Содержание к диссертации
Введение
2 Конформная теория поля 16
2.1 Теория свободных полей 20
2.2 Свободная теория с с ф 1 21
2.3 Корреляторы в свободной теории 22
2.4 Четырехточечный конформный блок 23
2.5 Форма Шаповалова 26
2.6 Тройные вершины 27
2.6.1 Тройные вершины Г 28
2.6.2 Тройные вершины Г 29
2.7 Диаграммная техника 29
2.8 Подсчитанные тройные вершины 30
2.9 W^> алгебра 31
2.9.1 Тройные вершины в алгебре W^> 35
2.9.2 Вычисления в свободной теории поля 38
2.9.3 Примеры тройных вершин 50
3 АГТ-соотношение 55
3.1 Функция Некрасова 55
3.2 АГТ-соотношение для конформных блоков на сфере 58
3.2.1 [/(1)-фактор 58
3.2.2 Четырехточечный конформный блок 58
3.2.3 Пятиточечный конформный блок 60
3.2.4 Шеститочечный конформный блок 64
3.2.5 п-точечный конформный блок 65
3.2.6 Симметрии 67
3.2.7 Выбор диаграмм 68
3.2.8 Явные вычисления для АГТ-соотношения 69
3.3 АГТ-соотношение для конформных блоков на торе 72
3.3.1 Предел больших масс 73
4 Теория свободных полей и интегралы Сельберга 75
4.1 Cala"2+bN на первом уровне 77
4.2 Cala"2+bN на втором уровне 79
4.3 Обобщение на высшие уровни 80
4.4 Переход от операторного разложения к конформному блоку 81
4.5 Интегралы Сельберга и их обобщение 83
5 Теория Черна-Саймонса 85
5.1 ХОМФЛИ в фундаментальном представлении 89
5.2 Полиномы ХОМФЛИ торических узлов 90
5.3 Обобщенные ХОМФЛИ и т-функции 91
5.3.1 т-функции 91
5.3.2 Сравнение Н^ЩЇ} и т{} 92
5.4 Цветные полиномы ХОМФЛИ для узла 4і 93
5.4.1 ХОМФЛИ для произвольного антисимметричного представления 95
5.4.2 Проверка цветного ХОМФЛИ 96
5.4.3 Проверка гипотезы Оогури-Вафы 97
5.4.4 Цветные суперполиномы узла-восьмерки 99
5.4.5 Разностные уравнения на полиномы ХОМФЛИ и суперполиномы 102
6 Заключение
- Четырехточечный конформный блок
- Четырехточечный конформный блок
- Обобщение на высшие уровни
- ХОМФЛИ для произвольного антисимметричного представления
Четырехточечный конформный блок
Выражения такого типа близки к матрично-модельным интегралам [20]-[37], что позволяет говорить о построении матричной модели, соответствующей конформному блоку. Однако, связь полученных ответов в такой “деформированной” свободной теории с ответами, полученными из конформной симметрии, не очевидна и требует проверки. В данной работе проверено, что в первых трех порядках разложения по двойным отношениям координат полей “деформированные” константы связи действительно равны рассчитанным с помощью конформной симметрии.
АГТ-соотношение связывает между собой два описанных выше объекта — конформный блок и функцию Некрасова — для определенного состава полей конформной теории и состава материи суперсимметричной теории. Простейший и наиболее изученный случай, в котором рассматривается АГТ-соотношение, это связь между SU(2) суперсимметричной теорией Янга-Миллса и конформной теорией с полями, которые генерируются с помощью операторов Вирасоро. Но это соотношение допускает и обобщение на SU(N) суперсимметричную теорию. При этом в конформной теории рассматриваются поля, которые генерируются с помощью W N алгебры. В частности, в работах [38] было рассмотрено такое соотношение для случая N = 3.
Исследования в этом направлении были продолжены в рамках данного диссертационного исследования. Были получены некоторые общие формулы необходимые для вычислений в случае N = 3. Эти формулы позволяют рассмотреть конформные блоки с алгеброй W . Полученные результаты были проверены с помощью модели свободных полей.
Кроме того, в данной работе рассмотрено АГТ-соотношение для двух конфигураций полей — конформного блока для нескольких внешних полей на двумерной сфере и конформного блока для одного поля на двумерном торе. Как конформный блок, так и функция Некрасова, представляются рядами по двойным отношениям координат в первой теории и по непертурбативному параметру во второй. В данной работе рассмотрены низшие порядки этих разложений (иногда соответствующие порядки разложений будут называться “уровнем” АГТ-соотношения) и проверено, что гипотеза АГТ действительно выполняется.
Вторая часть работы посвящена трехмерной теории Черна-Саймонса. Исходная гипотеза АГТ, предложенная в [11], описывает связь между двумерной и четырехмерной теориями. Но также существуют и обобщения на теории других размерностей. Так, рассматриваются обобщения на случай двух трехмерных теорий [39]-[57] и трехмерной и пятимерной теорий [57]. В обоих случаях в роли (одной из) трехмерных теорий выступает теория Черна-Саймонса с действием
Эта теория примечательна тем, что она является топологической теорией, то есть ее корреляторы не зависят от координат в трехмерном пространстве. По этой причине ее изучение актуально в контексте приложений к более сложным топологическим теориям, в том числе к топологической теории струн [58].
При некоторых выборах калибровки трехмерная теория Черна-Саймонса превращается в локально невзаимодействующую теорию. Тем самым задача о нахождении корреляторов нескольких полей не представляет такого широкого интереса, как в других теориях поля. Однако, благодаря топологической инвариантности и трехмерности, большой интерес для изучения представляют корреляторы другого типа — вильсоновские средние.
Вильсоновские средние (средние значения петель Вильсона) вычисляются для различных контуров /С. Ключевая особенность трехмерной теории, которая не проявляется в теориях больших размерностей, состоит в том, что в трехмерном пространстве существуют нетривиальные контуры, которые нельзя свести с помощью топологических преобразований друг к другу. Такие контуры соответствуют различным узлам. Тем самым открывается большой пласт задач об изучении свойств таких вильсонов-ских средних для различных контуров (узлов).
Согласно работе Э.Виттена [59] средние значения петель Вильсона в теории Черна-Саймонса с калибровочной группой SU(2) равны полиномам Джонса [60], построенным в математической теории узлов. Математическая теория узлов — это довольно старая область математики, которую начали изучать еще в семнадцатом веке. Главная задача этой теории состоит в построении алгоритма, позволяющего отличить друг от друга различные узлы — замкнутые контуры в трехмерном пространстве. Основной метод, используемый для достижения этой цели, состоит в построении так называемых инвариантов узлов. Одни из наиболее общих полиномов узлов — это так называемые полиномы Хосте-Окнеану-Милле-Фрейда-Ликориша-Йеттера (ХОМФЛИ)1. Полиномы Джонса являются их частным случаем.
Если обобщить утверждения, сделанные Э.Виттеном, то вильсоновские средние теории Черна-Саймонса эквивалентны полиномам ХОМФЛИ. Свойства таких полиномов на данный момент широко изучены только для одного класса узлов, называемых торическими (так как они получаются с помощью намотки нити на тор). Однако, общие свойства вильсоновских средних (полиномов ХОМФЛИ) для произвольных узлов пока мало изучены. Во многом причиной для этого служит то, что ответы для неторических узлов известны только в фундаментальном представлении. Многие известные свойства торических узлов, однако, связаны с полиномами также и в высших представлениях.
В данной работе рассмотрены две задачи, связанные с полиномами узлов. Одна из них связана с построением полиномов ХОМФЛИ в высших симметрических и антисимметрических представлениях для простейшего неторического узла. Вторая задача связана с описанием интегрируемых свойств полиномов торических узлов, а именно, со связью полиномов ХОМФЛИ торических узлов и решений уравнений иерархии Кадомцева-Петвиашвили (КП).
В случае теории Черна-Саймонса с произвольной калибровочной группой SU(N) вильсоновские средние соответствуют полиномам ХОМФЛИ, которые являются полиномами по двум переменным q и А, которые связаны с константой связи теории и группой SU(N):
Данное соотношение между теорией узлов и теорией Черна-Саймонса интересно по той причине, что оно позволяет изучать структуру Вильсоновских средних для различных контуров (узлов). Отметим также, что теория Черна-Саймонса связана и с другими физическими теориями, например, конформной теорией Весса-Зумино-Виттена [59].
Исходно в математической теории узлов полиномы ХОМФЛИ задаются с помощью набора скейн-соотношений, связывающих между собой полиномы для узлов, в которых пересечение заменяется на обратное пересечение или же на отсутствие пересечения:
Четырехточечный конформный блок
Как было указано ранее, на алгебре полей можно ввести скалярное произведение (2.41). Это скалярное произведение линейно по обоим входящим в него полям. Также удобно, чтобы операторы Вирасоро были эрмитовыми относительно скалярного произведения: Помимо данного свойства, скалярное произведение также должно быть ортогонально для примарных полей
При рассмотрении алгебры Вирасоро скалярное произведение можно определить, как коррелятор полей в нуле и бесконечности, но все его значения можно также получить напрямую из указанных выше свойств.
Матрица Шаповалова 5д1 (Y\, Y2) блочно-диагональна (см. табл.2.1). Ее значения можно определить, рассмотрев действие оператора ЬуаЬ_уя на примарное поле Vp.
Блочно-диагональная форма матрицы Шаповалова позволяет, несмотря на ее, вообще говоря, бесконечный размер, построить обратную к ней матрицу. Обратная матрица также будет иметь блочно-диагональную форму, причем каждый ее блок будет обратным к соответствующему блоку матрицы Шаповалова. При подсчете конформных блоков, согласно (2.39), используется обратная матрица Шаповалова: D&(Ya,Yp) = 5д (Ya,Yp). Yi\Y2 0 [1] [2] [1,1] где 7 и 7 описываются только конформными свойствами теории и алгеброй Вирасо-ро, а корреляторы примарных полей зависят от выбора конкретной теории и связаны со структурными константами теории. где также использовались соотношения LoVa = AaVa и Lo V2 = A2 V2. Заметим, что (2.50) остается верным даже если V\ не примарное поле, что не верно для (2.51). Отметим также, что в формуле (2.51) не налагается никаких ограничений на Va, в частности Va может быть непримарным полем. Если Va = L_yVa — поле из модуля Верма, то из свойств алгебры Вирасоро
Диаграмная техника для вычисления конформного блока. 7 соответствуют тройным вершинам, а D — обратной матрице Шаповалова
Приведенный в разделе 2.4 способ вычисления четырехточечного конформного блока может быть обобщен и на случаи большего числа полей. С помощью операторного разложения (2.2) корреляторы любого числа полей можно свести к простейшим элементам — скалярным произведениям двух полей (см. раздел 2.5) и трехточечным вершинам (см. раздел 2.6). Такое разложение коррелятора естественным образом описывается диаграммной техникой. Конкретный вид диаграммы зависит от количества полей в корреляторе или конформном блоке и рода рассматриваемой поверхности. Диаграммы состоят из элементов двух типов: пропагаторов и вершин (рис. 2.2), связанных с обратной матрицей Шаповалова и тройными вершинами соответственно.
Процедура вычисления конформных блоков таким образом дается следующим алгоритмом: с помощью формулы (2.2) количество внешних полей п-точечного конформного блока уменьшается на 1, таким образом получается линейная комбинация (n — 1)-точечных конформных блоков. В полученном выражении структурные константы Cf- можно представить с помощью Г и матрицы Шаповалова:
Соответственно, правила построения конформного блока по диаграмме относительно просты: каждой вершине сопоставляется тройная вершина (см. раздел 2.6), а каждой внутренней линии — обратная матрица Шаповалова (см. раздел 2.5), после этого нужно произвести суммирование по всем полям, соответствующим внутренним линиям диаграммы.
Подсчитанные тройные вершины
Для расчетов конформных блоков, проведенных в данной работе, необходимо вычисление различных тройных вершин с помощью описанных выше методов. Здесь приведены некоторые результаты, использованные в дальнейших вычислениях.
Некоторые конформные модели с бесконечным числом примарных полей Вирасоро могут также обладать некоторыми дополнительными симметриями. Симметрии такого типа называются расширенной конформной или киральной алгеброй. Алгебра Вирасоро всегда является одной из ее составляющих, но конформная алгебра может быть и больше. Хорошо известный пример такой алгебры — алгебра токов в модели Весса-Зумино-Новикова-Виттена [59]. В данной работе рассмотрен другой пример конформной алгебры. Теория с г свободными полями не определяется полностью алгеброй Вирасоро, соответствующая алгебра носит название Wr+\.
С помощью конформной алгебры можно ввести соответствующие ей примарные поля. Один модуль Верма расширенной конформной алгебры может включать в себя бесконечное число примарных полей Вирасоро, и новые конформные блоки тогда оказываются бесконечной суммой конформных блоков Вирасоро.1 Элементы модуля Верма при этом нумеруются обобщенными диаграммами Юнга У. Многие из формул, полученных выше для алгебры Вирасоро, не изменяются при замещении операторов L генераторами конформной алгебры и диаграмм Y обобщенными диаграммами у. Важное отличие, однако, состоит в том, что конформной алгебры может быть недостаточно для сведения всех корреляторов к корреляторам примарных полей. Так, в случае алгебры W в ответ будут также входить тройные вершины вида ({W\Va) V1V2), которые необходимо задать с помощью некоторых дополнительно наложенных условий. Также более сложным является и соотношение между 7 и 7, по этой причине необходимо по отдельности рассчитать тройные вершины двух типов.
Обобщение на высшие уровни
Множество параметров, удовлетворяющих АГТ-соотношению, обладает некоторыми симметриями. Исходя из использованной параметризации (3.10) можно заметить, что выражения не изменятся при замене а ь- (б — а) для любого из а. Для всех конформных блоков на двумерной сфере, кроме случая четырех внешних полей, это единственная симметрия. Таким образом, АГТ-соотношению удовлетворяет 2п различных наборов параметров конформной теории поля. Также не изменятся и выражения для функции Некрасова при перестановке масс Ц\ и //2 или //3 и //4, что дает четыре различных набора для функции Некрасова. Поэтому имеется 2п 2 всевозможных комбинаций параметров, удовлетворяющих АГТ-соотношению.
Случай четырех внешних полей является с этой точки зрения особым. В данном случае имеется также симметрия при следующей замене параметров: «о О /Зо и а\ О Таким образом, в этом случае АГТ-соотношению удовлетворяют восемь различ ных комбинаций. Объясняется наличие такой симметрии тем, что конформный блок зависит от переменных, являющихся двойными отношениями: х = — . В слу za1[i0 z[i2a0 чае четырех внешних полей он зависит только от одной переменной х, а потому выражения не изменятся при данной замене параметров. Для случаев многих полей разложение производится по нескольким переменным такого типа, в то время как преобразования такого вида могут сохранять только одну из них, значит данная симметрия существует только для случая четырех внешних полей
Диаграмма определяет порядок перемножения полей в конформном блоке. Диаграмма такого типа называется гребенкой. АГТ-гипотеза задает соотношения только для диаграмм такого типа. Диаграмма, задающая неправильный порядок перемножения полей для пятиточечного конформного блока b) Диаграмма иного типа, задающая неправильный порядок перемножения полей для шеститочечного конформного блока
Благодаря наличию конформной симметрии гг-точечный конформный блок зависит только от п — 3 проективных инвариантов. Конформный блок может быть задан для любых несовпадающих координат, в то время как функция Некрасова задана только в определенной области пространства модулей. В этой области параметры qi малы (Яг 1). Таким образом получается, что функция Некрасова — это ряд по малым qi, в то время, как конформный блок — ряд по проективным инвариантам ХІ. Соответственно, при сопоставлении ХІ = qi получается, что поля при подсчете конформного блока должны быть взяты в точках, удовлетворяющих особым условиям: где п — количество внешних полей в конформном блоке. Данное условие приводит к тому, что рассмотрению подлежат только диаграммы типа гребенки (см. рис. 3.5). В случае пяти внешних полей при попытке подсчета конформного блока для диаграммы, представленной на рис.3.6 а). может быть получено только разложение возле точек у = 1 и х = 0, что не согласуется с нужным для сравнения с функцией Некрасова рядом. Для шеститочечного конформного блока также существует диаграмма, не являющаяся диаграммой типа гребенки (см. рис.3.6 6)). АГТ-соотношение для него также не установлено. 3.2.8 Явные вычисления для АГТ-соотношения АГТ-соотношение для конформных блоков на торе
Коррелятор одного внешнего поля на двумерном торе описывается диаграммой из одной тройной вершины и одной петли, соответствующую пропагатору (см. рис. 3.7). Таким образом, конформный блок в этом случае представляется формулой: Помимо q конформный блок в данном случае зависит от размерностей двух полей А и Дежі и от центрального заряда с. Диаграмма для случая 1-внешнего поля на торе Согласно гипотезе АГТ данный конформный блок должен быть сопоставлен следующей функции Некрасова
Используя данное соотношение, можно проверить гипотезу АГТ в данном случае, путем сравнения вторых порядков разложения для конформного блока и функции Некрасова. Предел больших масс
АГТ-соотношение для асимптотически свободной калибровочной теории может быть получено путем устремления масс полей суперсимметричной теории к бесконечности. В рассматриваемом случае при этом сохраняется постоянным произведение qm4 = Л4. Исходя из соотношения между параметрами теории (3.80), предел больших масс также соответствует пределу большой L\ext. равна полному числу операторов Вирасоро в Yj и Yj. Если эта теорема верна, то наибольшая степень Aext содержится в члене Yi = Yj = [Iті]. Также докажем, что коэффициент при этом члене равен единице. Таким образом, ведущий член в В п при больших Aext действительно равен A QA ([1]) [1])
Используя метод математической индукции, докажем теорему. Базой индукции выберем уровень 0 — если нет операторов Вирасоро, то 7 не зависит от Aext потому, что она равна единице. Проанализируем поведение слагаемых в правой части формулы (2.49). Первое слагаемое равняется нулю, потому что в рассматриваемом случае V2 — это примарное поле. Исходя из уравнения (3.86), можно сложить второе и третье слагаемое, уменьшив количество операторов Вирасоро при поле V\ на 1 и получив множитель nAext. С помощью коммутационных соотношений операторов Вирасоро в последнем слагаемом ЬпЬ_кУз = -к пУъ + (ті + к)Ьп_кУз + n,fc "2— Поэтому, если Vs — примарное поле, каковым оно является в рассматриваемом случае, то LHL_YVS содержит столько же операторов Вирасоро, сколько и L_yVs с коэффициентом, не зависящим от Aext, а, соответственно, дает меньший порядок по
ХОМФЛИ для произвольного антисимметричного представления
В данной главе описаны основные свойства теории Черна-Саймонса и ее связь с теорией узлов. Также приведен метод для вычисления вильсоновских средних. Приведен известный ответ для полиномов торических узлов.
Теория Черна-Саймонса — это трехмерная топологическая калибровочная теория поля c векторным полем А. Она описывается топологически инвариантным, то есть не зависящим от метрики, лагранжианом:
Данная теория в настоящий момент представляет большой интерес, так как это простейшая теория, обладающая нетривиальными топологическими свойствами.
Из того, что теория Черна-Саймонса калибровочно инвариантна, следует возможность выбора конкретной калибровки. Наиболее распространены два выбора калибровки: временная А = 0 и голоморфная Aaz = А\ + %А\ = 0. В обоих случаях теория вырождается в теорию без взаимодействия, поэтому изучение корреляторов вида {Ai(x\)A2(x2) не представляется интересной задачей. Однако, в трехмерной топологической теории существует нетривиальный коррелятор другого типа — среднее значение петли Вильсона:
контур, вдоль которого считается петля Вильсона. Из-за того, что исследуемая теория трехмерна, даже при тривиальной топологии пространства, например, Л4 = S3, возможны контуры /С, которые топологически различны. Таким образом, основной объект исследования в трехмерной теории Черна-Саймонса — это средние значения петель Вильсона для различных контуров /С.
В 1989 году Э.Виттен предположил [59], что средние значения петель Вильсона трехмерной теории Черна-Саймонса с полем А, преобразующимся по калибровочной группе SU(2), равны полиномам Джонса из математической теории узлов [60]. Для произвольной группы SU(N) данное предположение естественным образом обобщается на равенство соответствующих вильсоновских средних и полиномов Хосте-Окнеану-Милле-Фрейда-Ликориша-Йеттера (ХОМФЛИ) [62, 63]. Предположение о связи трехмерной теории Черна-Саймонса и математической теории узлов и, в частности, вильсоновских средних и полиномов узлов логично в свете топологичности теории Черна-Саймонса и соответствии вильсоновских средних контуру в трехмерном пространстве — узлу.
В математической теории узлов полиномы ХОМФЛИ НК(А, q) определяются при помощи так называемых скейн-соотношений. Эти соотношения устанавливают связь между полиномами трех узлов/зацеплений1, плоские диаграммы которых связаны следующим образом. На каждой из нитей выбирается некоторое направление, после чего выбирается некоторое пересечение в плоской диаграмме узла. Три сравниваемых узла/зацепления при этом соответствуют замене данного пересечения на следующие фрагменты:
Вместе с заданием полинома ХОМФЛИ для простейшего узла — “неузла”, Н(А, q) = 1, скейн-соотношения позволяют однозначно определить полином ХОМФЛИ любого узла или зацепления. Полином ХОМФЛИ — это лоранов полином по переменным А и q. Согласно [62, 63] полиномы ХОМФЛИ, построенные таким образом, действительно являются топологическими инвариантами. Этот факт основывается на том, что две двумерные диаграммы представляют собой один и тот же трехмерный узел или зацепление, если, и только если, одна может быть преобразована в другую с помощью плавных деформаций и трех движений Редемейстера:
Из-за выбранной калибровки не важно, как контур петли Вильсона зависит от х. Тем самым контур (узел) можно заменить на его двумерную проекцию на плоскость х = 0. Тогда ответ для вильсоновского среднего дается произведением пропага-торов, находящихся в точках пересечений двумерной проекции. Исходя из топологической инвариантности ответа для среднего значения петли Вильсона (которая обусловлена топологической инвариантностью самой теории) произведение пропа-гаторов должно удовлетворять движениям Редемейстера (5.6). Третье движение Ре-демейстера представляет собой уравнение Янга-Бакстера на операторы, сопоставленные проекторам
Решениями данного уравнения являются 7?.-матрицы [80]. Таким образом, петлю Вильсона можно представить, как произведение некоторого числа 7?.-матриц, соответствующих пересечениям двумерной диаграммы узла. Теории Черна-Саймонса с калибровочной группой SUq(N) и константой связи к при этом соответствуют полиномы ХОМФЛИ от следующих А и q: следует, что ответ представляется произведением 7?.-матриц: TZ1TZ2TZ3TZ4:TZ5TZ6. Но третьего движения Редемейстера недостаточно для того, чтобы ответ был топологическим инвариантом. Для этого необходимо, чтобы выполнялись все три движения. Из второго движения следует, что матрица, соответствующая обратному пересечению — это обратная матрица: 1Z3 = TZA-1. Наиболее сложным является первое движение Редемейстера. Оно соответствует изменению числа нитей в косе. Из необходимости выполнения первого движения Редемейстера можно получить [62, 63], что окончательный ответ дается разложением по характерам группы SUq(N). При рассмотрении вильсоновского среднего косы с т нитями от связности, преобразующейся по представлению Т калибровочной группы SUq(N), в разложение входят представления с диаграммами Юнга размером таТ, где \Т\ — размер диаграммы Т:
Похожие диссертации на Свойства корреляторов калибровочных теорий поля
