Введение к работе
Актуальность темы исследования и степень ее разработанности. В тепловом проектировании основными задачами являются задачи составления тепловых моделей, в которых информация о тепловых состояниях объекта исследования заключена в исходных данных. Это приводит к постановкам задач единого класса - обратным задачам теплообмена (ОЗТ)1.
Во многих случаях непосредственно измерить изменяющиеся во времени плотности тепловых потоков и коэффициентов теплоотдачи не представляется возможным. Довольно часто оказывается недоступной для прямых измерений и температура поверхности исследуемых объектов. В то же время, имеется возможность замеров температуры в отдельных точках внутри тела. Таким образом, появляется необходимость решать граничные ОЗТ - расчетным путем определять тепловые граничные условия по данным температурных измерений в теле.
Средства и условия измерения, регистрации и расшифровки экспериментальных данных в тепловых исследованиях имеют ограниченные точностные показатели. Именно поэтому исходные данные бывают известны со сравнительно невысокой точностью и сопровождаются различными ошибками и шумами. Таким образом, требуются методы решения обратных задач, которые работают при условии ограниченной исходной информации, заданной с ошибками, с обязательным учетом погрешности входных данных.
В вопросах постановки и разработки специальных методов решения обратных и некорректных задач основополагающее место занимают работы Тихонова А.Н.2, Лаврентьева М.М.3 и Иванова В.К.4
Дальнейшее развитие этих методов связано с работами А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, а также их учеников и последователей В.Я. Арсенина, А.Л. Агеева, А.Б. Бакушинского, А.Л. Бухгейма, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, В.А. Винокурова, А.В. Гончарского, В.Б. Гласко, A.M. Денисова, Е.В. Захарова, В.И. Дмитриева, СИ. Кабанихина, М.Ю. Коку-рина, А.С. Леонова, О.А. Лисковца, И.В. Мельниковой, Л.Д. Менихеса, В.А. Морозова, А.И. Прилепко, В.Г. Романова, В.Н. Страхова, В.П. Тананы, A.M. Федотова, Г.В. Хромовой, А.В. Чечкина, А.Г. Яголы, J.N. Franklin, J. Cullum, А. Melkman, С. Micchelli и многих других математиков.
Конкретная зависимость решения некорректно поставленной задачи от погрешности задания входных данных впервые была получена в работах В.П. Тананы5. Эти исследования продолжены в настоящей работе.
В диссертации рассмотрены некоторые обратные задачи тепловой диагностики ракетных двигателей, термохимического разложения теплозащитных по-
1 Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М, 1988. 279с.
2 Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. ДАН СССР. 1943. т.39. №5. С. 195-198.
3 Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский СП. Некорректные задачи математической физики и анализа.
М, 1980. 288с.
4 Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах. Матем. сб. 1963. т.61. №2. С.211-213.
5 ТананаВ.П. Методы решения операторных уравнений. М, 1981. 160с.
крытий гиперзвуковых летательных аппаратов и непрерывной разливки стали. Указанные задачи рассматриваются на одно- и двумерных областях. Решения таких задач в соответствующих пространствах отличаются сильной неустойчивостью к малым возмущениям исходных данных, потому получение и оценивание этих приближенных решений являются важными и актуальными проблемами.
Для решения поставленных задач разработаны численные методы и впервые получены оценки погрешностей этих методов. Разработан комплекс программ «Тепловая диагностика», рассмотрены модельные примеры.
Цель и задачи работы. Цель диссертационной работы заключается в исследовании широкого класса математических моделей и связанных с ними обратных задач, возникающих в теплофизике.
Для достижения цели необходимо решить следующие задачи:
построить одно- и двумерные математические модели камеры сгорания ракетного двигателя в случае, когда можно пренебречь выгоранием внутренней стенки;
построить одномерные математические модели процесса термохимического разложения теплозащитных покрытий гиперзвуковых летательных аппаратов для случаев, когда материалы покрытий уносятся с поверхности, либо уносом материалов можно пренебречь;
построить двумерные модели процессов непрерывной разливки стали и камеры сгорания ракетного двигателя в случае, когда выгоранием внутренней стенки нельзя пренебречь;
обосновать возможность использования для решения полученных обратных задач метода интегральных преобразований;
получить достаточные условия разрешимости поставленных задач;
разработать алгоритмы численного решения полученных обратных задач теплофизики;
получить оценки найденных приближенных решений, установить связь найденных решений с погрешностью задания входных данных;
вычислить явно все основные константы, входящие в полученные оценки;
реализовать программный комплекс «Тепловая диагностика», предназначенный для численного решения и оценивания полученных решений некоторых из рассмотренных задач;
рассмотреть модельные примеры, сравнить экспериментальные оценки с теоретическими.
Научная новизна работы заключается в следующем:
-
Научная новизна разработанных моделей заключается в рассмотрении двумерных областей и уравнений теплопроводности с переменными коэффициентами при условии снятия некоторых ограничений, наложенных на параметры подобных моделей при более ранних рассмотрениях. Двумерные модели с подвижными границами рассмотрены в работе впервые.
-
Разработаны численные методы приближенного решения рассматриваемых задач на основе методов проекционной регуляризации и квазиобращения.
Получены оценки найденных приближенных решений. Причем для метода квазиобращения подобные оценки получены впервые.
3. Разработан комплекс программ для решения поставленных задач на одно- и двумерных областях на основе численного алгоритма метода квазиобращения. Численные оценки, полученные экспериментально при рассмотрении модельных примеров, согласуются с оценками, полученными теоретически.
Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты диссертации являются новыми и имеют как теоретический, так и практический характер.
Теоретическую ценность имеют оценки решений некорректно поставленных смешанных краевых задач для различных уравнений параболического типа с разного рода граничными условиями. Указанные оценки получены впервые. Кроме этого, для двумерных задач с подвижными и неподвижными границами получены достаточные условия разрешимости.
Практическую значимость имеет обоснование эффективности метода квазиобращения при решении конкретных ОЗТ по сравнению с некоторыми другими методами. Предложенный программный комплекс можно использовать для нахождения численных решений одно- и двумерных обратных задач методом квазиобращения, а также для получения оценок этого метода.
Методы исследований. Поставленные в работе задачи решались с использованием численных методов проекционной регуляризации и квазиобращения.
При решении задач использовались интегральные преобразования для приведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Возможность применения интегральных преобразований в работе строго и полностью обоснована.
Для реализации на ЭВМ мы использовали разностную аппроксимацию и сеточные методы.
Достоверность научных положений, результатов и выводов, содержащихся в диссертационной работе, обеспечена полными доказательствами всех утверждений, выдвигаемых на защиту, причем математическая строгость доказательств соответствует современному уровню.
Все теоретические результаты подтверждены экспериментально путем их сравнения с известными.
На защиту выносятся:
-
Результаты исследования математических моделей процессов, происходящих внутри камеры сгорания ракетного двигателя, процессов непрерывной разливки стали и процессов термохимического разложения теплозащитных покрытий гиперзвуковых летательных аппаратов.
-
Оценки приближенных решений поставленных обратных задач методами квазиобращения и проекционной регуляризации, полученные для таких моделей впервые.
-
Достаточные условия разрешимости двумерных обратных задач с подвижными и неподвижными границами.
4. Использование полученных результатов и предложенного метода квазиобращения для разработки и реализации программного комплекса «Тепловая диагностика», а также для проведения вычислительных экспериментов.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях и семинарах:
-
Проблемы развития приграничных территорий. - Троицк. - 2006.
-
Проблемы развития приграничных территорий. - Троицк. - 2008.
-
Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач. Молодёжная международная научная школа-конференция. - Новосибирск. -2009.
-
61-я научная конференция ЮУрГУ. Секция естественных наук. - Челябинск. - 2009.
-
XIV Всероссийская конференция «Математическое программирование и приложения». - Екатеринбург. - 2011.
-
Семинар по обратным и некорректным задачам под руководством чл.-корр. РАН В.В. Васина в Институте математики и механики УрО РАН. - 2011.
-
Семинар кафедры вычислительной математики ЧелГУ - 2010.
-
Семинар кафедры вычислительной математики ЮУрГУ - 2011.
Публикации. Основные материалы диссертационной работы опубликованы в 15 работах, в том числе 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК, 5 - в материалах и трудах конференций, 1 - свидетельство об официальной регистрации программного продукта.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа без библиографического списка содержит 180 страниц машинописного текста и библиографический список из 101 наименования.
