Содержание к диссертации
Введение
1. Локальная динамика уравнений с запаздыванием 5
1. Общие сведения 5
2. Локальная динамика уравнения с большим запаздыванием 12
3. Локальная динамика уравнения с двумя запаздываниями 19
4. Динамика уравнения с двумя большими „близкими" друг другу запаздываниями 27
5. Динамика уравнения с двумя большими пропорциональными запаздываниями 34
6. Динамика уравнения с большим и очень большим запаздыванием 44
7. Динамика системы с линейно распределенным запаздыванием 50
8. Нормализация в системе с периодически распределенным запаздыванием 62
9. Заключение 67
2. Динамика уравнения Стюарта-Ландау 69
1. Локальная динамика в окрестности нулевого состояния равновесия 70
2. Уравнение Стюарта-Ландау с отклонением пространственной переменной 80
3. Нелокальный анализ уравнения Стюарта-Ландау 88
Заключение
- Локальная динамика уравнения с большим запаздыванием
- Динамика уравнения с двумя большими „близкими" друг другу запаздываниями
- Уравнение Стюарта-Ландау с отклонением пространственной переменной
- Нелокальный анализ уравнения Стюарта-Ландау
Введение к работе
В настоящее время одним из наиболее активно развивающихся направлений математического анализа являются исследования динамики систем с распределенными параметрами. Эти исследования стимулируются появлением большого числа прикладных задач, для моделирования которых используют такие объекты, как дифференциальные уравнения с запаздыванием. Уравнения такого типа возникают, например, в лазерной оптике [8, 31, 33, 34, 35], электротехнике, радиофизике [9, 23], медицине [26], математической экологии [6, 7], теории нейронных систем [2, 21], при описании процесса резания металлов [22, 29], в системах управления [39] и др.
Изучению уравнений с запаздыванием посвящено значительное и бурно увеличивающееся число публикаций как теоретического, так и прикладного характера. Для многих уравнений, содержащих запаздывание, хорошо зарекомендовали себя классические асимптотические методы, такие как методы усреднения Крылова-Боголюбова, методы пограничных функций в случае сингулярных возмущений [4].
Тем не менее, развитие аналитических методов для систем с запаздыванием явно недостаточно. В силу принципиальной сложности систем с бесконечномерным фазовым пространством особую значимость как для общетеоретических вопросов, так и для решения конкретных прикладных задач приобретает разработка новых асимптотических методов исследования динамических свойств решений.
В работе исследуется динамика уравнений первого порядка с запаздыванием одного из следующих видов x + x = f{x,x(t-T)), (1) x. + x = f(x,x(t-T)>x(i-Tl)) {1\<Т), (2) о x + x = f{fx(t+s)dr(s)). (3)
Фазовым пространством таких уравнений удобно считать пространство С[-т,о] непрерывных на [—Г, 0] функций со стандартной нормой, В этом смысле эти уравнения существенно сложнее обыкновенного скалярного дифференциального уравнения x + x = f(x), (4) в которое оно переходит при Г = 0. Обыкновенное дифференциальное уравнение (4), как известно, интегрируется в квадратурах. Его решения стремятся либо к состоянию равновесия, т.е. к решению уравнения х = f(x), либо неограниченно растут по модулю при і —і со. Решения уравнения (1) тоже вычислить достаточно просто. Так, положив в качестве начального условия функцию
Теперь, зная решение x(t) при t є [0.Т], мы аналогично можем получить формулу для x{t) при і Є [Т, 2Т] и т.д.
Замечено, что даже незначительное увеличение времени запаздывания приводит к кардинальным изменениям в динамике системы. Поэтому вопрос о динамике уравнений с большим запаздыванием является очень важным. С другой стороны, как показывают численные расчеты для ряда уравнений (например, для уравнения Хатчинсона), все эффекты большого запаздывания можно наблюдать уже при небольших его значениях. Поэтому особую важность имеет исследование динамики уравнений вида (1)-(2) при условии, что запаздывание является достаточно большим.
Уравнение Стюарта-Ландау i = (a + b\z\2)z + cz(t-T) является типичным представителем систем с запаздыванием. Кроме того, оно часто встречается в реальных задачах физики, техники, биологии, медицины. В предлагаемой работе предпринята попытка описать динамику уравнения Стюарта-Ландау с использованием разработанных методов. Также, развитые в диссертации алгоритмы позволяют провести локальный анализ динамики уравнения Стюарта-Ландау с отклонением пространственной переменной и малой диффузией (0 < е <С 1): і ~ = (a + b\z\2)z + c / z(t,x + s)dr(s)+e2d2 —^, z(t,x) =z(t,x + l). о
Перейдем к изложению содержания диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и двух приложений.
Первая глава посвящена локальному анализу уравнений вида (1)-(3) в окрестности состояния равновесия. Наибольший интерес в этой части представляет изучение поведения решений этих уравнений при условии, когда запаздывание Xі достаточно велико. Для всех изученных уравнений в критических случаях строятся нормализованные формы.
Во второй главе описывается применение разработанных методов и алгоритмов для изучения динамики уравнения Стюарта-Ландау.
В приложении А описывается нелокальный метод построения асимптотики решений специального вида у уравнений с большим запаздыванием на примере комплексного уравнения Стюарта-Ландау. Приводятся аналитические рассуждения и некоторые численные результаты.
В приложении Б приводится расширение метода пограничных функций построения асимптотики [4] на случай сингулярно возмущенных уравнений с запаздыванием.
По теме диссертации автором опубликовано 10 работ: 5 статей [11, 12, 13, 14, 15], 4 тезиса докладов и одно учебное пособие [10]. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию включены результаты, полученные автором.
Локальная динамика уравнения с большим запаздыванием
Основное предположение этого параграфа состоит в том, что в уравнении jt+x = ax(t) + F(x(t)) (2.1) параметр Т, характеризующий запаздывание, является достаточно большим, т.е. Т 1.
При этом условии рассматривается вопрос о поведении решений уравнения (2.1) в малой (но не зависящей от Г) окрестности нулевого состояния равновесия. Удобно через є обозначить малый параметр є = Т"1. Тем самым 0 (г 1. В уравнении (2.1) произведем замену времени t — Tt. В результате приходим к уравнению є +х = axtt - 1)+F{x(t - 1)). (2.2) at В окрестности нуля нелинейная функция F(x) представима в виде F{x) = f2x2 + hx3+... Так же, как и в предыдущем параграфе, о локальной динамике уравнения (2.2) можно судить по динамике линеаризованного уравнения dx tj. -, -к є— +х — ax{t — і.). Это уравнение является сингулярно возмущенным, получающееся при є = 0 вырожденное уравнение х = ax(t — 1) не является дифференциальным. Подставим сюда х — ехрЛ. Для А получится характеристическое уравнение єХ + 1 = ае х. (2.3)
Расположение корней характеристического квазиполинома (2.3) определяет поведение решений (2.2). Справедливы следующие утверждения.
Утверждение 2.1 Пусть существует такое М О, что при любом сколь угодно малом с 0 найдется корень характеристического полинома (2.3) Х(є), такой что ReA(e) М. Тогда существует е0 0, такое что при є Є (0,є0) нулевое решение уравнения (2.2) неустойчиво, более того, в некоторой его достаточно малой (но не зависящей от в) окрестности нет устойчивых режимов.
Утверждение 2,2 Пусть существует такое М 0, что при каждом достаточно малом є 0 все корни характеристического квазиполинома (2.3) удовлетворяют условию Re А —М. Тогда при малых є нулевое решение исходного уравнения (2.2) асимптотически устойчиво.
Таким образом, необходимо проводить дополнительные исследования поведения решений уравнения (2.2) только в том случае, когда характеристический квазиполином (2.3) имеет корень А(є) такой, что ReA(e) — 0, и не имеет корней в правой комплексной полуплоскости, отделенных от мнимой оси при є — 0.
Исследуем расположение корней квазиполинома (2.3) при малых значениях є в зависимости от параметра а.
При а = 0 все корни находятся в левой комплексной полуплоскости. Значит, при близких к нулю значениях а все корни (2.3) удовлетворяют условиям утверждения 2.2. Пусть это свойство впервые нарушается при а = а0 0 или а = а0 0. В силу непрерывной зависимости корней (2.3) от а, при таком значении параметра у характеристического квазиполинома существует корень, действительная часть которого стремится к нулю при 0. Представим этот корень в виде асимптотического ряда А(в)-ї(и;_є-7 + 0(є)) + о(1), где 7 0, a LOQ ограничено при малых є. Подставим это в (2.3) и будем последовательно приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях є. Если 7 1, то старшей степенью будет є1-7, а главная часть уравнения примет вид ЇШ_ = 0, откуда w_ — 0. Если 7 = 1, то при єа получим равенство —- ехр(—ш_ 7 — гшц(е)). а
Модуль правой части равен единице, следовательно, модуль левой части тоже должен быть равен единице. Получаем Наименьшее \а\, при котором это равенство может быть выполнено, это о — 1. При этом ш_ = 0. Наконец, если 0 у 1, то равенство коэффициентов при є0 будет иметь вид 1 = аехр(—іиі-Є 1 - iwo(e)).
Динамика уравнения с двумя большими „близкими" друг другу запаздываниями
Здесь по-прежнему 0 Ті Тг, а достаточно гладкая функция /() имеет в нуле порядок малости выше первого. Будем считать, что
Основное предположение этого параграфа состоит в том, что оба значения Ті и Т2 достаточно большие и относительно близкие друг другу величины, т.е. Ї1 „-1 , Т2 = ГІ(1 + С), 0 1. (4.2) Сделаем в (4.1) стандартную замену времени t — Ті. Полученное уравнение будет иметь вид єх + х = ax(t -1)+ bxit - 1 - єс) + fix). (4.3) Построим характеристический квазимногочлен линеаризованного уравнения Е\-\- 1 = ехр(-Л)[а + 6ехр(-сєА)]. (4.4)
Для ограниченного на некоторой последовательности є е„ —у 0 корня А(є) этого уравнения выполняются равенства А(?п) -» А0, 1 = ехр(-Ао)[а + 6]. Тем самым, критический случай, аналогичный рассматриваемому в 2, возникает при условии о, + 6-1 (4.5) или а + Ь = -1. (4.6)
Необходимо лишь исключить возможность существования неограниченных при г - О корней (4.4) с положительной вещественной частью. Это условие состоит в выполнении неравенства 1 + ahc2 0. (4.7)
Рассмотрим сначала динамику (4.3) в случае (4.5). Соответствующие построения повторяют приведенные в пункте 2.3 2. Выпишем необходимые формулы. Пусть а — аа + 2ai, Ь — bo + є%і, аа + bQ = 1, 1 + асЬ0с2 0. Подстановка, аналогичная (2.10), имеет вид оо х(і,є)=є2 J2 Ш Ші+Л і,г) + ... (4.8) к——со
Здесь г = ЕН, U = (1 —(1+Ь0с)+(1+Ьос)22)і, а функция X2{t\,r) является периодической по первому аргументу с периодом 1. Производя такие же действия, как и в 3, получим, что ,-; при всех к Є Z должны удовлетворять системе = (-2Л V 1 - be) + a, + h) & + f24 k(), (4.9) где через (fk{i) обозначен коэффициент при ехр(2т\ікі) в разложении функции 2 в ряд Фурье, Бесконечномерную систему (4.9) можно свернуть в одно уравнение в частных производных ди 1 + аф$с2д2и 2 — = 2 + (a, + h)v, + f2u (4.10) с краевыми условиями и{т,г) = и(т,г + 1). (4.11)
Отметим, что выполнение условий 1 + айЬос2 0 гарантирует параболичность этой задачи. У краевой задачи (4.10)-(4.11) устойчивыми могут быть только пространственно-однородные состояния равновесия. Приведем основной результат.
Теорема 4.1 Если ai+bi О, то при малых є нулевое решение уравнения (4.3) асимптотически устойчиво. Если ai + bi О, то при малых є нулевое решение уравнения (4.3) неустойчиво, а в его окрестности существует асимптотически устойчивое близкое к постоянному решение вида х, = - + ) (1 + 0(1)). Аналогично, если а = а0 + ера-[, Ь = 6П + ерЪ\, aQ -f b0 — 1, 1 + аф$с2 0, 0 р 2, сделаем замену x(t,e)=? J] ік{т)е2 т є2Ч2(іит) + ... (4.12) к——оо
Здесь т = гр, ti = (we-7 + 0(є) - с1_7ш -h о( 7))і, а функция x2(ti,r) является периодической по первому аргументу с периодом 2TT/W. Как и в 3, и — это произвольное положительное число, 7=1 — р/2, а б Є [0, 27г] дополняет шг-" до целого кратного 2тг. Подставим (4.12) в (4,3) и начнем собирать коэффициенты при одинаковых степенях є. В итоге придем к параболическому уравнению - 2 + ( И + + М2 (4.13) с периодическими краевыми условиями 2тг и(т. г) = и(т, г -j ). (4.14)
Как и раньше, в качестве нормализованной формы для (4.3) мы получили семейство краевых задач (4.13)-(4.14), зависящее от непрерывного параметра ю 0. Однако, при каждом и у соответствующей задачи устойчивы могут быть только пространственно-однородные состояния равновесия, которые не зависят от и. Поэтому в данном случае имеет место теорема 4.1.
Предположим теперь, что выполнено условие (4.6). Похожая ситуация рассматривалась в пункте 2.4 2. Пусть сначала а — аа— є2йі; b — ho - є2Ьі, a0 + 6n = —1; "1 + aobuc2 0. Тогда действуя по той же схеме, что и в пункте 2.4 2, получим, что локальная динамика уравнения (4.3) определяется в главном поведением решений краевой задачи параболического типа ди l + aQbQc2d2u . „2 , ,, = 2 9 + 1 + l)u+ + /з) ( ) и(т,г) = -и(т,г + 1). (4.16) Приведем основной результат в этом случае.
Уравнение Стюарта-Ландау с отклонением пространственной переменной
Формула (2.4) описывает однородную глобальную связь между всеми элементами z(t,x)\ формулой (2.5) описывается неоднородная глобальная связь, которая тем „сильнее", чем „ближе" величины z(t,x) находятся „друг к другу". Отметим, что выражения (2.4) и (2.5) задаются непрерывной функцией r(s), а формула (2.6) возникает в случае кусочно постоянной r(s). Она определяет связи только с некоторыми, вполне определенными элементами z(t,x).
Обратим внимание, что переход от (2.1) к (2.2) оправдан для относительно больших значений N. Отсюда вытекает, что естественно рассматривать локальную связь (2.6) с „близкими" элементами, когда параметр h мал: /і = є/її, 0 є 1. Также будет рассмотрен и более общий случай h = ho + eh.
Кроме связей, задаваемых функцией r(s), по-видимому, имеет смысл рассматривать и классифицировать диффузионную связь, но следует иметь ввиду, что коэффициент диффузии 6 может обращаться в ноль. Присутствие множителя є2 в коэффициенте диффузии характеризует либо относительно слабую связь между ними, либо относительно большой ареал изменения пространственной переменной, который соответственно перенормирован. Сначала изучим наиболее простой случай: когда г(з) такова, что интегральная часть задачи (2.3) имеет вид (2.4). Корни характеристического уравнения линеаризованной в нуле задачи (2.3) имеют вид: Л0 = а + с, Ак(е) = а - 4к2к2є252, к = ±1, ±2,.... (2.7) Таким образом, при условии Re а 0 и Re(a+c) 0 нулевое решение (2.3) асимптотически устойчиво, и все решения из достаточно малой окрестности стремятся к нему при і — со. Если Rea 0 или Re(a + c) 0, то нулевое решение (2.3) неустойчиво, и в некоторой его окрестности нет устойчивых режимов. Наконец, критические случаи возникают когда Re а = 0 и Re(a + с) О либо когда Re а 0 и Re(a + с) = 0. Рассмотрим оба этих случая по отдельности, 2.2.1. Пусть а = йа + icti + so, с= —ao + гсі+ С2, a0 0. (2,8)
Тогда у (2,3) одна характеристика стремится к і(а,і + Сі) при є — 0, а все остальные имеют отрицательные вещественные части и отделены от нуля. В этом случае в фазовом пространстве существует двумерное устойчивое локальное инвариантное многообразие Vo, следовательно динамика уравнения (2.3) определяется поведением решений на многообразии VQ. На этом многообразии исходная задача (при выполнении некоторых условий типа невырожденности) записывается в виде = [а2 + с2] + ад2Є (2,9) Здесь г — єі, а решения (2,9) и (2,3) связаны посредством формулы z = уєИеі(аі+(;і)і(1 + о(1)). (2.10) 2.2.2. Пусть теперь а — гаі+є2а2; с = Со + іс\ + є2с2, с0 0, (2.11) Б этом случае бесконечное количество характеристик (2.3) стремится к мнимой оси при Е — 0. Из формулы (2.7) видно, что эти характеристики имеют вид Хк = гаг+Е2(а2 - 4тт2к252), к = ±1, ±2,.... (2.12) В этом случае можно применить метод, разработанный в главе 1. В соответствии с ним, сделаем в (2.3) подстановку 2ттікх + ..., (2.13) где т — єЧ. Последовательно собирая коэффициенты при одинаковых степенях Е придем к бесконечномерной системе относительно &., которая может быть записана в виде одной параболической краевой задачи = + + %1Ч (2-14) с краевыми условиями
Пусть теперь функция r(s) такова, что в задаче (2.3) интегральная часть имеет вид (2-5). В этом случае корни характеристического уравнения линеаризованного в нуле уравнения (2.3) определяются формулой Хк — \(єк) +0(е), где НА = а + 1 „С . - 4тгУ S3. (2-16)
Как видно, если Imc ф 0 то значение ReA(/i) может принимать сколь угодно большие, положительные значения. Таким образом, если мнимая часть с отлична от нуля, то в окрестности нулевого состояния равновесия уравнения (2.3) нет устойчивых решений. Дальше будем считать, что Imc: = 0.
Понятно, что, не ограничивая общности, можно считать, что параметр с — 0, ±1. Случай с = 0 неинтересен. При этом интегральная часть „пропадает" и никакого влияния на динамику системы не оказывает. Остальные случай рассмотрим отдельно.
Пусть с= 1. Тогда, исходя из формулы (2.16), видно, что при Rea -1 ReA0 0, следовательно нулевое решение (2.3) неустойчиво, и в его малой окрестности устойчивых режимов быть не может (тем самым задача о динамике (2.3) становится нелокальной). Если же Rea —1, то ReA( ) 0 при всех \х 0, значит нулевое решение асимптотически устойчиво, все решения из достаточно малой окрестности стремятся к нулю при і —» со. В оставшемся случае (а — -1) имеем ReA(/i) 0 при jj, ф 0 и ReA(0) = 0, т.е. возникает критический случай. Положим в (2.3) а = -1 + іоі + є2а2. (2.17) Тогда при е - Q характеристики (2.3) стремятся к мнимой оси. Для них справедливы асимптотические формулы Хк(є) = m-j + 2ткає - Атт2к2(а2 + 52)є2 + а2є2 + о(є2). (2.18) В силу идей, развитых в главе 1, сделаем в (2.3) подстановку со „iait z = se &(r)e2vik{ael+x] + є3 Y {zHk(r)e3iait + hh(r)eiait) e2 ikl t+x) + ...., (2.19) k= — GO k— — DG где T = e2t. Выполняя стандартные действия, приходим к бесконечномерной системе относительно &(т), которая может быть записана в виде одного параболического уравнения = (а2 + 62) + а2и + Ьи\и\2 (2.20) От от2 с периодическими краевыми условиями
