Содержание к диссертации
Введение
Глава 2. Основное состояние двухэлектронной системы 13
2.1 Радиус сходимости ряда теории возмущений для состояния Is2 17
2.2 Другие особые точки функции Е[\) 26
2.2.1 Поведение в окрестности Л = оо 26
2.2.2 Особая точка Л2 функции Е(\) 37
2.3 Наличие малого параметра в двухэлектронной задаче 47
2.4 Заключение к Главе 2 58
Литература к Главе 2 61
Глава 3. Дисперсионное соотношение для энергии как функции Z 63
3.1 Вывод дисперсионного соотношения 63
3.2 Расчет вероятности тунелирования в двухэлектронном атоме при Z 3.3 Заключение к Главе 3 80 Литература к Главе 3 83 Глава 4. Возбужденные состояния двухэлектронной системы 85 4.1 Р -состояния 88 4.1.1 Численные результаты для 5-уровней 91 4.2 Р-состояния 100 4.2.1 Численные результаты для Р-уровней 102 4.3 Заключение к Главе 4 116 Литература к Главе 4 119 Глава 5 Ангармонический осциллятор и эффект Штарка 121 5.1 Ангармонический осциллятор 122 5.2 Эффект Штарка в водороде 137 5.2.1 Сумма ряда (5.23) для мнимых полей 141 5.2.2 Вещественные поля 146 5.3 Заключение к Главе 5 151 Литература к Главе 5 153 Глава 6 Метод комплексных вращений 157 6.1 Расчет положений и ширин уровней Ps~ 160 6.1.1 Численные результаты 164 6.2 Заключение к Главе 6 178 Литература к Главе 6 181 Введение к работе
Предметом настоящей работы является исследование свойств рядов теории возмущений для случая квантово-механических систем для которых коэффициенты ряда теории возмущений могут быть расчитаны вплоть до членов довольно высокого порядка (несколько десятков). Типичной будет следующая постановка вопроса. Рассматривается квантово-механическая система, Гамильтониан которой естественным образом может быть разбит на Гамильтониан нулевого приближения и возмущение. Предположим, что коэффициенты ряда теории возмущений, соответствующей этому разбиению Гамильтониана, (для определенности, мы будем рассматривать ряд теории возмущений Релея-Шредингера) могут быть расчитаны вплоть до членов высокого порядка. Нас будет интересовать следующий вопрос: какую информацию о точном решении квантово-механической задачи можно извлечь из имеющегося набора коэффициентов ряда теории возмущений? Три известных примера квантово-механических систем, которые мы будем рассматривать ниже, где расчет коэффициентов ряда теории возмущений был проведен до членов высокого порядка, и где, поэтому, поставленный выше вопрос имеет право на существование, это ангармонический осциллятор, эффект Штарка в водороде и дв-ухэлектронная система. Наиболее полные расчеты коэффициентов рядов теории возмущений для этих систем приведены в работах [1, 2] для ангармонического осциллятора, в работах [3, 4, 5J для задачи об эффекте Штарка в водороде и в работе [6J для основного состояния двухэлектронной системы. В качестве возмущения принимались в этих работах принимались квартетный ангармонизм для ангармонического осциллятора, оператор взаимодействия с элетрическим полем для задачи об эффекте Штарка в водороде, и кулоновское межэлектронное взаимодействие в случае двухэлектронной системы. Реальный практический интерес представляют, конечно, только две последних задачи, в особенности последняя- применение теории возмущений с водородоподобным нулевым проближением к атомной системе, так как этот метод является удобным и мощным средством расчетов спектральных характеристик многозарядных ионов (так называемый l/Z-метод). Первоочередной вопрос, возникающий при формальном применении рецептов построения теории возмущеий, это вопрос о характере полученного ряда. Ряды теории возмущений могут быть, вообще говоря, как сходящимися (как в случае ряда теории возмущений для двухэлектронной системы [7, 8]), так и расходящимися асимптотическими, как в задачах об ангармоническом осцилляторе [9,.1, 2] или эффекте Штарка в водороде [10, 11]. В случае сходящегося ряда ситуация более-менее понятна, сходящийся в некоторой окрестности ряд представляет собой элемент аналитической функции, который, в принципе содержит полную информацию об этой аналитической функции. Этот элемент можно, например, продолжить аналитически (мы дадим пример такой процедуры в Гл.2 при обсуждении задачи о двухэлектронной системе). Оказывается, что и расходящиеся асимптотические ряды в некоторых случаях обладают тем свойством, что набор коэффициентов такого ряда позволяет получить полную информации о точном рещении. Для этого достаточно, чтобы асимптотический ряд обладал так называемым свойством суммируемости по Борелю. Несколько упрощая, (точная формулировка дана в Главе 5), суммируемость асимптотического ряда по Борелю означает, что существует только одна функция, имеющая в качестве коэффициентов асимптотического разложения коэффициенты этого ряда. Ряды теории возмущений в задачах об ангармоническом осцилляторе и эффекте Штарка обладают этим свойством (подробнее в Гл.5), и, таким образом, как и в случае сходящегося ряда теории возмущений для дв-ухэлектронной системы, набор коэффициентов ряда теории возмущений позволяет, в принципе, получить полную информацию о точном решении соответствующей квантово-механической системы. Вопрос заключается, таким образом, только в том, как эту информацию извлечь. Очевидно, методы, позволяющие решить эту задачу совершенно отличны от методов, годящихся для случая сходящихся рядов. В настоящей работе мы рассмотрим оба эти случая. В Главе 2 мы рассмотрим задачу о двухэлектронном атоме. Наше изложение в этой Главе следует нашим работам [12, 13, 14]. Пользуясь известными в литературе расчетами [6] коэффициентов теории возмущений высокого порядка (в цитируемой выше работе [6] проведен расчет первых 400 членов ряда теории возмущений для основного состояния двухэлектронной системы) мы получим достаточно полную информацию о свойствах точной энергии E{Z) основного состояния как функции заряда ядра Z. Говоря о свойствах E(Z), мы имеем в в виду ее свойства в смысле теории функций комплексного переменного, т.е. в Гл.2 мы займемся прежде всего изучением характера и расположения особых точек функции E{Z) для основного состояния двухэлект-ронной системы. Подчеркнем, что эта информация может быть получена только в рамках используемого подхода, т.е., с помощью исследования набора коэффициентов ряда теории возмущений по 1/Z, поскольку результатом, например, результатом высокоточного вариационного расчета энергии, будет число, мало что говорящее о глобальных свойствах энергии, рассматриваемой как функция заряда ядpa.Z. Такое глобальное исследование свойств E(Z) приводит, как мы увидим в Главе 2 к довольно неожиданному результату о наличии в задаче о двухэлектроном атоме малого параметра, проявляющегося в том, что в выражение для точной энергии основного состояния этой системы, по-видимому, входит малый (порядка 10_3) параметр. Мы продолжим исследованое энергии основного состояния как функции заряда ядра Z в Главе 3 с несколько других позиций. Изложение этой Главы следует нашим работам [15, 16J. Хорошо известна роль, которую так называемые дисперсионные соотношения играют в физике. Достаточно упомянуть, например, теорию рассеяния. Эффективность дисперсионных соотношений объясняется их "глобальным "характером, их вывод, как правило, основывается на совершенно общих свойствах исследуемых величин (например, амплитуды рассеяния в теории рассеяния). В Главе 3 мы покажем, что основываясь на самых общих свойствах E{Z) как функции Z (которые будут получены в Главе 2), можно получить дисперсионное соотношение для точной энергии основного состояния, рассматриваемой как функция заряда ядра Z. Пользуясь этим соотношением, мы сможем получить аналитическое выражение для асимптотики коэффициентов ряда теории возмущений, найденное ранее [6] с помощью численного анализа коэффициентов ряда теории возмущений. В Главе 4 мы рассмотрим некоторые возбужденные состояния двухэ-лектронной системы. Результаты, изложенные в этой Главе, получены в работах [17,18). В этой Главе мы выйдем за рамки подхода использующего только теорию возмущений. Целью нашего исследования будет, как и для основного состояния, установление свойств точных решений уравнения Шредингера (в основном точных энергий) для этих состояний. Как и в случае основного состояния, нас прежде всего будут интересовать такие свойства точных энергий En(Z) возбужденных состояний, как характер и расположение особых точек. Метод, основанный на анализе коэффициентов ряда теории возмущений, который мы применили для основного состояния в этом случае не применим (в литературе просто нет достаточно точных расчетов коэффициентов l/Z-разложения до членов высокого порядка). Более того, в отличие от случая основного состояния, в литературе нет строгих результатов о свойствах En(Z), аналогичных тем, на которых основывается изложение в Главах 2 и 3, посвященных основному состоянию. Изложение в Главе 4, поэтому, во-многом основывается на физических соображениях. Оказывается возможным, как мы увидим в этой Главе, предложить наглядную физическую модель, которая, как мы увидим, оказывается неожиданно удачной для описания этих состояний. Более точно, если рассмотреть двухэлектронную систему "близкую"к иону if-, т.е. систему в которой заряд ядра Z принимает значения близкие к единице, то используя методы теории квантового дефекта, можно получить выражения для энергии двухэлектронной системы, которые, как показывает проведенный нами численный расчет, становятся тем более точными, чем ближе заряд ядра Z к единице. Теория квантового дефекта является, по существу, феноменологической теорией, требующей для определения фигурирующих в ней параметров привлечения какой-либо сторонней информации (в качестве таковой могут выступать либо имеющиеся экспериментальные данные, либо результаты каких-либо ab initio расчетов. В нашей работе в качестве такой сторонней информации для определения двух констант, возникающих в нашем феноменологическом подходе, мы используем результаты численного расчета энергий низших уровней Ридберговских серий lsns и lsnp серий (то есть энергии уровней ls2s, ls2p. Как мы увидим в главе 4, такой подход приводит к аналитическим выражениям для энергий Ридберговских серий, находящимся, для Z близких к единице, в исключительно хорошем согласии с результатами численного ab initio расчета. Степень, с которой результаты результаты аналитического и численного расчетов согласуются, наводят на мысль о том, что аналитический подход основанный на идеях теории квантового дефекта, по-видимому, является асимптотически точным (при Z — 1). Это обстоятельство нам представляется довольно любопытным, так как в теории двухэлектр-онного атома существует не так много аналитических результатов. В Главе 5 мы переходим к рассмотрению другой хорошо известной физической системы для которой известно достаточно большое число коэффициентов разложения теории возмущений- атом водорода в электрическом поле. Изложение этой Главы следует, в основном, результатам полученным в работах [19, 20]. Ряд теории возмущений в этом случае принципиально отличается от l/Z-разложения для двухэлектронной системы. Рецепты построения ряда теории возмущений Рэлея-Шредингера по степеням напряженности электрического поля приводят для атома водорода к ряду, являющемуся лишь асимптотическим, т.е. расходящимся при любых значениях напряженности поля. Такие ряды, как известно, пригодны для описания исследуемой функции с некоторой, вообще говоря ограниченной точностью, то есть при данном значении напряженности поля, частичные суммы ряда хорошо аппроксимируют энергию лишь пока в ряде удерживается некоторое конечное число членов. Если число удерживаемых членов ряда превышает некоторое критическое значение (зависящее конечно от напряженности поля), то частичные суммы такого ряда будут давать для энергии значения, вообще говоря, весьма сильно от точного значения энергии. Кроме того, поскольку все коэффициенты ряда теории возмущений являются вещественными числами, ряд теории возмущений в этой задаче предоставляет информацию только о положении Штарковского резонанса (с оговорками сделанными выше о конечной достижимой точности), и не дает информации о ширине резонансного уровня. Как было отмечено в начале настоящей главы, имеется теоретическое положение (факт суммируемости ряда теории возмущений по Борелю), которое позволяет сделать вывод, что несмотря на расходимость ряда теории возмущений, его коэффициенты содержат, в принципе, всю информацию как о положениях, так и о ширинах уровней. Возникает, таким образом задача о том, как практически реализовать теоретическое положение о суммируемости ряда теории возмущений в этой задаче по Борелю на практике. В литературе существует ряд методов практической реализации этого подхода, основанных, например, на технике аппроксимант Паде. В Главе 5 мы предлагаем несколько иную процедуру, которая позволяет, исходя из набора коэффициентов теории возмущений, получить некоторый сходящийся ряд, дающий как положения, так и ширины резонансов в атоме водорода в электрическом поле. В этой же Главе, в качестве дополнительной демонстрации эффективности предложенной процедуры, мы рассматриваем задачу об ангармоническом осцилляторе, квантово-механическая система, являющаяся в некотором смысле пробным камнем для тестирования различных вычислительных процедур в квантовой механике. Все основные характеристики ряда теории возмущений в этой задаче (если ангармонический член в Гамильтониане рассматривать как возмущение) те же самые, что и в задаче об атомном Штарк-эффекте, ряд теории возмущений является асимптотическим и обладает свойством суммируемости по Борелю. В Главе 6 мы даем детальное описание используемого нами в Главе 3 метода комплексных вращений. Этот метод является, на сегодняшний день, пожалуй самым удобным и мощным средством расчета характеристик (положений и ширин) резонансов в атомных системах. Речь может идти как о резонансах возникающих в электрическом поле, так, например, и об автоионизационных состояниях в атоме. Главное удобство метода заключается в том, что задача о расчете характеристик резонансных состояний сводится к задаче технически мало чем отличающейся от обычного вариационного расчета связанных атомных состояний. В качестве примера применения метода к кулоновским системам мы приводим результаты расчетов параметров (положений и ширин) дважды возбужденных состояний в системе Ps (состоящей из позитрона и двух электронов). Эти результаты получены в работах [21, 22, 23, 24]. Для этих состояний обнаружен (ранее известный для таких систем как Яе, Н ) факт применимости так называемой К,Т классификации, восходящей к работам [25, 26]. Подробнее об этой классификации рассказано в тексте диссертации, здесь отметим тот любопытный (и до сих пор не имеющий последовательного квантово-механического толкования) факт, что квантовые числа К, Т, имеющие чисто теоретике- групповое происхождение, оказываются столь успешными при группировке уровней двыжды-возбужденных состояний в так называемые колебательно-вращательные серии. Предметом настоящей работы является исследование свойств рядов теории возмущений для случая квантово-механических систем для которых коэффициенты ряда теории возмущений могут быть расчитаны вплоть до членов довольно высокого порядка (несколько десятков). Типичной будет следующая постановка вопроса. Рассматривается квантово-механическая система, Гамильтониан которой естественным образом может быть разбит на Гамильтониан нулевого приближения и возмущение. Предположим, что коэффициенты ряда теории возмущений, соответствующей этому разбиению Гамильтониана, (для определенности, мы будем рассматривать ряд теории возмущений Релея-Шредингера) могут быть расчитаны вплоть до членов высокого порядка. Нас будет интересовать следующий вопрос: какую информацию о точном решении квантово-механической задачи можно извлечь из имеющегося набора коэффициентов ряда теории возмущений? Три известных примера квантово-механических систем, которые мы будем рассматривать ниже, где расчет коэффициентов ряда теории возмущений был проведен до членов высокого порядка, и где, поэтому, поставленный выше вопрос имеет право на существование, это ангармонический осциллятор, эффект Штарка в водороде и дв-ухэлектронная система. Наиболее полные расчеты коэффициентов рядов теории возмущений для этих систем приведены в работах [1, 2] для ангармонического осциллятора, в работах [3, 4, 5J для задачи об эффекте Штарка в водороде и в работе [6J для основного состояния двухэлектронной системы. В качестве возмущения принимались в этих работах принимались квартетный ангармонизм для ангармонического осциллятора, оператор взаимодействия с элетрическим полем для задачи об эффекте Штарка в водороде, и кулоновское межэлектронное взаимодействие в случае двухэлектронной системы. Реальный практический интерес представляют, конечно, только две последних задачи, в особенности последняя- применение теории возмущений с водородоподобным нулевым проближением к атомной системе, так как этот метод является удобным и мощным средством расчетов спектральных характеристик многозарядных ионов (так называемый l/Z-метод). Первоочередной вопрос, возникающий при формальном применении рецептов построения теории возмущеий, это вопрос о характере полученного ряда. Ряды теории возмущений могут быть, вообще говоря, как сходящимися (как в случае ряда теории возмущений для двухэлектронной системы [7, 8]), так и расходящимися асимптотическими, как в задачах об ангармоническом осцилляторе [9,.1, 2] или эффекте Штарка в водороде [10, 11]. В случае сходящегося ряда ситуация более-менее понятна, сходящийся в некоторой окрестности ряд представляет собой элемент аналитической функции, который, в принципе содержит полную информацию об этой аналитической функции. Этот элемент можно, например, продолжить аналитически (мы дадим пример такой процедуры в Гл.2 при обсуждении задачи о двухэлектронной системе). Оказывается, что и расходящиеся асимптотические ряды в некоторых случаях обладают тем свойством, что набор коэффициентов такого ряда позволяет получить полную информации о точном рещении. Для этого достаточно, чтобы асимптотический ряд обладал так называемым свойством суммируемости по Борелю. Несколько упрощая, (точная формулировка дана в Главе 5), суммируемость асимптотического ряда по Борелю означает, что существует только одна функция, имеющая в качестве коэффициентов асимптотического разложения коэффициенты этого ряда. Ряды теории возмущений в задачах об ангармоническом осцилляторе и эффекте Штарка обладают этим свойством (подробнее в Гл.5), и, таким образом, как и в случае сходящегося ряда теории возмущений для дв-ухэлектронной системы, набор коэффициентов ряда теории возмущений позволяет, в принципе, получить полную информацию о точном решении соответствующей квантово-механической системы. Вопрос заключается, таким образом, только в том, как эту информацию извлечь. Очевидно, методы, позволяющие решить эту задачу совершенно отличны от методов, годящихся для случая сходящихся рядов. В настоящей работе мы рассмотрим оба эти случая. В Главе 2 мы рассмотрим задачу о двухэлектронном атоме. Наше изложение в этой Главе следует нашим работам [12, 13, 14]. Пользуясь известными в литературе расчетами [6] коэффициентов теории возмущений высокого порядка (в цитируемой выше работе [6] проведен расчет первых 400 членов ряда теории возмущений для основного состояния двухэлектронной системы) мы получим достаточно полную информацию о свойствах точной энергии E{Z) основного состояния как функции заряда ядра Z. Говоря о свойствах E(Z), мы имеем в в виду ее свойства в смысле теории функций комплексного переменного, т.е. в Гл.2 мы займемся прежде всего изучением характера и расположения особых точек функции E{Z) для основного состояния двухэлект-ронной системы. Подчеркнем, что эта информация может быть получена только в рамках используемого подхода, т.е., с помощью исследования набора коэффициентов ряда теории возмущений по 1/Z, поскольку результатом, например, результатом высокоточного вариационного расчета энергии, будет число, мало что говорящее о глобальных свойствах энергии, рассматриваемой как функция заряда ядpa.Z. Такое глобальное исследование свойств E(Z) приводит, как мы увидим в Главе 2 к довольно неожиданному результату о наличии в задаче о двухэлектроном атоме малого параметра, проявляющегося в том, что в выражение для точной энергии основного состояния этой системы, по-видимому, входит малый (порядка 10_3) параметр. Как было отмечено во Введении, имеется строгое доказательство (данное Като в [7, 8]) того, что ряд (2.1) сходится в некоторой окрестности точки А = 0, определяя таким образом аналитическую функцию. Этим же автором [8] с использованием методов теории неограниченных операторов была дана оценка снизу радиуса сходимости ряда (2.1). Эта оценка была впоследствии улучшена рядом авторов численно анализировавших набор коэффициентов Еп. В этих исследованиях использовались различные численные методы. Например, так называемый ratioest анализ проведенный в [9] дал для радиуса сходимости ряда (2.1) оценку R\ « 1.1184. Заметим, что эта оценка подразумевает сходимость ряда (2.1) для физически важного случая отрицательного иона водорода Н . Фактически, упомянутый ratioest представляет собой просто численный анализ последовательности построенной из частных двух последовательных коэффициентов Еп. Это отношение, как известно, входит в различные известные из анализа признаки сходимости рядов, поэтому численный анализ такой последовательности может дать информацию о радиусе сходимости исходного ряда. В работе [10J использовался так называемый Паде-анализ коэффициентов ряда (2.1). Паде-анализ и Паде-апроксимации это довольно мощный инструмент представления функций с использованием ограниченного набора коэффициентов ряда Тейлора, который с успехом может быть в некоторых случаях использован для представления функции даже вне круга сходимости. К сожалению, этот метод может быть использован далеко не для всех функций. По самому своему построению, он пригоден для функций имеющих своими особенностями только полюса. Особенность функции Е(Х), определяюща радиус сходимости ряда (2.1), как мы увидим, значительно сложнее. Вероятно по этой причине Паде-анализ (10J) дал довольно неточный (как будет видно ниже) результат R\ « 1.118. Более изощренный анализ был дан в [11,12], где был применен так называемый анзац Дарбу, который заключается в предположении, что особая точка (которая, как известно, всегда есть на границе круга сходимости) есть точка ветвления. В этом случае логарифмическая производная функции имеет полюс на границе круга сходимости, полюсная особенность может быть обнаружена и исследована с помощью упомянутого выше метода использующего аппроксимации Паде. Такое исследование дало следующие результаты R\ « 1.119 [11] и 1.1056 [12]. Как видно, эти методы дают несколько разные результаты. Причина этого расхождения оставалась долгое время неясной. Она было объяснена в работе [б]. В этой работе авторы провели высокоточный вариационный расчет первых 400 коэффициентов Еп ряда (2.1). Проведя численный анализ асимптотического (прип —» со) поведения коэффициентов Еп авторы этой работы обнаружили, что ближайшая к А = 0 особенность функции Е(Х) (которая и определяет радиус сходимости ряда теории возмущений для основного состояния двухэлектр-онного атома) не является ни точкой ветвления ни полюсом, а является существенно особой точкой функции Е(Х). Авторы этой работы установили, что эта особая точка лежит на положительной действительной оси в точке Ai и 1.09766 (что дает, конечно, одновременно и радиус сходимости ряда (2.1)). Кроме того, в этой работе было решена одна проблема, которая долгое врем затрудняла понимание характера и природы особой точки JE7(A) ближайшей к А = 0. Если взять вышеприведенные оценки радиуса сходимости ряда (2.1) полученные с помощью Паде- Дарбу- анализа, то выясняется, что если принять за значение радиуса сходимости какую-нибудь из оценок полученных в этих работах и предположить, что ближайшая к началу координат особенность Е(Х) лежит на положительной действительной оси, то сумма ряда теории возмущений с Л соответствующим этому значению не равна -0.5 а.и. Напомним, что под энергией везде понимаете физическая энергия деленная на Z2, поэтому -0.5 а.и. соответствует состоянию двухэлектронного атома, в котором один электрон остается в состоянии Is а второй электрон уходит на бесконечность, имея нулевую энергию. Иными словами А = А при котором энергия системы равна -0.5 а.и. соответствует пороговому состоянию двухэлектронной системы, при этом значении А основное состояние двухэлектронной системы перестает быть связанным состоянием. Интуитивно, с физической точки зрения, кажется естественным предположить, что Ai = А , то есть именно в той точке, где исчезает связанное состояние, энергия системы как функция А имеет особенность. Вышеприведенные оценки радиуса сходимости, полученные в [10, 11, 12] методами Паде- и Дарбу-анализа противоречат этой простой картине, так как из этих результатов следует, что Аі ф А . Строго говоря, в этом нет ничего невозможного, были предложены различные объяснения этому факту [10, 12]. Предложенные конструкции оказываются возможны для достаточно "патологи-ческих"функций Е(Х). В этом уравнении А?ак = ак — 2. + оЦ2« Легко показать, что если, например, последовательность ак сходится к пределу как геометрическая прогрессия, т.е. ак = а + 0к, то все члены последовательности ак построенной согласно (2.5) будут равны в точностна. Для последовательностей сходящихся к пределу как геометрическая прогрессия, преобразование Айткена, таким образом, дает точный ответ на каждом шаге. Можно показать [17], что ускорение сходимости достигается с помощью этого преобразования и в более сложных случаях. Другой мощный метод ускорения сходимости последовательностей- так называемый е-алгоритм [17]. За недостатком места мы не приводим здесь явного рецепта применения этого алгоритма, достаточно сказать, что, как и в случае преобразования Айткена, этот рецепт заключается в построении новой последовательности, связанной с первоначальной довольно сложным (нелинейным) образом [17, 18]. В третьей колонке таблицы (2.3) представлены результаты применения преобразования Айткена (2.5) к последовательности частичных сумм ряда (2.3). В четвертой колонке этой таблицы представлены результаты повторного применения преобразования Айткена к полученной последовательности. Наконец, в пятой колонке этой таблицы представлены результаты применения е-алгоритма к последовательности частичных сумм ряда (2.3). Последовательности, представленные в четвертой и пятой колонках таблицы демонстрируют существование предела, который может быть приближенно оценен как Яд 1.09766079 с возможной ошибкой, не превышающей одной единицы последнего разряда. Мы, таким образом, существенно улучшили точность оценки радиуса сходимости ряда теории возмущений по сравнению с оценкой полученной в работе [6. В недавних работах [19, 20] вышеприведенная оценка была подтверждена с использованием совершенно других методов. Мы выполнили также численный анализ характера особой точки/ = 0.8 расположенной на границе круга сходимости ряда (2.3). Как было замечено выше существующие методы, такие как Паде аппроксимации или метод Дарбу позволяют обнаружить особые точки типа полюса или точки ветвления. Такой анализ показывает, что характер особой точки / = 0.8 функции Л(/) тот же, что и обратной ей функции /(А) в точке Аі = Л(0.8) « 1.097066079, а именно, эта точка, скорее всего является существенно особой точкой функции А(/). Этот результат конечно не удивителен, так как именно таково соотношение характеров особых точек прямой и обратной ей функций в случае функций общего положения. Далее, изложение следует в основном нашим работам [14, 15]. Для определения других особых точек функции .Е (А) в комплексной плоскости переменной А поступим следующим образом. Выполним следующее конформное преобразование комплексной плоскости А где Ai « 1.097066079- найденная выше особая точка функции Е{\) лежащая на границе круга сходимости ряда (2.1), значения параметров р, q в этой формуле будут приведены ниже. Обратное преобразование имеет вид: Подставляя (2.6) в разложение (2.1) и выполняя необходимые переразложения ряд (2.1) может быть переписан в виде разложения по степеням т): Легко видеть, что знание первых N коэффициентов разложения по степеням А позволяет определить первые N коэффициентов разложения по степеням т? я наоборот. Что касается радиуса сходимости полученного ряда по степеням 77, то он зависит от конкретных значений параметров р, q, поскольку их выбор определяет, как именно будут расположены образы особых точек функции -Е (А) в комплексной плоскости 77. Поскольку начало координат при этом отображении переходит в начало координат, то возможна ситуация, когда образы каких-либо других особых точек в 77-плоскости становятся ближе к нулю, чем образ точки Ах, и именно эти точки будут определять радиус сходимости полученного ряда (2.8). На этом свойстве преобразования (2.6),(2.7) (и на простоте сопряженных с этим вычислений) основаны его применения. Варьируя параметры p,q можно менять радиус сходимости полученного ряда, а значит менять скорость его сходимости. Преобразование (2.6) может таким образом быть использовано для ускорения сходимости данного ряда [18]. Нас будет интересовать ниже другой аспект, связанный с движением образов особых точек функции Е(Х) при конформном преобразовании. Добиваясь выбором параметров p,q того, что образ какой-нибудь другой особой точки (если таковая, конечно, имеется) становится ближе к началу координат, чем образ точки Лі, и помещая ее, таким образом, на границу круга сходимости ряда (2.8), можно затем пытаться получить информацию об этой особой точке используя известные в литературе методы численного анализа. Эта стратегия была нами реализована в [14]. Выбор параметров р = 0.5; q = 1 (найденный методом проб и ошибок) реализует описанную выше ситуацию, когда на границе круга сходимости ряда (2.8) находится образ второй особой точки функции Е(Х), отличной от особой точки Ai. Набор коэффициентов Д- определенных с использованием формул (2.6),и коэффициентов Еп ряда (2.1) вычисленных в работе [6], приводится в таблице (2.4) (вторая колонка таблицы). Численный расчет коэффициентов 1 для больших г 100 связан с проблемами численного характера, так как их расчет ведет к большим численным неточностям (ввиду появления больших численных факторов и их взаимного сокращения при расчетах, использующих разложения степеней А по степеням г) с использованием ф-лы (2.6)). Первые 70 коэффициентов ЕІ, помещенные в таблице (2.4) могут быть рассчитаны относительно надежно. Их точность может быть оценена как порядка Ю-8 для і 30 и Ю-6 для г 70 (точность может быть оценена если мы подвергнем небольшим вариациям коэффициенты Еп ряда теории возмущений). Если это разложение сходится при достаточно больших Л, то это будет означать, что точка А = со является полюсом второго порядка для функции Е(Х). Эта гипотеза была высказана в [9]. Доказательство сходимости или расходимости ряда теории возмущений для конкретной физической проблемы представляет собой, вообще говоря, непростую проблему. Результаты нашего численного анализа ряда теории возмущений, приведенные выше, свидетельствуют, что у функции Е(Х) действительно есть особая точка в Л = со, вблизи которой Е (А) ведет себя как А7), где 7 2. Этот результат и уравнение (2.20) позволяют нам заключить, что 7 = 2 точно, таким образом, формула (2.20) есть не что иное, как первые члены разложения Е(А) в ряд Лорана в окрестности точки А = со. Подчеркнем, что из одного только вывода (2.20) с помощью теории возмущений этот вывод никоим образом не следует, поскольку необходимо доказать, что (2.20) представляют собой первые члены сходящегося ряда. Ряды, даваемые теорией возмущений часто оказываются лишь асимптотическими. Например, функция А2+, где е- малое число, отождествляемое с малым параметром теории возмущений, имеет А2 первым членом разложения ряда теории возмущений, но ее особенность в бесконечности отнюдь не полюс. Наш численный анализ, предваряющий вывод (2.20) позволил нам обойти необходимость строгого доказательства сходимости ряда теории возмущений (??). Таким образом, мы установили, что в дополнение к особой точке Ai га 1.09766079, Е(Х) имеет особую точку в бесконечности, причем первые несколько членов разложения Е(Х) в ряд Лорана в окрестности этой точки могут быть найдены в явном виде. Первые два члена этого разложения даются формулой (2.20). Перейдем к исследованию других особых точек функции Е(Х). Можно привести простые соображения, показывающие, что у функции Е(Х) есть по крайней мере еще одна особая точка. В самом деле, особенность в точке А = Ai носит весьма сложный характер, но можно с большой степенью вероятности утверждать, что [6J), что эта особая точка является особой точкой неоднозначного характера, проще говоря, точкой ветвления (почти наверное бесконечного порядка). С другой стороны, в А = оо Е(Х), как было установлено выше имеет полюс- особую точку однозначного характера. Ясно, что единственная возможность для аналитической функции иметь эти особые точки одновременно, это иметь еще (по крайней мере, одну) особую точку типа точки ветвления где-либо на конечном расстоянии в комплексной плоскости переменной А. Оказывается, что имеющейся информации (первых 400 коэффициентов ряда теории возмущений, приведенных в [6]) вполне достаточно, чтобы такую особую точку найти. Некоторая информация о том, где эта особая точка может находиться (точнее, где она не может находиться) может быть получена с помощью описанного выше дробно-линейного преобразования (2.6),(2.7), примененного нами выше при исследовании бесконечно удаленной особой точки функции Е(Х). Предположим, что помимо уже известных особых точек Ai « 1.09766079 и Лоо = оо, у Е(Х) есть еще одна особая точка Аг-Очевидно, должно выполнятся соотношение Аі Аг со. Используя (2.6),(2.7), легко показать, что если Re(X\ — Аг) 0 то параметры р и q в этих формулах можно всегда выбрать так, чтобы под действием преобразования (2.6) образ точки Х в т)- плоскости был бы ближе к точке г] — 0, чем образы точек Аі, Ас». В плоскости образ особой точки Аг лежал бы, таким образом, на границе круга сходимости ряда (2.8) и эта особая точка могла бы быть обнаружена теми же методами, которые мы использовали выше для исследования бесконечно удаленной особой точки. Мы вычислили коэффициенты ряда (2.8 для различных значений параметров ридв формулах (2.6),(2.7). Анализ, аналогичный проведенному выше, не обнаружил каких либо неизвестных особых точек функции Е(Х). Мы можем заключить таким образом, что неизвестные нам особые точки функции Е(Х) могут находиться только в области: і2е(Аг — Аі) 0. Более точная информация об этих особых точках может быть получена с помощью следующего приема. Введем новую переменную согласно где, напомним, Ai и 1.09766079- ближайшая к А = 0 особа точка функции Е(Х). Введем новую функцию д(А) согласно: Как следует из вышеобсуждавшихся известных свойств функцииіГ(А), функция g{X(v)) рассматриваемая как функция переменной v обладает следующими аналитическими свойствами. Точка v = оо является существенно особой точкой этой функции, точка v = 0 является полюсом (четвертого порядка) этой функции. В полуплоскости Re(v) 0 эта функция не имеет других особых точек. Функция Е(Х) стремится равномерно к предельному значению —0.5а.и. когда А — Ai, так что Де(А — Ai) 0. Этот факт был установлен в [6), на основании анализа набора коэффициентов Еп вычисленных в этой работе.Радиус сходимости ряда теории возмущений для состояния Is2
Расчет вероятности тунелирования в двухэлектронном атоме при Z
Численные результаты для Р-уровней
Сумма ряда (5.23) для мнимых полей
Похожие диссертации на Теория возмущений высокого порядка и свойства некоторых квантово-механических систем
