Введение к работе
Актуальность темы. Задачи оптимального подвижного управления процессами, которые описываются параболическими уравнениями, возникают в самых различных областях экспериментальной физики, электротехнологии и радиотехники. Это процессы взаимодействия твердых тел с концентрированными энергетическими потоками, технологический нагрев токопроводящих тел (металлических, композиционных, порошковых) в высокочастотном (ВЧ) электромагнитном поле, процессы нагрева элементов объемных интегральных схем (ОИС) СВЧ и КВЧ и др. Далее будем называть такие объекты моделирования и управления "системами с распределенными параметрами" (СРП). Предметом диссертации является исследование математических вопросов, связанных с моделированием задач оптимального подвижного управления в указанных СРП, причем управление тепловым полем рассматривается в его взаимосвязи с электромагнитным полем и полем термонапряжений. Исследуются достаточно общие и информативные модели электротеплового поля, способные охватить широкий круг моделируемых проблем в СРП. Учитываются:
пространственная многомерность СРП (3 пространственных измерения моделируемого электротеплового поля для тел простой формы (шестигранников Ламе));
нелинейности заданных функций в исходном описании начально-краевой задачи (коэффициентов, правых частей уравнений, функции, описывающих теплообмен на граничных поверхностях), причем эти нелинейности сохраняются до конца решения задачи (в алгоритме решения преобразуется лишь вид нелинейностей);
оптимизация не только функции интенсивности (средней по объему нагреваемого тела мощности внутренних источников тепла), но и пространственной формы этих источников и, соответственно, нелинейность оператора, с которым входят искомые подвижные управления в модель оптимизации;
многокритериальное постановки задачи оптимального подвижного управления и нелинейность фазовых ограничений;
неполнота знания входных данных о процессе.
Теория рассматриваемого класса задач оптимального подвижного (пространственно-временного) управления СРП, состояние которых описывается нелинейными многомерными параболическими уравнениями, уравнениями Максвелла, определяющими внутреннее тепловы-
деление, а также уравнениями термонапряжений Дюамеля-Неймана, определяющими фазовые ограничения, относятся к классу обратных краевых задач оптимизации. Поэтому исследуемые вопросы примыкают к теории обратных задач математической физики. Рассматриваемый в диссертации класс задач оптимизации можно отнести с позиций управления к классу систем управления с распределенными параметрами (СРП). Основы теории оптимизации СРП заложены в работах Алексеева В.М., Алифанова О.М., Андреева Ю.Н., Арсенина В.Я., Беллмана Р., Бутковского А.Г., Васильева Ф.П., Гласко В.Б., Дегтярева Г.Л., Дикусара В.В., Диличенского В.Н., Дубовицкого А.Я., Егорова А.И., Егорова Ю.В., Кирина Н.Е., Красовского Н.Н., Лаврентьева М.М., Лионса Ж.-Л., Ли Э., Лурье К.А., Малого С.А., Маслова В.П., Милютина А.А., Морозова В.А., Маркуса Л., Моисеева Н.Н., Орлова Ю.В., Пшеничного Б.Н., Первозванского А.А., Пустыльникова Л.М., Поляка Б.Т., Тихомирова В.И., Тихонова А.Н., Темкина А.Г., Уткина В.И., Федоренко Р.П., Чубарова Е.П., Яго-ла А.Г., Takamatsu, Root W., Woods I., Kurzhnskii A.B. и др.
Здесь следует отметить, что для СРП уже достаточно развит научный инструментарий: сделаны обобщения основных методов оптимизации динамических систем, разработанных первоначально для систем с сосредоточенными параметрами, моделями которых являются обыкновенные дифференциальные уравнения — метода моментов, принципа максимума Понтрягина, метода динамического программирования, методов Ляпунова для анализа устойчивости, методы регуляризации обратных задач. Однако основные результаты здесь апробированы для достаточно простых модельных линейных одномерных задач. Перенос результатов на нелинейные многомерные задачи требует дополнительных обоснований и исследований. Например, при подвижном воздействии даже на линейную тепловую систему проблема моментов получается нелинейной. СРП с подвижным воздействием при многомерной постановке задачи практически не исследованы.
Работы, в которых одновременно учитываются все три части исследуемой проблемы — тепловая, электромагнитная и оптимизационная — носят редкий, фрагментарный характер. К теме диссертации непосредственно из круга таких работ примыкают исследования Бутковского А.Г. и Пустыльникова Л.М. [1], Сиразетдинова Т.К. [2,3], Тихонова А.Н., Кальнера В.Д. и Гласко В.Б. [4], Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. [5], Рапопорта Э.Я. [6], Чубарова Е.П. [7], Коломейце-
вой М.Б. [8], Немкова B.C. и Демидовича В.Б. [9], Морозкина Н.Д. [10], Голичева И.И. [11], и др. Однако ни в одной из этих работ, а также в исследованиях учеников указанных руководителей научных школ применительно СРП не рассмотрена проблема целиком, т.е. с охватом тепловых, электромагнитных и оптимизационных аспектов проблемы для достаточно общих моделей (с учетом оговоренных выше факторов сложности). Подробный обзор состояния этого вопроса приведен в разделе 1.2 диссертации. Исключение составляют работы М. Гжнвачевски и С.Л. Горбаткова и их учеников [12, 13"]. Диссертация автора является логическим продолжением и развитием работ М. Гживачевски и С. А. Горбаткова.
Таким образом, уровень проработки исследуемой проблемы не соответствует ее теоретической и прикладной значимости. Цель диссертационной работы: разработать теоретические основы и конструктивные приближенные алгоритмы оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах при неполном знании входных данных. Достижение этой цели связано с решением задач:
1. Выявить специфику исследуемой проблемы для СРП и на ее
основе разработать принципы и методологию построения эффектив
ных в вычислительном отношении моделей и приближенных алго
ритмов оптимизации.
2. Разработать и обосновать теоретически декомпозиционный
алгоритм оптимизации взаимосвязанного электромагнитного и
теплового поля и провести его апробацию.
Научные положения, полученные лично автором и выносимые на защиту
1. Предложены принципы построения модели оптимизации для класса задач оптимального подвижного управления полями, описываемыми нелинейными многомерными параболическими уравнениями:
Использование в модели оптимизации таких приближенных методов решения краевых задач, которые осуществляют сглаживание локальных возмущений управляемого поля. Именно таким методом является АМИЛ, где исходное описание поля в виде дифференциальных уравнений в частных производных трансформируется далее к интегральному представлению решения по схеме метода конечных интегральных преобразований (КИП).
Адаптация приближенного аппроксимативного метода итерационной линеаризации (АМИЛ) к задачам оптимального подвижного
управления, которая позволяет решать вопросы построения оптимальных управлений иопт{і) в пространстве коэффициентов КИП, а
также обеспечивает необходимые свойства решения в пространстве
»Г(о').
Декомпозиционный принцип построения алгоритма оптимизации на основе принципа вложенных математических моделей (ВММ).
Насыщение алгоритма оптимизации аналитическими операциями (аналитическое представление решения использовано как способ плотной "упаковки" информации о тонкой структуре управляемого поля.)
-
На основе интегрального представления решения по АМИЛ предложен многоуровневый декомпозиционный алгоритм оптимального подвижного пространственно-временного управления СРП, описываемых многомерными параболическими уравнениями, взаимосвязанными с уравнениями электромагнитного поля, определяющими внутреннее тепловыделение. Впервые в данном классе моделей оптимизации учтены три пространственных измерения в условиях нелинейности заданных функций в описании краевой задачи. Впервые при оптимизации учтен реальный характер источников тепла (расчет источников тепла на ЭВМ выполнен Мельниковым В.Н. [14]), а также выполнена совместная оптимизация функции формы источников тепла и функции их интенсивности.
-
Детально исследована подзадача СіМ синтеза оптимального временного закона управления функцией интенсивности u(t). Доказана теорема 1 о релейном характере этой функции всюду, за исключением особых участков движения СРП по фазовым ограничениям. При доказательстве использовано аналитическое интегральное представление решения на основе АМИЛ и математический аппарат принципа максимума Л.С. Понтрягина для СРП.
-
Доказаны теоремы 2, Зи 4 о непрерывной зависимости коэффициентов КИП и решения нелинейной задачи теплопроводности от параметра є достижимой степени равномерного приближения к требуемому конечному состоянию Q'(x), а также непрерывной зависимости от числа интервалов управления функции йДг). Здесь
также активно "эксплуатируется" интегральная форма представления решения и математический аппарат метода моментов. Теоремы 2, 3 и 4 служат основанием для декомпонирующих итераций расщепления общей задачи оптимизации на подзадачи сф) и Cr[w).
-- 5. Доказаны теоремы"5 и 6 об устойчивости решения параболического уравнения, получаемого по АМИЛ, при возмущении начального состояния. Здесь также используется интегральное представление решения, которое позволило построить интегральные квадратичные формы и применить метод Ляпунова для СРП.
6. Исследована управляемость СРП с использованием интегрального представления решения по АМИЛ и метода моментов при трехмерной постановке задачи.
Новизна указанных положений обоснована тем, что до исследований автора трехмерная нелинейная задача оптимального управления тепловыми полями для подвижных источников воздействия не была решена. Не были разработаны и соответствующие математические вопросы алгоритма решения данной задачи оптимизации.
Достоверность положений обоснована корректным математическим анализом, а также цифровыми экспериментами при численной реализации модели оптимизации.
Теоретическая ценность положений состоит в том, что указан путь к построению эффективных в вычислительном отношении достаточно общих моделей оптимального подвижного управления. Научная новизна работы в целом
На основе интегральной формы представления решения начально-краевой задачи, описываемой трехмерным нелинейным параболическим уравнением, на базе АМИЛ с аппроксимацией нелинейного решения рядами по собственным функциям специально построенного линейного самосопряженного оператора предложен, обоснован математически и апробирован новый декомпозиционный алгоритм решения задачи оптимального подвижного пространственно-временного управления.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на семинаре Института математического моделирования РАН (г. Москва), семинаре Радомского политехнического института (г. Радом, Польша) и на заседании научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. А.С. Попова (г. Москва). Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ. Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 170 страниц сквозной нумерации, из
которых 140 страниц основного текста, 30 страниц рисунков, таблиц, библиографии и оглавления. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении приведено обоснование актуальности решаемой научной задачи, сформулирована цель работы и решаемые при ее реализации подзадачи, сформулирована и обоснована новизна работы в целом, а также новизна, достоверность и теоретическая ценность научных положений, полученных лично авторов и выносимых на защиту.
В главе 1 в краткой форме обозначены основные предложения автора по построению модели оптимизации и алгоритму решения задачи оптимального управления. В разделе 1.1 указаны факторы общности рассматриваемой модели оптимизации: многомерность и нелинейность краевой задачи, нелинейность модели по искомым пространственно-временным подвижным управлениям, многокритериальный (векторный) характер рассматриваемой задачи оптимизации, учет фактора неполноты знания входных данных на всех этапах построения модели и решения задачи оптимизации. Отмечается, что учет в модели оптимизации указанных факторов общности обеспечивает широту охвата различных прикладных проблем управления нагревом металла в электромагнитном поле.
В разделе 1.2 приведен обзор по теме исследования. Отмечено, что АМИЛ, в отличие от известных работ, позволяет получить интегральную форму представления решения нелинейной задачи для параболического уравнения и тем самым создать предпосылки использования хорошо разработанного математического аппарата теории управления.
В разделе КЗ кратко сформулированы новые идеи и принципы повышения вычислительной эффективности модели оптимизации (см. положения, выносимые на защиту).
В главе 2 приведено исходное математическое описание подвижных управлений и модели оптимизации в виде нелинейных уравнений в частных производных для полей теплового, электромагнитного и термонапряжений, а также даны классификации постановок задач подвижного управления.
Используется следующее описание подвижных пространственно-временных управлений [1]:
Hv, і) = І и, Mv, [-v.'.v - U ШМ Г, І {Q)\ (1)
где /= і, N — номер временного интервала управления; «(/) — функция интенсивности источников подвижного воздействия; у/Д-] — функция пространственной формы источников па j-м интервале управления; в(() — вектор параметров, задающих закон вращательного движения источников; p(t) — вектор параметров формы источников, которыми конструктор может распорядиться при проектировании СРП, т.е. вектор "активных" управляющих параметров; ^(q) — вектор "пассивных" параметров, влияющих на форму \у[-] за счет температурной зависимости электрофизических параметров нагреваемого тела и, следовательно, изменения глубины проникновения тока.
Модель взаимосвязанного электромагнитного и теплового полей задается уравнениями Максвелла и Фурье:
rot Hs = Ss + ps' Ёс T s; rot Es=- — \ div В = 0; div D = рэ;
jt{cp{Q)-pT{Q)-Q) = div [a(q)vq}+F(x,,), (3)
.\- = (.x,,A',,.\-3)eQc3; /є[0,/"]; П'=йх[о,/*],
где Q — объем нагреваемого тела; 8 — плотность электрического тока; рт— плотность тела; р— удельное электросопротивление; F{x, і)
удельная объемная плотность джоулева тепла (функция вида (1)); S
номер подобластей кусочной среды; индекс "ст" означает стороннее заданное возбуждающее поле; рэ — объемная плотность электрических зарядов; CP(Q), А(0 — нелинейные функции удельной теплоемкости при постоянном давлении и коэффициент теплопроводности; Ё,Й — напряженности электрического и магнитного полей.
Использованы стандартные граничные условия для уравнений Максвелла [11]. Граничные условия для уравнений Фурье учитывают нелинейный теплообмен теплопроводностью, конвекцией и лучеиспусканием:
4т=-*з{<2р(2*/ЬІгш =4Q){Qs -Qc) + en(T)o(Ql -<2с)> *єгу (4)
где qT — тепловой поток; a(Q) — коэффициент теплообмена теплопроводностью и конвекцией; Qc — температура окружающей среды, К; Qn
— температура поверхности, воспринимающей лучистый поток, К; євг[0) = еі(0)і(0)<Рц — коэффициент взаимной облученности; 0 = 5,16-10^ Вт/м1-К* .
Математическая модель термонапряжений заимствована из [10] в виде:
і і
(1-4)0(1, т)-(9+1 + ЗГ(9-1)){|'0(^Т)^ + 6Г(?-1)| &{1 т)с/|<с,;
о о
І I
-(1-2)е(0,т)-(9+1-ЗГ(9~1))|^в^т)^ + 6Г(д-1)|^в(|,г)^<Сг.
о о
o^(e) = cp+rf,e, <т;=с2+гв. (5)
Здесь обозначено: f=r/R; 6 = {Q{r,t)-Qs)P; т = аі/яг; o'r=(l-v)o,,/E; a'c =(l-v)oc/E\ ol2=(l-v)o01/E; Q6—базисная температура; o'c, a'f —
пределы прочности на сжатие и растяжение; Г = 0 для жесткого защемления краев нагреваемой пластины; Г = 1 для свободных от поворота краев; q = 1 для цилиндра; q - 0 — для пластины; Е— модуль Юнга; v — число Пуассона; а — коэффициент температуропроводности; Р — коэффициент линейного расширения.
Задача оптимального управления ставится следующим образом: найти оптимальные управления Fornix, t) для СРП, описываемой (1) — (5), чтобы перевести систему из заданного начального состояния Q(x, 0) = Qo(x) в некоторую є-окрестность заданного конечного состояния Q\x):
/ = max \Q(x,r)-Q-(xi
по экстремальной траектории так, чтобы доставлялся минимум обобщенному функционалу цели
Ф = ф[фДґ(хД{2(х.').е(Л,|]-»тіп Ф; (7)
при ограничениях на управления
0
на частные критерии оптимизации
--0v<0", v = 1,-/:,- (9)
а также при нелинейных фазовых ограничениях:
^,(')<
где Тшах, Тдоп — максимальная и допустимая температуры; а„ш и адоп — максимальные и допустимые термонапряжения. Данную задачу оптимального управления будем называть задачей перевода типа I. Теория, развиваемая в работе, позволяет решать также задачи типа II (финитные) и задачи III оптимального слежения.
В главе 3 описан основной аналитический инструмент получения интегрального представления решения — АМИЛ, идея которого основана на теории возмущения операторов, а также сглаживающих свойствах оператора обращения линеаризованных краевых задач по отношению к приближаемым нелинейным функциям. Исходный нелинейный параболический оператор AQ(x, /) представляется через специально построенный линейный оператор BQ и его возмущения RQ:
AQ(x,t) = BQ(x,t) + RQ(x,t) = F(x,t)\
BQ = h„[dQ{x,t)ldi\- l{q(x,i)); L = V2, /,„ > 0. (12)
Организуется итерационный процесс линеаризации уравнения и граничных условий:
QM(x,t)^B-'[R(Q{"-"(x,t)),F{x,t)\ n = 0, 1, ... (13)
с аппроксимацией решения нелинейной задачи собственными функциями линейного оператора L. Приведем конечный результат относительно переменной преобразования Кирхгофа
а
Ф^\х,у,г,т) = Щ±Ф^(р,,х)к{Рк,х). y = UV. (15)
где ф]"'(а,г) — коэффициенты КИП; {рк) —собственные числа; К(Рь х) — собственные функции оператора L.
На рис. 2 и 3 приведены в качестве примера числовые оценки по проверке адекватности модели (15) для случая индукционного нагрева прямоугольного парамагнитного тела (рис. 1). Исходные данные соответствуют [11]. Трехмерная функция источников тепла взята из [12].
Рис. 1. Расчетная схема индукционной системы: 1 -магнитопровод; 2 -индукционная обмотка; 3 - нагреваемое тело; 4 - теплоизоляция.
Рис. 2. К оценке погрешностей АМИЛ: а - зависимость невязки 8к = max \ О'*1 (х, у, z,t) - - Qik~{) (х, у, z,t)] / Qa> (х, у, г,т) от числа членов
(»..у,.-)еа.|б10.тТ
ряда к для т=0,2884 (1) и 0,5769 (2) и при усечении рядов в решении;
- зависимость невязки 5n = max t\QM(x,y,z,z)-
(x,y.z>EQ,te[0,T*]
'(x,y,:,i)]lд^(х,у,г,т)дпя АМИЛ от номера итераций п
Рис. 3. Сравнение нелинейного (1) и линейного (2) решений с экспериментальным распределением температуры (3)
Приведенные данные свидетельствуют об информативности модели электротеплового поля для целей оптимизации.
Глава 4 является в работе центральной. Здесь предложен новый декомпозиционный алгоритм решения описанных в главе 2 задач оптимального подвижного управления типа I, II и III. Для этого задача расщепляется на две подзадачи С„и) и C^w] соответственно оптимизации функций интенсивности u{t) и пространственной формы у/[-] в (1).
Решения обеих подзадач сшиваются итерационно. Для решения подзадачи С„(„ использована интегральная форма представления
решения (15) и математический аппарат принципа максимума [4] в пространстве коэффициентов КИП {Ф{"]{рк,т)}. Подзадача Сцт(]
ставится как параметрическая многокритериальная и решается численно с помощью модифицированного метода ЛПх -поиска И.М. Соболя — Р.Б. Статникова. Идея модификации, предложенная автором, состоит в двухэтапном алгоритме дальнего и ближнего поиска. При дальнем поиске используется "грубая" субмодель в виде уравнений регрессии либо нейросетевая модель, аппроксимирующие связи в СРП между функционалами качества [Фу] и функциями ограничений /, 0,^(0,1^,(/), с одной стороны, и вектором управляющих параметров Uv ={p(t),^j(Q,w)) с другой стороны. ЛПх -поиск по
субмодели обеспечивает быстрое попадание в некоторую окрестность глобального оптимума даже в условиях овражной поисковой ситуации.
В процедуре ближнего поиска используется "точная" модель (6) — (15) не подвергнутая операции аппроксимации. Здесь использован численный метод поиска (чистый ЛПХ -поиск).
Сходимость решение подзадач С„(„ и C^xl] имеет прозрачный
физический смысл: каждое очередное получаемое решение подзадач делает систему более управляемой и, соответственно, углубляет экстремум.
В качестве математического обоснования отдельных процедур алгоритма оптимизации доказаны следующие теоремы:
Теорема 1. Пусть в пространственно-временной области Q' = ix[o,t') задана многомерная нелинейная краевая задача (3), (4) и
нелинейные заданные функции (коэффициенты) уравнения {а„,{0)}єС2{о), 6є/=[0тіп>2п,.*]. которые за пределами интервала I
продолжены с помощью оператора срезки [9]; граничная функция fs{Q)=[dQ/dri^rs — ограниченная непрерывная вместе со своими
вторыми производными функция своих аргументов, а правая часть уравнения (3) F(x, t) — измеримая функция из L2(G), имеющая конечное число разрывов первого рода в Я.'. Пусть существует обобщенное решение начально-краевой задачи (3), (4) в пространстве К2'(П'), получаемое по АМИЛ, для которого решается подзадача С,,,,, оптимального быстродействия fo„r = min t'(e",t<(t)) с ограничениями (6), (8), (9) — (11) при фиксированной функции источников і^М в (1), причем нелинейные фазовые ограничения (10) и (11) активизируются по очереди.
Тогда оптимальное управление uonT(t) на участках, свободных от всех фазовых ограничений, есть релейная функция вида
где Щ — переключающая функция (часть понтрягиана, не зависящая от фазовых координат); S — номер момента переключения.
Теорема позволяет параметризировать подзадачу быстродействия и обобщает известную теорему из [4] на случай нелинейной многомерной краевой задачи, решаемой по АМИЛ. Доказательство теоремы 1 сделано на основе принципа максимума.
Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и на каждом шаге итераций по АМИЛ в (15) іьт(?) — коэффициенты разложения
решения по схеме КИП и г„„„ (г) є L2 (Q.) с нормой ||r|ti =
E--L
Пусть
в рассматриваемой задаче оптимального быстродействия существует оптимальное управление йопт(і): е = 0 , где г0 — допустимая погрешность равномерного приближения к заданному конечному состоянию Ф (а). Тогда пересечение с(е0)пф((^п(е)) содержит единственную оптимальную точку z„(0) = ZOTr, где G(0) — множество допустимых состояний с погрешностью е0, а ,ф(С,()) — множество конечных состояний, достижимых за время ^|П при переводе СРП из фиксированной начальной точки Ф0(*)зО в заданное состояние Ф (х).
Теорема 3. Пусть выполнены условия теорем 1 и 2, а погрешность приближения к требуемому состоянию Ф (х) удовлетворяет условию |e-0|<5t, St>0 и расстояние между соответствующими элементами Pl\z{e)-Z„)< ті, г)>0. Тогда имеет место непрерывная зависимость
коэффициентов разложения г*„„,(т), k, n, m = 1, 2, ... от параметра є, при котором оптимально управление йопт(і) существует.
Теорема 4. Пусть выполнены все условия теорем 1, 2, 3 и в области й' с Е' решение начально-краевой задачи представлено разложением (15) причем в формуле подвижного управления (1) функция интенсивности |»(/)|є[0;\\ vte[o,t'], а нормированная функция
формы vr[x,Pj,^] — дважды непрерывно дифференцируемая по своим
аргументам функция на интервалах своей непрерывности в Q'. Тогда справедливо утверждение: погрешность приближения к требуемому температурному распределению Eg не может быть меньше некоторых констант (предельных погрешностей) eJJ', зависящих от количества интервалов N непрерывности функции й(<): 0 > ,'„*' = inf max |ф(.у, / ) - Ф" (л-)| > О,
є^ЕЇЇ >.".,'/ (17)
Теоремы 2, 3 и 4 служат теоретическим основанием невозрастания погрешности Eq при итерировании подзадач Ст и Crl . и,
следовательно, состоятельности общей задачи оптимального управления в совокупности с очевидным физическим свойством СРП — невозрастанием погрешности Єо при оптимизации функции пространственной формы уг[-]. Последняя увеличивает управляемость СРП.
Теоремы 2, 3 и 4 доказаны с использованием математического аппарата метода моментов [1,4].
Теорема 5. Пусть в К,'(П') решение нелинейной многомерной
начально-краевой задачи (3), (4) представлено разложением (15), получаемым по АМИЛ. Пусть возмущено начальное состояние процесса Ф0(х), а возмущение коэффициентов, правых части и граничных условий отсутствует. Пусть все собственные значения спектральной задачи Штурма-Лиувилля для оператора L в (12) являются вещественными положительными числами и удовлетворяют условию р4>>0. Тогда решение возмущенного уравнения теплопроводности (р
г лЯ
(х, t) асимптотически устойчиво по мере p = p(r) = U(p2(x,T))dQ ;
Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 5 и дополнительно принято, что функция правой части уравнения теплопроводности, аппроксимированная по схеме АМИЛ, возмущена: Aff('"')(x,f)'t0, где ^'""''(х,*) — ограниченная непрерывная в Q' и далее продолженная в виде оператора срезки функция. Тогда нелинейный возмущенный процесс (р(х, і) асимптотически устойчив по мере р.
Теоремы 5 и 6 отражают концепцию неполноты знания входных данных. Теоремы доказаны с использованием математического аппарата функций Ляпунова [2].
С использованием метода моментов и решения по АМИЛ в условиях теоремы 1 получено также утверждение об управляемости СРП по критерию равномерного приближения к заданному температурному конечному состоянию Q (х, і). Показано, что рассматриваемая СРП имеет ограниченную управляемость.
В главе 5 в качестве примера приведены результаты апробации предложенного декомпозиционного метода оптимизации для индукционной системы рис. 1. Оптимизировались параметры функции интенсивности uj(t): уровни мощности, моменты переключения [tj] и
длительности интервалов управления {Дг,}, j = \,N, а также параметры экспоненциальных функций на участках движения системы по ограничениям <тт„(<)<<тЛ0„(Є) и Гт„(0^Гдол(е). Взаимосвязанно с u(t) оптимизировалась функция формы у/[-] по пяти управляющим параметрам (см.рис.1): *і=(/<ю7/4 хг={Ь0ТГ1Ьл\ х,=(Ь„/Ь), х4=(',М *5=(2'Л-и) хь=(&Ь0ТГ/Ьл).
Все эти параметры формируют степень ослабления поля в зоне перегрева тела (зона трехгранного угла).
В подзадаче С„(„ принято в качестве критерия оптимизации
/V
общее время нагрева /* = Д(,, а в подзадаче С9М в качестве функции цели принята линейная свертка частных критериев оптимизации
<р = Хс.ф»; с, =1; с„>0;
^Qm„-єw
e(N) '
Ф,=1/г)э; Ф2=П-соз р„); Ф, =
Д2т.»=тах |e(^.'")-Q'(4 VxgQ. (18)
Здесь Ф1 = т)э — электрический КПД индукционной системы; cos <рп — естественный коэффициент мощности; dN> — допустимая погрешность равномерного приближения к требуемому состоянию Q\x) (в примере Q\x) = const = 580 С; iN> = 40 С); Uma = 2,5 МВт. Приняты следующие ограничения на критерии оптимизации: т]э > 0,46; cos ср„ > 0,11; I ДТ - 40 С] < 3 С. Фазовые ограничения: Ттах < 600 С; КЛ')-^„„(Г)|К„„(Г)<є, V/e[0,r*l = 7%.
При решении подзадачи оптимизации функции формы с (ї) по
"уравнениям проектирования" генерировалось достаточно большое число пробных точек равномерно распределенных 5-мерных ЛПх-последовательностей (2000 точек). В области D, где выполняются все эти ограничения, оказалось 16 точек. Из этих точек, как из локальных центров, организовывался градиентный поиск квазиглобального экстремума, который был проверен и уточнен возвратом от приближенных уравнений проектирования к "точной" модели.
Результаты оптимизации: tx = 6 мин; «, = «„,„ = 1; t2 = 10 мин; и2 = 0;
/і = 20 мин; й3=1; /4=/'=62 мин; ^=0,24 + 3,282-^^=/^//^/^,=2,5
МВт; ?r=73,3 мин; йг=0,05; ('осл/а) = >8715; (fcu7r/6,,) = 6,4;
{Ъл [Ь] = 0,2286; (/„/а) = 0,79; {ll/Lt) = 0,913; [ьЬотг/Ь„) = 0,32.
Значение критериев качества и параметров состояния в точке оптимума: ДТ,.т„ =20 С; cos <р„ =0,13;^ =0,51;Тт„ =580 Си' = 73,3 мин.
Распределение температуры вдоль узкой грани в оптимальном режиме в конце нагрева показано на рис. 4.
Таким образом, данные цифровых экспериментов подтвердили эффективность предложенного алгоритма оптимизации.
Рис.4. Расчетные эпюры температуры по широкой грани (у = 1) (вариант t*=75MHH)
