Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели теории гибких пологих оболочек с учетом геометрической нелинейности постоянной и переменной толщины 12
1. Основные соотношения и допущения 12
2. Вариационная формулировка задачи. Алгоритм метода Ритца 16
3. Достоверность полученЕіьгх результатов 20
4. Метод установления в теории гибких осесимметричных оболочек 22
5. Динамическая потеря устойчивости конических и сферических оболочек под действием импульса бесконечной продолжительности во времени 25
Выводы по главе 29
Глава II. Сценарии перехода колебаний из гармонических в хаотические для сферических и конических оболочек 30
1. Анализ существующих математических моделей перехода из гармонических колебаний в хаотические 30
2. Новые математические модели сценариев перехода из гармонических колебаний в хаотические 42
3. Периодичность А.И. Шарковского для дифференциальных уравнений теории пологих осесиммегричных оболочек 45
4. Об исследовании пространственно-временного хаоса 52
Выводы по главе 56
Глава III. Математические модели хаотических колебаний конических оболочек постоянной толщины 57
1. Сходимость метода Ритца при исследовании хаотических колебаний конических оболочек 57
2. Исследование хаотических колебаний конических оболочек постоянной толщины в зависимости от краевых условий и стрелы подъема оболочки над планом 64
Выводы по главе 82
Глава IV. Математические модели хаотических колебаний сферических оболочек 83
1. Сходимость метода Ритца при исследовании хаотических колебаний сферических оболочек 83
2. Исследование пространственно-временного хаоса сферических оболочек постоянной толщины в зависимости от краевых условий и стрелы подъема оболочки над планом 85
Выводы по главе 96
Глава V. Хаотические колебания сферических и конических оболочек переменной толщины. Управление хаосом 97
1. Хаотические колебания конических оболочек переменной толщины 97
2. Хаотические колебания сферических оболочек переменной толщины 102
Выводы по главе 104
Общие выводы по диссертации 105
Литература 107
- Вариационная формулировка задачи. Алгоритм метода Ритца
- Новые математические модели сценариев перехода из гармонических колебаний в хаотические
- Исследование хаотических колебаний конических оболочек постоянной толщины в зависимости от краевых условий и стрелы подъема оболочки над планом
- Исследование пространственно-временного хаоса сферических оболочек постоянной толщины в зависимости от краевых условий и стрелы подъема оболочки над планом
Введение к работе
Актуальность темы. Гибкие упругие оболочки вращения являются основными элементами конструкций различных машин и высокоточных чувствительных приборов, представляющих собой сложные механические системы. Условия эксплуатации современных изделий приборо- и машиностроения таковы, что они подвергаются значительным перегрузкам и вибрациям, обусловленным различными источниками воздействия.
Запросы современной техники привели к необходимости построения и исследования математических моделей гибких упругих оболочек вращения постоянной и переменной толщины под действием знакопеременной нагрузки, что необходимо для решения различных прикладных задач.
Нелинейная динамика оболочек интенсивно стала развиваться в рамках общей теории динамических систем, начиная с 70-х годов прошлого века. В этот период появились понятия детерминированного хаоса и странного аттрактора, что позволило лучше понять эволюцию колебательных процессов. Этим вопросам посвящены монографии Муна, Берже, Помо, Видаля, Я. Аврийцевича, ВА Крысько и других авторов.
Новые математические модели перехода динамических систем в состояние хаоса: Фейгенбаума, Рюэля-Такенса-Ньюхауза, Помо-Манневиля серьезно расширили наше понимание явления турбулентности, но ни одна из этих математических моделей при рассмотрении детерминированных колебаний сферических и конических оболочек (постоянной и переменной толщины для любых граничных условий и стрелы подъема) в чистом виде не может описать перехода механических систем в состояние хаоса. Указанные выше параметры играют существенную роль в механизме перехода механической системы в состояние хаоса при изменении амплитуды и частоты внешнего воздействия.
В 1979 г. Холмс, а позднее Саймондс с соавторами опубликовали серию статей по исследованию хаотического движения стержней и балок. В 80-е и 90-е годы прошлого века появляется серия статей Лепика по изучению хаотических колебаний упругопластической балки, к этому направлению примыкают работы Ягасаки. Несмотря на большое число публикаций, связанных с эволюцией колебательных процессов в балках, общая картина для них еще не ясна и до настоящего времени происходит, в основном, накопление результатов.
Исследования нелинейных колебаний составляют один из важнейших разделов динамики оболочек. Им посвящены монографии В.Л. Агамирова, В.В. Болотина, А.С. Вольмира, ВТ. Баженова, Ю.Г. Коноплева, Я. Аврийцевича, ВА Крысько, ВАПальмова и других авторов, для оболочек общая картина еще сложнее.
Исследованию хаотических колебаний круглых и прямоугольных пластинок, а также пологих оболочек плосвящены работы Я. Аврийцевича, РОС. Г,, -І'.НИАЛЬНЛЯ Г. :< чЧОТЕКА
ВА Крысько, A.B. Крысысо, E.B. Салий, Т.В. Вахлаевой, А.А. Сопенко, Ю.В. Чеботаревского. Однако в этих работах не рассматривались хаотические колебания сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины с произвольными краевыми условиями.
Таким образом, важной и актуальной является задача построения детерминированных математических моделей, позволяющих исследовать хаотические колебания сферических и конических пологих оболочек постоянной и переменной толщины при воздействии знакопеременной нагрузки.
Целью работы является построение математической модели нелинейных колебаний сложных механических систем в виде сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины. Из этой цели вытекают задачи:
Разработка математической модели для сложных колебаний сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины под действием знакопеременной нагрузки.
Изучение сценариев перехода в состояние хаоса колебаний оболочечных систем в зависимости от стрелы подъема оболочки над планом, граничных условий и формы поперечного сечения оболочки.
Разработка алгоритма и комплекса программ на ПЭВМ для качественного исследования хаотических колебаний гибких диссипативных систем в виде осесимметричных сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины при произвольных краевых условиях.
Исследование возможности управления хаотическими колебаниями оболочек при помощи изменения толщины.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1. Построена математическая модель для расчета гибких сферических и конических пологих оболочек постоянной и переменной толщины с произвольными краевыми условиями. Численно исследована сходимость метода Ритца в зависимости от количества членов ряда в разложении основных функций для оболочек, находящихся под действием гармонической нагрузки с учетом соответствующих краевых условий.
2. Разработан и реализован в виде пакета программ для ПЭВМ алгоритм расчета оболочечных систем при действии произвольной нагрузки с учетом и без учета диссипации и проведен качественный анализ хаотических колебаний гибких диссипативных систем в виде осесимметричных сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины при произвольных краевых условиях. Построены карты зависимости характера колебаний от управляющих
параметров \qa,caА для оболочек, находящихся под действием знакопеременной поперечной нагрузки вида q = q0 sin со t.
Проведена классификация по известным сценариям колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону. Выявлены и исследованы новые сценарии перехода в хаос. Изучена периодичность А.Н. Шарковского для дифференциальных уравнений теории пологах осесимметричных оболочек.
Предложен новый подход по управлению хаотическими колебаниями сферических и конических оболочек при действии поперечной знакопеременной нагрузки с помощью изменения распределения толщины оболочек.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением известных численных методов, а также качественной теории дифференциальных уравнений и методов нелинейной динамики. В частном случае результаты, полученные автором диссертации, совпадают с уже известными результатами, полученными другими авторами, и не противоречат имеющимся физическим представлениям, основанным на экспериментах.
Практическая ценность и реализация результатов. Предложенная математическая модель позволяет решать широкий класс задач динамики геометрически нелинейных пологих сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины при произвольных краевых условиях. Разработанный алгоритм позволяет исследовать колебания механических систем в зависимости от управляющих параметров.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на XII и XIII межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2002, 2003), на международной конференции «Нелинейные колебания механических и биологических систем» (Саратов, 2003), на VII международной конференции Dynamical Systems - Theory and Application (Lodz, Poland, 2003), на VI международной конференции «Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте» (Санкт-Петербург, 2004).
В законченном виде диссертационная .работа докладывалась на научном семинаре «Численные методы расчета, пластин и оболочек» кафедры «Высшая математика» СГГУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А.Крысько (Саратов, 2004 г.), на межкафедральном семинаре по математическому моделированию «Численные методы и комплексы программ» СРТУ под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф-м.н., профессора В.Б.Байбурина (Саратов, 2004 г.).
На защиту выносятся следующие положения:
Математическая модель теории гибких упругих оболочек позволяет исследовать нелинейные диссипативные колебания сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины с произвольными краевыми условиями при действии поперечных знакопеременных нагрузок.
Разработаны и реализованы алгоритм, методика и комплекс программ анализа хаотических колебаний гибких диссипативных систем в виде осесимметричных сферических и конических оболочек постоянной и переменной толщины при произвольных краевых условиях, находящихся под действием поперечной знакопеременной нагрузки.
Построенные новые математические модели перехода колебаний гибких сферических и конических оболочек из гармонических в хаотические дополняют классификацию сценариев колебаний оболочечных конструкций.
Рассмотренные в работе пространственные характеристики системы дают возможность исследовать переход систем в пространственно-временной хаос.
Изменение распределения толщины оболочки позволяет управлять хаотическими колебаниями сферических и конических оболочек при действии поперечной знакопеременной нагрузки.
Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 8 научных работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы. Работа содержит ПО страниц наборного текста, 43 рисунка, 15 таблиц. Список используемой литературы включает 45 наименований.
Вариационная формулировка задачи. Алгоритм метода Ритца
Как уже отмечено ранее, разработанный алгоритм позволяет решать широкий класс задач статики и динамики. Продемонстрируем возможности данного подхода на решении геометрически нелинейных задач статики и динамики. Рассматривается механическая система при действии поперечной нагрузки в виде импульса бесконечной продолжительности во времени. Здесь очень важным вопросом является вопрос о критических статической и динамической нагрузках. Под критической нагрузкой будем понимать предельные нагрузки или точку перегиба в зависимости wmax( ?). Проведем исследования критических нагрузок для сферической и конической оболочек с краевыми условиями подвижная заделка и подвижный шарнир (табл. 1.1).
На рис. 1.4 приведены зависимости критических нагрузок от стрелы подъема оболочки над планом к. Сплошной линией показаны кривые для подвижной заделки, пунктиром - для подвижного шарнира. Как видно из рисунка, и для конуса (рис. 1.46), и для сферы (рис. 1.4а) кривые, соответствующие подвижному защемлению, лежат выше кривых, соответствующих подвижной заделке, т.е. жесткая потеря устойчивости происходит при больших значениях параметра нагрузки q, чем в случае подвижного шарнира. Зависимости критических нагрузок от для статической задачи Исследуем влияние переменности толщины на значения критических нагрузок для оболочек с краевыми условиями подвижная заделка. На рис. 1.5 приведены зависимости критических нагрузок от параметра к для сферических (рис.1.5а) и конических (рис. 1.56) оболочек толщины h-h0(] + cp) при с = 0, 0.1, - 0.1. Обозначения приведены на рис. 1.5. Как для сферы, так и для конуса, кривая, соответствующая с = 0.1 лежит выше кривой, соответствующей с - 0, а кривая при с = -0.1 - ниже. Т.о. оболочка переменной толщины при с = 0.1 может выдерживать большие нагрузки до жесткой потери устойчивости, чем в двух других случаях. Динамическая потеря устойчивости конических и сферических оболочек под действием импульса бесконечной продолжительности во времени. Исследуем влияние переменности толщины на значения критических нагрузок для оболочек с краевыми условиями подвижная заделка, находящихся под действием импульса бесконечной продолжительности во времени. На рис. 1.6 приведены зависимости критических нагрузок от параметра к для сферических (рис. 1.6а) и конических (рис. 1.66) оболочек толщины h = hQ (1 + ср) при с - 0, 0.1, -0.1. Обозначения приведены на рис. 1.6. Как для сферы, так и для конуса, кривая, соответствующая с — 0.1 лежит выше кривой, соответствующей с-0, а кривая при =-0.1 - ниже. Т.е. можно сделать тот же вывод, что и в случае статической задачи: оболочка переменной толщины при с = 0.1 может выдерживать большие нагрузки до жесткой потери устойчивости, чем в двух других случаях. На рис. 1.7 приведены зависимости критических нагрузок от стрелы подъема оболочки к для сферических (рис. 1.7а) и конических (рис. 1.76) оболочек с краевыми условиями подвижная заделка (линии 1) и подвижный шарнир (линии 2), находящихся под действием статической нагрузки и импульса бесконечной продолжительности во времени при =0. Сплошными линиями показаны зависимости для статической задачи, пунктиром - для динамической. В конических и сферических оболочках с A: =5S находящихся под действием импульса бесконечной продолжительности во времени имеются две динамические критические нагрузки, что является новым и связано с явлением потери устойчивости местной, т.е. локальной и общей, т.е. глобальной. Как видно из рис. 1.7, кривые, соответствующие системам, находящимся под действием импульса бесконечной продолжительности во времени лежат ниже кривых, соответствующих статической задаче. Анализ критических нагрузок, приведенных на рис. 1.7, говорит о том, что характер нагружен ия существенно влияет на величину критической нагрузки.
Динамическая потеря устойчивости системы, находящейся под действием импульса бесконечной продолжительности во времени происходит при меньшем значении параметра вынуждающей нагрузки, чем в двух случаях статической задачи. Также можно сделать вывод, что для конических и сферических оболочек с краевыми условиями подвижная заделка, чем выше стрела подъема над планом к, тем большие нагрузки может выдержать система до жесткой потери устойчивости. Для оболочек с краевыми условиями подвижный шарнир это верно для к 4. При к =5 первая, локальная потеря устойчивости происходит при величине параметра нагрузки меньше нагрузки, при которой происходит жесткая потеря устойчивости для к =4.
Новые математические модели сценариев перехода из гармонических колебаний в хаотические
Приведем динамику отображения (2.8) для ряда значения X. На рис. 2.6 приведена данная диаграмма, которая получена следующим образом; при каждом значении 1 интеграции отображения приводятся до тех пор, пока не исчезнут все «переходные состояния» и траектория не займет свое «асимптотическое положение» (т.е. 2 цикл, 4 - цикл, 2" - цикл,..., 6 - или 3— цикл или апериодический аттрактор и т.д.). Подчеркнем следующие основные закономерности: 1. 2"-цикл (и = 1,2,...) в I пространстве сжимаются все больше и больше. 2. При X Х№ появляются хаотические полосы. 3. 3-циклы, или нечетные циклы возникают в хаотическом режиме. Ли-Иорка делает предположение, что, и период три означает хаос [40]. Для дифференциальных уравнений мы на данном вопросе ниже остановимся более подробно. 4. X -1 - хаотическое поведение системы полностью «однородное». Для дифференциальных уравнений мы остановимся более подобно на данном явлении ниже. Значение Я, при котором появляются новые циклы, приведены в таблице 2.1. За предельной точкой удвоения периода Ям структура необычайно богата. Гребоджи [41] и его соавторы ввели некоторые новые понятия, так внезапные суженые полосы хаоса они назвали субдукцией (subduction), а соответствующее ее уширение - внутренним кризисом, а окончательное уширение при X -1 назвали кризисом. В эксперименте конвекции Рэлея - Бенара для ртути в магнитном поле было обнаружено четыре удвоения периода и определена константа Фейгенбаума с погрешностью 5 %.
Важным фактором при движении по Я является появление 3-циклов (и др. циклов с нечетным периодами). 3-цикл трактуется как точка касательной бифуркации. Каждая из неподвижных точек 3-цикла превращается в результате в пару неподвижных точек, из которых одна устойчива, а другая неустойчива. Такие бифуркации называются также бифуркациями седло-узел. Их следует отличать от бифуркации удвоения периода - бифуркации камертона, при которых неустойчивая неподвижная точка превращается в пару устойчивых.
Четвертый сценарий перехода в хаос был предложен в 1989 г. Помо и Манневилем [42,43]. В этот период был накоплен огромный материал о динамическом хаосе и для ряда динамических систем было установлено, что переход от периодических колебаний к хаосу может происходить скачком, в результате одной единственной бифуркации. Такой переход был назван жестким, и он связан с явлением перемежаемости. Под перемежаемостью мы будем понимать такой вид сигнала, в котором случайным образом чередуются длинные регулярные колебания и относительно короткие нерегулярные всплески. С увеличением управляющего параметра числа хаотических всплесков возрастает, пока не наступит момент полностью хаотического сигнала. Данное явление было открыто Помо и Манневилем при решении дифференциальных уравнений модели Лоренца. Эти явления Помо и Манневиль объясняют следующим образом. При управляющем параметре меньше критического в отображении Пуанкаре мы наблюдаем устойчивую неподвижную точку. При переходе управляющего параметра через его критическое значение эта точка становится неустойчивой. Переход к неустойчивому состоянию может произойти по трем сценариям, это дало возможность классифицировать перемежаемости 1-го, 2-го и 3-го родов. Для всех трех родов перемежаемости модули собственных значений линеаризованного отображения Пуанкаре больше единицы. В табл. 2.2 приведены для трех типов перемежаемости следующие характеристики: характерное поведение и вид отображения, собственное значение, форма сигнала. В таблице 2.2 параметр є соответствует параметру надкритичности системы. Для перемежаемости 1-го рода при є-O мы имеем момент касательной бифуркации. Линии вертикальные и горизонтальные на графике отображения Пуанкаре представляют собой построение с помощью диаграммы Ламерля двоякоасимптотической траектории седло-узловой точки. Для є 0 в окрестности исчезнувшей неподвижной точки график функции по следование образует так называемый канал, по которой изображающая точка движется довольно долго, что соответствует ламинарной фазе перемежаемости. Уход изображающей точки из канала определяет турбулентность. Для перемежаемости 2-го рода при є — 0 в отображении имеет место субкритическая бифуркация Андронова-Хопфа, а для перемежаемости 3-го рода при є = 0 одномерное модельное отображение демонстрирует субкритическую бифуркацию удвоения периода 1-го цикла. Перемежаемость 3-го рода впервые наблюдалось в эксперименте с конвекцией Бенара в маленькой прямоугольной ячейке. В 1984 г. в эксперименте измерялся горизонтальный градиент температуры по модуляции интенсивности светового пучка, проходящего через ячейку (Martin, Leber, Martienssen, 1984). Перемежаемость 2-го рода найдена в реакции Белоусова — Жоботинского в 1984 г. [44].
Исследование хаотических колебаний конических оболочек постоянной толщины в зависимости от краевых условий и стрелы подъема оболочки над планом
Для того чтобы привести все многообразие распределенных систем к общему знаменателю, рассматривают их поведение в фазовом пространстве. С заменой бесконечномерных систем конечномерными связан.тонкий момент, который необходимо принимать во внимание, чтобы правильно интерпретировать результаты численного счета. Предполагается, что с увеличением числа уравнений наступает момент, начиная с которого динамические свойства системы стабилизируются так, что дальнейший рост числа уравнений в аппроксимации не вносит ничего нового. При таком подходе существенным фактором является конечная размерность аттрактора системы. Однако даже если размерность аттракторов ограничена, весьма значительными могут оказаться эффекты, возникающие из-за обрезания (1.10),(1.12) системы уравнений. В случае «неудачного» выбора базиса, по которому производится разложение исходных уравнений в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующая усеченная система может обладать аттракторами, качественно отличающимися по свойствам от аттракторов исходной системы. Это свойство проявляется, например, у двухмерного уравнения, описывающего тепловую конвекцию жидкости. Система Лоренца [47], представляющая собой трехмодовое усечение этого уравнения, демонстрирует сложную, в том числе хаотическую динамику. Увеличение же числа мод в системе сначала приводит к нерегулярному возрастанию области хаоса, а затем к внезапному уменьшению. При достаточно большом числе мод хаос исчезает. В работе [48] показано, что для больших чисел Прануля S в рассматриваемой двумерной конвекции Бусинеска имеются критические значения числа Рзлея Ra для возникновения одно- и двухмодового колебательного движения, а при дальнейшем росте Ra система возвращается к периодической одночастотной конвекции. Этот пример показывает, что для получения качественно верного соответствия между динамикой исходной и усеченной системы, полученной на основе процедуры Бубнова-Галеркина или процедуры Ритца, необходимо учитывать довольно значительное число мод. До настоящего времени не был исследован вопрос о выборе наилучшего приближения в методе Ритца для оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону. В этой и в последующих главах будет приведена сходимость метода Ритца для различных типов задач теории пологих осесимметричных оболочек.
Исследуем вопрос о количестве мод в процедуре Ритца на примере колебания конических пологих геометрически нелинейных оболочек постоянной толщины, подвижно закрепленных по контуру. Нагрузка -равномерно распределенная по поверхности оболочки изменяющаяся по гармоническому закону
Для исследования поведения оболочек под действием такой нагрузки был разработан пакет программ, позволяющий строить карты зависимости характера колебаний от управляющих параметров \д0,сор\. Для построения карты с разрешением не менее чем 400x500 точек необходимо решить задачу динамики, построить и проанализировать спектр мощности для каждого набора параметров \д0,о)р). Было создано два алгоритма построения карт. Первый позволяет отслеживать бифуркации Хопфа, т.е. выделять зоны только сценария Фейгенбаума, но в связи с обнаружением модифицированного сценария Рюэля-Такенса-Ньюхауза, этот алгоритм был изменен. Новый алгоритм позволяет выделять на картах как зоны фейгенбаумановского сценария, так и зоны модифицированного сценария Рюэля-Такенса-Ньюхауза. Преимущество первого алгоритма в том, что для расчета требуется в несколько раз меньше времени, чем для второго алгоритма. Построим карты, отражающие характер поведения оболочек со стрелой подъема к - 3 и к = 5 (Рис.3.1, 3.2 соответственно) в зависимости от величины управляющих параметров { 70,Wp} для разного числа членов разложения в (2) n = l+6. Дальнейшее увеличение числа п в (12) не привело к серьезному изменению карт управляющих параметров {д0,№р}. Условные обозначения характера колебаний приведены на фигурах. Зоны модифицированного сценария Рюэля-Такенса-Ньюхауза здесь не выделены. Наибольшее значение параметра нагрузки q0 ограничено прогибом, максимально возможным в рамках данной теории. Параметр О) изменяется приблизительно от —- до — со0, где со0 - частота собственных колебаний. Карта при п = 1 на рис.3.1 отличается от остальных тем, что на ней нет областей хаоса, а есть только области бифуркаций и гармонических колебаний на частоте со и p/i . С увеличением п появляются новые области бифуркаций и хаоса, часть из которых практически не изменяется, начиная с п = 3. Например, области бифуркаций и периодических колебаний на частоте р/у в зоне высоких частот. Так же, как и при к = 3, карта для к = 5 при п = 1 сильно отличается от остальных, с увеличением п очертания различных областей становятся похожими, т.е. наблюдается сходящаяся последовательность характера колебаний (рис.3.2). Так, область колебаний на половинной частоте одинаковая для всех л 2, но при п = 2 она смещена вправо. Области хаоса с увеличением п становятся меньше, но отдельные участки не меняются, начиная с п =4. Как для к = 5, так и для к =3 сходимость на высоких частотах лучше, чем на низких и близких к собственной частоте (5.6).
Исследование пространственно-временного хаоса сферических оболочек постоянной толщины в зависимости от краевых условий и стрелы подъема оболочки над планом
Колебания совершаются на основной частоте возбуждения я, и являются гармоническими. Фазовый портрет представляет из себя предельное множество однооборотного цикла (о0 = 15.).
Дальнейшее движение по параметру q0 до 0 = 15.92 приводит к появлению новой независимой частоты А,, т.е. имеется двухчастотное движение на а, т частотах ах и Ьу. Движение не синхронизированное, т.е. —- = — -8.859... bx п иррационально, 3. Увеличение q0 до д0 —17 приводит к серии линейно зависимых частот Ъп = п-Ь{ и ап - а, - (и -1) , причем этот процесс происходит до тех пор, пока не произойдет сближение частот ак и Ьк є [ ,а,]. После этого в спектре рождается третий тип зависимой частоты: сп-х±с2, с2 а1-Ь6 4. Затем мы наблюдаем дальнейшее сближение частот, третий тип зависимой частоты исчезает и происходит 21-кратное увеличение периода. 5. При значении параметра qQ = 16.4 происходит удвоение периода частоты bx, т.е. бифуркация Хопфа. Дальнейшее увеличение q0 = 17.382 приводит систему к хаосу. Изменение qQ на 9 1(Г5 - q0 = 17.383 приводит оболочку к жесткой потере устойчивости и система перестраивается вновь на гармонические колебания с частотой возбуждения я,. Здесь мы также можем этот процесс трактовать как динамическую потерю устойчивости конических оболочек при действии периодических знакопеременных нагрузок. На рис.3.4 приведена карта управляющих параметров с учетом жесткой потери устойчивости. Основные обозначения приведены на рисунке, черными точками отмечена жесткая потеря устойчивости. На этой карте мы наблюдаем эффект, описанный в главе III (рис.3.7): жесткая потеря устойчивости наблюдается при смене режима колебаний, за исключением точек перегиба на графиках (wmax). Карты характера колебаний в зависимости от управляющих параметров \q0,p\ с учетом жесткой потери устойчивости Кроме описанного выше сценария, в сферических подвижно закрепленных оболочках имеются небольшие зоны в областях хаоса, где работает сценарий Фейгенбаума [49], но получить численно последовательность Фейгенбаума и его константу здесь не представляется возможным, т.к. наблюдается лишь 3 бифуркации Фейгенбаума, а не их последовательность. Для иллюстрации характера колебаний сферических оболочек на рис.4.4, 4.5 приведены характеристики wmal в вершине оболочки в зависимости от q0 ПРИ ор — 5 для к = 3 и при со = 8 для = 5 соответственно. Показатели Ляпунова играют важную роль в диссипативных динамических системах. Они дают вычислимую количественную меру степени стохастичности. Предложенная и развитая идея вычисления шкал характера колебаний динамических систем [53], основанная на анализе спектра мощности S(o)) очень хорошо согласуется с эволюцией старшего характеристического показателя Ляпунова /1Д 0). В настоящей работе для вычисления показателей Ляпунова используется метод Бенетина и др. [54-55]. Математическое доказательство можно найти цитируемой литературе. В состоянии хаоса Я, О и цвет шкалы характера колебаний в зависимости от амплитуды вынуждающей силы qQ - белый. На рис.4.4 в шкале вырезано окно L и для него приведена зависимость A{(q0) (15 ?0 19), где наблюдается четыре области хаоса: а (16.1 0 16.5), 6(16.6 q0 16.8), c(\6.9 qQ 17.3) и г/(17.9 я0 18.1), для которых As 0, что хорошо согласуется со шкалой характера колебаний динамических систем. Особо следует обратить внимание, что в области d зависимость wmsx(qQ) - D, наблюдается локальное явление хлопок-выхлоп. Термин хлопок был впервые введен в 1912г. И.Г. Бубновым [56]. На этих же графиках приведены w(t), w(w), спектры мощности и пространственные формы колебаний для трех точек А, В, С, при к = 5 (точка А соответствует гармоническим колебаниям, В - бифуркациям и С - хаосу) и двух точек А, В (точка А соответствует гармоническим колебаниям, В -линейной комбинации независимых частот ах и й, с последующей бифуркацией Хопфа) при к = 3, которые указаны на графиках wmtx(g0). Точка А соответствует гармоническим колебаниям, В - линейным комбинациям двух линейно независимых частот и С - хаосу. Анализ этих результатов показывает, что характер колебаний как в вершине w(0,t), так и в пространстве w(p,t) при 50 t 54 аналогичен для гармонических колебаний вне зависимости от стрелы подъема. Колебания в точках бифуркаций и хаоса существенно отличаются в зависимости от стрелы подъема к . Исследуем колебания сферических пологих оболочек постоянной толщины подвижно-шарнирно закрепленных по краю. На рис.4.7 приведены карты управляющих параметров {q0,cop\ для оболочек со стрелой подъема к = 1, 2, 3, 4, 5, построенные по второму алгоритму. Следует отметить, что при краевых условиях типа подвижный шарнир отличия по картам между конусом и сферой значительнее, чем при краевых условиях подвижная заделка (рис.3.6, 3.10, 4.3, 4.7). Так, при к = і в сферической оболочке имеется небольшая зона бифуркаций при малых значениях амплитуды нагрузки, в отличие от конуса, в котором при к = 1 наблюдаются лишь гармонические колебания. При к=3 іл к=4 ъ сфере зоны хаоса и бифуркаций имеют большую площадь, чем в конусе.
