Содержание к диссертации
Введение
Глава I Одномерные модели взаимодействующих гоермионов . 42
I. Модели ферми-газа. Основные результаты теории возмущений 42
2. Модель с линейным спектром. Бозонизация гаерми-полей и спектр коллективных возбуждений . 52
Глава II Обобщенные восприимчивости одномерной системы электронов в магнитном поле 61
I. Обобщенные восприимчивости в паркетном приближении 63
2. Структура ряда теории возмущений и элективная модель Томонага-Латтинджера 71
3. Фазовая диаграмма и примесное электросопротивление 76
Глава III Фазовый переход по магнитному полю в одномерной ферми-системе с притяжением 81
I. Фазовый переход в основном состоянии 82
2. Термодинамика . 89
3. Корреляционные тушении SI
Глава ІV Спектр возбуждений, магнитные свойства и низкотемпературная термодинамика Su (2)-симметричной модели Тирринга 98
I. Точное решение pU(2) -модели Тирринга 100
2. Уравнения Бете-анзатца. Переход к термодинамическому пределу 109
3. Спектральные уравнения теории 116
4. Основное состояние и спектр возбуждений в нулевом магнитном поле 123
5. Магнитные свойства при Т = О 126
6. Термодинамика 137
Глава V Спектр возбуждений и магнитные свойства 17(1) - симметричной модели Тирринга 149
I. Уравнения Бете-анзатца в U(l) -симметричной модели Тирринга 150
2, Общие свойства уравнений Бете-анзатца в термодинамическом пределе 153
3. Спектральные уравнения теории. Основное состояние и спектр возбуждений в нулевом магнитном поле 159
4. магнитные свойства при Т = О 172
5. Связь с квантової:" моделью синус-Гордон и массивной моделью Тирринга . 185
Глава VІ Зарядовая щель и этйекты соизмеримости в одномерных решеточных гаерми-системах 190
I. Зарядовая щель и корреляционные функции в одномерной системе с притяжением в случае одной частицы на узел 195
2. Эйсоекты соизмеримости в одномерной модели Хаббарда со слабым взаимодействием 202
Приложение I: Структура возбуждений в одномерной модели Хаббарда 208
Приложение 2: Интегральное уравнение с разностным ядром на конечном отрезке 217
Заключение 220
Литература 223
- Модели ферми-газа. Основные результаты теории возмущений
- Обобщенные восприимчивости в паркетном приближении
- Фазовый переход в основном состоянии
- Точное решение pU(2) -модели Тирринга
- Уравнения Бете-анзатца в U(l) -симметричной модели Тирринга
Введение к работе
І. В течение долгого времени одномерные модели различных физических систем рассматривались в основном как "полигон", на котором удобно апробировать приближенные методы опис алия трехмерных объектов. Сейчас статус одномерной физики существенно изменился. Возросший за последние годы интерес к конденсированным системам в одном пространственном измерении объясняется прежде всего значительным прогрессом з области синтеза и экспериментального исследования нового класса твердых тел - квазиодномерных веществ, обладающих нитевидной кристаллической структурой и резкой анизотропией электронных свойств. Главная особенность структур такого типа - практически одномерный характер движения электронов. Целый ряд новых интересных явлений, обнаруженных в результате систематических исследований квазиодномерных соединений различной химической природы непосредствеїшо указывает на принципиальную роль чисто одномерных эФФектов в этих веществах / см., например, обзорные работы М ~"4] , труды конференций [5,6] , монографии
Среди разнообразных квазиодномерных соединений наибольший интерес представляют системы, характеризующиеся при комнатных температурах высокой проводимостью вдоль нитей. При низких температурах металлическое состояние оказывается чаще всего неустойчивым, причем в большинстве случаев наблюдается структурный пайерлсовский переход [ 9 J , сопровождающийся деформацией решетки и образованием волны зарядовой плотности в направлении нитей. Другим возможным низкотемпературным состоянием является упорядочение антиферромагнитного типа с волной спиновой плотности, которое в свою очередь может оказаться неустойчивым относительно так называемого спин-пайерлсовского перехода [10] в состояние со структурной деформацией решетки. В ряде квазиодномерных соединений металлическое состояние оказывается стабильным вплоть до гелиевых температур и в определенных условиях дале наблюдается сверхпроводящий переход.
Тенденция, квазиодномерных проводников к упорядочению в состоянии с той или иной симметрией является результатом развития интерферирующих между собой одномерных многочастичных корреляций, возникающих благодаря взаимодействию электронов как между собой, так и с другими степенями свободы - Фононами, внутримолекулярными колебаниями и т.д., и проявляющимися еще в металлической Фазе в широкой температурной области. Конечно, в чисто одномерном случае из-за разрушительного действия тепловых Флуктуации упорядочение при конечных температурах возникнуть не может ['11-13]/квантовые Флуктуации могут разрушать дальний порядок и при Т = 0 /. Истинный, т.е. трехмерный, Фазовый переход в квазиодномерной системе может происходить лишь благодаря слабому поперечному зацеплению между нитями - туннелированию электронов и их взаимодействию на различных цепочках, стабилизирующему одномерные Флуктуации при достаточно низких температурах. Однако, многие свойства квазиодномерных систем во Флуктуационной области, а также возможная симметрия упорядоченного состояния определяются тем, какие именно одномерные корреляции развиваются наиболее сильно при понижении температуры [14] .
Таким образом, при теоретическом описании квазиодномерных систем на первый план традиционно выступает чисто одномерная задача о низкотемпературном поведении изолированной проводящей нити. Рассматривающийся здесь широкий круг вопросов включает исследование формирования одномерных электронных корреляций в за- висимости от соотношения глелщу различным! взаимодействиям! в системе, от концентрации электронов и деталей зонной структуры, приложенных внешних полей, характера и степени беспорядка, изучение симметрии и свойств основного состояния и спектра возбуждений, исследование низкотемпературных термодинамических свойств и явлений переноса и многие другие вопросы. Если эта задача решена, можно пытаться учесть э^соекты неодномерности для описания трехмерных переходов и упорядоченных таз квазиодномерных систем, используя /хотя это и не всегда удается [15 J / некоторую форму теории возмущений, в которой решение одномерной задачи рассматривается в качестве нулевого приближения [16-18] . Однако, при реализации этой безусловно важной части программы ответы во многом зависят от набора характерных параметров исследуемого объекта и могут существенно меняться при переходе от одной кон-кретной системы к другой . Тем не менее, рассмотрение указанной выше чисто одномерной задачи имеет принципиальное значение, поскольку уже в самой ее постановке отражено универсальное для всех квазиодномерных систем свойство - факт одномерности движения электронов, обусловливающий целый ряд нетривиальных особенностей низкотемпературного поведения объектов такого типа.
Задача о поведении одномерной системы электронов в салом общем виде, т.е. при учете всех существенных взаимодействий, чрезвычайно сложна. При интерпретации свойств реальных квазиодномерных соединений обычно исходят из того, определяются ли они преи- х Например, стабилизация флуктуации диэлектрического типа может осуществляться улсе только за счет взаимодействия электронов на различных цепочках, в то время как сверхпроводящий переход возможен лишь при туннелировании электронов с нити на нить. мущественно деформациями решетки или же взаимодействием между электронами. В соответствии с этим принято рассматривать две основные группы моделей.
Одна из них включает модели эффекта їїайерлса, описывающие одномерную систему электронов, взаимодействующих со статическими деформациями решетки. В рамках этих моделей'исследуются общие свойства пайердсовских сверхструктур, переходы "соизмеримость-несоизмеримость", зарядовая и спиновая структура элементарных возбуждений, эффекты фрелиховской проводимости, характеризующие динамику несоизмеримых Фаз, и т.д. Ссылки на основополагающие работы в этой области и основные результаты теории последних лет могут быть найдены в диссертации И 9 J .
3 другой группе моделей рассматриваются только электронные степени свободы; влияние фононных, экситонных и других возбудце-ний учитывается путем Феноменологического введения эффективных констант электрон-электронного взаимодействия, которые в рамках конкретной модели рассматриваются как затравочные. При этом, с одной стороны, исследуются континуальные одномерные модели со слабым четырехФермионным взаимодействием - модели Ферми-газа. С практической точки зрения их изучение может представлять интерес для квазиодномерных систем, сохраняющих металлические свойства вплоть до очень низких температур, например, таких как или семейство соединений ( TMTSF) У . С другой стороны, рассматриваются решеточные модели, отвечающие узельному представлению электронных волновых Функций - одномерная модель Хаббарда [20 J с двухчастичным внутриузельным взаимодействием, или ее обобщение, учитывающее взаимодействие частиц на соседних узлах. Обычно эти модели используются для описания свойств непроводящих квазиодномерных со- единений, например, таких как диэлектрики моттовского типа /VMP-ТСМ? [21] . Вместе с тем, решеточные модели необходимы для вывода параметров и доопределения спектров континуальных моделей, а также для изучения влияния деталей зонной структуры и эффектов соизмеримости.
В настоящей диссертации будут рассматриваться модели второй группы - одномерные модели взаимодействующих Фермионов.
2. С теоретической точки зрения возросший за последние годы интерес к одномерным многогоермионным моделям связан с тем, что обычные представления о свойствах основного состояния, а также о структуре, классификации и спектре элементарных возбуждений в такой хорошо изученной системе как нормальная Ферші-жидкость теряют силу, когда мы переходим к одномерному случаю. Новые явления, которые здесь возникают, и сложности, связанные с их описанием, обусловлены уже отмечавшейся особой для одномерных систем ролью квантовых флуктуации и коллективных эффектов, проявляющихся наиболее ярко в условиях режима сильной связи, т.е. в случае, когда при уменьшении масштаба энергии /температуры или внешнего поля/ в системе происходит непрерывный переход от слабого затравочного к сильному эффективному взаимодействию. Другой причиной повышенного интереса к одномерным Ферми-системам является их глубокая взаимосвязь с целым рядом нетривиальных моделей квантовой теории поля в "І+І" измерениях, а также с одномерными моделями квантовой и двумерными моделями классической статистики /см. обзоры [22,23] /. Именно изучение этой взаимосвязи позволило вскрыть важную роль нелинейных квантовых эффектов, приводящих к солитонной структуре спектров одномерных систем и определяющих особенности их низкотемпературного поведения в ре- жиме сильного взаимодействия.
Проблема сильной связи уже давно актуальна как в Физике конденсированного состояния, так и в квантовой теории поля. Традиционный аспект этой проблемы обычно связывают с описанием критических явлений, в которых инфракрасный рост эффективного взаимодействия приводит к спонтанному нарушению симметрии и Фазовому переходу в упорядоченное состояние. СпениФика же одномерных Ферми-систем состоит в том, что в них развитие режима сильной связи происходит в условиях ненарушенной непрерывной симметрии. Аналогичная ситуация реализуется в ряде двутлерных релятивистских теорий, классических двумерных системах с абелевой группой симметрии, испытывающих топологические переходы типа Еерезинского-Костерлица-Таулесса [24~26] , а также в кондовских системах /т.е. в металлах с малой концентрацией магнитных примесей/, в которых задача рассеяния электронов проводимости на изолированной точечной примеси явлчется по существу одномерной. Общим свойством всех этих систем является то, что переход к сильному взаимодействию на Фоне ненарушенной симметрии сопровождается діша^жческой генерацией в их спектре нового энергетического масштаба - массовой щели /или характеристической температуры/, который определяет их универсальное поведение в инфракрасной области энергий.
Принципиальное отличие одномерных Ферми-систем от трехмерной Ферми-жидкости заключается и в том, что при энергиях, сравнимых с величиной динамической щели пъ , затравочные гаермионы как квазичастицы полностью исчезают из рассмотрения, причем сама эта щель появляется в спектре коллективных степеней свободы:
2 2 2, одночастичная функция Грина имеет не полюс при со = р +tn , а точку ветвления [27, 23J . Скачок на уровне Ферми в рас- пределешш частиц по импульсам исчезает, и принцип газовой классификации спектра слабовозбужденных состояний, лежащий в основе теории йерми-жидкости L'l'U , оказывается неприменимым. Спектр системы полностью' определяется коллективными степенями свободы -колебаниями плотности числа частиц /зарядовыми возбуждениями/ и колебаниями спиновой плотности .
В трансляционно-инвариантных одномерных системах, т.е. во всех континуальных моделях, а также в решеточных системах, но в условиях несоизмеримости /случай среднего числа частиц на атом, не равного I/, когда процессы рассеяния с перебросом импульса подавлены, зарядовый ток частиц сохраняется. При этом длинноволновые возбуждения зарядовой плотности описываются безмассовым бозе-полем с линейным спектром. В моделях с дальнодействием типа Томонага-Латтинджера [30-32] сохраняется и спиновый ток, поэтому и спиновые возбуждения оказываются бесщелевыми [^З] В более реалистических моделях, где учитывается короткодействующая часть взаимодействия между частицами, возникает рассеяние с большой, порядка 2pF , передачей импульса /рассеяние назад/. При этом существенную роль в динамике играют процессы рассеяния назад с переворотом спина, в которых проявляется наличие у частиц внутренней степени свободы. Благодаря этим процессам спиновый ток уже не сохраняется, а поле спиновых возбуждений становится нелинейным. Характер низкоэнергетического поведения одно-_
Исчезновение одноаермионной ветви возбуждений прослеживается уже в моделях, где учитывается лишь взаимодействие частиц с малой передачей импульса и режим сильной связи не возникает. Оно связано с инфракрасной катастрофой [2&?29,33] , т.е. способностью электрона вблизи границы Ферми породить произвольное число длинноволновых квантов колебаний плотности, поскольку при выполнении закона сохранения импульса закон сохранения энергии в одномерном случае выполняется тождественно. - II - мерной ферми-системы зависит в этом случае от знака константы взаимодействия на малых расстояниях.
При отталкивании возникает "нуль-зарядная" ситуация [14] : часть взаимодействия, ответственная за перевороты спинов, при со -> 0 ренормируется к нулю, взаимодействие при всех энер- гиях остается слабым и свойства системы в инфракрасной области снова описываются эффективной моделью Томонага-Латтинджера. Все физические величины в этом случае могут быть вычислены по теории возмущений.
Картина меняется при притяжении между частицами, которое в реальных квазиодномерных веществах может быть обусловлено обычным фононным механизмом или, например, механизмом Литтла L^4j . Теперь при понижении энергии в системе развивается режим сильной связи. Амплитуда рассеяния, вычисленная по теории возмущений в глазном логарифмическом /"паркетном"/ приближении!.*^, 2 о, 14J имеет полюс, положение которого определяет с точностью до пред-экспоненциального множителя величину щели в спектре спиновых возбуждений. Вывод о том, что щель должна возникать именно в спиновой части спектра, следует из поведения Функций линейного отклика одномерной гоерми-системы, вычисленных с той же точностью [14, 36 J : триплетные куперозские и антиферромагнитные корреляции оказываются подавленными, в то время как синглетные сверхпроводящие и диэлектрические корреляции имеют тенденцию к сильному росту с понижением температуры.
В решеточных системах с одним электроном на атом важную роль в рассеянии частиц играют процессы переброса 114J . Эти процессы приводят к несохранению зарядового тока и поэтому в определенных условиях /например, в модели Хаббарда - в случае отталкивания/ развитие режима сильной связи сопровождается по- явлением щели в спектре зарядовых возбуждений [3^-39, 1?] .
Выход за рамки паркетной точности, осуществляемой методом ренормализационной группы [40-42], хотя и устраняет неФизичес-кую особенность в аі.шлитуде рассеяния при конечной энергии, тем не менее в условиях режима сильной связи не может приводить к правильным результатам для инфракрасных асимптотик физических величин. Таким образом, область энергий Icojg т полностью остается вне рамок применимости теорші возмущений. Ясно, что исследование свойств одномерных Ферми-систем в этой низкоэнергетической области, где малый параметр в теории отсутствует, включая также и переходной режим "кроссовера" от слабого к сильному эффективному взаимодействию, может основываться лишь на использовании моделей, которые, с одной стороны, осуществляют описание непосредственно в терминах коллективных возбуждений, а с другой стороны, допускают точное рещение в режиме сильной связи.
Важный шаг в этом направлении состоял в использовании "бо-зонного представления" Фермионных полей в одномерной модели с линейным спектром L43] . это позволило сформулировать теорию в терминах двух не взашодействукщих между собой бозе-полей, описывающих, соответственно, зарядовые и спиновые возбуждения системы. Часть взаимодействия, ответственная за рассеяние назад с переворотом спина, делает поле спиновых возбуждений существенно нелинейным - скалярным полем одномерной квантовой модели синус-Гордон /всюду в дальнейшем сокращенно СГ/. Доказанная эквивалентность между квантовой моделью СГ и массивной моделью Тирринга /сокращенно Ш/ [44] , а также рассмотрение последней как определенного континуального предела полностью анизотропной гайзен-берговской цепочки спинов 1/2 / XyZ. -модель/ [А$,46] , точный спектр которой известен L47J , дали возможность идентифи- _ jr., _ цировать массу квантового солитона модели СГ /или эквивалентно массивного тирринговского йермиона/ со щелью в однойермионной ветви спиновых возбуждений исходной ферми-системы в области сильной связи.
Заметим, однако, что триада эквивалентности /исходная гоерми-онная модель - модель СГ - МТ-модель / основана на использовании "бозонизации" Ферми-полей, которая справедлива лишь для асимпто-тически больших пространственно-временных интерзалов. Связь между этими теориями в широкой области их основных параметров не является универсальной и зависит от способа их взаимной регуляризации. Поэтому к количественным результатам, получаемым с помощью бозон-Ферглионного соответствия, следует относиться с известной осторожностью. Возможность математически строгого описания одномерных квантовых систем в режиме сильной связи на основе единого подхода, включающего корректное построение основного состояния /физического вакуума/', вычисление спектра перенормированных /Физических/ возбуждений и точной /S -матрицы рассеяния, вычисление термодинамических величин, исследование кроссоверов между различными режимами и т.д., связана с использованием содержательных моделей квантовой теории поля и статистической физики, обладающих замечательным свойством точной интегрируемости.
3. Интегрируемые системы характеризуются некоторой св:рытой симметрией и связанным с ней бесконечным набором интегралов движения, а любой многочастичный процесс рассеяния в них описывается двучастично Факторизованной $ -матрицей. Основы современной теории квантовых интегрируемых систем были заложены Г.Бете Г48] еще в 1931 году, разработавшим метод построения собственных векторов нетривиальной многочастичной модели - гайзен- берговской цепочки спинов 1/2 с изотропным антиферромагнитным взаимодействием на соседних узлах. 3 дальнейшем этот метод, известный в настоящее время как анзатц /подстановка/ Бете, с успехом применялся для получения точного энергетического спектра целого ряда одномерных многочастичных моделей. В частности, было получено точное решение анизотропных спиновых цепочек. При этом была выявлена глубокая взаимосвязь между одномерными квантовыми системами и вершинными моделями классической статистики на двумерной решетке 1.51,52].
Важным шагом в теории квантовых интегрируемых систем с внутренней группой симметрии явились работы L 53, 54 J , в которых было найдено точное решение одномерной модели нерелятивистского ферми-газа с S -Функционным в з шило действием / точное решение решеточного аналога этой модели - одномерной модели Хаббарда -получено в работе L55J /. Оказалось, что гипотеза Бете о специальной структуре многочастичных волновых функций, параметризованных во всех областях конфигурационного пространства одним и тем же набором "импульсов", является самосогласованной, если двухчастичные амлпитуды рассеяния удовлетворяют определенным функциональным соотношениям, известным в литературе как соотношения Янга-Бакстера, или уравнения треугольников. Эти уравнения, играющие центральную роль в современной теории квантовых интегрируемых систем, в двумерной релятивистской теории рассеяния возникают как условия факторизуемости многочастичной Р -матрицы [56] и приводят к жестким ограничениям на двухчастичные амплитуды и, тем самым, на вид гамильтониана интегрируемой модели.
В последние годы в теории интегрируемых систем получен ряд новых важных результатов / см., например, обзоры
С помощью процедуры Еете найден точный спектр МТ-модели [60,61], вычислена /S -матрица модели СГ [62] , доказана интегриру емость двумерной безмассовой модели Тирринга с $V(2) -симме тричным изотопическим взаимодействием [63] , а также родст венной ей кирально-инвариантной модели Гросса-Неве [64 ] . До полнительная: Yp -инвариантность безмассовой модели Тирринга приводит к шакторизуемости > -матрицы и определению всех собственных значений гамильтониана и в случае произвольно нару шенной -симметрии [65,66] . С помощью метода Еете бы ло получено точное аналитическое решение основных моделей тео-1рии разбавленных магнитных сплавов /проблема Кондо/ [67- ТО],Новый общий подход к изучению точно решаемых моделей в дву- - мерном пространстве-времени основан на квантовой Формулировке известного метода обратной задачи рассеяния ЕТО ванной составной частью являются условия факторизации /уравнения треугольников/, при выполнении которых многочастичные векторы состояний и уравнения на собственные значения, определяющие спектр гамильтониана, имеют вид, характерный для Еете-анзат-ца. Этот метод, в частности, приводит к алгебраизации метода Бете, позволяя решать задачу на собственные значения без выписывания собственных векторов в явном виде. Квантовый метод обратной задачи привел к точному интегрированию ряда моделей, в том числе - квантовой модели СГ [72. J .
Метод Еете, синтезированный с теорией гйакторизованных $ -матриц и квантовым методом обратной задачи, позволяет найти точный спектр исследуемой интегрируемой модели. Тем самым удается вычислить энергию основного состояния и спектр Физических возбуждений системы, а также на основе процедуры [»4] , предложенной ранее при анализе свойств одномерного бозе-газа при конечных - Id - температурах, построить термодинамику модели. Вычисление же корреляционных функций в рамках интегрируемых моделей представляет в настоящее время одну из наиболее актуальных нерешенных проблем.
4. Как уже отмечалось выше, определяющую роль в формировании низкоэнергетических свойств одномерных ферми-систем играют кол лективные спиновые возбуждения, спектр которых зависит от хара ктера взаимодействия частиц на малых расстояниях. Естественным Физическим параметром, непосредственно влияющим на спиновые сте пени свободы, является магнитное поле. При отталкивании между частицами, когда система обладает нуль-зарядным поведением, влияние магнитного поля может быть полностью изучено методами теории возмущений. Б наиболее интересном случае, когда притяже ние между частицами приводит к генерации щели в спектре спино вых возбуждений, магнитное поле играет роль энергетического масштаба, при изменении которого можно проследить за непрерыв ным переходом из режима слабой связи / И *$> іП / в режим сильного эффективного взаимодействия / Н т /. Действитель но, в условиях сильной зеемановской раздвижки одночастичных спиновых состояний / Н ^>Т / магнитное поле уменьшает Фазо вый объем процессов рассеяния назад с переворотом спина, ответ ственных за Формирование режима сильной связи в области низких энергий при Н~0 .в полях Н2>(7ъ эти процессы вы- мораживаются, и система обладает свойствами модели Томонага-Латтинджера с бесщелевым спектром возбуждений. Физически очевидно, что в другом предельном случае, H<^tn , низкотемпературные свойства одномерной системы должны, как и при И = 0 , существенно определяться наличием в спектре спиновой щели. Для вы- яснения характера кроссовера между режимами сильной и слабой связи при изменении магнитного поля и описания поведения системы в области Н ~tn , где малый параметр в теории отсутствует, необходимо привлечение точно решаемых моделей.
Настоящая диссертация посвящена исследованию магнитных свойств одномерных Ферми-систем при произвольном характере взаимодействия между частицами, как в режиме слабой, так и в режиме сильной связи. Исследуются свойства одномерной системы в основном состоянии, спектр перенормированных возбуждений и низкотемпературная термодинамика в произвольных магнитных полях и в широком интервале изменения констант связи. Изучается влияние магнитного поля на поведение корреляционных функций и возможную симметрию основного состояния одномерных Ферми-систем. Основные результаты, представленные в диссертации, получены на основе точного решения [63,6?,66]#%/-и lT(f) - симметричных моделей Тирринга. Преимущество релятивистской формулировки задачи по сравнению с нерелятивистскими точно решаемыми моделями одномерных шермионов [53~!?5] , естественной при изучении инфракрасных свойств ферми-систем со слабым затравочным взаимодействием, заключается в возможности независимого исследования особенностей спектра спиновых возбуждений и отделения их вклада во все Физические величины.
На основе решения в термодинамическом пределе уравнений Бете-анзатца для рассматриваемых в диссертации моделей, удается корректно построить основное состояние, перейти к универсальному описанию в терминах перенормированных /Физических/ возбуждений и изучить равновесные свойства одномерной Ферми-системы. Точное решение подтверждает правильность качественной картины в режиме сильной связи, полученной ранее с помощью "бозонизации" Ферми- полей - разделение элементарных возбуждений на две группы ферми-частиц. Одни из них - безмассовые фермионы - элементарные зарядовые возбуждения, не участвующие в переносе спина, другие -массивные фермионы - переносят спин 1/2, но не влияют на локальную плотность заряда. В работе показано, что в магнитном поле кроссовер из режима сильной связи / Н-g пг /в режим слабой связи / И » "г / развивается путем непрерывного фазового перехода: при пороговом значении поля //с пг возникает бесщелевая ветвь спиновых возбуждений, а основное состояние при Н>Н^ оказывается неустойчивым относительно спонтанного рождения массивных частиц. При этом специфика используемого в точном решении бетевского базиса состояний состоит в том, что в области 0< Н-Нс « Нс , где элективное взаимодействие между исходными частицами велико и теория со ерш-жидкое ти применительно к ним теряет силу, описание на языке перенормированных возбуждений возвращает нас к простой картине слабонеидеалыюго газа массивных Фермионов с хорошо определенной поверхностью Ферми. Это обстоятельство оказывается решающшл для количественного описания одномерных терми-систем в области низких энергий, остающейся за рамками применимости теории возмущений. Напротив, в области полей Н 2>т , где взаимодействие между исходными Ферми-частицами мало, система массивных спермионов переходит в режим высокой плотности с сильным взаимодействием. 3 этом снова проявляется различие между обычным базисом плоских волн и бетевс-ким базисом, но теперь уже на уровне одномерного идеального соерми-газа. В этой области полей точное решение при слабом затравочном взаимодействии приводит к разложению всех Физических величин по степеням инвариантных зарядов, в соответствии с общими свойствами ренормируемости рассматриваемых моделей. 3 дис- - IS - сертации детально исследуются оба предельных случая: как предел низкой / 0< Н-Н0« Не /» так и высокой / Н » Нс / плотности массивных частиц.
I глава диссертации посвящена общему описанию основных одномерных континуальных моделей взаимодействующих фермионов.
В 1 рассматривается одномерная модель соерми-газа, в которой малость взаимодействия по сравнению с шириной энергетической зоны допускает линеаризацию затравочного спектра вблизи граничных точек Ферми, ±р , и переход к формально релятивистской модели -двумерной безмассовой $V(2l) -симметричной модели Тирринга, описываемой лагранжианом ^W) = ^ <^ + Нis +jr$.X С /г/ где if^ + K^f 3^=+^^+ > г*. /*=*,#*/ -ма- трицы Паули, а константы связи 7 и ^ соответствуют рассеянию с большой, порядка %PF , и малой передачей импульса. Важным теоретическим обобщением модели /I/ является T7(i) -симметричная модель Тирринга ^W -1 п*\ *+И + т#« + т ^ ам\ і?) /2/ в которой амплитуды рассеяния без переворота / %ц / и с переворотом спина / $j_ / считаются независимыми. Приводятся основные результаты, полученные ранее в моделях /I/ и /2/ методами теории возмущений для эффективных амплитуд рассеяния /инвариантных зарядов/ и функций линейного отклика на обобщенные поля различной симметрии. Обсуждаются особенности низкоэнергетического поведения этих систем в зависимости от соотношения между коне тан таїли связи.
В 2 рассматривается одномерная модель с линейным спектром, в которой заполнение всех состояний свободных дираковских частиц с отрицательной энергией позволяет осуществить переход от Ферми-полей к коллективным бозевским переменным, описывающим возбуждения зарядовой и спиновой плотности. Приводятся известные результаты, полученные с использованием "бозонного представления" ферми-полей в д. -части четырехФермионного взаимодействия: связь гамильтониана спиновых возбуждений с одномерной квантовой моделью СГ и МТ-моделью ^г= їСіҐ^-і.)* -і* і* i'-Fr** /4/ и вытекающий из нее массивный характер спиновых возбуждений в режиме сильного эффективного взаимодействия, а также поведение различных корреляционных Функций.
В главе II методами теории возмущений исследовано влияние магнитного поля на низкотемпературное поведение и возможную симметрию основного состояния одномерной Ферми-системы со слабым взаимодействием без ограничения на величину поля при отталкивании между частицами / $1 >0 /, но при // ^ т в случае притяжения / gj < 0 /.
В 1 показано, что в предельном случае, когда величина зее-мановской раздвижки одночастичных спиновых состояний значительно превышает температурное размытие уровня Ферми / Й2>Т /, положение логарифмических особенностей по суммарному и переданному импульсам в каналах рассеяния "частща-частица" и частица- - 2T - дырка" существенно зависит от спиновой структуры канала. Сформулирован метод паркетного суммирования при наличии возникающих в этом случае двух областей логарифмического интегрирования:
О < *Ч < к. и к<'у < А , где *2 -логарифмическая переменная, -параметр об- резания. С помощью этого метода найдены точные асимптотики сингулярных при Т~> 0 частей обобщенных восприимчивоетей, описывающих Флуктуации куперовского / синглетные ХД и триплетные Т0 /, диэлектрического /волна зарядовой плотности, C2SW / и антитерромагнитного /волна спиновой плотности, fLNtf / типов.
В 2 проанализирована общая структура ряда теории возмущений при /У» 7" в условиях, когда эффективное взаимодействие в системе остается слабым / //»"2, при %.1< О /, и показана возможность перегруппировки членов этого ряда, приводящей к эффективной модели с новым параметром обрезания Ие efj. -* Н и пере-нормированными константами связи, слабо зависящими от магнитного поля. Благодаря вымораживанию в сильных полях процессов рассеяния назад с переворотом сшша, возникающая эффективная низкотемпературная модель имеет структуру модели Томонага-латтиндже-ра с характерной длч нее зависимостью критических показателей обобщенных восприимчивоетей и корреляционных функций от инвариантных зарядов.
В 3 на основе полученных результатов на Фазовой плоскости ($1>$ъ.) построена диаграмма возможных состояний одномерной Ферми системы при Т = 0 в магнитном поле. Указано, что благодаря сдвигу положения особенностей по суммарному и переданному импульсам в одномерных Функциях отклика %ss(k) и %cbwCf) на величину ^ Н , в квазиодномерном металле, помещенном в достаточно сильное магнитное поле, в принципе возможен Фазовый пе- — 90 — реход в неоднородное сверхпроводящее состояние, или в пайерлсов-ское диэлектрическое состояние с двумя волнами плотности.
В этом не параграфе рассмотрен вопрос о возможном влиянии сильного магнитного поля на температурную зависимость примесной части электросопротивления одномерного металла с учетом перенормировки амплитуды электрон-примесного рассеяния за счет взаимодействия между электронами.
В главе III мы переходим к рассмотрению низкотемпературных свойств одномерной Ферми-системы с притяжением между частицами в магнитных полях, сравнимых с величиной спиновой щели. Эта область полей, отвечающая режиму сильной связи, методами теории возмущений исследована быть не может. По этой причине в этой главе используется модель с линейным спектром, в которой благодаря "бозонизации" гаерми-полей при частном значении константы #^ = = -57Г/5" удается точно диагонализовать гамильтониан коллективных спиновых возбуждении. Несмотря на то, что применимость бозон-йермионного соответствия в области, где затравочные константы связи не малы, несколько сомнительна, его использование для указанного значения cf.lt оправдывается тем, что оно позволяет свести исходную задачу к наиболее простому случаю свободных массивных Ферми-частиц, т.е. к свободной МТ-модели /4/ / $—0 /с химическим потенциалом, определяемым величиной магнитного поля. Результатом этого является наглядное описание магнитных свойств системы при произвольном соотношении между И И ҐП ,
В 1 показано, что в основном состоянии одномерной шерми-си-стемы с притяжением имеет место непрерывный переход по магнитному полю из немагнитной тазы / Н< #с /с нулевыми значениям! намагниченности М и магнитной восприимчивости *)6 в парамагнитную Фазу / //>/Ус /, где пороговое поле #с~ т. . Пере- (Ct\*j ход связан с неустойчивостью системе относительно рождения в основном состоянии при Н > Не конечной плотности массивных частиц, или, эквивалентно, квантовых солитонов модели /з/ с константой связи ^^=4-тг . При Н-Нсі-0 в спектре впервые появляется бесщелевая ветвь спиновых возбуждений, что приводит к корневым особенностям И ти % ъ области полей И~Нс<хгИ^ В рассматриваемом частном случае, когда теория эквивалентна свободной Мї-модели, зависимость М ж % от магнитного поля при всех И > //с имеет простой вид: ц /ъ/ H=ZzV»*-"?j *=7- 4ж +т і/ії^г
В 2 рассматриваются равновесные свойства системы при конеч ных температурах. Показано, что исчезновение щели в спектре спи новых возбуждений при //= Нс приводит к аномальной температур ной зависимости термодинамических величин в магнитных полях, близких к пороговому. В области ІН-Н0І^сТ-^гИ^ поведение
И ж % характеризуется корневой зависимостью от температу ры, М ~ С^"то) у %^ Сто/т) z , а вклад спиновых воз буждений в теплоемкость системы, С д. ~ (пг0т) а, значительно превышает соответствующий вклад зарядовых степеней свободы, о * Т
В 3 исследовано поведение различных корреляционных функций. Появление при тазовом переходе бесщелевой ветви спиновых возбуждений отражается на характере их пространственного убывания. Прежде всего это относится к пространственным юлуктуациям намагниченности, а также к голуктуациям T/S - и $UW-типов, возбуждение которых при Н< //t связано с затратой пороговой энергии 2яг . Показано, что экспоненциальный закон убывания в немагнитной гбазе корреляций указанного типа сменяется в парамаг- нитной Фазе степенным. Кратко обсуждается ожидаемое поведение корреляционных функций в магнитном поле при отклонении %и от "точно решаемой" точки - Зтг/5" .
Главы ІУ и У - центральные в диссертации. Они посвящены детальному исследованию свойств основного состояния, спектра возбуждений и низкотемпературной термодинамики одномерной системы взаимодействующих Фермионов в магнитном поле, основанному на использовании точного решения $1/(2)- f63] ц Z7(7)-f65,66] -мод елей Тирринга.
В главе ІУ в рамках точного решения модели /I/ рассматривается одномерная Ферми-система с изотропным по спину взаимодействием между частицами.
В 1, следуя работе [63] , мы приводим доказательство полной интегрируемости SU(2) -модели Тирринга.
В 2 обсуждается структура уравнений Бете-анзатца, определяющих точный энергетический спектр модели. Существенное его свойство заключается в полном разделении вкладов зарядовых и спиновых степеней свободы. Голдстоуновские зарядовые возбуждения описываются в терминах идеального газа бесспиновых Фермионов, Все нетривиальные динаг.шчесіше эФФекты, ответственные за Формирование инфракрасных свойств модели,сосредоточены в замкнутой системе уравнений для так называемых спиновых быстрот А^ L [р+ (л J + ft Q«)] = 2 ^ + X Фа а - ^) /6/ где L -длина системы, J^ -неравные спиновые квантовые числа, j^(A)s -I (^21)^[(^^'^У044^]-^-'Щ^^^ "правше" и "левых" затравочных спиновых возбуждений, a ^э.0- 2^^^(.^ - двухчастичная Фаза рассеяния. Факт интегрируемости теории /Фак-торизованное рассеяние/ отражен в аддитивной структуре полного динамического тазового сдвига в правой части /б/.
В- этом же параграфе используется "струнный" характер общих решений уравнений Еете-анзатца /б/ в термодинамическом пределе и совершается переход от алгебраических уравнений к континуальному описанию на языке плотностей распределения "частиц" /?„(*) / и "дырок" / ?п О) / 1г -струн.
В 3 получена система интегральных уравнений - спектральных уравнений теории, определяющих энергии Є„ (Л) и импульсы К*,(А) перенормирозанных п -струнных возбуждений. С помощью этих уравнений формулируется метод корректного построения основного состояния /физического вакууі-ла/ и вычисления равновесных свойств системы.
В 4 приводится решение спектральных уравнений, на основе которого строится основное состояние и исследуется спектр возбуждений модели з нулевом магнитном поле. Показано, что при любом знаке ^ основному состоянию системы с полным спином =г 0 соответствует заполнение всех 1-етрун - вещественных решений уравнений /6/. Дырки в вакуумном распределении быстрот - элементарные спиновые возбуждения системы. Показано, что в режиме сильной связи / %^< 0 / этими возбуждениями являются массивные фермионы, спектр которых в инфракрасной области имеет релятивистский вид figfO^fc/nc&Ed, wsCA)^tri^llJ Ul^n(/Ic/^) /Ч/ где ґп^ AcXp(-'f/2./Q1 /)C/lc -перенормированная масса. Их число во всех Физических состояниях с целочисленным > всегда четно. 3 частности, синглетные и трипдетные спиновые возбуждения образуют двухпараметрические семейства. В режиме слабой связи / ^ > о / элементарные спиновые возбуждения - безмассовые фермионы: WJ-uV^, -ico-aV^Vj. /8/ где /7L*s /fc ехр(тг/ъ%л )ЬАС.
В 5 исследуются магнитные свойства в основном состоянии системы. Показано, что в случае притяжения / о <- О / энергия элементарного спинового возбуждения в магнитном поле, s(Aj н) > определяется из интегрального уравнения ВSS(A)+ jRCA-A'lS^C^^'-K^Tbi-jtL , /9/ -в R(A)=-±fjed саш_ где ^ (А) -отрицательно определенная часть функции s О) Зависимость параметра В от И находится из граничных условий es(±BjH)— 0 . Существует интервал полей 0<Ц<Н^ , где 8~СА; h)~0 , В -О , и вакуум устойчив. Величина порогового поля, при котором возникает неустойчивость относительно рождения з основном состоянии массивных частиц, равна И^-1т. , в соответствии с присутствием двух массивных соермионов в трип-летном спиновом состоянии. В полях //> Нс массивные частицы заполняют область быстрот ІХІ < В , где В-В(Ц/&ъ) -граничная Фермиевская быстрота; спектр низколежащих возбуждений системы становится бесщелевым.
Показано, что в области С'<'Н-Мс ^Мс , где система массивных частиц образует сТ)ерми-газ низкой плотности, п. <:< im. , зависимость энергии основного состояния от магнитного поля имеет вид:
ЪМ-Ъ.Со)~ L g*?i (»g)\o[(*g)a]Jt /10/ указывающий на универсальный характер корневых особенностей намагниченности и магнитной восприимчивости в одномерных соерми-системах с динамической генерацией массовой- щели в спектре спиновых возбуждений.
В другом предельном случае, И^ пъ , отвечающем йерми-газу массивных частиц высокой плотности, т <$:п. « А^ , получено асимптотическое разложение энергии по степеням инвариантного заряда
Ь.М-Ь>&~ &<+Ы*) + о(Ф1 /и/ удовлетворяющего функциональному уравнению Гелл-Манна - Лоу -JL - ± ^1^1 = ^ J± fe,0j /12/
В случае отталкивания / g > о / бесщелевой характер спиновых возбуждений приводит в этом, нуль-зарядном режиме к разложению энергии /II/ и уравнению Гелл-'ланна - Лоу /12/ при любых значениях // / И Ч^" Ас /, с заменой в этих Формулах т на
В 6 выведена система нелинейных интегральных уравнений для энергии возбуждения fa -струн, описывающая термодинамические свойства модели. Изучено поведение термодинамических величин в предельных случаях Н/Т 2> 1 и М/т ^ 1 3 области IH-Hcl-^T-^C /Vc поведение восприимчивости и спиновой части теплоемкости системы отражает эгосоект теплового размытия перехода при //= //с и аналогично найденному в главе III. В области
И ^>ґуь j T получено разложение свободной энергии с учетом квадратичной по температуре поправки: F(ktT)-F fro)** - 7^ ^ Си) * Wh f ^Ы&Ф^
Ч" II
В обратном предельном случае тл И У глава диссертации посвящена исследованию на основе точного решения (/(і4) -симметричной модели Тнрринга /2/ спектра возбуждений и магнитных свойств одномерной оюрми-системы с анизотропным по спину взаішодеиствием во всех секторах ее йазовой диаграммы. Эти сектора обозначаются как і) сектор асимптотической свободы /АС/: -тт + l%xl < %ti < -1%±1 ; 2) сектор слабой связи /СС/: l$j.l < $п < "Я"-/л/ ; З) сектор кроссовера /К/: В 1 приведены уравнения Бете-анзатца для V(i) -модели Тир-ринга [6:),66] . Уравнения для спиновых быстрот Хи имеют вид /6/, где теперь импульсы затравочных спиновых возбуждений а двухчастичная фаза рассеяния ъМ* ***** (ctg^-Ui М), Параметры / и и связаны с константами взаимодействия ^ в, соотношениями S-± -ЬАУ «*#*. """* Kj \J ~~" В секторах AC и CC s^-f = -^$-^$n » 0<1Г , ^Сзі-зї^п /при tg„i< i$j_i « і /. В 2 рассматриваются общие свойства уравнений Еете-анзатца в термодинамическом пределе, дается классификация их решений /"струн"/ и доказывается непрерывность затравочного спектра во всех секторах модели. В 3 на основе полученных спектральных уравнений строится основное состояние и вычисляется спектр переноршрованных воз буждений в нулевом магнитном поле. Показано, что в секторе АС дырки в распределении вакуумных мод образуют одноФермионную ветвь массивных спиновых возбуждений. В инфракрасной области IXI Показано, что в области тг/^см < ж /-т+/±/ <$.ц<-1Г/<2_ /, помимо одноФермионной ветви, в спектре спиновых возбуждений существуют связанные Фермион-антиФермионыые состояния: :(А)=т;оИ. Ж; (Л) = mj &4, ILL , J- <* ZL *]~Ъ***[%(±-1)]. 1-<Л^[]-± - зо - число которых возрастает с ростом ft . Связанные состояния /14/ образуют однопараметрическое семейство возбуждений с >?г= 0 . В секторе СС элементарные спиновые возбуждения - безмассовые Фермионы со спектром /8/, где пгк'^Асгу/^(тг!Н/^.п)^>Л^. 3 секторе К, который ограничен сепаратрисами яи~ 4=/9,/ » соответствующими изотропным /SU~(Q.) -пределаїл сильной и слабой связи, массивные Фермионы - единственные элементарные спиновые возбуждения системы. Их спектр дается формулами s(x) = »LcL^(ATl-)j тл(л) = т*Жр?:Ж.) /15а/ при /^^Va / о <$l(< 1$±1/; s(A)=neTL* Жь(л)^ъъ^иА /15б/ 2. ^. при 7Г/^< /^ <~п/-1$±1 <; $.„ <0 /, где перенормированная масса возбу;кдений при ll ^--/ / i$j_l«1 / равна ҐК <Ь А с &кр[~7Г fr- Ъ) /<2-ll^ J ^ Лс При переходе на нуль-зарядную сепаратрису ^> = /х///**-* 0 > Ф -? о > ,/и. *? ^/а / масса экспоненциально убывает, а Формулы /15а/ непрерывно переходят в /8/, описывая в этом пределе бесщелевой спектр спиновых возбуг-гдений. Спектр перенормированных спиновых возбуждений непрерывен на всей Фазовой плоскости. Полученные результаты для спектра масс позволяют проследить за непрерывным переходом из режима слабой связи в режим асимптотической свободы с сильным элективным взаимодействием при изменении констант Ql( И gj_ . Результаты для спектра возбуждений, полученные в этом параграфе, позволяют уточнить Фазовую диаграмму модели при произ- _ от _ ВОЛЬНЫХ gy И $j_ . В 4 рассматриваются магнитные свойства модели при Т = О во всех ее секторах. В секторе АС величина порогового поля равна Ис~о.т (V~/9^-J. В полях 0< Н~НС « Uc анизотропия и не влияет качественно на характер зависимости энергии основного состояния от магнитного поля, полученной для $ЩЪ.)-модели /см. /10/ /, за исключением окрестности точки J^ — іг , соответствующей классическому пределу теории. 3 окрестности этой точки при Ж - 1JC (\!lZc) Z«1 /* If ' тлеет место кроссовер от корневой зависимости намагниченности к известному классическому результату А/~ Уп,/1Ли(!—1?J/[101] . В полях Н^>гп, получено асимптотическое разложение энергии при произвольных JU. . В области /± Аналогичное асишітотическое разложение для энергии получено в секторе СС. В секторе К, как и в секторе АС, при О< Н-//с« //с в зависимости физических вежічин от магнитного поля имеются сингулярности корневого типа. При Н2>гп. о ' о = - UL [1 + *<< с%) 0+№) + (*D] /*/ _ oo _ ttV t /19/ -инвариантный заряд в секторе К, a s0 -инвариантный заряд в 17(2.) -модели, удовлетворяющий уравнению /12/. При ^-(^/m)^1f jll^ ц (Н4п ) <<Г 1 из /IS/ следует разложение для магнитной восприимчивое ти В обратном случае, ^ ^.(14/^.)-^1, /+^^(^ 'Н) <<" 1 , соответствующем окрестности нуль-зарядной сепаратрисы ^^— /gx/ , в /20/ т. следует заменить на іп?~ . В 5 обсуждается связь между TJQl) -моделью Тирринга и моделями СГ /3/ и МТ /4/, устанавливаемая из сравнешш их точных решений. Показано, что основные уравнения Т7(і) -модели Тирринга в секторе АС определяют регуляризованную интегрируемую версию континуальной модели СГ в области jS^V &1Г /или эквивалентной модели МТ/. Результаты, полученные в 3, описывают спектр масс моделей ЫТ и СГ: однойермионная ветвь спектра спиновых возбуждений в T7(i) -модели Тирринга соответствует одно-солитонной ветви возбуждений в квантовой модели СГ, а спектр связанных состояний /14/ соответствует спектру "бризеров". Сравниваются результаты, полученные с помощью различных способов ультрафиолетовой регуляризации теории. Рассмотрим одномерную систему фермионов с частично заполненной энергетической зоной. Взаимодействие между частицами предполагается мальм по сравнению с шириной зоны. Поэтому в нулевом приближении имеем свободный ферми-газ, гамильтониан которого где Сро -оператор рождения фермиона с квазиимпульсом р и проекцией спина = =t V-2. , %Ср) -одно-частичная энергия, отсчитанная от уровня Ферми р . Поверхность Фермі в одномерном случае вырождается в две точки ± рр ; величина граничного импульса равна pF = (тг/п.а) , где а, -постоянная решетки, а -среднее число частиц, приходящееся на один узел решетки. Ниже рассматривается случай не наполовину заполненной зоны / Ф 1 /, когда процессы переброса подавлены. Тогда в гамильтониане взаимодействия учитывается рассеяние частиц с точным сохранением полного импульса / р +р = ps + р /: где / -антисимметричная относительно перестановок рм ± р ы или ps x3і? / затравочная /борновская/ амплитуда, /, -длина системы. Всюду в дальнейшем мы будем интересоваться поведением системы в инфракрасном пределе, т.е. в области энергий, тешіератур и внешних полей, много меньших Єр . Тогда при слабом взаимодействии детали зонной структуры вдали от границы Ферми несущественны, и одночастинний спектр k СР) может быть линеаризован вблизи двух точек Ферми: (р) ъ ± vF ( р - рр ) , lp+ pFj р . В результате мы приходим к безмассовым дираковским частицам, описываемым двумерным спинорным полем-операторы фермионного поля для правой и левой ветвей линеаризованного спектра. Для устранения ультрафиолетовых расходимостей вводится параметр обрезания Ас , ограничивающий допустимую область изменения импульсов: І{Грг Ас Єр. . Альтернативный подход, связанный с заменой точного затравочного спектра линейным при всех значениях импульсов и последующим заполнением "моря "Дирака" всех состояний с отрицательной энергией, обсуждается в 2. В теории возмущений логарифмически большие поправки к бойцовской амплитуде рассеяния возникают в случае, когда в начальном и конечном состояниях импульсы частиц лежат в окрестности различных точек Ферми [28,14] . Взаимодействие частиц вблизи pF или -pj- приводит лишь к перенормировке скорости возбуждений [17,42] и в дальнейшем учитываться не будет. Выбирая в ГСо) расстановку импульсов / 7 -/ а- - Р5 р+ pF , имеем Обсудим этот пункт несколько подробнее. Смысл процедуры, проделанной в 1 в рамках паркетного приближения, заключался в предварительном исключении во всех диаграммах области логарифмического интегрирования О у 1%, . При последующем интегрировании в области к, - Л мы фактически имеем дело с новым рядом теории возмущений, в котором отсутствует вершина gj_ , а затравочные константы связи » = о и _ заменены на пол ные паркетные вершины цМ Ск.) и i\(k) » вычисленные в области A L и взятые на ее границе. Разумеется, такая те ория возмущений осмысленна лишь при \Г (k)\ , // _ (/ )/ « 7 . Последние условия выполняются при любых И , если Q О /нуль-зарядное поведение/. Если же Q О , то условие малости эффективного взаимодействия накладывает ограничение на величину магнитного поля: И» т, , где Лг -массовая щель./1.1.13/. Нетрудно убедиться, что возможность перегруппировки членов исходного ряда теории возмущений с целью получить эффективную модель с одним параметром обрезания, равным Н , несоответственно, одной логарифмической переменной = А -Л, = (2/w) &ъ ф/т) не ограничивается главннГїі логарифмическигл приближением. Действительно, такая возможность основаїіа на указании рецепта выделения широкой области логарифмического интегрирования 0 - Л во всех вершинных и собственно-энергетических диаграммах. Анализ паркетных диаграмм для вершин Г (_ХЛ к) и f\C jk) , выполненный в 1, показал, что в сечениях по паре линий логарифмическое интегрирование распространяется на широкую область 0 :A , если проекции спина на сплошной /пунктирной/ линии сечения совпадает с проекцией спина на внешней сплошной /пунктирной/ линии диаграммы. В противном случае іштегрирование идет по узкой области о А, . Аналогичная ситуация возникает и при рассмотрении непаркетных вершинных графиков. Вычисление диаграшы рис.8 показывает, что в случае сохранения проекцрш спина вдоль линии одного сорта / ыа = «,/= XS / диаграммы пропорциональны о3 л , а при "опрокидывании" спина / «г - з / . Разбивая широкую область интегрирования на подобласти 0 k и - А и переходя в последней к новой переменкой -= - - , о УК = Л - к , во всехграфиках для Г. и ГР , рассматриваемых пока в отсутствие собственно-энергетических поправок, исключим область 0 к и отсуммируем все диаграммы, пропорциональные заданной степени . В результате мы получим новое разложение Гц и Г в области Л /t , изображенное на рис. 9, где темными кружка ми обозначены полные вершины . Диаграммы дают вклад лишь в области О у р и по указанной выше причине не содержат вершины Г± (А,) В модели с линейным спектром бозонное представление Ферми-полей /1.2.14/ позволяет построить эквивалентную теорию двух независимых скалярных полей, одно из которых, &, , описывает бесщелевые возбуждения зарядовой плотности, а другое, (р , является нелинейным полем одномерной квантовой модели СГ [43] /1.2.15/ и описывает сшшовые степени свободы системы. Учитывая связь между спиновой плотностью фермионов и плотностью топологического заряда модели СГ /см. /1.2,11/ / гамильтониан спиновых возбуждений, включающий взаимодействие с магнитным полем, запишем в виде /здесь и ниже 6-- Д- Я /» где сшзь между я и определяется из йормул и, как уже отмечалось в главе I, 2, является универсальной лишь . Линейный по 4 x(f член в гамильтониане модели СГ /3.1.2/ способствует образованию в основном состоянии отличной от нуля средней плотности топологического заряда, в то время как нелинейность Cwo/o.a) cos pep стремится зафиксировать однородное в пространстве значение f= 0 Qmod а7г/з) . Результатом этой конкуренции является непрерывный переход при некотором пороговом значении Н— //е из основного состояния о {\(р\-0 при Н Цс в основное состояние с Сдк рУ 0 при И Uc , связанный с неустойчивостью системы относительно спонтанного рождения конечной плотности солитонов при Н Нс + 0 .В классическом пределе / J5 - 0 в /3.1.2/ / этот переход развивается путем образования при И Ис солитонной решетки с периодом, уменьшающимся с ростом Н/Ис . Его описание было впервые дано в работе [101 ] при исследовании геликоидальных структур в магнито-упорядоченных системах. В последние годы переход в основном состоянии классической модели СГ, известный как переход "соизме - 84 римость-несоизмеримость", широко обсуждался в литературе в связи с изучением сверхструктур /волн плотности/ в различных физических системах [102.-Ю5, -1?] /см. также обзор [106] /. В классическом пределе вблизи перехода / 0 И-Нс Нс / средняя плотность солитонов растет по закону [юі]. Гамильтониан $17(2.) -модели Тирринга /I.I.7/ запишем в виде где , / -спинорные, а , /3 -изотопические индексы, совпадающие в терминах нерелятивистского ферми-газа с номерами ветвей линеаризованного затравочного спектра и спиновыми индексами, соответственно. Поскольку полное число частиц /V-J f /- etx сохраняется, произвольное собственное состояние гамильтониана следует искать в виде где псевдовакуумное состояние /о удовлетворяет условиям С .) l) - Уравнение на собственные значения #?// = = /г //V приводит к следующему уравнению для функции / описывающему систему А/ фермионов с $ -функционным парным взаимодействием. Волновая функция / удовлетворяет условию антисимметричности где , -четность перестановки Q (QI Q?. ..-, Qw) чисел 1,2, ... , Л/ . Для квантования спектра накладываются периодические граничные условия В одно-частичном секторе / N = I / имеем свободное уравнение Дирака для безмассовых частиц, решение которого где -itQa-y -дираковский спинор. Для определения волновой функции в секторах с A/ , о. конфигурационное пространство А/ переменных Хп y t..., У разбивается на А/! областей Q с упорядочением координат частиц Внутри каждой такой области уравнение /4.1.2/ не содержит 5" функций И совпадает с уравнением. Дирака для А/ свободных частиц. Поэтому волновую функцию / в области ф можно искать в виде суперпозицииплоских волн /4.1.5/. При А/ = 2 волновые функции в областях 1-Ql,i) и Q-C2- 7) характеризу ются одним и тем же набором импульсов к1, /cz , поскольку сохраняются полные энергия Е-, ] + къ_ г . и импульс ,Р-к,- - г_ двух рассеивающихся частиц. Однако, при А/ это уже не очевидно. Гипотеза Бете [,4Ь\ состоит в том, что при любом А/ набор импульсов Ки к-2т) -, одинаков в каждой области Q . Ясно, что такая гипотеза должна означать возможность представления любого А/ -частичного процесса рассеяния в виде последовательности двух частичных процессов, т.е. рассеяние должно быть факторизованным. Сшивка волновых функций на границах различных областей приводит к жестким ограничениям на двух частичные амплитуды, выполнение которых необходимо для само согласованности Бете-анзатца. Непрерывная у$ -инвариантность модели Тирринга /I.I.20/, связанная с отсутствием у частиц затравочной массы, приводит к сохранению свойства полной интегрируемости и при произвольно нарушенной $U(2) -симметрии. Точное решение U(l) -модели Тирринга получено в работах L9, 66J . Доказательство ее интегрируемости производится тем же методом, что и в $TJ(2) -случае С З] } но использует решение уравнений Янга-Еакстера /4.1.IS/ ДЛЯ ив) -симметрии, найденное в работах где 26 -спектральный параметр, а / и f. -произвольные константы. Их связь с константами взаимодействия glt и х , а такне явный вид а(пс)9 устанавливается из требования совпадения матрицы /5.І.І/ при = = JC5 - = 0,±1 с двухчастичной Д -матрицей, которая в свою очередь определяется из условия сшивки бетевских волновых Функций на граніще соседних областей конфигурационного пространства. Метод диагонализации трансфер-матрицы L У1-73], использованный в [65] для SU(2) -модели, применим и в этом случае. Уравнения Еете-анзатца для системы с совпадающими числами правых и левых частиц / И -/У « Ау 2 / имеют вид [65]. Отметим, что двухчастичная Фаза описывающая рассеяние затравочных спиновых псевдочастщ в рассматриваемой модели, имеет универсальный вид для всех интегрируемых систем с группой симметрии &&) : ЫТ-модели [60,61]я эквивалентной ей квантовой модели СГ [72] , а также анизотро - 152 пнои XXI -спиновой цепочки [49].Модели ферми-газа. Основные результаты теории возмущений
Обобщенные восприимчивости в паркетном приближении
Фазовый переход в основном состоянии
Точное решение pU(2) -модели Тирринга
Уравнения Бете-анзатца в U(l) -симметричной модели Тирринга
Похожие диссертации на Теория магнитных свойств одномерных ферми-систем. Точные результаты
