к образова-. нию "машины времени". Полученные ими результаты повлекли за собой активную деятельность, охватывающую широкий спектр проблем, связанных с кротовыми норами и машиной времени.

Центральная проблема физики кротовых нор связана с тем, что их существование должно поддерживаться "экзотической" формой материи, нарушающей ряд стандартных энергетических условий. Построение и изучение реалистических физических моделей, в рамках которых возможно существование кротовых нор, является одним из важнейших па-правлений исследований в этой области. В этом направлении важные результаты были получены Бронниковым, Эллисом, Виссером и другими.

Следует отметить, что энергетические условия играют фундаментальную роль в гравитационной физике; они лежат в основе многих важных результатов, полученных в рамках ОТО. Среди них известные теоремы о сингулярностях, теорема о топологической цензуре, законы термодинамики черных дыр. Все эти результаты справедливы при определенных ограничениях, накладываемых стандартными энергетическими условиями. Интерес к проблеме существования кротовых нор и машины времени инициировал исследования, нацеленные на более детальный анализ энергетических условий. Значительный прогресс был достигнут в понимании ограничений, следующих из квантовой теории поля. В 1995 году Форд и

⁴Уиллер Дж. А., Гравитация, нейтрино и Вселенная.—М.: Изд-во ин. лит-ры— 19G2.-404 с.

⁵Morris М. S., Thome К. S. Wormholes in spacetime and their use for interstellar travel: A tool for teaching general relativity // American Journal of Physics.—1988.— V.56.—P.395-412.; Morris M. S., Thome K. S., Yurtsever U. Wormholes, time machines, and the weak energy condition // Physical Review Letters.—1988.—V.61.—P.1446-1449.

Роман⁶ получили новый тип энергетических условий — так называемые квантовые неравенства, накладывающие дополнительные ограничения на пространственно-временные и полевые конфигурации. Следствия, к которым приводят квантовые неравенства, интенсивно изучаются в настоящее время.

Важным следствием существования кротовых нор является образование в пространстве-времени замкнутых времениподобных мировых линий. Для решения этой проблемы, известной как проблема машины времени, Хокинг выдвинул гипотезу о защите хронологии,⁷ гласящую, что законы физики запрещают формирование машины времени в будущем. В качестве механизма, обеспечивающего защиту хронологии, он предложил рассматривать возможную квантовую нестабильность хронологического горизонта, т.е. гиперповерхности, разделяющей области, содержащие и не содержащие замкнутые времениподобные линии. Большой интерес к гипотезе Хокинга и проблеме машины времени в целом привел к интенсивным исследованиям в этой области. В частности, при этом был достигнут значительный прогресс в понимании поведения квантованных полей вблизи хронологического горизонта.

Астрофизические данные, полученные в последние годы для сверхновых типа 1а,⁸ убедительно свидетельствуют в пользу того, что наша Вселенная в настоящее время находится в состоянии ускоренного расширения. Объяснение этого факта в рамках общей теории относительности требует предположения, что значительная часть Вселенной (~ 73%) состоит из гипотетической темной энергии: экзотической материи, обладающей положительной плотностью энергии р > 0 и отрицательным давлением р = wp, где w < —1/3. При этом наблюдениями не исключается случай w < — 1; в этом случае темную энергию называют фантомной. Недавно было показано, что экзотические свойства темной (фантомной) энергии, которые проявляют себя в поведении Вселенной в целом, могут также проявляться и в малых масштабах, обеспечивая существование кротовых нор.

Все сказанное выше свидетельствует о том, что исследования классических и квантованных полей в пространствах с нетривиальными топологической и причинной структурами являются, безусловно, актуальными.

⁶Ford L. II., Roman Т. A. Averaged energy conditions and quantum inequalities // Physical Review D,—1995.—V.51.—P.4277-4286.

⁷Hawking S. W. Chronology protection conjecture // Physical Review D.--1992.— V.46.—P.603-611.

⁸Riess A.G. et al, The Farthest Known Supernova: Support /or an Accelerating Universe and a Glimpse of the Epoch of Deceleration // Astrophys.J..—2001.— V.560-—P.49-71.

Цели и задачи диссертационной работы

Целью диссертационной работы является исследование круга проблем, связанных с возможными нетривиальными топологической и причинной структурами физического пространства-времени, включая проблему существования кротовых нор в рамках общей теории относительности, проблему "машины времени" или замкнутых времениподобпых мировых линий и проблемы, связанные с особенностями поведения классических и квантованных полей в пространствах с нетривиальными топологической и причинной структурами.

В диссертационной работе решаются следующие задачи:

Изучение динамических кротовых нор в общей теории относительности с фантомным скалярным полем.
Исследование роли темной энергии (энергии вакуума) в обеспечении условий существования кротовых нор. Построение и исследование моделей, описывающих кротовые норы с темной энергией.
Исследование статических сферически симметричных кротовых нор, поддерживаемых скалярным полем с потенциалом хиггеовского типа.
Изучение условий существования доменных стенок в пространстве-времени статической сферически симметричной кротовой норы.
Определение условий существования и построение явных самосогласованных решений, описывающих кротовые норы в полуклассической теории гравитации.
Вычисление энергии нулевых колебаний квантованного массивного скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы.
Разработка метода построения аналитических приближенных выражений для вакуумного среднего значения (0|² ]0) (поляризация вакуума скалярного поля ф) и вакуумного тензора энергии-импульса {0|T^„jO) скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы.
Изучение поведения квантованного комплексного скалярного поля вблизи хронологического горизонта в пространстве Мизнера.
Изучение рождения частиц скалярного поля в процессе формирования хронологического горизонта в динамической модели.

10. Анализ проблем, возникающих при использовании стандартного
подхода к процедуре квантования полей в пространствах с замкнуты
ми времешшодобными линиями; разработка модифицированной схемы
квантования.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Скалярное поле с отрицательной кинетической энергией и с экспонен-

циальным потенциалом в рамках общей теории относительности обеспечивает существование динамической сферически-симметричной пространственно-временной конфигурации, представляющей собой кротовую нору, связывающую две асимптотически однородные пространственно плоские вселенные, расширяющиеся с ускорением. Характер ускорения зависит от параметра, определяющего массу кротовой норы. В случае нулевой массы величина ускорения является постоянной; для массы, отличной от нуля, величина ускорения возрастает до бесконечности за конечный промежуток времени. Первый случай соответствует двум вселенным Де Ситтера, соединенным кротовой норой. Во втором случае кротовая нора соединяет две однородные пространственно плоские вселенные, расширяющиеся с возрастающим ускорением вплоть до финального сингулярного состояния, получившего название Большой Разрыв (Big Rip).

Темная энергия способна приводить к формированию и существованию статических сферически симметричных кротовых нор. Это возможно для фантомной темной энергии с уравнением состояния р = wp, где w < —1. Распределение фантомной энергии в пространстве кротовой норы имеет следующую важную особенность: большая ее часть оказывается заключенной в ограниченной сферической области, окружающей горловину кротовой норы; максимальный размер этой области ограничен и определяется параметром w.
В рамках эйнштейновской теории гравитации со скалярным полем, неминимально связанным с кривизной и имеющим потенциал хиггсов-ского типа с двумя минимумами (что приводит к нарушению дискретной симметрии), реализуются решения, описывающие статические сферически симметричные кротовые норы. Распределение скалярного поля на фоне подобной кротовой норы представляет собой особую топологическую конфигурацию, соответствующую сферической доменной стенке, локализованной вблизи горловины.
Кротовые поры реализуются как самосогласованные решения полуклассической теории гравитации с вакуумом квантованных полей. Особенность полуклассических кротовых нор состоит в том, что характерный масштаб горловины такой кротовой норы сравним с планковской длиной.
Возможность существования полу классических кротовых нор подтверждается исследованиями энергии нулевых колебаний массивного скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы (модель короткого горла). Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля с константой связи ^, вычисленная с помощью метода дзета-функции, прини-

мает минимальное значение для определенного радиуса горловины кротовой норы, соответствующего равновесной конфигурации. В частности, для = 1/6 (конформная связь) радиус горловины стабильной иолуклас-сичсской кротовой норы имеет значение а « 0.0141L_P, где L_p — планков-ская длина.

Предложен метод построения аналитических приближенных выражений для поляризации вакуума (0|<²|0) и вакуумного тензора энергии-, импульса (0|7)л,|0) массивного скалярного поля ф, основанный на использовании ВКБ-приближения для мод скалярного поля и адаптированный для вычислений в пространстве-времени кротовой норы.
Приближенные методы, нацеленные на вычисление вакуумных средних величин и использующие в своей основе приближение ВКБ, приводят к неверным результатам на горизонте событий черной дыры для полей, не обладающих конформной инвариантностью. Причиной этого является важная роль, которую играют низкочастотные моды вблизи горизонта событий. Для решения этой проблемы построено новое однородное приближение, более точно учитывающее вклад низкочастотных (включая нулевую) мод и приводящее к хорошим результатам как вблизи, так и вдали от горизонта событий.
Квантованное автоморфное скалярное поле дает пример регулярного поведения на хронологическом горизонте (в двумерной модели и 4-мерном пространстве Мизнера). Тензор энергии-импульса, вычисленный для такого поля, остается регулярным на хронологическом горизонте при определенных значениях параметра автоморфности.
Формирование хронологического горизонта сопровождается рождением частиц квантованного скалярного поля. При этом число частиц, рожденных в каждой моде, так же, как и полное число частиц, остаются конечными в момент формирования горизонта. Этот результат указывает на то, что процесс рождения частиц не может препятствовать образованию хронологического горизонта.

10. Математическое требование полноты набора решений волнового
уравнения, возведенное в физический принцип, позволяет успешно ре
шить ряд проблем, связанных с построением квантовой теории поля в
пространствах с замкнутыми времениподобными линиями. В частности,
на основе принципа полноты оказывается возможным построение моди
фицированной процедуры квантования. Прямые вычисления функции
Адамара и поляризации вакуума (0|2|0) для скалярного поля ф, вы
полненные с использованием данной процедуры в двумерной модели с
замкнутыми времениподобными линиями, приводят к результатам, со
гласующимся с уже имеющимися.

Достоверность результатов диссертации

Достоверность результатов, выводов и научных положений диссертационной работы обеспечивается:

— корректностью построения математических моделей физических
систем в пространствах с нетривиальными топологической и причинной
структурами;

корректностью проведенных математических преобразований и расчетов;

согласием полученных в диссертации результатов с известными результатами.

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты:

Построено точное, аналитическое решение, описывающее нестатическую кротовую нору в общей теории относительности с фантомным скалярным полем; кротовая нора соединяет удаленные области расширяющейся с ускорением Вселенной.
Впервые установлено, что темная энергия с уравнением состояния р = wp, где го < —1, доминирующая в ускоряющейся Вселенной, обеспечивает существование кротовых нор. Показано, что в случае статического сферически симметричного распределения темная энергия оказывается заключенной в сферической области вокруг горловины кротовой норы, причем максимальный размер этой области ограничен и определяется параметром w.
Исследованы полевые конфигурации нового типа, представляющие собой сферические доменные стенки, локализованные вблизи горловины кротовой норы.
В рамках полуклассического подхода впервые исследована проблема существования кротовых нор в общей теории относительности с квантованными полями, выступающими в роли источника гравитации. Построены самосогласованные решения, описывающие полуклассические кротовые норы.
Вычислена энергия нулевых колебаний квантованного массивного скалярного поля в пространстве-времени кротовой норы и получена оценка величины радиуса горловины полуклассической кротовой норы.
Усовершенствован метод построения аналитических приближенных выражений для вакуумных средних значений квадрата скалярного поля (О|0²|О) (поляризации вакуума) и тензора энергии-импульса скалярного поля (OjT^IO). Метод успешно использован при построении аналити-

ческого приближения для поляризации вакуума массивного скалярного поля в пространстве-времени статической сферически симметричной кротовой норы.

Изучено поведение квантованного комплексного скалярного поля вблизи хронологического горизонта и показано, что существуют квантовые состояния, для которых тензор энергии-импульса скалярного поля остается конечным на горизонте.
Исследовано рождение частиц скалярного поля в процессе формирования хронологического горизонта. Установлено, что полное число частиц, рожденных в этом процессе, является конечным. Этот результат указывает на то, что процесс рождения частиц не препятствует образованию хронологического горизонта.
Проведен детальный анализ проблем, возникающих при использовании стандартной процедуры квантования полей в пространствах с замкнутыми времениподобными мировыми линиями, и предложена модифицированная схема квантования, распространяющаяся на случай квантованных полей в пространствах, не обладающих глобальной гиперболической структурой.

Апробация работы

Основные материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и рабочих совещаниях: Международная конференция по гравитации, космологии, астрофизике, посвященная 90-летию со дня рождения проф. К.П. Станюковича (Москва, март, 2006); 12 Российская гравитационная конференция по гравитации, космологии и астрофизике (Казань, июнь, 2005); Международная конференция "Astrophysics and cosmology after Gamow" (Odessa, Ukraine, August, 2004); 3 Международная школа-семинар "Проблемы теоретической и наблюдательной космологии" (Ульяновск, сентябрь, 2003); V международное рабочее совещание "Quantum Field Theory Under the Influence of External Conditions" (Германия, Лейпциг, 2001); Международное рабочее совещание и школа "Quantum Gravity and Superstring" (Россия, Дубна, 2001); V международная конференция "Gravitation and Astrophysics of Asian-Pacific Countries" (Россия, Москва, 2001); 2 Международная школа-семинар "Проблемы теоретической космологии" (Ульяновск, сентябрь, 2000); Международная конференция "Gravitation, Cosmology and Rela-tivistic Astrophysics" (Украина, Харьков, 2000); IV международное рабочее совещание "Quantum Field Theory Under the Influence of External Conditions" (Германия, Лейпциг, 1998); IV международный семинар им.

А.А. Фридмана "Gravitation and Cosmology" (Санкт-Петербург, 1998); 15th International Conference on General Relativity and Gravitation (Pune, India, December, 1997); 1 Международная школа-семинар "Современные проблемы космологии" (Ульяновск, сентябрь, 1997); III Международная конференция "Геометризация физики" (Казань, октябрь, 1997); Международный геометрический семинар "Современная геометрия и теория физических полей" (Казань, февраль, 1997); 9 Российская гравитационная конференция "Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации" (Новгород, 199G); III международное рабочее совещание "Quantum Field Theory Under the Influence of External Conditions", (Германия, Лейпциг, 1995); II семинар "Gravitational Energy and Gravitational Waves" (Дубна, 1990); Конференция "Материальные среды в релятивистских полях тяготения" (Казань, 1989), а также на научных семинарах Государственного астрономического института им. П.К. Штернберга МГУ, Российского гравитаїщонного общества (Центр гравитации и фундаментальной метрологии ВНИИМС), кафедры теоретической и математической физики Ульяновского государственного университета, кафедры теории относительности и гравитации Казанского государственного университета, кафедр геометрии и теоретической физики Казанского государственного педагогического университета, кафедры теоретической физики университета Эдмонтона (Канада), кафедры теоретической физики университета Сеула (Корея), теоретического отдела Института теоретической физики (Пекин, Китай).

Публикации

По теме диссертации опубликовано двадцать шесть статей в центральной (ТМФ, ЯФ, Gravitation & Cosmology [Гравитация и космология]) и зарубежной (Physical Review Letters, Physical Review D, Classical and Quantum Gravity, General Relativity and Gravitation, Physics Letters A, International Journal of Modern Physics) печати.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка литературы и приложения.

Произвольная статическая горловина

Независимость геометрии от времени позволила нам полностью локализовать эту поверхность в одном из трехмерных пространственных сечений постоянного времени и сформулировать для нее условия экстремальности и минимальности. При этом мы использовали вариационный принцип, который для статической горловины основан на выполнении произвольных, не зависящих от времени деформациях двумерной поверхности в оставшихся, ортогональных к поверхности пространственных направлениях. В отличие от этого, в том случае, когда геометрия зависит от времени, мы не имеем основания для того, чтобы локализовать горловину в каком-либо одном сечении постоянного времени. В этом случае нестатическая горловина является пространственно-временным объектом, и вариационный принцип теперь должен включать в себя не только деформации в пространственных направлениях, но также и в направлении времени. Последовательное математическое описание нестатической горловины было дано в работах [275, 276]. Подход, развитый в этих работах, основан на исследовании конгруэнции изотропных геодезических, ортогональных к некоторой замкнутой двумерной пространственной поверхности. Условия горловины при этом определяются как условия, при которых сжатие конгруэнции сменяется ее расширением. Для описания этих условий используется хорошо развитый математический аппарат, основанный на уравнениях девиации геодезических и, в частности, на уравнении Райчаудхури. Ниже мы приводим некоторые, адаптированные для дальнейшего изложения, сведения об этом уравнении и даем определение произвольной нестатической горловины.

Рассмотрим компактную двумерную пространственноподобную поверхность Е, вложенную в (3 + 1)-мерное пространство-время. Будем полагать, что эта поверхность является ориентированным многообразием, т.е. имеет две стороны. В каждой точке такой поверхности можно определить два изотропных вектора / , ортогональных к ней. (Знаки ± отмечают два возможных изотропных направления, существующих для двусторонней поверхности.) Эти векторы порождают две конгруэнции изотропных геодезических или два векторных поля /±, определенных в некоторой открытой окрестности поверхности [43, 478]. Обозначим координаты на Е через х и примем, что изотропные геодезические параметризованы с помощью аффинных параметров и±(х) так, что поверхность Е отвечает значениям и± = 0. Отметим, что такая параметризация порождает в окрестности Е систему координат, в которой пространственно-временная точка характеризуется двумя пространственными координатами х и двумя изотропными координатами и± (которые часто обозначаются как {и, у)). Как известно (см. [43, 478]), всякую конгруэнцию геодезических можно полностью охарактеризовать в терминах коэффициентов расхождения в, поперечного сдвига а и и вращения и . В частности, О является мерой мгновенной скорости расширения (или сжатия) поперечной площади пучка геодезических. Для конгруэнции изотропных геодезических эта величина определяется уравнениями Райчаудхури:

Рассмотрим поверхности Еи±, полученные из Е сдвигом в направлении 1± на величину, соответствующую аффинному параметру и±. Определим горловину кротовой норы как компактную двумерную пространственноподобную поверхность Еи, минимальной площади. Здесь сразу необходимо отметить, что из определения следует существование двух горловин: а именно, Su+ и Hu_, которые отвечают минимальной площади сечения конгруэнции изотропных геодезических /+ и L, соответственно.

Получим условия, определяющие горловину нестатической кротовой норы. Для этого вычислим площадь Eu±: где 7 — метрика, индуцированная на поверхности Еи±. Требование экстремальности и минимальности величины площади означает, что Отсюда получаются следующие условия горловины:

Моррис и Торн [359] предложили простую модель, отражающую многие существенные особенности геометрии кротовой норы. Модель представляет собой статический сферически симметричный "мост", соединяющий две плоские "вселенные". В этом параграфе мы детально обсудим эту модель.

Зачастую метрику статической сферически симметричной кротовой норы выписывают в координатах кривизн (t,r,d,ip), используя при этом следующее представление [359, 465]:

Данная метрика описывает пространство-время кротовой норы, если выполняются следующие условия:

Для описания всего пространства,-времени требуются две копии координатных карт, покрывающих область [го,+оо). При этом каждая карта покрывает одну "вселенную". Карты склеиваются в точках го, т.е. в горловине кротовой норы.

Должно быть выполнено условие Ф+(го) = Ф_(го), чтобы обеспечить непрерывность координаты t при переходе через горловину. Это требование может быть, вообще говоря, всегда достигнуто подходящим масштабированием времени в одной из двух вселенных.

Тензор энергии-импульса духового скалярного поля

Как следует из анализа ряда недавних астрофизических данных, связанных с независимыми наблюдениями сверхновых типа 1а [401, 388, 389, 250] и космического фонового микроволнового излучения [90, 266], наша Вселенная в настоящее время находится в состоянии ускоренного расширения. Объяснение этого факта в рамках общей теории относительности требует предположения, что значительная часть Вселенной ( 73%) состоит из гипотетической темной энергии: экзотической материи, обладающей положительной плотностью энергии р 0 и отрицательным давлением р, таким, что р — wp, где w -1/3. В случае w — 1 темную энергию называют фантомной [132]. Важное свойство фантомной энергии заключается в том, что она нарушает изотропное энергетическое условие и, как следствие, может обеспечивать существование кротовых нор. Впервые решение, описывающее кротовую нору с фантомной энергией, было получено в нашей работе [436]. Также, подобные конфигурации рассматривались в работах [349, 189, 490].

Возьмем метрику статической сферически симметричной кротовой норы в виде (1.4.30): где функции Ф(г) и 6(г) удовлетворяют ряду дополнительных условий, перечисленных в главе 1. В частности, функция красного смещения Ф(г) должна быть всюду ограниченной, чтобы гарантировать отсутствие горизонтов событий в пространстве-времени. Функция формы b(r) должна подчиняться условиям горловины, которые в данном случае принимают вид

Вне горловины, т.е. при г го, для функции b(r) должно выполняться следующее неравенство: Условие асимптотической плоскостности дополнительно требует, чтобы В силу сферической симметрии отличными от нуля являются лишь следующие компоненты тензора энергии-импульса: Т$ = —р(г), Т\ — р(г), и ТІ — з = Pi(r) гДе Р плотность энергии, р — радиальное давление, и р± — поперечное давление. Уравнения Эйнштейна G — ЫТ при этом принимают следующий вид:

Поскольку тензор Эйнштейна подчиняется условию Ср.а = 0 и значения р, р и pi связаны законом сохранения то только два уравнения системы (2.4.74а-2.4.74с) являются независимыми. Удобно представить их в следующей форме:

Уравнения Эйнштейна связывают геометрические по своей природе условия горловины (2.3.41), (2.3.42) с распределением материи в горловине кротовой норы. В частности, полагая Ь(го) = го в уравнении (2.3.46), мы находим откуда непосредственно следует, что радиальное давление в горловине должно быть отрицательным. Полагая b (ro) 1 в уравнении (2.4.74а), мы получаем

Последнее неравенство накладывает ограничение на значения, которые может принимать плотность энергии в горловине.

Уравнение (2.3.49) может быть сведено к квадратурам: Константа интегрирования здесь выбрана так, чтобы обеспечить условие Ь(го) го. Отметим, что вместо функции b(r) мы можем рассматривать функцию m(r) = Ь(г)/2, которая представляет собой эффективную гравитационную массу внутри радиуса г. Предел lim,.- т(г) — М, если он существует, дает асимптотическую гравитационную массу кротовой норы, видимую удаленным наблюдателем.

В дополнение к уравнениям Эйнштейна нам необходимо задать уравнение состояния вещества, являющегося источником гравитационного поля. Уравнение состояния фантомной энергии в космологии обычно представляется в виде р = wp, где w — 1 (отметим, что параметр w может быть, вообще говоря, переменной величиной), и р — отрицательное, пространственно однородное давление. По аналогии мы будем предполагать, что сферически симметричное распределение фантомной энергии характеризуется уравнением состояния, имеющим такой же вид: р = wp, однако теперь р — это отрицательное радиальное давление. Отметим, что поперечное давление р± при этом не является независимым и определяется из уравнения (2.3.48). Обозначая для удобства к = — w, мы получаем

Важное свойство распределенной сферически симметрично фантомной энергии состоит в том, что она способна обеспечивать выполнение условий горловины. Действительно, полагая, что давление в горловине ро = — (87rrj))-1, получаем 8тткц 8ятд тем самым оба условия (2.3.51) и (2.3.52) оказываются выполненными.

В следующем параграфе мы покажем, что фантомная энергия действительно обеспечивает существование кротовых нор, и предъявим явные решения, описывающие подобные кротовые норы.

Отметим, что система четырех уравнений (2.3.48), (2.3.49), (2.3.50), и (2.3.54) включает в себя пять неизвестных функций Ф, Ь, р, р, и pi и поэтому является недоопределенной. Одна из пяти функций является свободной и должна быть задана, исходя из некоторых дополнительных соображений. В частности, мы можем фиксировать вид функции р(г), используя дополнительные предположения о пространственном распределении плотности фантомной энергии.4 Форма функции р(г) при этом ограничена лишь соотношением (2.4.74а)

Самосогласованное полуклассическое решение с горловиной в теории гравитации с источником в виде вакуума квантованных полей

Как уже говорилось, важная особенность физики кротовых нор состоит в том, что проходимые кротовые норы обязательно нарушают световое энергетическое условие. Поскольку все известные классические формы материи не нарушают этого условия, кротовые норы, если и существуют, то могут появляться в рамках теории гравитации лишь с некоторыми гипотетическими видами классической материи, такими, как духовое скалярное поле или фантомная энергия (см. главу 2). С другой стороны, в главе 1 мы отмечали, что квантованные поля способны нарушать все известные энергетические условия, поэтому можно ожидать появления кротовых нор в контексте полу классической или, возможно, квантовой гравитации. В отсутствие завершенной теории квантовой гравитации основную роль при изучении квантовых явлений в гравитации играет полуклассический подход. В рамках этого подхода гравитационное поле считается классическим и не квантуется, в то время как все остальные физические поля полагаются квантованными. Основное уравнение полуклассической теории гравитации имеет вид где G v — тензор Эйнштейна и (Т )геп — переномированное среднее значение оператора тензора энергии-импульса, построенное для некоторого квантового состояния. Величина (T/iI/)ren является сложным функционалом метрики и ее вычисление представляет собой весьма трудную, а зачастую неразрешимую задачу. Ряд трудностей удается преодолеть, если ограничиться изучением квантованных полей на фиксированном фоне искривленного пространственно-временного многообразия. В этом направлении было получено множество результатов (см. монографии и обзоры [5, 8, 9, 225, 22, 23, 25]), среди которых к важнейшим относятся такие эффекты, как квантовое испарение черных дыр [256, 257], рождение частиц сильными гравитационными полями и поляризация вакуума [5, 8, 9].

Стремление преодолеть технические проблемы полуклассической теории гравитации привело к интенсивному развитию приближенных методов вычисления квантовых средних величин. В 1982 году Пейдж [379] предложил метод вычисления приближенного выражения (Туд,) для конформного безмассового скалярного поля в статических пространствах Эйнштейна (т.е. в пространствах, где R = Ад и существует времениподобное поле векторов Киллинга м 9г). Метод основан на том, что аномалия следа для конформно инвариантных полей оказывается равной нулю в пространствах, связанных со статическими пространствами Эйнштейна ds2 конформным преобразованием ds2 = to2ds2, где и2 = — . Используя гауссово приближение для функции Грина в конформном пространстве ds2 и связь между перенормированными значениями {Т )теп в конформносвязанных пространствах, Пейдж получил желаемое приближенное выражение для (Тй1/)геп в физическом пространстве. Позже Браун и Оттевилл [126] предложили подход, несколько отличный от метода Пейджа. Они применили его к исследованию поляризации вакуума скалярного, спинорного и векторного конформно инвариантных безмассовых полей и показали, что при этом воспроизводятся результаты Пейджа для скаполярного поля. (Более детальное обсуждение приближения Пейджа-Брауна-Оттевилла можно найти в работах [127, 128]). Канделас и Ховард [136, 137] показали, что приближение Пейджа для (TMi,)ren конформно инвариантного скалярного поля в пространстве-времени Шварцшильда является довольно точным. Йенсен и Оттевилл [289] выполнили численные расчеты вклада электромагнитного поля в (Т )геп для метрики Шварцшильда. Их результаты также показали, что вдали от горизонта черной дыры приближение Пейджа-Брауна-Оттевилла дает хорошее согласие с численными расчетами. Эти факты указывают на то, что в конформных аномалиях содержится существенная часть информации о полном тензоре энергии-импульса.

В упомянутых выше приближенных методах важную роль играет отсутствие аномалии следа для конформно инвариантных безмассовых полей в статических пространствах, конформно связанных со статическими пространствами Эйнштейна. Метод получения приближенного выражения для (Г )теп конформно инвариантных полей, применимый в случае произвольных статических пространств, был предложен в работах Фролова и Зельникова [217, 14]. Основная идея этого метода заключается в том, что приближенное выражение T v для (Т )геп конструируется из тензора Римана, вектора Киллин-га и их ковариантных производных до второго порядка включительно. При этом требуется, чтобы этот тензор удовлетворял закону сохранения 7]/;е и правильно воспроизводил конформную аномалию Тее — (Тее)геп. Кроме того, требуется определенное поведение Т „ при масштабных преобразованиях. Следует отметить, что (Т ,,)7-6" для квантованного поля в заданном внешнем гравитационном поле может рассматриваться как нелокальный функционал метрики. В определенном смысле вектор Киллинга сам является нелокальным функционалом метрики. Поэтому включение -зависимости в Тдг, позволяет частично учесть нелокальную зависимость (Tfil )ren от метрики. Чтобы подчеркнуть важную роль вектора Киллинга в предложенном подхо авторы назвали приближенное выражение Т/іг, для (Т )7-6, построенное с учетом перечисленных выше свойств, киллинговским анзацем или приближением Киллинга.

Эффективный подход, позволяющий строить приближенные выражения для (ф2) и (Тци) в статическом сферически симметричном пространстве-времени, был развит в работах Андерсона, Хискока и Самуэля [63, 64, 65, 66] на основе использования ВКБ-приближения для мод скалярного поля.

Выпишем ниже выражения для тензора энергии-импульса Тц„, полученные в рамках приближения Фролова-Зельникова [217,14] для (Т и)геп (при этом мы отбросим температурные члены, отвечающие квантованному состоянию поля с ненулевой температурой, т.е. мы полагаем, что поле находится в вакуумном состоянии):

Квантованное комплексное скалярное поле в двумерном пространстве-времени с замкнутыми времениподобными линиями

Уравнения Эйнштейна, лежащие в основе общей теории относительности, будучи дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка, позволяют устанавливать лишь локальные свойства пространства-времени. Глобальные свойства остаются неопределенными в ОТО, и, как следствие, оказывается возможным существование решений, описывающих пространственно-временные конфигурации с нетривиальной топологической и причинной структурой. В частности, оказывается возможным существование пространств с замкнутыми времениподобными мировыми линиями. Известными, интересными с физической точки зрения примерами такого рода являются, например, вселенная Гёделя [238], пространство Мизнера [356], пространство-время двух движущихся бесконечных космических струн (метрика Готта) [246], пространство-время с проходимой кротовой норой [360]. Следует отметить, что в то время, как во вселенной Гёделя через каждую пространственно-временную точку проходит хотя бы одна замкнутая време ниподобная линия, пространства, указанные в других примерах, имеют области, как не содержащие замкнутые времениподобные линии [хрональные области), так и содержащие их (ахроналъные область). Граница, разделяющая эти области, является частным случаем горизонта Коши и называется хронологическим горизонтом [259].

Существование в пространстве-времени замкнутых времениподобных линий может приводить к нарушению причинности. Современные опытные данные свидетельствуют в пользу сохранения причинности, поэтому считается, что пространства типа вселенной Гёделя, т.е. содержащие в каждой своей точке замкнутые времениподобные линии, не представляют физического интереса. Однако, в случае пространств с хронологическим горизонтом ситуация более сложная. В этом случае можно допустить, что замкнутые времениподобные линии могут существовать в удаленных областях пространства-времени за хронологическим горизонтом, в частности, это может быть удаленное будущее. Возможно это или нет? Данная проблема получила название проблемы машины времени.

Отвечая на поставленный выше вопрос, Хокинг [259] сформулировал гипотезу о защите хронологии, гласящую, что законы физики запрещают формирование замкнутых времениподобных линий. Механизмом, обеспечивающим защиту хронологии, по мнению Хокинга, является квантовая неустойчивость хронологического горизонта, вызванная эффектами поляризации вакуума вблизи горизонта. В качестве доказательства Хокингом были приведены аргументы, свидетельствующие в пользу того, что вакуумные средние значения тензора энергии-импульса квантованного поля должны расходиться вблизи любого хронологического горизонта, предотвращая тем самым его формирование через механизм обратной реакции на метрику пространства-времени.

В последнее время было сделано немало попыток строгого обоснования гипотезы Хокинга (см., например, работу [296], в которой был сформулирован ряд теорем). Кроме того, поляризация вакуума вблизи хронологического горизонта для различных типов квантованных полей полей и различных пространств с замкнутыми времениподобными линиями и ее роль в решении проблемы машины времени обсуждалась в целом ряде работ. В том числе, были исследованы различные модели с "машиной времени" [219, 307, 318, 352, 424, 322], пространство Мизнера [267, 437, 426], пространство двух движущихся космических струн [109], пространство Гранта [249, 332, 438].

В работах [267, 307, 219, 318, 109, 249, 352, 437, 332] было установлено, что вакуумный тензор энергии-импульса (0Т 0) безмассового скалярного поля расходится на хронологическом горизонте, поэтому учет обратного влияния этого тензора на метрику может предотвратить формирование замкнутых времениподобных линий. Однако в работе Бульвара [109] было показано, что величина (OIJT IO) ДЛЯ массивного скалярного поля остается конечной на хронологическом горизонте в пространстве Готта. Аналогичный результат был получен Танакой и Хискоком [438] для пространства Готта; они показали, что (0Т 0) остается конечным на хронологическом горизонте при условии, что масса поля выше некоторого нижнего предела, зависящего от параметра длины, на которой происходит топологическая идентификация. Таким образом, можно сделать вывод, что масса поля может служить механизмом, обеспечивающим регулярное поведение (0Т 0) на хронологическом горизонте. Другой механизм, позволяющий обеспечить регулярное поведение (07]л,0) на хронологическом горизонте и основанный на изучении автоморфных полей в пространствах с замкнутыми времениподобными линиями, был предложен и исследован в явной форме в наших работах [424, 426]. (Результаты этих работ будут детально обсуждаться в следующих параграфах.) Отметим также работу Красникова

Классические и квантованные поля в пространствах с нетривиальными топологической и причинной структурами Сушков Сергей Владимирович

Произвольная статическая горловина

Тензор энергии-импульса духового скалярного поля

Самосогласованное полуклассическое решение с горловиной в теории гравитации с источником в виде вакуума квантованных полей

Квантованное комплексное скалярное поле в двумерном пространстве-времени с замкнутыми времениподобными линиями

Похожие диссертации на Классические и квантованные поля в пространствах с нетривиальными топологической и причинной структурами