Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическое описание диссипативных механических систем и методы определения их динамических характеристик 10
1.1. Диссипативные механические системы и проблема повышения ' точности их параметрической идентификации 10
1.2. Математические модели колебаний диссипативных систем в форме дифференциальных уравнений и их приближенных решений 15
1.3. Динамические характеристики нелинейных диссипативных механических систем и их методы определения 26
1.4. Выводы по главе 1 38
Глава 2. Разработка, исследование и применение в задачах параметрической идентификации стохастических разностных уравнений свободных колебаний нелинейных диссипативных механических систем 40
2.1. Построение линейно-параметрических дискретных моделей в форме стохастических разностных уравнений для режима свободных колебаний 40
2.2. Разработка численного метода определения динамических характеристик диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений 62
2.3. Численно-аналитические исследования алгоритмов среднеквад-ратического оценивания коэффициентов стохастических разностных уравнений для режима свободных колебаний 79
2.4. Выводы по главе 2 97
Глава 3. Разработка и исследование метода определения диссипативных характеристик механических систем с линейно-вязким трением на основе стохастических разностных урав нений для амплитудно-частотной характеристики 100
3.1. Построение разностных уравнений, описывающих амплитудно-частотную характеристику механических систем с линейно-вязким трением, и метода параметрической идентификации на их основе 101
3.2. Численно-аналитические исследования устойчивости, эффективности и сходимости численного метода определения дисси-пативных характеристик на основе стохастических разностных уравнений для амплитудно-частотной характеристики 109
3.3. Выводы по главе 3 124
Глава 4. Разработка, исследование и применение стохастических разностных уравнений для амплитудно-частотной характеристики нелинейных диссипативных механических систем 127
4.1. Построение и применение линейно-параметрических дискретных моделей амплитудно-частотных характеристик нелинейных диссипативных систем 127
4.2. Исследования помехозащищенности алгоритмов среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики 145
4.3. Выводы по главе 4 157
Глава 5. Разработка программного обеспечения для обработки экспериментальных данных в задачах идентификации диссипативных механических систем 158
5.1. Разработка алгоритмов вычисления динамических характеристик диссипативных механических систем на основе стохастических разностных уравнений 158
5.2. Результаты апробации численного метода в научно-технических экспериментах 171
5.3. Выводы по главе 5 174
Заключение 175
Литература 177
Приложение
- Математические модели колебаний диссипативных систем в форме дифференциальных уравнений и их приближенных решений
- Разработка численного метода определения динамических характеристик диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений
- Численно-аналитические исследования устойчивости, эффективности и сходимости численного метода определения дисси-пативных характеристик на основе стохастических разностных уравнений для амплитудно-частотной характеристики
- Исследования помехозащищенности алгоритмов среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики
Введение к работе
Актуальность работы. Оценка технического состояния различных машин и механизмов, прогнозирование долговечности и ресурса отдельных деталей и целых конструкций является важнейшей проблемой в машиностроении. При диагностике технического состояния диссипативных механических систем широко используются методы, основанные на анализе изменения динамических характеристик системы в процессе ее эксплуатации, прочностных или промышленных испытаний. Однако большинство из этих методов используют алгоритмы, полностью не учитывающие современный уровень компьютеризации и автоматизации процессов обработки информации. Вследствие чего возник разрыв между устаревшими способами оценки демпфирующих свойств нелинейной диссипативной системы и новыми информационными технологиями, применяемыми в вибродиагностике (например, цифровой, спектральный или корреляционный анализ динамических процессов в механической системе). Устранить этот разрыв и, тем самым, существенно повысить достоверность оценки технического состояния механической системы можно на основе принципиально новых методов параметрической идентификации, ориентированных на применение статистических методов обработки результатов эксперимента и компьютеризацию алгоритмов вычислений.
Целью диссертационной работы является разработка и исследование новых методов параметрической идентификации нелинейных диссипативных механических систем, позволяющих на основе линейно-параметрических дискретных моделей временных и частотных характеристик системы повысить точность оценивания параметров рассеяния энергии колебаний, а также разработка программного обеспечения для определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем по экспериментальным данным.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
построение линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты наблюдений мгновенных значений импульсной и амплитудно-частотной характеристик нелинейной диссипативной системы;
разработка метода параметрической идентификации нелинейных диссипативных систем на основе среднеквадратического оценивания коэффициен-тов стохастического разностного уравнения;
численно-аналитические исследования помехозащищенности алгоритмов среднеквадратического оценивания коэффициентов стохастических разностных уравнений;
разработка программного обеспечения, реализующего численный метод определения параметров диссипативной системы на основе разностных уравнений и предназначенного для практического применения в научно-технических экспериментах или промышленных испытаниях.
Научная новизна полученных и представленных в работе результатов состоит в следующем:
построены линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений ординат свободных колебаний нелинейных диссипативных систем;
получены линейно-параметрические модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений дискретные значения амплитудно-частотной характеристики нелинейной диссипативной системы;
разработан численный метод определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе построенных стохастических разностных уравнений;
проведены численно-аналитические исследования помехозащищенности алгоритмов вычисления динамических характеристик на основе итерацион-
ной процедуры среднеквадратического оценивания коэффициентов разностного уравнения.
Практическая ценность работы заключается в применении новых линейно-параметрических дискретных моделей в задачах оценки динамических характеристик нелинейных диссипативных систем по экспериментальным данным. Численный метод определения диманических характеристик диссипативных систем на основе построенных разностных уравнений позволяет обеспечить высокую точность вычислений, помехозащищенность оценок, эффективно использовать современную вычислительную технику в экспериментальных исследованиях. Разработанный пакет прикладных программ, реализующий в среде визуального и объектно-ориентированного языка программирования VBA под управлением операционной системы Windows помехоза-щищенные алгоритмы вычислений динамических характеристик, может быть использован при обработке результатов научно-технических экспериментов и промышленных испытаний систем различной физической природы.
Достоверность основных научных результатов подтверждается следующим:
корректностью использования математического аппарата и вводимых при проведении расчетов и моделировании допущенний и гипотез;
сравнением данных численного расчета с известными аналитическими методами для подтверждения точности результатов вычислений;
численно-аналитическими экспериментами исследования адекватности моделей;
численными экспериментами исследования устойчивости вычислений и анализа помехозащищенности моделей.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
- линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме
стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений ординат свободных колебаний нелинейных диссипативных систем;
линейно-параметрические модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений дискретные значения экспериментально построенной амплитудно-частотной характеристики нелинейной диссипативной системы;
новые структурные соотношения во временной и частотной областях между отсчетами сигнала, коэффициентами линейно-параметрической дискретной модели и динамическими характеристиками нелинейной диссипативной системы;
численный метод определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей;
численно-аналитические исследования помехозащищенности алгоритмов вычисления динамических характеристик на основе разностных уравнений.
Реализация и внедрение результатов работы. Результаты, выводы и рекомендации работы использованы в учебном процессе ГОУ ВПО "Самарский государственный технический университет", а также — в ЗАО "Научно-производственная фирма "СОНДАИНФО" при оценке технического состояния различных по конструкции и функциональному назначению механических систем.
Апробация работы. Основные результаты научных исследований докладывались на Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (г. Санкт-Петербург, 2005); 1-ом Международном форуме молодых ученых (6-ой Международной конференции) "Актуальные проблемы современной науки" (г. Самара, 2005); Третьей Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и кра-
евые задачи" (г. Самара, 2006); Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (г. Кисловодск, 2006); Всероссийской научной конференции "Математика. Механика. Информатика" (г. Челябинск, 2006); Научно-технической конференции с международным участием "Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении" (г. Самара, 2006); 2-ом Международном форуме молодых ученых и студентов (7-й Международной конференции) "Актуальные проблемы современной науки" (г. Самара, 2006); Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (зимняя сессия) (г. Йошкар-Ола, 2006); конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Самара, 2007); Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (г. Самара, 2007); 3-ем Международном форуме молодых ученых и студентов (8-й Международной конференции) "Актуальные проблемы современной науки" (г. Самара, 2007); V Всероссийской конференции "Механика микронеодродных материалов и разрушение" (г. Екатеринбург, 2008).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ (из них 6 из Перечня ВАК).
Личный вклад автора. Автору во всех работах, опубликованных в соавторстве, в равной степени принадлежат результаты выполненных исследований.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений, в которых приведены листинг разработанного программного продукта и акты внедрений. Общий объем диссертации 190 страниц, включая 58 рисунков. Библиографический список включает 102 наименования.
Математические модели колебаний диссипативных систем в форме дифференциальных уравнений и их приближенных решений
Математические модели диссипативных систем обычно строятся с учетом действующих на систему сил (моментов сил) [11, 24, 76]. Данный подход приводит в общем случаи к матричному нелинейному дифференциальному уравнению относительно обобщенных координат [11, 24, 76] где MsxS и Csxs — матрицы размерностью S х S коэффициентов инерции и упругости соответственно; R( y\ у") = {ГІ( У її? )} г = 1,5і — вектор функция диссипативных сил; у и Р — вектора размерностью S обобщенных координат и внешних возмущающих сил соответственно; S — число степеней свободы системы. При малой диссипации колебательной энергии система (1.1) является квазилинейной. Следовательно, при выполнении соответствующих условий (диф ференцируемое функций Г{(у , у ), і = 1,5 и невырожденности матриц BsxS и C sxs) допускается линеаризация вектор-функции R( y, y ): Условие малой диссипации (слабой нелинейности), которое в этом случае математически может быть описано формулой позволяет принять гипотезу Базеля, т. е. пренебречь диссипативными связями между собственными формами и считать матрицу М 1В диагональной [11, 24]/Это означает, что при указанных ограничениях математическая модель диссипативной механической системы может быть представлена системой скалярных, нелинейных в общем случае, дифференциальных уравнений вида где тис — масса и коэффициент упругости; cy(t) — линейная сила упругости (восстанавливающая сила); г [y(t), y (t)\ — внутренная, в общем случае нелинейная, диссипативная сила, обуславливающая рассеяние энергии колебаний на собственной частоте р = л—; Pit) — внешнее возмущающее воздействие. V 771
При малой диссипации энергии колебаний уравнение (1.2) является квазилинейным, а динамический процесс в системе представляет собой затухающие по амплитуде колебания с частотой близкой к собственной частоте системы и «р. В зависимости от природы диссипативных сил (внутреннее трение в материале, конструкционное трение в опорах, шарнирах, сочленениях, силы сопротивления жидкой и газообразной среды, силы, возникающие с нагруже-нием поглотителей энергии и т.п.) различают частотно-зависимое и частотно-независимое трение [2, 7, 11, 24, 75, 76]. При частотно-зависимом трении (например, в различных демпфирующих устройствах), обычно полагают, что диссипативные силы пропорциональны тг-ой степени скорости движения где Ъ — коэффициент пропорциональности, а дифференциальное уравнение описывающее движение таких систем, имеет вид [2, 7, 11, 76] При n = О, 1 и 2 получаем уравнения, соответствующие важнейшим для практики частным случаям движения систем с кулоновым (сухим), линейно-вязким и турбулентным (гидродинамическим) трением Частотно-независимое трение (например, внутреннее неупругое трение в материалах, конструкционное трение в опорах и формально неподвижных соединениях) обусловлено гистерезисными явлениями, возникающими при знакопеременной скорости движения системы [2, 11, 15, 24, 75, 76]. Для многих систем колебаний с гистерезисным трением экспериментально установлено, что энергия рассеяния при колебаниях за один цикл практически не зависит от вида петли гистерезиса, но в полной мере определяется ее площадью [15, 75, 76].
При описании закона изменения силы гистерезис-ного трения г [y(t), у it)] обычно отдают предпочтение эллиптической форме [2, 15, 75] при y {t) 0, стоянные, зависящие от материала и типа конструкции. Тогда дифференциальное уравнение, описывающее колебания систем с частотно-независимым трением, имеет вид [75] В правой части уравнений (1.3) и (1.7) функция P(t) описывает действующее на механическую систему внешнее возбуждающее воздействие. Законы изменения вынуждающих сил, распространенных в расчетной практике, рассматриваются в [11]. Математические модели колебаний в форме дифференциальных уравнений (1.3) и (1.7) в общем случае являются нелинейными (за исключением частного случая при п = 1, соответствующего линейному дифференциальному уравнению (1.5)) и адекватно описывают динамические процессы в области низких частот до 200 Гц. В диапазоне более высоких частот необходимо учитывать распределенность параметров механической системы.
Разработка численного метода определения динамических характеристик диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений
Метод определения динамических характеристик диссипативной системы на основе линейно параметрических дискретных моделей предполагает ряд последовательных шагов. 1. Постановка задачи исследования и анализ априорной информации. Этот первый шаг в методе определения динамических характеристик влияет практически на все последующие шаги, определяя, в конечном счете, не только достоверность результатов, но и саму возможность их получения.
Постановка задачи исследования должна осуществляться с учетом последующих факторов: обоснования выбора информативных параметров технического состояния системы и анализа условий проведения эксперимента, в частности, возможности практической реализации воздействия на механическую систему и технических характеристик измерительной аппаратуры.
В зависимости от данных факторов постановка задачи исследования может преследовать следующие цели: определение диссипативных и резонансных характеристик механической системы: декремента колебаний 5, собственной частоты р и частоты колебаний Ш] определение типа диссипативной силы механической системы: оценка показателя нелинейности п, т. е. определение структурной идентификация системы; определение зависимости декремента колебаний от амлитуды как информативной характеристики технического состояния механической системы.
Постановка задачи исследования напрямую зависит от априорной информации о механической системе. Наиболее важной априорной информацией при определении динамических характеристик являются следующие характеристики механической системы: тип диссипативной силы (кулоновое, линейно-вязкое, турбулентное трение), обуславливающий характер затухания колебаний. Эта информация представлена показателем нелинейности п и играет важную роль при выборе математической модели описания механической системы колебаний; собственная частота системы р. В этом случае постановка задачи сводится только к оценке динамических характеристик, что позволяет использовать более простые модели описания механической системы колебаний; результаты эквидистантных измерений входного воздействия на систему. Это в некоторых случаях также существенно упрощает задачу идентификации, что позволяет использовать модели меньшего порядка и, следовательно, повышает достоверность результатов вычислений; вероятностные и спектральные характеристики случайной аддитивной помехи в результатах наблюдений при обработке экспериментальных данных, в том числе метрологические характеристики используемых средств измерения. 2. Дискретизация колебаний и формирование выборки результатов измерений. На данном шаге решается задача выбора периода дискретизации времени г при формировании выборки yk, к Є N, эквидистантных измерений ординат колебаний при заданном времени наблюдения Набл- Период дискретизации т определяет максимальный объем выборки: N - - -. Если выразить время наблюдения в периодах колебаний Т: N? = па л, то Т данное соотношение принимает вид N NTNT, где NT = — характеризует г число отсчетов уь за период колебаний. Рассмотрим основные требования, предъявляемые к выбору значений т, набл и N с учетом их влияния на точность вычисления оценок динамических характеристик. Если нет специальных ограничений, связанных с оперативностью определения динамических характеристик, время наблюдения следует выбирать соизмеримым с временем полного затухания колебаний: набл « t3K. (т. е. для получения одной оценки динамических характеристик используется время одной реализации затухающих колебаний). В ряде случаев существуют ограничения на длительность временного ин тервала, например, связанные с погрешностью аппроксимации огибающей колебаний одной из моделей (2.3)-(2.6). В частности, применение экспоненциальной модели (2.6) при построении амплитудной зависимости декремента колебаний 5(a) в системах с относительно высокой степенью нелинейности (п 1,5) обуславливает выбор коротких (N 10) интервалов времени наблюдения. В таких случаях набл следует выбирать с учетом допустимой погрешности аппроксимации на основе соотношений (2.7)-(2.14) и графиков на рис. 2.1.
Правильный выбор периода дискретизации является необходимым условием обеспечения устойчивости алгоритмов вычисления и помехозащищенности оценок коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели. В соответсвие с теоремой Котельникова величина т должна удовлетворять неравенству т — [5, 24, 58, 74], что предполагает использование при выборе т априорной информации о частоте колебаний (собственной частоте системы).
Численно-аналитические исследования устойчивости, эффективности и сходимости численного метода определения дисси-пативных характеристик на основе стохастических разностных уравнений для амплитудно-частотной характеристики
Задача определения динамических характеристик не может считаться завершенной без оценки достоверности полученных результатов. Для успешного решения задачи оценки погрешности необходимо изучить априорную информацию о характере и величине аддитивной помехе в результатах наблюдений, проанализировать источники формирования результирующей погрешности, оценить точность вычисления динамических характеристик. На процесс формирования результирующей погрешности влияют следующие факторы: математическое моделирование динамического процесса, формирование выборки амлитудно-частотной характеристики, решение линейной регрессинной задачи и непосредственное вычисление динамических характеристик по коэффициентам линейно-параметрической дискретной модели.
Используя описанный метод определения динамических характеристик на основе линейно-параметрической дискретной модели для амплитудно-частной характеристики механичекой системы с линейно-вязким трением, определим точность оценивания динамических характеристик линейной механической системы и исследуем погрешность их оценок.
Для представленной модели (3.8) проведем ряд численных экспериментов зависимости погрешности вычислений для собственной частоты р и декремента 5 колебаний, а также перемещения г/ст, вызываемое статически приложенной силой PQ ОТ параметров обработки экспериментальных данных. 1. Исследование зависимости погрешности оценок динамических характеристик от количества шагов итерационной процедуры. Целью данного исследования является исследование сходимости итерационной процедуры метода определения динамических характеристик для амплитудно-частотной характеристики на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения. Численный эксперимент был организован следующим образом. Моделировалась выборка a,k объема N = 100 тестового сигнала с параметрами уСТ = 1, V период дискретизации До; = 0,1 был выбран таким образом, чтобы выпол 2р нялось условие bjjj « —. В отсчеты dk добавлялась аддитивная случайная помеха , значения которой обеспечивали заданную величину мощности помехи 2% в относительных единицах к мощности сигнала.
На рис. 3.1 представлены зависимости относительной погрешности вычисления частоты колебаний (рис. 3.1, а), декремента колебаний (рис. 3.1, б, кривая 1) и перемещения (рис. 3.1, б, кривая 2), вызванное статически приложенной силой, от числа итераций. Точки на графиках при s = 0 соответствуют результатам среднеквадратичного оценивания коэффициентов Xj при применении МНК.
По результатам исследований можно сделать следующие выводы. Во-первых, применение итерационного метода вычисления среднеквадратичных оценок позволяет существенно, в десятки раз, уменьшить погрешность вычисления основных диссипативных характеристик — частоты, декремента колебаний и перемещения, вызванное статически приложенной силой. Во-вторых, как и для импульсной характеристики, результаты вычислений практически не изменяются после второй итерации, что свидетельствует о хорошей сходимости итерационной процедуры. 2. Исследование зависимости погрешности вычисления динамических характеристик от величины случайной помехи в результатах наблюдений. Цель исследования — сравнить погрешность вычисления динамических характеристик методом наименьших квадратов без преобразования обощенной регрессионной модели (3.8) и с применением итерационной процедуры.
Численный эксперимент был организован следующим образом. Моделировалась выборка ak объема N — 100 тестового сигнала с параметрами уСТ = 1, 5 = 0,05, р = 27Г, Т = — = 1 для функции (3.2). При формировании выборки период дискретизации Аш = 0,1 был выбран таким образом, чтобы выполнялось условие Аи ft! —. В отсчеты тестового сигнала добавлялась случайная помеха є&, мощность которой изменялась в диапазоне от 0 до 5%. Для каждой точки эксперимента результаты вычисления относительной погрешности усреднялись по М — 100 реализациям.
На рис. 3.2-3.4 представлены зависимости смещения вычислений коэффициентов модели Ло (рис. 3.2, а), Лі (рис. 3.3, а) и Л2 (рис. 3.4, а), зависимости дисперсии вычислений коэффициентов модели Л0 (рис. 3.2, б), Лі (рис. 3.3, б) и Л2 (рис. 3.4, б), зависимости обобщенной ошибки вычислений коэффициентов модели Ло (рис. 3.2, в), Лі (рис. 3.3, в) и Лг (рис. 3.4, в) от мощности случайной помехи. Точки 1 соответствуют МНК, примененному к обощенной регрессионной модели (3.8) без ее преобразования, точки 2 — итерационной процедуре вычислений среднеквадратичных оценок коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели.
Далее по формулам (3.5) и (3.6) вычисляются основные динамические характеристики по среднеквадратическим оценкам коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели. На рис. 3.5-3.7 представлены зависимости смещения вычислений, дисперсии вычислений и обобщенной ошибки вычислений собственной частоты колебаний (рис. 3.5), декремента колебаний (рис. 3.6) и перемещения (рис. 3.7), вызванное статически приложенной силой от мощности случайной помехи. Точки 1 соответствуют МНК, примененному к обощенной регрессионной модели (3.8) без ее приеобразования, точки 2 — итерационной процедуре вычислений среднеквадратичных оценок собственной частоты и декремента колебаний, а также перемещения.
На рис. 3.8 представлены зависимости остаточной дисперсии в относительных единицах от мощности случайной помехи. Точки 1 соответствуют МНК, примененному к обобщенной регрессионной модели (3.8) без ее преобразования, точки 2 — итерационной процедуре вычислений среднеквадратичных оценок коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели.
Из результатов исследований видно, что погрешность оценивания частоты колебаний достаточно мала даже при использовании МНК, примененного к обобщенной регрессионной модели (3.8) без ее преобразования, а точность оценивания декремента колебаний и перемещения существенно, в десятки раз, выше при использовании итерационной процедурой.
Исследования помехозащищенности алгоритмов среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики
Как уже отмечалось ранее, оценка погрешности результата вычислений динамических характеристик является составной частью процедуры обработ- ки физического эксперимента на основе разработанных линейно-параметрических дискретных моделей. Используя описанный выше алгоритм, определим динамические характеристики нелинейной механической системы с диссипативными силами общего вида в режиме гармонических колебаний на основе линейно-параметрической дискретной модели и исследуем их погрешности. В качестве исследования выбрана система с диссипативными силами общего вида (4.34), так как система содержат параметр п, который характеризует нелинейность системы, и тем самым, определяет тип диссипативнои силы.
Для представленной линейно-параметрической дискретной модели (4.38) проведем-ряд численных экспериментов зависимости погрешности вычислений декремента колебаний 5(a), а также характеристики нелинейности п для выражения (4.34) от параметров обработки экспериментальной АЧХ. Оценку погрешности декремента колебаний будем производить для резонансной амплитуды арез 1. Исследование зависимости погрешности динамических характеристик от величины случайной помехи в результатах наблюдений. Цель исследования — сравнить погрешность вычисления динамических характеристик методом наименьших квадратов без преобразования обощенной регрессионной модели (4.38) и с применением итерационной процедуры. Численный эксперимент был организован следующим образом. Моделировалась выборка а объема N = 100 тестового сигнала с параметрами уСТ — 1, 6 = 0,1, с = 2, р = 2-JT, п = 1,5 для функции (4.34). При формировании выборки был выбран период дискретизации AUJ = 0,125. В отсчеты тестового сигнала добавлялась случайная помеха &, мощность которой изменялась в диапазоне от 0 до 5%. Для каждой точки эксперимента результаты вычисления относительной погрешности усреднялись поМ = 100 реализациям.
На рис. 4.1 и 4.2 представлены зависимости смещения вычислений коэффициентов модели Ло (рис. 4.1, а) и Лі (рис. 4.2, а), зависимости дисперсии вычислений коэффициентов модели Ло (рис. 4.1, б) и Лі (рис. 4.2, б), зависимости обобщенной ошибки вычислений коэффициентов модели Ло (рис. 4.1, в) и Лі (рис. 4.2, в) от мощности случайной помехи. Точки 1 соответствуют МНК, примененному к обощенной регрессионной модели (4.38) без ее преобразования, точки 2 — итерационной процедуре вычислений среднеквадратичных оценок коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели.
Далее по формулам (4.44) вычисляются основные динамические характеристики по среднеквадратическим оценкам коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели. На рис. 4.3 и 4.4 представлены зависимости смещения вычислений, дисперсии вычислений и обобщенной ошибки вычислений декремента колебаний (рис. 4.3) и характеристики нелинейности (рис. 4.4) от мощности случайной помехи. Точки 1 соответствуют МНК, примененному к обощенной регрессионной модели (4.38) без ее преобразования, точки 2 — итерационной процедуре вычислений среднеквадратичных оценок декремента колебаний для резонансной частоты и характеристики нелинейности. Из результатов исследований видно, что точность оценивания декремента колебаний и характеристики нелинейности в несколько раз выше при использовании итерационной проедуры.
Таким образом, применение итерационной процедуры среднеквадрати-ческого оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения позволяет существенно увеличить точность вычисления динамических характеристик по сравнению с МНК для обобщенной регрессионной модели (4.38) без ее преобразования. 2. Исследование зависимости погрешности динамических характеристик от объема выборки при фиксированном частотном интервале наблюдения. Цель исследования — изучение влияния объема выборки на характер и степень зависимости погрешности оценок динамических характеристик при фик сированном частотном интервале наблюдения.
Численный эксперимент был поставлен следующим образом. Моделировалась выборка а/с объема N тестового сигнала с параметрами уст — 1, b — 0,1, с = 2, р = 2-7Г, п — 1,5 для функции (4.34). При формировании выборки был выбран период дискретизации AUJ = "а л. Объем выборки изменялся в диапазоне от 5 до 250. В отсчеты тестового сигнала добавлялась случайная помеха 8k-, значения которой обеспечивали заданную мощность помехи 2% в относительных единицах к мощности сигнала -100%. Для каждой точки эксперимента результаты вычислений относительно усреднялись по М = 100 реализациям.
