Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Общая теория вейвлет-анализа 23
1.1 Общее понятие вейвлет-преобразования 23
1.2. Непрерывное вейвлет-преобразование и примеры 25
1.3. Практические аспекты использования непрерывного вейвлет -преобразования в анализе колебаний распределенных механических систем 35
Выводы по главе 38
Глава 2. Нелинейные колебания многослойных спаянных балок 39
2.1 Балки Эйлера-Бернулли 42
2.1.1 Гипотезы 42
2.1.2. Вывод основных уравнений 44
2.1.3 Численное решение задач динамики для балок Эйлера-Бернулли .. 47
2.1.4 Вейвлет-анализ колебаний балок Эйлера-Бернулли 50
2.2 Балки С.П.Тимошенко 59
2.2.1 Гипотезы 59
2.2.2 Вывод основных уравнений 63
2.2.3 Достоверность численных результатов для балок С.П.Тимошенко 65
2.2.4 Вейвлет-анализ колебаний балок С.П.Тимошенко 67
2.3 Балки Шереметьева - Пелеха 75
2.3.1 Гипотезы 75
2.2.1 Достоверность численных результатов для балок Шереметьева-Пелеха 81
2.3.3 Вейвлет-анализ колебаний балок Шереметьева-Пелеха 83
Выводы по главе 88
Глава 3. Нелинейные колебания многослойных неспаянных балок 90
3.1. Многослойные неспаянные балки. Постановка задачи 90
3.2. Связь контактного давления с поперечным обжатием тонкой балки ... 92
3.3. Математическая модель неспаянных балок с учетом геометрической и физической нелинейности 97
3.3. Метод решения уравнений движения неспаянных балок с учетом геометрической и физической нелинейности 102
3.4. Вейвлет-анализ колебаний многослойных неспаянных балок 104
Выводы по главе 110
Глава 4. Нелинейные колебания осесимметричных пологих оболочек 111
4.1 Математическая модель гибких осесимметричных оболочек 111
4.2 Методы численного решения 112
4.3 Вейвлет-анализ колебаний осесимметричных пологих оболочек 118
Выводы по главе 124
Глава 5. Нелинейные колебания цилиндрических оболочек и бесконечно длинных панелей 125
5.1 Нелинейные колебания цилиндрических оболочек 125
5.1.1 Постановка задачи и метод решения 126
5.1.2 Вейвлет-анализ и динамическая потеря устойчивости замкнутых цилиндрических оболочке 128
5.2 Колебания бесконечно длинной пластинки 130
5.2.1 Постановка задачи и метод численного решения 130
5.2.2 Особенности хаотических колебаний бесконечно длинной пластинки 135
Выводы по главе 147
Заключение 149
Литература 151
- Практические аспекты использования непрерывного вейвлет -преобразования в анализе колебаний распределенных механических систем
- Численное решение задач динамики для балок Эйлера-Бернулли
- Связь контактного давления с поперечным обжатием тонкой балки
- Вейвлет-анализ колебаний осесимметричных пологих оболочек
Введение к работе
(краткий исторический обзор исследований по теме работы)
Распределенные механические системы (балки, пластинки, оболочки) являются основными составными частями множества инженерных конструкций, в отношении которых сегодня предъявляются повышенные требования не только по прочности и устойчивости в различных динамических режимах, но и по экономичности, что приводит к необходимости рассмотрения вопросов нелинейного деформирования в задачах динамики для вышеуказанных систем. Имеется значительное число работ, где с использованием- таких традиционных методов нелинейной динамики как> визуализация траекторий в фазовом пространстве системы, корреляционный и спектральный анализ изучены особенности сложных колебаний балок, пластинок и оболочек, в частности сценарии перехода колебаний от гармонических к хаотическим для таких систем! Переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума в динамике пластин изучен в [1], в [2] Хан, Ху и Янг проведен анализ нелинейных колебаний упругой цилиндрической оболочки, вращения и найдены-' критические условия возникновения хаотического движения.
В. А. Крысько и А. В: Кириченко [3] исследовали хаотические движения квадратной в плане оболочки под действием импульсной периодической нагрузки, выявив явление динамической потери устойчивости и объяснив его с позиций качественной теории дифференциальных уравнений.
В [4] исследованы нелинейные колебания балок при наличии ограничений на прогиб и установлено, что переход колебаний из гармонических в хаотические в таких системах происходит по известным в общей теории динамических систем схемам перехода к хаосу (сценарий Помо-Манневиля, сценарий Фейгенбаума), но последние не встречаются в чистом виде, а претерпевают некоторые изменения, в частности, сценарий
5 Фейгенбаума усложняется за счет наличия кратных частот.
В цикле публикаций [5-11] в соответствии с известными сценариями перехода колебаний балочных конструкций в хаос проведена классификация колебаний балок, находящихся под действием поперечной знакопеременной и продольной ударной нагрузки. Выявлены и исследованы сценарии Фейгенбаума, Рюэля-Такенса-Ньюхауза, модифицированные Рюэля-Такенса — Ньюхауза и Помо-Манневиля, характерные для колебаний исследуемых систем, и выявлены их области на картах динамических режимов. Для каждой рассматриваемой модели были отмечены явления динамической потери устойчивости при действии знакопеременной поперечной нагрузки, что подтверждается резким увеличением максимального прогиба при малом изменении амплитуды вынуждающих колебаний. Кроме того, рассмотрено влияние некоторых типов трения (кулоновское, нелинейное, линейное) и учет упругих оснований Винклера и В.З.Власова на гибкую и жесткую балку Эйлера-Бернулли.
А. В. Крысько, С. А. Мицкевич и Ю. В. Чеботаревский [12] исследовали сценарий перехода к хаотическим колебаниям для консервативных и диссипативных систем в теории гибких цилиндрических панелей при действии знакопеременных продольных нагрузок. '
В цикле работ [13-21] для цилиндрических панелей и замкнутых цилиндрических оболочек, пологих 'оболочек описаны новые сценарии перехода в хаос, обнаруженные в колебаниях исследуемых механических систем, первому из них было дано - название модифицированного сценария Рюэля-Такенса-Ньюхауза, второму — модифицированного сценария Рюэля-Такенса-Фейгенбаума, третьему - модифицированного сценария Помо-Манневиля. В работах [22-25] определены критические нагрузки, приводящие к возникновению хаотических колебаний при совместном действии температурного пол* и локальной знакопеременной нагрузки, а также исследована зависимость статической критической нагрузки от интенсивности температурного поля для ряда значений геометрических
параметров кривизны кх, к прямоугольных в плане панелей; определен
характерный сценарий перехода колебаний в хаос при совместном влиянии силовых знакопеременных нагрузок и температурного поля, выяснено, что он совпадает с модифицированным c4eHapneMt Рюэля-Такенса-Ньюхауза, который был предложен В^А. Крысько, И.В. Папковой.
В работах [26-30] проведено исследование сложных колебаний круглых, секториальных и прямоугольных в плане сферических оболочек для любых граничных условий под действием знакопеременной нагрузки; проведена классификация по известным сценариям колебаний оболочек, находящихся под действием нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону. Выявлены и исследованы новые сценарии перехода в хаос. Изучена периодичность А.Н. Шарковского для, дифференциальных уравнений теории пологих круглых, секториальных и прямоугольных в плане оболочек; сценарии Фейгенбаума и Рюэля-Такенса-Ньюхауза для них. В-работах [31-33] обнаружен новый сценарий перехода колебаний механических систем из гармонических в хаотические, который был назван модифицированным сценарием Рюэля-Такенса-Ньюхауза, и выявлены его области на картах \q0,u)p\. Данный* сценарий присутствует в колебаниях конических и
сферических оболочек с краевыми условиями подвижная заделка. Выявлен новый сценарий перехода колебаний из гармонических в хаотические для конических оболочек с краевыми условиями подвижный шарнир, который был назван модифицированным сценарием Помо-Манневиля.
Во многих областях науки и техники применяются многослойные неспаянные конструкции, обладающие совершенно новыми свойствами колебаний по сравнению с традиционными, спаянными. Они применяются в авиационно-космической технике, судостроении, приборостроении и других областях. Такие конструкции эксплуатируются в сложных динамических режимах, в агрессивных внешних средах, что обуславливает повышенные требования к расчету последних.
Математические модели многослойных конструкций можно разделить
7 на два класса: спаянные и неспаянные. Наиболее исследованы модели
первого типа, где при деформировании конструкции не происходит отрыва
слоев друг от друга и конструкция работает как единое целое. Обзор работ по
многослойным спаянным и неспаянным конструкциям в виде балок и
пластинок можно найти в [34-36]. В [37] рассмотрено одно из практических
междисциплинарных приложений данной теории - модель голосовых связок
человека в виде двух пластин, прикрепленных пружинами к стенкам трубы, и
установлено, что под действием потока воздуха происходит возбуждение
хаотических колебаний пластин.
В [36] разработан пакет программ HEMP, который позволяет решать контактные задачи при больших деформациях, эти пакеты совершенствуются и создаются их новые модификации: DYNA2D and DYNA3D с использованием явных методов и NIKE2Dand NIKE3D с использованием неявных. Большое число задач контактного взаимодействия, стержней приведено в [38], где автор также приводит большой библиографический материал по контактному взаимодействию конструкций вплоть до 2007г.
Исторически, концепция* «вейвлетов» возникла при изучении частотно-временного анализа сигналов, распространения волн и дискретизации сигналов. Одним из стимулов к разработке теории вейвлет-преобразования послужил тот факт, что с помощью-анализа на основе преобразования Фурье не представлялось возможным получить локальную информацию о сигналах. Преобразование Фурье не может использоваться для анализа сигналов в «объединённом» частотно-временном пространстве.
Сравнительно новым методом анализа нелинейных динамических явлений является вейвлет-преобразование. Концепция «вейвлетов» (eng. "wavelet"," fr. "ondelette" — маленькая волна, волночка) стала появляться в литературе только в начале 1980-х годов. Эта новая концепция может рассматриваться как синтез различных идей, возникших в рамках различных дисциплин, включая математику, физику и инженерные науки. В 1982 году Жан Морле, французский инженер-геофизик, предложил вейвлет-
8 преобразование как новый математический метод анализа сейсмических
сигналов, особенность которых заключалась в их нестационарности во
времени. В качестве веивлетов Морле рассматривал семейство функций,
полученых путем масштабных преобразований и параллельных переносов
специально выбранной функции - материнского вейвлета. Алекс Гроссман,
французский физик-теоретик, получил точную формулу обратного вейвлет-
преобразования. В 1984 году совместные усилия Морле и Гроссмана привели
к детальному изучению непрерывного вейвлет-преобразования и его
приложений. [39] В процессе их работы выяснилось, что теория веивлетов,
как и Фурье-анализ (разложения в ряд Фурье), представляет новый метод
частотного анализа сигналов.
В 1985 году Ив Мейер, французский математик, установил связь между формулой Кальдерона в гармоническом анализе и новыми методами, предложенным Морле и Гроссманом. Используя операторы Кальдерона-Зигмунда и теорию Литтлвуда-Пэли, Мейер смог построить математичекие основания теории веивлетов. Первым крупным достижением вейвлет-анализа стало построение Добеши, Гроссманом и Мейером [40] разложений по неортогональным вейвлетам. В 1985-1986 в работах Мейера и Лемарье были построены ортонормальные базисы из гладких вейвлет-функций. В то же время Стефан Малла установил, что квадратурные зеркальные фильтры играют важную роль в построении вейвлет-базиса Хаара. Мейер [41] и Малла [42] предложили общую процедуру построения ортонормального вейвлет-базиса. Их совместная работа привела к разработке процедуры кратномасштабного анализа [42-43]. Малла также предложил алгоритмы вейвлет-разложения и реконструкции с использованием кратномасштабного анализа. Работа Малла послужила источником дальнейшего развития теории веивлетов. Через несколько месяцев после ее выхода Г. Баттл [44] и Лемарье [45] независимо друг от друга предложили процедуру построения экспоненциально убывающих ортогональных вейвлет-сплайнов.
Работа Мейера натолкнула Ингрид Добеши [46] на теорию создания
вейвлет-базиса, сконструированного из ортонормальньгх вейвлетов с
компактным носителем, обладающих, кроме того, определенной гладкостью. Её процитированная выше работа имела огромное влияние на изучение как собственно вейвлетов, так и их приложений. Эта работа позволила существенно объяснить связь между непрерывным и дискретным вейвлет-анализом (последний получил широкое распространение при анализе цифровых сигналов). Концепция фреймов была предложена Duffin and Schaeffer [47] и позже более детально изучена Добеши [48], [49].
Несмотря на серьезные успехи, специалисты в области вейвлет-анализа осознавали, что построить вейвлеты, которые одновременно симметричны, ортогональны- и имеют компактный носитель, довольно затруднительно. В целях преодоления таких сложностей Cohen [50] и Daubechies [51] детально изучили биортогональные вейвлеты. Chui. и Wang [52-53], предложили сплайн-вейвлеты с компактным носителем и концепцию полуортогонального вейвлет-анализа. С другой стороны, Beylkin, Coifman and* Rokhlin [54] и Beylkin [55] с успехом применяли кратномасштабный анализ (с набором ортогональных масштабных функций) к изучению операторов в L2(]R). Эта
работа совпала с созданием" новых алгоритмов в численном- анализе. Существенный прогресс был достигнут в методах граничных элементов, конечных элементов, численном решении дифференциальных уравнений в частных производных с использованием вейвлет-анализа [56].
Завершая этот краткий исторический обзор, приведем некоторые области приложения вейвлет-анализа: обработка сигналов, машинное зрение, сейсмология, изучение турбулентности, компьютерная графика, обработка изображений, передача данных в цифровой форме, распознавание образов, теория приближений функций, квантовая оптика, биомедицинская инженерия, теория дискретизации, теория операторов, дифференциальные уравнения, численный анализ, статистика. Вейвлеты позволяют представлять такую сложную информацию как музыка, речь, изображения в виде разложений по элементарным элементам .формы («строительным блокам,
10 кирпичикам») — вейвлетам.
Литература по приложениям вейвлет-анализа весьма обширна; здесь мы отметим лишь работы [57-59]. Вейвлеты находят применение в следующих областях: обработка и синтез сигналов (например, речевых); анализ изображений различной природы (изображения радужной оболочки глаза, рентгенограммы почки, спутникового изображения облаков или поверхности планеты, снимки минералов и т.п.); изучение свойств турбулентных полей; решение уравнений [60]; свертка (упаковка) больших объемов информации. Первые эксперименты одного из авторов по применению вейвлетов к анализу колебаний распределенных систем можно найти в [61].
В качестве модельных для» исследования хаотических колебаний часто исследуются системы Дуффинга, Лоренца и Ван-дер-Поля, чему посвящены работы R. Ghanem and F. Romeo [62], P. Ribeiro [63], Xiaoping Yuan. [64]. В [65] исследуется широко известный осциллятор. Дуффинга с использованием вейвлетов Добеши, а в работе F.A. Moslehy [66] показано, как изменение параметров v уравнения Дуффинга может приводить к хаотическим режимам колебаний, а у К. Konishi [67] в качестве управляющего параметра выступает величина внешней силы. В работах ЇЇ. Lepik [68] вейвлеты Морле, Хаара, мексиканской шляпы применяются для исследования колебаний механических систем, однако исследуются системы с числом степеней свободы не более двух (в том числе осциллятор Дуффинга), что позволяет применять к исследованию последних аналитические преобразования.
Работ, посвященных вейвлет-анализу в механике твердого тела, имеется незначительное число. С помощью вейвлет-преобразования в [69] исследуется распространение волн в многослойных анизотропных пластинках, в [70] для исследования вибраций роторной системы используются вейвлеты Ньюлэнда. Используя вейвлет Морле, Wong and Chen [71] рассмотрели случай, когда частота гармонических колебаний системы изменяется во времени.
Вейвлет-функции применяются в качестве аппроксимирующих функций в различных вариантах метода конечных элементов. Из работ прикладного характера можно отметить [72], где рассматривается задача расчета свободных колебаний подвешенного троса с концами на разных уровнях по высоте с присоединенной сосредоточенной массой вблизи одного из концов. С помощью гибридной процедуры расчета на основе вейвлетных функций и метода Галеркина находятся частоты и формы свободных колебаний, а также динамические силы, натяжения. Распределенные системы рассматриваются в [73], где вейвлет-функции применяются совместно с методом конечных элементов Галеркина для численного решения^ двухточечных краевых задач, описываемых дифференциальными уравнениями порядка выше второго. Авторами исследуются статические задачи, а главное внимание уделено определению показателей напряженно-деформированного состояния*при поперечном изгибе упругих балок Эйлера-Бернулли и прямоугольных пластин с защемленными, шарнирно-опертыми и свободными краями.
Следует также отметить несколько работ теоретического характера. Так, в [74] для решения- задачи двумерной теории потенциала в, плоских областях общего1 вида используется метод Бубнова-Галеркина, где в качестве интерполяционных базисных функций применяются вейвлеты. В [75] представлен быстрый адаптивный симплектический алгоритм для решения начально-краевой задачи для волнового уравнения с переменными коэффициентами, описывающего распространение волн в комплексных средах. Он основан на симплектической схеме и ортогональном вейвлетном преобразовании, позволяющим дискретизировать временные и пространственные переменные волнового уравнения. Задача решается в мультиразрешающем симплектическом геометрическом пространстве с применением консервативной гамильтоновой системы вместо традиционной лагранжевой. Отмечается, что метод требует мало вычислительных затрат и устойчив к ошибкам.
12 Если говорить о применении вейвлет-преобразования для частотного
анализа некоторого сигнала, то в ряде случаев он используется лишь как средство уточнения для традционных форм модального анализа с использованием преобразования Фурье. Так, в [76] вейвлетное преобразование применяется как частотно-временное преобразование для определения собственных частот, коэффициентов демпфирования и форм колебаний систем. Точность этой новой методики подтверждается численным примером и измерениями для колебаний башни, возбуждаемых ветровой нагрузкой. Аналогично и в [77] выполнен вейвлетный анализ записей движений ряда сильных землетрясений с целью определения доминантных частот, характерных для различных грунтовых условий. Обсуждается методология калибровки полученных данных по характеристикам грунтового разреза. Представлены примеры сопоставления расчетных и натурных записей- движений на грунтах разного состава и консистенции. Специфические свойства «частотно-временного микроскопа» для анализа нестационарных и переходных процессов активно используются-в [78], где теоретически и экспериментально анализируется процесс внедрения ударника в круговую защемленную по контуру плиту. Испытания проводились на установке типа падающего груза. Рассматривались два типа взаимодействия: отскок и разрушение (образование трещины). Сначала проанализирован силовой сигнал на основе четырех методов: непрерывное вейвлет-преобразование (с вейвлетами Гаусса и Морле), преобразование Габора, преобразование Вигнера-Вилля и классический анализ Фурье. Показано, как применение частотно-временных методов позволяет точно обнаруживать разрывы в сигнале, момент разрыва, если он есть, и частоты, которые возбуждаются при ударе. Во второй части проведен модальный анализ и анализ напряжений как аналитически, так и конечно-элементными расчетами. Расчеты подтверждают результаты, полученные в первой части, и находятся в соответствии с экспериментальными наблюдениями.
Вейвлет анализ для колебаний распределенных структур применен в
13-[79]. Излагаются результаты обширного обзора развитых методов
вейвлетного анализа частот и форм колебаний упругих оболочек и пластин.
Благодаря размерным и сдвиговым преобразованием солитон-функций
подчеркивается возможность вейвлетного изучения свойств сигналов
совместно в частотной и временной областях.
Исследование хаотических колебаний балок можно найти в [80], где построена конечноэлементная математическая модель, основанная на применении вейвлетов для стохастического анализа упругих балочных конструкций, в которой случайные параметры, представляющие собой стохастические механические свойства материала и геометрические характеристики конструкции, трактуются, как стационарные гауссовы процессы со специфическими функциями усреднения и корреляции. Использовано расширение Карунена-Лява для аппроксимации стохастического процесса в виде линейной комбинации ортонормированных собственных функций с некоррелированными случайными коэффициентами. Собственные функции представлены при« этом- как усеченные линейные суммы ортогональных вейвлетов с компактным носителем. Приведены два числовых примера стохастического анализа' по изложенной методике характеристик консольной балки с сосредоточенной нагрузкой на конце и двухопорной балки под действием равномерно распределенной поперечной нагрузки. Результаты численного расчета сопоставлены с полученными по методу Монте-Карло и полуаналитическим методом. Таким образом, рассмотренная в [80] задача отличается от тематики данной работы, где речь идет о детерминированном хаосе.
Приведенный выше обзор работ позволяет сделать заключение, что в работах Крысько В.А., Крысько А.В., Я. Аврейцевича, Кравцовой И.В, Савельевой Н.Е., Щекатуровой Т.В., Кузнецовой Э.С., Салтыковой О.А при изучении спектров мощности, построенных на основании преобразования Фурье, установлено, что для балок, пластинок и оболочек переход к хаотическим колебаниям может происходить по сценариям Фейгенбаума и
14 модфицированному сценарию Рюэля - Такенса - Ньюхауза. Вопрос о
существовании сценария перехода к хаосу через перемежаемость и его
особых свойствах для распределенных механических систем требует
дальнейшего изучения, так как для изучения последнего недостаточно
располагать лишь частотным спектром, получаемым с помощью
преобразования Фурье.
Таким образом, актуальной задачей является анализ нестационарных процессов в различных режимах колебаний распределенных механических систем, основанный на расчете их движений как систем со многими степенями свободы с использованием вейвлет-преобразования (а также и традиционных методов нелинейной динамики) с целью уточнения характера протекающих в таких системах нелинейных процессов и уточнения существующих сценариев перехода колебаний из хаотических в гармонические. Кроме того, требует уточнения вопрос о том, какие материнские вейвлеты наиболее приспособлены для исследования задач динамики балок, пластинок и оболочек.
Целью диссертационной работы являются построение математических моделей сложных колебаний распределенных систем (в виде одно- и многослойных балок (спаянных и неспаянных), пластинок, сферических пологих и цилиндрических оболочек); разработка программного обеспечения, позволяющего осуществлять вейвлет-анализ сценариев перехода в хаос для таких систем.
Для достижения этой цели были решены следующие задачи:
Создание методологии анализа регулярных и хаотических вынужденных колебаний распределенных механических систем на основании непрерывного вейвлет-преобразования и выбор эффективных вычислительных схем её реализации;
Разработка программного обеспечения на основе предложенных моделей и вычислительных схем;
15 3. Применение разработанной методологии и программного обеспечения
для исследования переходных процессов и сценариев перехода в хаос
для балок, пластинок и оболочек в различных режимах динамического
нагружения.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы. Работа содержит 164 страницы, 73 рисунка, 11 таблиц. Список использованной литературы включает 142 наименования. Ниже приведена краткая характеристика по главам.
Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, приведен исторический обзор результатов по применению вейвлетов как в различных областях механики в целом, так и в механике твердого тела для балок, пластинок и оболочек в частности, сформулирована цель работы, приводится краткое содержание диссертации.
В первой главе рассматривается общая концепция непрерывного вейвлет-преобразования, основные базисные (вейвлетообразующие) функции, необходимые свойства вейвлет-функций: Вводится понятие частотно-временных вейвлет-спектрові Отмечаются^ основные различия преобразования Фурье и вейвлет-преобразования. Рассматриваются вопросы разрешающей способности различных вейвлетов по частоте.
Во второй главе построены математические модели изучения нелинейных колебаний спаянных многослойных балок, основанные на кинематических гипотезах Бернулли-Эйлера, СП. Тимошенко, Шереметьева - Пелеха. Данные системы гипотез рассматриваются в таком порядке, что каждая следующая система гипотез является все! более точным приближением к трехмерной задаче теории упругости для* балки. Рассматривается применение вейвлет-анализа к исследованию колебаний балок различных моделей. Посредством разработанного пакета программ исследуется характер колебаний балки в зависимости от управляющих параметров {q0,co ) с помощью анализа сигнала, спектра мощности,
построенного на основе преобразования Фурье, фазового портрета,
отображения Пуанкаре, а также непрерывного вейвлет — преобразования для различных типов вейвлетов: вейвлетов Гаусса с 1-го по 8-й, вейвлета Морле. Выявлено преимущество вейвлета Морле. Установлено, что переход к хаосу для трех рассмотренных моделей балок может происходить либо по уточненному сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауза, либо через перемежаемость.
В третьей главе изучается явление синхронизации распределенных систем на примере многослойных неспаянных балок (т.е. когда между слоями имеется зазор) с учетом трех видов нелинейностей: конструктивной (в процессе расчета меняется область контакта балок), геометрической и физической. Для многослойных балок исследуется режим фазовой синхронизации колебаний балок в пакете при различных способах воздействия на балки. Балки подчиняются гипотезе Эйлера-Бернулли, используется винклерова связь между обжатием и контактным давлением между балками, физически нелинейные зависимости между деформациями и перемещениями рассматриваются в рамках теории малых упруго-пластических деформаций Генки. При построении математической модели использованы результаты, полученных в работах В. М. Александрова, В.А. Бабенко, С. М. Мхитаряна, Б. Я. Кантора, Т. Л. Богатыренко, Д. Е. Липовского, Л. А. Галина, Б. Л. Пелеха, М. А. Сухорольского, М. В. Блоха, Е. И. Григолюка, В. М. Толмачева. Граничные условия закрепления балки могут быть произвольными, но в данном случае рассмотрен вариант защемления на концах. В начальный момент времени система балок покоится.
Рассмотрены колебания системы из двух неспаянных балок с учетом геометрической и физической нелинейности. Переменная во времени поперечная синусоидальная нагрузка воздействует лишь на одну балку, вторая балка приходит в движение только в результате соприкосновения с первой. Частота воздействия в данном случае равна сох = 6.28, зазор между балками д = 0.05. Так, даже при малых нагрузках q0l =3.5 можно наблюдать
17 процесс перехода колебаний из одночастотных гармонических к хаотическим
с возникновением фазовой синхронизации колебаний балок, что сопровождается скачкообразным ростом прогиба. Поскольку непрерывное вейвлет-преобразование с использованием комплексного- вейвлета Морле позволяет получать частотно-временное распределение фазы колебаний (фаза в данном случае - аргумент соответствующих комплексных вейвлет-коэффициентов), то с его помощью возможно эффективное выявление фазовой синхронизации. Картина разности фаз демонстрирует, что фазовая синхронизация колебаний двух балок возникает в диапазоне частот, близких к частоте внешнего воздействия на данную систему.
В рассмотренной системе с конструктивной нелинейностью также исследуется, как образом тип колебаний (регулярные или хаотические), определяемый по вейвлет-спектрам, отражается на пространственно-временном распределении контактного давления. Так, для последовательность нагрузок ^=2.25, 7.50, 23.00 для упругих балок
вейвлет-спектры колебаний обеих балок фиксировали переход колебаний от регулярных одночастотных к хаотическим. В данном ряду нагрузок пространственно-временное распределение контактного1 давления- из регулярного также становится-хаотическим.
В четвёртой главе разработана' методология вейлет-анализа
колебаний сферических осесимметричных пологих оболочек,
подчиняющихся.гипотезе Кирхгофа-Лява, с использованием вейвлет-анализа, изучаются сценарии перехода в хаос для них. Для анализа- сложных колебаний гибких осесимметричных пологих оболочек применялось вейвлет-преобразование с материнскими вейвлетами Гаусс-1 — Гаусс-8 и вейвлетом Морле. Как и при анализе колебаний балок было выявлено- преимущество вейвлета Морле, имеющего лучшее- разрешение по частоте. Вейвлет-преобразование также позволяет обнаружить три последовательных бифуркации с появлением кратных частот при нагрузках qo = 0:07, qo = 0.08, q0 = 0.12 соотвественно и переходом в хаос при qo = 0.14, т.е. наблюдается
18 сценарий Фейгенбаума. Рассчитанная по данным значениям управляющего
параметра q0 константа Фейгенбаума ап =4.65608466 отличается от теоретического значения на 0,28%.
В пятой главе рассмотрен комплексный анализ распределенных систем с помощью вейвлет-анализа и спектра показателей Ляпунова на примере замкнутой цилиндрической оболочки кругового сечения конечной длины с постоянной жесткостью и плотностью при действии неравномерного знакопеременного внешнего давления, с помощью вейвлет-анализа изучается явление динамической потери устойчивости для неё. Также рассматриваются колебания бесконечно длинной пластинки, находящейся под действием продольной знакопеременной нагрузки. Качественные исследования проводились на основании анализа следующих характеристик: сигнала w(0.5;0;f), картины вейвлет-преобразования на плоскости и в пространстве,
фазового портрета, сечения Пуанкаре, спектра мощности на базе
преобразования Фурье, ляпуновских показателей, анализа
автокорреляционной функции. При* исследовании зависимости» wmsLK (q0) в
диапазоне q0 є [0;0.4975] обнаружено, что динамическая потеря
устойчивости, характеризующаяся резким ростом прогиба при небольшом изменении q0, наблюдается при двух значениях нагрузки qQ = 0.225 и
q0 = 0.3225. Применение вейвлет-анализа позволило установить, что в результате динамической потери устойчивости оболочка переходит в состояние хаотических колебаний.
Для исследования переходных колебаний бесконечно длинной пластинки был применем как вейвлет-анализ с использованием функции Морле, так и слежение за знаком ляпуновских показателей. В ходе исследований обнаружено такое интересное явление, как изменение характера колебаний во времени при неизменности управляющих параметров: в определенный момент времени знак старшего ляпуновского показателя меняется с положительного на отрицательный, а на вейвлет-
19 спектре остается единственный частотный максимум, соответствующий
частоте возбуждения.
Научная новизна работы:
Установлено преимущество вейвлета Морле над другими широко используемыми вейвлетами в анализе сложных колебаний нелинейных распределенных механических систем;
Предложенная методология анализа сложных колебаний распределенных систем, вычислительные схемы и разработанное на их основе программное обеспечение позволяют исследовать локальные особенности сложных колебаний для следующих нелинейных распределенных механических систем:
a. гибких балок, модели которых построены на основании
кинематических гипотез Бернулли-Эйлера, С. П. Тимошенко,
Шереметьева-Пелеха;
b. многослойных неспаянных балок на основе гипотезы Бернулли-
Эйлера для каждой из балок;
c. пологих сферических и замкнутых цилиндрических оболочек, а
также для панелей;
С помощью вейвлет-анализа впервые обнаружен и исследован переход в хаос через перемежаемость для балок, математические модели которых простроены на основании кинематических гипотез Бернулли-Эйлера, С. П. Тимошенко, Шереметьева-Пелеха; исследована структура окон квазипериодичности для колебаний в режиме перемежаемости;
С помощью вейвлет-анализа для балок моделей С. П. Тимошенко и Шереметьева-Пелеха впервые установлена модификация сценария Рюэля, Такенса и Ньюхауза, когда при неизменности управляющих параметров может происходить рождение трех линейно независимых частот с последующим переходом в хаос;
5. Для системы из двух неспаянных балок с учетом геометрической,
физической и конструктивной нелинейностей при действии нагрузки только на одну из балок впервые выявлен ряд эффектов:
a. явление фазовой хаотической синхронизации как для случая
упругого, так и физически нелинейного материала балок;
b. в случае упругих балок синхронизация наблюдается на частоте
возбуждения системы, которая совпадает с частотой собственных
колебаний;
c. в случае балок из физически нелинейного материала обнаружена
синхронизация не только на.одной частоте возбуждения, но и на
двух частотах (частоте возбуждения и независимой частоте), а
также синхронизация.только на независимой частоте;
d. величина зазора (от 0.025 до 0.1 толщины балки) между балками
не изменяет качественной картины указанных выше типов
синхронизации;
6. Для замкнутых цилиндрических оболочек при действии
неравномерного знакопеременного внешнего давления вейвлет-анализ
позволил впервые обнаружить явление потери устойчивости с
дальнейшим переходом в хаос.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением различных численных методов с взаимным контролем результатов, методов качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики.
Практическая ценность и реализация результатов: 1. Работа выполнена в рамках комплексной внутривузовской научно-технической программы СГТУ 01В «Математическое моделирование в естественных науках» Саратовского государственного технического университета и бюджетной темы №244 Саратовского государственного технического университета;
21 2. Программный комплекс на основе вейвлет-анализа, позволяющий
выявлять локальные особенности колебаний, используется:
a. для анализа исторической динамики различных социально-
экономических показателей развития отдельных
государственных образований при реализации гранта
«Математическое моделирование в развитии цивилизаций» по
госконтракту П-321 Министерства образования и науки РФ;
b. в учебном процессе по кафедре «Математика и моделирование» в
пособии «Математические модели и методы исследования
сложных колебаний неклассических распределенных
механических систем» (А.В. Крысько, М.В. Жигалов. Саратов:
Сарат. гос. техн. ун-т, 2008. 230 с.) (в главе 3, п. 6 и главе 10, п.
11).
Апробация работы: Основные положения и результаты диссертации представлялись на:
Международном семинаре, посвященном памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. А.В.Саченкова (Казань, 15-17 сентября 2008);
шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009);
2nd Chaotic Modeling and Simulation International Conference (1-5 June 2009 Chania, Crete, Greece), honorary chairman Leon. O. Chua.;
2009 SSTA Conference, Shell Structures, Theory and Applications Oct 14, 2009 - Oct 16, 2009, Jurata, Poland;
The Second International Symposium on Computational Mechanics (ISCM II) in conjunction with The Twelfth International Conference on the Enhancement and Promotion of Computational Methods in Engineering and Science (EPMESC XII). Hong Kong and Macau during 30 November - 3 December 2009;
22 10th Conference on Dynamical Systems - Theory and Applications, 7-10
December, Lodz, Poland.
В законченном виде диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А.Крысько (Саратов, 2009); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Саратовского- государственного технического университета под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б.Байбурина (Саратов, 2009).
Публикации:
Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 8 печатных работах, в том числе 3 работы в журналах из перечня ВАК РФ [135-142].
На защиту выносятся следующие результаты и положения;
Вычислительные схемы и разработанное на их основе программное обеспечение для расчета и вейвлет-анализа колебаний распределенных механических, систем: балок на. основе различных кинематических гипотез, неспаянных многослойных балок с учетом- конструктивной, геометрической и физической нелинейностей, пластинок и оболочек;
Обнаруженные с помощью вейвлет-анализа следующие новые явления:
a. сценарий перехода в хаос через перемежаемость и уточненный
сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза для балок Бернулли-Эйлера,
С .П.Тимошенко, Шереметьева-Пелеха;
b. фазовая хаотическая синхронизация колебаний в системе из двух
неспаянных балок; /
c. динамическая потеря устойчивости с последующим переходом в
хаос для замкнутой цилиндрической оболочки.
Практические аспекты использования непрерывного вейвлет -преобразования в анализе колебаний распределенных механических систем
В настоящее время- семейство анализаторов, называемых вейвлетами, начинает широко применяться в различных областях естествознания: распознавании образов, при обработке и синтезе сигналов (например, речевых); при анализе изображений различной природы (изображения радужной оболочки глаза, рентгенограмм, спутниковых изображений облаков или поверхности планеты, снимков минералов и т.п.); для изучения свойств турбулентных полей; для решения уравнений; для свертки (упаковки) больших объемов информации; для. анализа сложных колебаний пластинок при действии продольных знакопеременных нагрузок и во многих других случаях.
Вейвлет-преобразование одномерного временного сигнала состоит в разложении его по базису, сконструированному из обладающих определенными свойствами солитоноподобных функций- (вейвлетов) посредством масштабных преобразований и- переносов: Каждая из функций базиса- характеризует как частоту, так и её локализацию во времени. Таким образом;, вейвлет-преобразование обеспечивает двумерную развертку сигнала, при этом частота и время рассматриваются- как независимые переменные. В результате появляется возможность анализировать свойства сигнала в частотно-временном пространстве.
Вышесказанное обобщается на многомерные сигнальь или функции. Область использования вейвлетов не ограничивается анализом свойств сигналов и полей различной природы, полученных численно, в результате эксперимента или наблюдения. Вейвлеты начинают применяться и для численного моделирования - как иерархический базис, хорошо приспособленный для описания1 динамики нелинейных процессов, характеризующихся взаимодействиями в широком диапазоне пространственных и временных масштабов. Вейвлет-анализ оказывается очень удобным для изучения существенно неоднородных процессов, поскольку элементы его базиса хорошо локализованы и обладают подвижным частотно-временным окном.
Приведем некоторые примеры вейвлетообразующих функций [61]. Поскольку вейвлет-преобразование есть скалярное произведение анализирующего вейвлета и анализируемого сигнала, коэффициенты вейвлет преобразования (их обозначим W(a,b), а - масштабный коэффициент, Ъ -параметр сдвига) содержат комбинированную информацию о вейвлете и сигнале (как и коэффициенты преобразования Фурье, которые содержат информацию о сигнале и синусоидальной волне). Выбор анализирующего вейвлета, как правило, определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из сигнала. Каждый вейвлет имеет характерные особенности как во Бременом, так и в частотном пространстве, поэтому иногда с помощью разных веивлетов можно полнее выявить и подчеркнуть те или иные свойства анализируемого сигнала. Иногда вейвлет анализ, как отмечалось выше, сравнивают с «математическим микроскопом», то есть параметр сдвига Ъ фиксирует точку фокусировки микроскопа, масштабный коэффициент а - увеличение и, наконец, выбором базисного вейвлета ц/ определяются оптические качества микроскопа.
Вещественные базисы часто конструируются на основе производных функций Гаусса (1.28)
Численное решение задач динамики для балок Эйлера-Бернулли
Бесконечномерная задача (2.23) — (2.27) с помощью метода конечных разностей, с аппроксимацией 0\с2) сводится к конечномерной — системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В каждом узле сетки получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений: где п- число разбиений по пространственной координате, с — шаг по пространственной координате, Llc{wi{t),ui{ty), -2,с(wi(0 WJ(0) -разностные операторы. К системе уравнений (1.28) присоединим уравнения на границе: для граничных условий (2.25): При / = 1, / = п -1 следует учитывать значения w в законтурных точках, которые определяется граничными условиями. Для граничных условий Начальные условия в разностном виде перепишем: Полученную систему (2.28), с граничными и начальными условиями (2.29) -(2.30) решаем методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Метод конечных элементов (МКЭ). Согласно теории изгиба балок, в концевых точках необходимо определять не только поперечные смещения (wx, w2) но и угловые смещения (бх, в2 ), которые равны На элементе будем рассматривать 4 степени свободы (wx,w2,0x,e2), поэтому для аппроксимации будем использовать кубический полином вида Обозначая значения w(x),6(x), д:є[0;/] на концах элемента через {wx,w2,6x,62) определим постоянные at из системы уравнений:
Решая систему (2.33) получим: Подставляя полученные значения констант в выражения для аппроксимации функции w(x) получим 50 Полученные выше выражения для искомых функций и их производных подставим в исходные уравнения модели Бернулли-Эйлера. Затем, применяя процедуру метода Бубнова — Галеркина получим- следующие разрешающие уравнения МКЭ где М0 С, Kt - матрицы масс, демпфирования и жесткости соответственно.
Систему уравнений (2.41) решаем стандартной процедурой Рунге-Кутты 4 порядка. В работе [8] проведено сравнение численных решений, полученных с помощью МКР и МКЭ. Эти исследования показали, что результаты, получаемые с помощью МКР и МКЭ, практически совпадают, а предпочтение следует отдать именно МКР в силу меньших затрат машинного времени. По результатам указанных выше работ в качестве параметров разностной схемы выбраны число разбиений по длине балки п = 40 и шаг метода Рунге-Кутты по времени At = 0.00390625. Исследования поведения балок под действием знакопеременной поперечной нагрузки проведены посредством разработанного пакета программ, который позволяет определять характер колебаний балки в зависимости от управляющих параметров {q0,co}, с помощью анализа спектра мощности, построенного на основании преобразования Фурье, фазового портрета, отображения Пуанкаре, а также вейвлет - преобразования. Исследования сложных колебаний балок модели Эйлера-Бернулли, будут проведены для различных типов вейвлетов: Гаусс-1, мексиканская шляпа, Гаусс-8. Для анализа колебаний балок модели Эйлера - Бернулли (а в дальнейшем С.П.Тимошенко и Шереметьева-Пелеха) будем использовать следующие характеристики: 1)
Сигнал - изменение значения прогиба балки w(t) в зависимости от времени; 2) Спектр мощности колебательного процесса на основании преобразования Фурье (мы будем называть его Фурье-спектром); 3) Фазовый портрет системы - множество точек на фазовой плоскости {w{t),dw(t)/dt) , 5) Частотно-временной вейвлет-спектр. В ряде случае также будут привлекаться показатели Ляпунова и построение сечения Пуанкаре. Частотно-временные вейвлет-спектры будут построены с использованием следующих материнских веивлетов: веивлетов Гаусса порядка с первого по восьмой и веивлета Морле. Напомним, что вейвлету Гаусса второго порядка часто присваивают самостоятельное название -«мексиканская шляпа».
Связь контактного давления с поперечным обжатием тонкой балки
Прямой подстановкой можно убедиться в том, что соотношения (3.9) и (3.14) взаимно обратны. Из этих формул следует, что при отсутствии деформаций изгиба и растяжения срединных поверхностей балок в рассмотренных двух задачах для слоя связь между обжатием и контактным давлением отличается от винклеровой слагаемыми с производными четвертых и выше порядков, умноженными на малые коэффициенты. Даже при hll = \ (/ - характерный размер зоны контакта) первый из этих коэффициентов равен 1/720, а при контакте между балками обычно /?«:/. Это дает возможность утверждать, что винклерова модель (3.14) обладает достаточно высокой точностью. К этому выводу пришли авторы работ [102], выполнив асимптотический анализ точного решения для слоя, а так же автор работы [107], решив широкий класс контактных задач для асимметричных оболочек. При учете тангенциальных деформаций, возникающих в случае изгиба и растяжения контактирующих балок, коэффициент при А изменяется, и появляются малые дополнительные слагаемые. Так, из формулы для обжатия [ПО] в случае пластин qk = Гд + o(h2A0w) \. Для балок с учетом Аналогичные формулы получены в [111,112]. Отличаются они лишь коэффициентом К при Е / h, который во всех формулах близок к единице. Учитывая приведенные оценки, а также тот факт, что в литературе при решении контактных задач теории оболочек Кирхгофа используется винклерова связь между обжатием и контактным давлением, далее выражаем контактное давление между балкой модели Эйлера-Бернулли и штампом через разность A = w-a, где w- нормальное перемещение срединной 97 поверхности [92, 96, 102, ПО]. При решении задачи о контакте между двумя балками эта формула примет вид Нумерация балок отвечает положительному направлению нормали к поверхности балки.
Если контакт имеет место, то qk 0. Как отмечалось выше коэффициент К близок к единице. Рассмотрим расчет многослойных балок, составленных из эквидистантных слоев, связанных между собой только на краях балок и взаимодействующих односторонне. Такие системы и будем называть неспаянными балками. Конструкции, включающие в качестве элементов эти балки, широко распространены в технике. Для таких балок характерно большое количество слоев. Иногда внешние слои отличаются от внутренних толщиной и механическими свойствами, возможно наличие зазоров между слоями. Слои, как правило, проскальзывают с трением или свободно. Появление зон сцепления маловероятно, поскольку контактное давление между слоями невелико. В настоящей работе излагается теория, предназначенная для изучения именно таких балок. Условия контакта между слоями могут зависеть от координат и включать все виды несовершенного контакта. Условия спайки слоев (в нормальном направлении на отрыв, в тангенциальном - на сдвиг) не рассматриваются. Поведение слоев подчинено деформационной теории пластичности и геометрически нелинейной теории среднего изгиба Т. Кармана. Функция контактного давления исключена из числа неизвестных, как это было сделано выше. Количество уравнений описывающих данную задачу будет пропорционально количеству слоев. Рассмотрим двухслойный пакет (рис. 3.3), состоящий из балок толщиной h, (/ = 1,2, т.е. / - номер балки). Используем следующие обозначения: /г,-толщина балки; / -толщина балки в центре; w,(x,t) -прогиб балки; и,(х,/)-перемещения в срединной поверхности; Е, - модуль Юнга материала; Ь,- ширина балки; Ь01 -ширина балки в центре; t- время; е,- коэффициент демпфирования; а- длина балки; р, - удельная плотность материала; G0/-модуль сдвига; у,-коэффициент
Пуассона; е,, и аа- интенсивность деформаций и напряжений соответственно; esl и asl интенсивность деформаций и напряжений текучести соответственно; К, - объемный модуль упругости, е0/- объемной деформация; -коэффициент пропорциональности Винклера. Пусть балки занимают в пространстве R области Д =/ /2, =(/2,/2 + (5 + /) для первой и второй балки соответственно. Начало координат помещено слева в верхней балке в ее срединной линии, зазор между балками S. Ось Oz направлена вниз. Длина пакета балок равна а (рис.3.3). Материал, из которого изготовлены балки, считаем изотропным, но неоднородным, так что модули Юнга Еп сдвига G,, объемной деформации К,, коэффициент поперечной деформации у,, предел текучести asl есть функции (x,z). Далее предполагается, что физические параметры материала Et,GnKl3vn т.е. модуль Юнга, сдвига, объемной деформации и коэффициент Пуассона соответственно являются однозначными функциями точки и деформированного состояния в ней. Деформированное состояние точки будем характеризовать объемной деформацией є0/ и интенсивностью деформаций elt. Как было отмечено выше, при решении контактных задач теории балок, подчиняющихся гипотезе Эйлера-Бернулли, используется винклерова связь между обжатием и контактным давлением между двумя балками одинаковой толщины hl=h2=h и материала ЕХ=Е2-Е [107].
Вейвлет-анализ колебаний осесимметричных пологих оболочек
В таблицах 4.2 - 4.5 для различных значений параметра q0 приведены вейвлет-спектры одномерного сигнала (т.е. величины \W(t, со)\) как поверхности в трехмерном пространстве и их проекции на плоскость {t, со) в виде теневых картин, отображения Пуанкаре, спектры мощности и фазовые портреты. Приведенные в таблицах 4.2 - 4.5 теневые картины позволяют проследить изменение амплитуд коэффициентов вейвлет-преобразования на разных масштабах и во времени , а также картины линий локальных экстремумов этих поверхностей, четко выявляющие структуру анализируемого процесса. В таблицах 4.2 - 4.5 по оси абсцисс отложено время, по оси ординат — временной масштаб. Светлые области соответствуют большим, а темные -меньшим значениям плотности энергии \W(t, со)\; отрезками серого цвета на теневых картах таблиц 4.2 - 4.5 выделены области значения вейвлет-преобразования для меньших отрезков времени, которые затем приведены во второй колонке каждой из таблиц 4.2 - 4.5 в укрупненном масштабе. Проанализируем полученные результаты более подробно. В таблице 4.2 представлен случай гармонических одночастотных колебаний. На Фурье-спектре четко виден единственный максимум, отображение Пуанкаре состоит из одной точки, фазовый портрет - однооборотный цикл. Старший показатель Ляпунова (рис. 4.3) отрицателен. Таким образом, в данном случае система совершает гармонические одночастотные колебания. В данном случае на всех вейвлет-спектрах присутствует один постоянный во времени частотный максимум, но лишь вейвлет Морле выделяет этот частотный максимум достаточно четко, на остальных же вейвлет-спектрах частотный максимум имеет значительную ширину, что затрудняет точное определение частоты. В таблице 3 мы можем наблюдать более сложную картину: на Фурье-спектре присутствуют уже две частоты, отображение Пуанкаре состоит из двух точек, фазовый портрет - двухоборотный цикл. Старший Ляпуновский показатель (рис. 4.4) отрицателен. Таким образом, мы имеем дело с регулярными двухчастотными колебаниями. В данном случае преимущество вейвлета Морле становится более очевидным, т.к. только на соответствующем ему вейвлет-спектре эти две частоты различимы, остальные вейвлеты дают один широкий частотый максимум, «накрывающий» собой обе частоты. С усложнением характера колебаний (таблица 4.4) и появлением дополнительных частот в спектре (табл. 4.4) при сохранении регулярного характера колебаний (старший показатель Ляпунова не переходит в область положительных значений, рис. 4.5) только вейвлет Морле демонстрирует многочастотный характер колебаний.
Установлено, что анализ сложных колебаний гибких осесимметричных пологих оболочек при действии поперечной знакопеременной нагрузки с помощью вейвлетов Гаусс-1, Гаусс-2 («мексиканская шляпа») и Гаусс-8 дает приближенные качественные результаты и не описывает всей сложной картины колебаний. Анализ с помощью вейвлета Морле достоверно описывает сложные колебания. Показано, что вейвлет Морле в силу его высокой разрешающей способности по частотам позволяет анализировать не только регулярные, но и хаотические колебания, выявляя у последних струкруты самоподобия на разных масштабах. Вышеуказанное преимущество вейвлета Морле связано с тем, что из всех рассмотренных в работе вейвлетов именно он имеет наибольшее число нулевых моментов, что позволяет ему наиболее адекватно описываеть сложные колебания гибких пологих оболочек,. В задачах о динамическом нагружении наибольшее внимание привлекают неустановившиеся переходные процессы. Такой процесс заключается обычно в скачкообразном переходе — перескоке системы от установившегося движения одного типа к некоторому другому движению. Подобное явление особенно характерно для оболочек и носит название хлопка или прощелкивания. Хлопок оболочки сопровождается, как правило, значительными перемещениями. Изучению устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек уделяется внимание на протяжении многих десятилетий. Был предложен ряд динамических критериев потери устойчивости: А.С. Shian, Т.Т. Soong, D.S. Roth [131], Budiansky В. and Roth D. S. [132], Б.Я. Кантором [133]. В рамках направления, к которому относятся перечисленные работы, установлены важные особенности задач нелинейного динамического выпучивания цилиндрических оболочек: характерный вид зависимости прогиба от времени, влияние на прогиб оболочки скорости нагружения, амплитуды начальных несовершенств, соотношения между геометрическими параметрами оболочки. Нагрузка, приводящая к динамической потере устойчивости, определялась обычно из условия начала резкого возрастания временного коэффициента у пространственной гармоники, которая, согласно расчетам, обладает наибольшим темпом роста, либо по условию достижения этим временным коэффициентом заданной предельной величины. В данной работе для исследования динамической потери устойчивости применяются следующие характеристики: график зависимости максимального прогиба от нагрузки wmm (q0), сигнал w(t); вейвлет Морле на плоскости и в пространстве, фазовый портрет.
