Введение к работе
Актуальность работы. Впервые с существенными проявлениями хаоса исследователи столкнулись в задачах гидрометеорологии, аэродинамики, радиотехники и некоторых задачах математики. Оказалось, что линейная теория не может объяснить наблюдаемые экспериментальные данные. Впоследствии хаос также был обнаружен в задачах биологии, информатики, экономики, инженерии, финансов, физики, психологии, робототехники и других научных дисциплин. Как правило, задачам хаоса присуща существенная вычислительная сложность, поэтому чаще всего рассматриваются системы с одной или несколькими степенями свободы. Вместе с тем многие механические системы, в частности системы балок, имеют распределенные структуры, соответствующие множеству степеней свободы. Такие математические модели описываются существенно нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных.
Решению задач нелинейной динамики балок, пластин и оболочек посвящены работы U. Nackenhorst, J. Awrejcewicz, S. Smale, A. F. Vakakis, M.Amabili, A.Sarkar, O.Thomas, C.Touze, S. Bilbao, N. Mordant, A. Boudaoud, O.Cadot, N.Yokoyama, M.Takaoka, Y. Wang, H. Qiang, H. Haiyan, Y. Guitong, U.Lepik, W.Pietraszkiewicz, Van der Heijden, K. Nagai, S. Maruyama, M. Oya, T.Yamaguchi, Y. Tsuruta, T. Murata, В.В. Болотина, А.С.Вольмира, Э.И.Григолюка, Б.Я.Кантора, Ю.Г.Коноплева, А.Н. Куцемако, В.А. Крысько, А.В. Крысько, И.Ф.Образцова, Н.М.Агамирова, В.Г. Баженова, Т.В.Вахлаевой, П.С. Ланда, Н.Ф.Морозова, В.А. Бабешко, В.Б.Байбурина. Исследованием сложных колебаний балок с применением вейвлет-анализа занимались О.А. Салтыкова, И.В. Папкова, В.В. Солдатов. В их работах основной упор делается на исследование гибкой балки, различных её моделях, взаимодействии с другими объектами. Моделирование гибких криволинейных балок освещено недостаточно. Работы по моделированию гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле практически отсутствуют.
Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является исследование хаотической динамики гибких балок, гибких криволинейных балок и гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле под действием внешней периодической нагрузки.
Для достижения этой цели были решены следующие задачи:
– разработаны математические модели гибкой балки, гибкой криволинейной балки и гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле с применением гипотез Эйлера-Бернулли;
– разработан и реализован в программном комплексе численный метод, моделирующий хаотическую динамику исследуемых объектов;
– разработаны и реализованы в программном комплексе новые алгоритмы анализа хаотической динамики на области управляющих параметров, позволяющие определять области выполнения гипотез по прогибам, зоны упругих и пластических деформаций, режимы колебаний, показатели Ляпунова, нелинейный отклик системы на линейное воздействие по внешней нагрузке;
– усовершенствован процесс постановки вычислительного эксперимента: осуществлена интеграция алгоритмов анализа сигналов среды MATLAB в вычислительный комплекс, реализована поддержка многопроцессорных систем, разработана система распределенных вычислений.
Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы нелинейной динамики, вычислительной математики, качественной теории дифференциальных уравнений, Фурье и вейвлет-анализа, процедуры анализа показателей Ляпунова. Программный комплекс реализован с использованием принципов процедурного, структурного и объектно-ориентированного программирования.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректной физической и математической постановкой задачи, а также сравнением результатов, полученных разными методами: методом конечных разностей, методом конечных элементов, методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях и методом Рунге-Кутта 4-го и 6-го порядков точности, в совокупности с применением методов качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики. Результаты моделирования гибкой балки совпадают с результатами моделирования, проведенными в предшествующих работах. Кроме того, было проведено исследование влияния ряда параметров на точность моделирования.
Научная новизна работы заключается в следующих новых результатах:
-
Предложен метод математического моделирования и построены математические модели, учитывающие кривизну гибкой балки и стационарное температурное поле.
-
Разработаны алгоритмы и программный комплекс, обеспечивающий моделирование пространственно-временного хаоса гибкой балки, гибкой криволинейной балки и гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле.
-
Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для анализа колебательного процесса, которое позволяет определить зоны выполнения гипотез по допустимым прогибам, зоны упругих и пластических деформаций, а также позволяет строить карты режимов колебаний, карты расхождения траекторий, карты показателей Ляпунова. Произведено сравнение карт между собой. Ввиду большой вычислительной сложности в программном комплексе потребовалось реализовать систему распределенных вычислений, использующую потенциал многопроцессорных систем, и реализующую автоматическое масштабирование вычислительных мощностей.
-
Произведено исследование сходимости получаемых результатов от ряда параметров моделирования (количество точек модели, длительность моделирования), установлены их оптимальные значения по критериям точности и затратам машинного времени. Подтверждена сходимость карт режимов колебаний в зависимости от используемого метода решения системы дифференциальных уравнений (методы Рунге-Кутта 4-го и 6-го порядков точности). Точность анализа значительно превосходит предыдущие работы в этой области (в 3 раза по количеству точек модели и в 2 раза по времени моделирования).
-
Показано, что хаотическая динамика изучаемых моделей при симметричных граничных условиях похожа. При жесткой заделке на обоих концах система имеет больше гармонических областей колебаний, однако, в общем виде динамика такая же, что и при симметричном креплении на жестких шарнирах. Несимметричные граничные условия приводят к значительному сокращению области гармонических колебаний и увеличению области хаотических колебаний.
-
Показано, что увеличение кривизны балки положительно влияет на область гармонических колебаний, при этом наблюдается резкая граница динамической потери устойчивости, увеличивается область упругих деформаций, балка становится более устойчивой к внешней нагрузке.
-
Исследована хаотическая динамика гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле. Показано, что температурное поле может увеличивать зоны гармонических колебаний и понижать хаотическую динамику за счет изменения геометрической кривизны балки.
Практическая ценность и реализация результатов
Практическая ценность заключается в разработанном программном комплексе, позволяющем моделировать хаотическую динамику описанных распределенных систем с учетом разных вариантов статического и динамического нагружения, различных параметров окружающей среды и разных типов граничных условий. Выявлены причины появления несимметричных форм колебаний при использовании описанного метода моделирования для задач с симметричными граничными условиями и симметричным внешним воздействием. Комплекс также позволяет анализировать границы применимости математической модели, определять режимы колебаний системы, фиксировать нелинейный отклик системы на линейное изменение управляющего параметра и анализировать степень её хаотичности через показатели Ляпунова. Численные эксперименты, проведенные в рамках данной работы, позволяют указать те наборы управляющих параметров, при которых исследуемые структуры находятся в зоне безопасной работы. Полученные результаты могут быть использованы как в области механики, так и в различных приборах электроники и гироскопии (микроэлектромеханических системах для определения движения объекта, его скорости, измерения ускорения, угловых скоростей, давления, скорости потока жидкости или газа, температуры и влажности).
Результаты диссертации были получены при финансовой поддержке и использованы при выполнении грантов: ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, проект 2012-1.4-12-000-1019, мероприятие 1.4 «Поддержка развития внутрироссийской мобильности научных и научно-педагогических кадров путем выполнения исследований молодыми учеными и преподавателями в научно-образовательных центрах»; РФФИ 12-08-00569-a, «Построение математической модели гироскопа с распределенной массой с большой амплитудой осцилляторов»; НИР СГТУ-12 «Математическое моделирование осцилляторов с большой амплитудой колебаний для приборов навигации»; НИР СГТУ-15 «Исследование нелинейных стохастических колебаний многослойных механических структур в температурном поле под действием концентрированных потоков энергии».
Получены 4 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту:
-
Предложенный метод математического моделирования и построенные конкретные математические модели, обеспечивающие исследование хаотической динамики гибких балок, гибких криволинейных балок и гибких криволинейных балок в стационарном температурном поле.
-
Разработанные алгоритмы и программное обеспечение для исследования пространственно-временного хаоса распределенных механических систем в виде балочных структур с учетом геометрической нелинейности как для отдельно численного эксперимента, так и на области управляющих параметров.
-
Произведено исследование сходимости получаемых результатов от ряда параметров моделирования. Определены их оптимальные значения. Изучено влияние различных типов граничных условий и геометрической кривизны балки на хаотическую динамику гибкой криволинейной балки.
-
Исследована хаотическая динамика гибкой криволинейной балки в стационарном температурном поле.
Апробация работы
Основные положения и результаты диссертации представлялись на XVIII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2011); 11th CONFERENCE on «Dynamical Systems-Theory and Applications» (d, POLAND, 2011); VIII международной конференции «Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте» (Санкт-Петербург, 2011); заочной научно-практической конференции «Теоретические и прикладные проблемы науки и образования в 21 веке» (Тамбов, 2012).
Часть материалов диссертации докладывалась на кафедре «Сопротивление материалов и основы теории упругости» профессора Каюмова Р.А. Казанского государственного архитектурно-строительного университета (Казань, 2012). В законченном виде диссертация докладывалась на кафедре «Автоматика и биомеханика» технического университета Лодзи (Польша, 2013) фул профессора Яна Аврейцевича, на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А. Крысько (Саратов, 2013); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б.Байбурина (Саратов, 2013).
Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 15 работах, в том числе 5 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ и 3 статьи в иностранных источниках. Список основных работ автора, отражающих существо диссертационной работы, приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка использованной литературы. Работа содержит 133 страницы, 12 рисунка, 66 таблиц. Список использованной литературы включает 120 наименований.
