Содержание к диссертации
Введение
1 Моделирование колебаний тонкой гибкой однослойной балки в температурном поле 15
1.1 Основные гипотезы и допущения 15
1.2 Математическая модель колебаний гибкой тонкой однослойной балки в температурном поле 17
1.3 Методы решения уравнения теплопроводности 20
1.4 Решение системы уравнений движения балки в температурном поле. Достоверность результатов моделирования 36
1.5 Выводы по главе 42
2 Хаотическая динамика однослойной балки в температурном поле
2.1 Сценарии перехода колебаний из гармонического состояния в хаотическое 44
2.2 Карты режимов колебаний 46
2.3 Определение режимов колебаний на основе показателей Ляпунова 47
2.4 Анализ колебаний однослойной балки для трех типов температурного поля 50
2.5 Выводы по главе 71
3 Хаотическая динамика криволинейной балки в температурном поле 72
3.1 Учет параметра кх в уравнении теплопроводности 73
3.2 Математическая модель сложных колебаний однослойной криволинейной балки в температурном поле 74
3.3 Исследование хаотичности колебаний криволинейной балки в зависимости от интенсивности температурного воздействия 75
3.4 Выводы по главе 82
4 Хаотическая динамика двуслойного пакета балок в температурном поле 82
4.1 Математическое моделирование колебаний двуслойной балки в температурном поле 82
4.2 Метод решения системы уравнений движения двуслойной балки в температурном поле 87
4.3 Исследование колебаний гибкой тонкой двуслойной балки при различном температурном воздействии 88
4.4 Исследование фазовой синхронизации колебаний 100
4.5 Выводы по главе 103
Заключение 104
Основные выводы 104
Программный комплекс 105
Список литературы 1
- Решение системы уравнений движения балки в температурном поле. Достоверность результатов моделирования
- Определение режимов колебаний на основе показателей Ляпунова
- Математическая модель сложных колебаний однослойной криволинейной балки в температурном поле
- Исследование колебаний гибкой тонкой двуслойной балки при различном температурном воздействии
Решение системы уравнений движения балки в температурном поле. Достоверность результатов моделирования
Учет контактного и температурного воздействия оказывает влияние на сценарий перехода системы из гармонического состояния в хаотическое, а также изменяет процесс фазовой синхронизации колебаний слоев балки. Степень достоверности и апробация результатов Основные положения и результаты диссертации представлялись на XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2011); 11th Conference on «Dynamical Systemsheory and Applications» (Lodz, Poland, 2011); VIII Международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 2011); заочной научно-практической конференции «Теоретические и прикладные проблемы науки и образования в 21 веке» (Тамбов, 2012); XIV Pan-American Congress of Applied Mechanics, Chile, March 24-28, 2014.
В законченном виде диссертация докладывалась на научном семинаре кафедры «Математика и моделирование» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, почетного профессора Технического университета города Лодзь, д.т.н., профессора В.А. Крысько (Саратов, 2014); на семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2014).
Основные положения диссертации опубликованы в работах [94-102]. На разработанный программный комплекс получены свидетельства о регистрации [103, 104, 107].
В данной главе рассматривается гибкая, тонкая балка (Рисунок 1) единичной ширины высотой h и длиной /. Материал балки считается сплошным, неразрывным, изотропным и упругим. На балку действует поперечная знакопеременная нагрузка q, распределенная на всю ширину. Область балки в декартовых координатах располагается таким образом, что положительное направление оси X совпадает с серединной линией балки, ось Z направлена в сторону воздействия внешней распределенной по длине балки нагрузки.
При нагружении балки ее материальные частицы приходят в движение, предполагается, что движение сплошной среды непрерывно и все функции, описывающие деформирование, являются непрерывными функциями координат. Деформирование твердого тела описывается геометрической постановкой задачи и не зависит от поведения материала. Таким образом, силы, возникающие при деформации, не зависят от свойств материала.
Моделирование колебаний тонкой гибкой балки в температурном поле основывается на модели Бернулли-Эйлера (Рисунок 2). Эта модель позволяет рассматривать поведение только серединной линии, что дает возможность свести задачу динамики балки к одномерной задаче. Основные допущения в этой модели следующие: - любое поперечное сечение, нормальное к серединной поверхности до деформации, остается после деформации прямым и нормальным к серединной поверхности, вместе с тем высота сечения не изменяется; - напряжения, действующие на равном расстоянии от серединной линии, одинаковы по значению; - деформации в точках тела считаются настолько малыми, что не оказывают существенного влияния на взаимное расположение нагрузок, приложенных к телу. Учет нелинейной зависимости между перемещениями и деформациями принимается в форме Т. фон Кармана [66].
Предполагается, что область балки находится в температурном поле. Температура отсчитывается от некоторого начального значения Т0. Учет температурного воздействия производится согласно гипотезе Неймана так, что полная линейная деформация складывается из деформации от внешней нагрузки и температурного расширения материала.
Математическая модель колебаний гибкой тонкой однослойной балки в температурном поле Уравнения движения балки, граничные и начальные условия были получены из энергетического принципа Остроградского-Гамильтона. Согласно этому принципу производится сравнение близких движений, приводящих систему материальных точек из начального положения в момент времени t0 в конечное положение в момент времени tt. Для истинных движений должно выполняться условие где у - удельный вес материала; g - ускорение свободного падения; w(x, t) прогиб элемента; и(х, t) - перемещение элемента в продольном направлении. Потенциальная энергия П представляет собой сумму энергии деформации изгиба Пи и энергии деформации серединной линии Пс, которые определяются из соотношений:
Определение режимов колебаний на основе показателей Ляпунова
Для прямоугольной области реализована на ЭВМ схема повышенного порядка точности с выбором оптимальной последовательности параметра по формулам (1.60), (1.61). Результаты приведены в таблице 2. Они показывают, что метод является быстросходящимся, за 12 итераций достигается требуемая точность 10 6. Однако по сравнению с явными методами - верхней релаксацией, попеременно-треугольными и с чебышевским ускорением, которые не требуют применения метода прогонки, затраты машинного времени для просчета одной итерации по схеме (1.58), (1.59) в два раза больше. Кроме того, для схемы (1.58),
В Таблица 2 показана зависимость числа итераций в методе верхней релаксации и методе Зейделя от вида аппроксимации: пяти- и девятиточечной. Девятиточечной аппроксимация имеет более высокую скорость сходимости, чем пятиточечная. Кроме того, девятиточечная аппроксимация позволяет брать более крупную сетку для достижения той же точечности, что и пятиточечная аппроксимация, это приводит к уменьшению порядка системы разностных уравнений, а следовательно, к уменьшению машинного времени для получения решения с заданной точностью. В таблице 2 сравниваются методы Зейделя верхней релаксации и переменных направлений с пяти- и девытиточечнои аппроксимацией в применении к задаче (1.36) для квадратной области. В Таблица 2 видно, что для квадратной области наиболее эффективным является метод переменных направлений со схемой повышенного порядка точности. Следующим по скорости сходимости из рассмотренных методов является метод верхней релаксации с девятиточечной аппроксимацией. Метод верхней релаксации может быть применен для произвольной области, так как оптимальный итерационный параметр вычисляется в процессе счета, не требуется априорного значения максимального собственного значения, что делает этот метод более универсальным по сравнению с другими методами. Кроме того, метод верхней релаксации отличается простотой реализации и требует минимальный объем памяти машины (одно рабочее поле N).
На основании проведенных численных экспериментов можно сделать вывод, что для рассмотренного класса задач наиболее экономичным является метод верхней релаксации.
Рассмотрим также сходимость метода граничных элементов и метода конечного элемента для квадратной области (Рисунок 4). Из Таблица 3 следует, что сходимость наблюдается при делении области n m=64 64, а в методе конечного элемента - при делении области на 32 элемента.
В дальнейшем температурное поле определяется методом граничных элементов, т.к. аппроксимация по пространственной координате х Є [0; 1] в уравнениях движения балки Эйлера-Бернулли осуществляется методом конечных разностей второго порядка точности.
Отмечается, что достаточным является число разбиений п по координате х равное 20 и m разбиений по z равное 10 (Рисунок 5). Достоверность решения проверялась путем сопоставления численного и аналитического решения. Отмечается, что при 10 членах ряда погрешность составляет менее 1%.
Определив температурное поле, необходимо вычислить температурные моменты и усилия, входящие в систему уравнений движения балки. Для вычисления М% и Щ в уравнениях (1.8, 1.9) применяется метод численного интегрирования Симпсона. Сходимость результатов численного и аналитического решения наблюдается при разбиении области балки узлами сетки с шагами Лх = 1/80 и Az = 1/10. Результаты исследования сходимости представлены на Рисунок 7.
Далее методом замены переменных система сводится к задаче Копій относительно эволюционной переменной, решение которой производится методом Рунге-Кутта 4-го порядка.
Описанная система уравнений является очень чувствительной к управляющим параметрам, т.е. незначительное изменение любого из них ведет к качественному изменению состояния системы. Таким образом, зафиксировав управляющие параметры (q0 и а)р), мы можем утверждать, что достоверными будут являться те данные, анализ которых будет показывать одинаковые результаты. Другими словами, система будет находиться в одинаковых состояниях. Т.к. для нашей системы отмечены несколько возможных состояний, мы вынуждены исследовать сходимость в каждом из них, исключив переходные процессы.
При гармоническом режиме (Таблица 5) увеличение числа узлов не приводит к каким-либо качественным изменениям. Наблюдаются небольшие изменения в амплитуде сигнала, составляющие 1-2%. На спектре мощности Фурье для всех вариантов присутствует одна частота а)р=5 а на сечении Пуанкаре регистрируется одна точка, что свидетельствует о том, что изменение числа узлов сетки никак не сказывается на анализе режима колебаний при гармоническом состоянии.
Математическая модель сложных колебаний однослойной криволинейной балки в температурном поле
Как и в случае с гибкой тонкой прямолинейной балкой, систему уравнений (3.4) невозможно решить аналитически, её решение будет осуществляться численно. Распределенная система сводится по пространственной координате х методом конечных разностей второго порядка точности к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.
Для сведения системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно временной координаты используем конечноразностные аппроксимации, применяя разложение в ряд Тейлора в окрестности точки xt.
Соответствующим модификациям подвергнется и система (1.38), полученная после введения конечно-разностных аппроксимаций (1.37). Полученную систему (3.5) обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (1.38) с соответствующими граничными (1.13)-(1.16) и начальными условиями (1.17), записанными после применения конечно-разностной аппроксимации второго порядка точности, методом замены переменных сводим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая решается методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности.
Достоверность решений при моделировании колебаний криволинейной балки при кх = 0 обеспечивается совпадением результатов численного эксперимента с результатами, полученными для прямолинейной балки.
Исследование хаотичности колебаний криволинейной балки в зависимости от интенсивности температурного воздействия
Для исследования влияния кривизны и интенсивности температурного воздействия приняты следующие параметры системы: - разрешающая способность карт 200 X 200; - число узлов по пространственной координате п = 80;
Проанализируем карты HSA в зависимости от кривизны балки при температурном поле типа 1 (1.21) и интенсивности температурного воздействия, равного 200.
Таблица Из анализа карт (Таблица 19) следует, что увеличение кривизны балки приводит к возрастанию зоны гармонических колебаний. Увеличение этой зоны отмечается при низких значениях параметра амплитуды внешней нагрузки q0 для всего исследуемого интервала частот а)р. Аналогичные результаты получены для температурных полей типов 2 и 3 (1.22) и (1.23) соответственно).
Установив воздействие увеличения кривизны балки на характер колебаний на области управляющих параметров, рассмотрим влияния возрастания температуры на соотношение зон режимов колебаний при тех же значениях кривизны.
В Таблица 20 представлены карты при интенсивности, равной 300, при температурном поле типа 1 (1.21). Таблица Отмечено, что увеличение температурного воздействия приводит к изменениям в режимах колебаний системы в диапазоне 2,5 а)р 10. В указанном диапазоне возрастает зона гармонических колебаний. В зоне 0 о)р 2,5 значительных изменений в структуре карты режимов колебаний не обнаруживается. Можно утверждать, что система становится более чувствительной к температурному воздействию лишь в зоне повышенных частот внешнего воздействия. Результаты, полученные для температурного поля типа 1 при данной интенсивности, также согласуются с результатами для поля типов 2 и 3.
Визуальный анализ карт показателей Ляпунова в случаях их схожести не позволяет дать точную оценку влияния того или иного управляющего параметра. С учетом этой особенности далее предлагается анализ карт, на которых представлены лишь один из четырех показателей и область неопределенности, что позволяет давать более точную оценку влияния типа температурного поля.
В Таблица 21 представлен анализ хаотичности системы на основе показателей Ляпунова для интенсивности температурного воздействия, равной 200, при различных типах полей и кривизны кх = 0. На представленных картах показателей Ляпунова хорошо заметно влияние типа температурного поля на состояние системы. Интересной особенностью является то, что привнесение асимметричности в температурное поле (Т3) привело к значительному увеличению и сгущению областей глубокого хаоса
Произведен более подробный анализ колебаний системы при частоте вынуждающей силы а)р = 5 и кривизне кх = 12 и кх = 24. Для этого сопоставим графические материалы карт режимов колебаний и карт показателей Ляпунова при зафиксированном управляющем параметре й)р для различных интенсивностей температурного воздействия при типе температурного поля 1. Дополнительно оценивается величина прогиба балки w(x, t) при х = 0,5 (соответствует центру балки), что позволяет наглядно продемонстрировать увеличение амплитуды колебаний при изменении режима колебаний.
Из представленных таблиц 22, 23 следует, что увеличение интенсивности температурного воздействия приводит к увеличению зоны гармонических колебаний и уменьшению зон глубокого хаоса, так для кх = 12 при интенсивности температурного воздействия 7\ = 300 режим глубокого хаоса (++++) вовсе отсутствует на исследуемом интервале управляющего параметра. С увеличением температуры зоны хаоса (+—), гипер-хаоса (++--) и гипер-гипер-хаоса (+++-) также сократились. При увеличении кривизны до значения кх = 24 эта закономерность сохраняется.
Отмечается, что с увеличением кривизны балки, находящейся в температурном поле, происходит общее сокращение зоны гармонических колебаний. Однако увеличение кривизны позволяет сохранять гармоническое состояние системы на больший начальный диапазон, что хорошо заметно при температурном воздействии 300. Основываясь на проведенном исследовании, можно утверждать, что увеличение температурного воздействия ведет к увеличению зоны гармонических колебаний во всем множестве состояний системы при изменении управляющих параметров, а увеличение кривизны приводит к меньшей перемежаемости режимов.
Исследование колебаний гибкой тонкой двуслойной балки при различном температурном воздействии
Построена математическая модель гибкой тонкой слоистой балки в температурном поле, учитывающая контакт слоев.
Особенностью учета контактного взаимодействия балок является то, что при малом значении зазора между балками нижняя балка приобретает хаотический режим с наступлением контакта, в то время как верхняя сохраняет гармонический режим.
Воздействие температуры отражается на сценарии изменения режима колебаний - в случае, когда температурное воздействие отсутствует, наблюдается переход системы в хаотическое состояние через появление нескольких линейно зависимых частот. В случае воздействия температуры переход осуществляется через удвоение периода колебаний.
Изменение стороны нагрева не приводит к изменению состояния системы, и отличий в режиме колебаний не обнаружено.
Усложнение режима колебаний ведет к более прерывистому процессу фазовой синхронизации слоев балок.
Для двуслойного пакета построены карты режимов колебаний для верхнего и нижнего слоя балочного пакета. Отмечается, что для верхней балки зона гармонических колебаний существует в присутствии контакта между слоями на сравнительно малом диапазоне изменения частоты внешней нагрузки, что говорит о меньшей устойчивости многослойных систем.
Построена математическая модель колебаний гибких тонких слоистых балок в температурном поле с учетом контактного взаимодействия. Развит метод численного моделирования и анализа хаотической динамики для распределенных систем в виде балочных структур в температурном поле с учетом контактного взаимодействия. Эффективным численным методом решения уравнения теплопроводности является метод граничных элементов. Сходимости решений нелинейных уравнений движения численными методами для балочной структуры при гармоническом режиме колебаний наблюдаются в сигнале, спектре мощности Фурье и сечении Пуанкаре, а при хаотическом режиме - только в спектре мощности Фурье.
Показано, что тип температурного поля существенно влияет на режим колебаний балочной системы. Установлено, что увеличение интенсивности температурного воздействия для однослойной балки приводит к возрастанию зоны гармонических колебаний на исследуемом интервале таких управляющих параметров как частота и амплитуда внешней нагрузки. При помощи анализа знаков показателей Ляпунова установлено, что возросло количество зон, в которых наблюдается режим хаос-гипер-гиперхаос, а площадь зоны глубокого хаоса сократилась. Выявлены закономерности управления хаотической динамикой системы в зависимости от комбинаций частоты и амплитуды внешней нагрузки, интенсивностью и типом температурного воздействия.
Для криволинейных балок увеличение параметра кривизны позволяет сохранять гармоническое состояние системы на большем диапазоне изменения частоты внешней нагрузки. Анализ карт режимов и показателей Ляпунова показал, что возрастание кривизны балки приводит к увеличению зоны гармонических колебаний, а переход из гармонического состояния в хаотическое становится более жестким, о чем свидетельствует увеличение зоны глубокого хаоса на картах показателей Ляпунова.
Исследование хаотической динамики двухслойной гибкой балки в стационарном температурном поле показало, что наличие температурного воздействия приводит систему к потере устойчивости за счет возникновения контакта между балками. Температурное расширение материала приводит к контактному взаимодействию балок ввиду малости зазора. Это взаимодействие слоев добавляет в спектр Фурье для верхней балки низкочастотные колебания. Исследование процессов синхронизации колебаний двухслойных балок выявило, что с возрастанием амплитуды внешней нагрузки фазовая синхронизация колебаний слоев становится более прерывистой. Определено, что воздействие температурного поля существенно меняет картину колебательных процессов пакета балок; так, в случае отсутствия температурного поля имеет место сценарий Рюэля-Такенса, а в случае его наличия изменение режима колебаний происходит по модифицированному сценарию Фейгенбаума. В ходе исследования установлено, что симметричное изменение температурного поля не приводит к изменениям в режиме колебаний многослойного балочного пакета.
Программный пакет был разработан на базе программной платформы «.NET Framework» компании Microsoft на языке объектно-ориентированного программирования C++. Пакет состоит из трех модулей. Первый модуль отвечает за вычисление температурного поля балки в зависимости от поставленных граничных условий. После определения температурного поля в нем производятся вычисление температурных членов уравнения движения и передача их в следующий модуль. Во втором модуле производится решение системы уравнений движения балки и вывод данных в текстовом виде. Третий модуль представляет собой комплекс анализа данных, полученных в результате моделирования колебаний балки.
