Введение к работе
Актуальность темы. Разработка алгоритмов статистического моделирования в последние годы имеет важное значение в связи с их физической наглядностью и возможностью их простого распараллеливания. Наиболее часто статистические методы используются при решении задач, в основе которых лежат вероятностные модели, связанные с марковскими цепями. Это в полной мере относится к задачам теории кинетических уравнений, которые описывают эволюцию по времени функции распределения молекул или других объектов.
Настоящая диссертация посвящена разработке весовых модификаций статистических алгоритмов для оценки функционалов от решений пространственно-однородных кинетических уравнений Больцмана и Смолуховского, которые описывают широкие классы процессов релаксации разреженного газа и коагуляции соответственно. Несмотря на то, что первоначально уравнения Больцмана и Смолуховского были записаны для специальных систем, область их приложений оказалась весьма обширной и аналоги этих уравнений используются во многих областях науки.
Способы вывода уравнений Больцмана и Смолуховского, а также их структура очень близки, поэтому математические задачи для этих уравнений часто аналогичны по своей сложности. В настоящей диссертации оказалось продуктивным на основе единого похода разрабатывать весовые статистические алгоритмы для решения нелинейных уравнений Больцмана и Смолуховского. Этот подход заключается в сведении нелинейного кинетического уравнения к интегральному уравнению второго рода с ядром, содержащем сингулярности в виде сомножителей. Это позволяет распространить хорошо разработанную теорию весовых методов Монте-Карло на рассматриваемый класс задач. Более того, это даёт возможность оценивать параметрические производные от решения, что особенно важно при численном исследовании влияния различных параметров на решение нелинейных кинетических уравнений. Ещё одно преимущество использования интегральных уравнений второго рода — возможность построения эффективных весовых модификаций статистического моделирования. В частности, при использовании соответствующей функции ценности получается весовая оценка с нулевой дисперсией. На практике осуществляется приближённое "ценностное" моделирование, в котором для каждого элементарного перехода по-
следовательно используются приближения к соответствующим "частичным" функциям ценности.
Основные цели работы.
Разработка новых эффективных весовых модификаций алгоритмов моделирования эволюции ансамблей взаимодействующих частиц для оценки функционалов от решения пространственно-однородных кинетических уравнений Больцмана и Смолуховского, в том числе с использованием приближений к функциям ценности для моделирования элементарных переходов.
Изучение параметрической зависимости численного решения уравнения Больцмана от начального и временного параметров.
Численная проверка зависимости погрешности вычислительных алгоритмов решения кинетических уравнений от числа частиц в моделируемом ансамбле.
Методы исследования базируются на теории кинетических уравнений, теории интегральных уравнений второго рода и теории весовых методов Монте-Карло.
Научная новизна и практическая значимость работы. Разработаны новые весовые алгоритмы метода Монте-Карло для оценки функционалов от решений кинетических уравнений Больцмана и Смолуховского. Разработанные алгоритмы могут быть использованы для численного решения реальных задач, связанных с динамикой ансамблей взаимодействующих частиц.
Личный вклад соискателя заключается в разработке новых алгоритмов численной оценки функционалов от решений кинетических уравнений, создании на их основе программных алгоритмов и проведении численных экспериментов. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно или при непосредственном участии автора.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре Отдела статистического моделирования в физике ИВМиМГ СО РАН (2003 - 2008 гг.), на семинаре Отдела математических задач геофизики ИВМиМГ СО РАН (2008 г.), а также на следующих конференциях:
Конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (2004-2006, 2008 гг.)
Межвузовская научная студенческая конференция "Интеллектуальный потенциал Сибири" (г. Новосибирск, 2004 г.)
XLII Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс" (г. Новосибирск, 2004 г.)
Пятый международный симпозиум по моделированию Simulation (г. Санкт-Петербург, 2005 г.)
Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2007 (г. Новосибирск, 2007 г.)
Международная Конференция по Математическим Методам в Геофизике ММГ-2008 (г. Новосибирск, 2008 г.)
Публикации. По тематике диссертации автором опубликовано 8 работ, среди которых 5 работ в изданиях из списка ВАК [1-5], в том числе одна работа без соавторов. Список опубликованных работ приведен в конце автореферата.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 103 страницах, включает библиографический список из 42 наименований работ, 6 рисунков, 6 таблиц.
