Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Математический аппарат и методология исследования 14
1.1. Основные определения 14
1.2. Математические модели динамики процентных ставок 21
1.3. Методология оценки производных финансовых инструментое 23
1.4. Численные методы в применении к задаче OIJCHKU опционов „27
ГЛАВА 2. Оценка опциона на спрэд между двумя форвардными процентными ставками 28
2.1. Описание модели долгового рынка 28
2.2, Вывод цены спрэд-ощиоиа 34
23. Численный пример 37
2.4. Приложения 44
ГЛАВА 3. Опредение ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения 50
3.1. Описание модели кредитного рынка 50
3.2. Система уравнений для определения С(0) 52
3.3. Аналитические выражения для С(0) для некоторых частных случаев 59
3.4. Алгоритм численного решения основной системы 61
3.5. Степенные модели волатильности 62
3.6. Оценка параметров модели и численный пример 65
3.7. Альтернативный способ вывода системы уравнений по определению ставки по кредиту с возможностью досрочного погашения 69
Заключение 73
Список литературы
- Математические модели динамики процентных ставок
- Методология оценки производных финансовых инструментое
- Вывод цены спрэд-ощиоиа
- Аналитические выражения для С(0) для некоторых частных случаев
Введение к работе
Актуальность исследования 3
Постановка задачи 5
История вопроса и новизна полученных результатов 9
Математические модели динамики процентных ставок
Теперь настало время поговорить непосредственно о способах моделирования динамики процентных ставок. Все модели процентных ставок можно разделить на две категории: 1) модели равновесия (equilibrium models); 2) безарбитражные модели (no-arbitrage models).
Модели равновесия представляют собой модели, в которых краеугольным камнем является формула, описывающая динамику спот-ставки r(t). При этом динамика R(t,T) с помощью специальной техники восстанавливается из закона изменения r(t). Как правило, закон изменения мгновенной процентной ставки, в свою очередь, выбирается таким образом, чтобы обеспечивалось равновесие в более общей макроэкономической модели, и отсюда - название указанного подхода. В общем виде модели равновесия имеют вид стохастического уравнения Ито: /-(0) = . где { (ОЬ о " независимые в совокупности и от г0 винеровские процессы, N - показатель числа учитываемых случайных факторов, а функции тДг,/) и m{r,t) называются функциями волатильности и функцией дрейфа соответственно. Подразумевается при этом, что у соответствующего уравнения Ито существует единственное сильное решение. Примерами таких моделей являются: - модель Rendleman-Bartter dr - prut + ardW, r(0) - r0; - модель Vasicek dr = a{b-r)dt + rdW, r(0) = ro; - модель Cox-Ingersoll-Rubinstein dr = a(b-r)dt + c4rdW, r(0) = r (здесь везде W - одномерный винеровский процесс).
Основным недостатком таких моделей является тот факт, что параметры моделей нельзя «подогнать» таким образом, чтобы теоретическая R(07T) совпадала с фактической. Эта проблема известна в литературе (см., например, [22]) как initial interest rate curve fitting problem. К преимуществам моделей равновесия процентных ставок является сравнительно небольшое число параметров, задающих модель.
Кроме того, в ряде случаев такие модели являются если не единственно возможным, то, по крайней мере, наиболее естественным инструментом анализа долговых рынков. Например, при исследовании рынка кредитов с возможностью досрочного погашения (чему посвящена глава 1 настоящей работы), мы делаем предположение, что на рынке обращаются только долговые инструменты с бесконечным сроком действия, счет денежного рынка и кредиты с возможностью досрочного погашения, при этом долговые инструменты с предписанными сроками погашения отсутствуют.
Безарбитражные модели динамики процентных ставок сразу основываются на предположении о виде закона изменения R(t,T), при этом начальная кривая TSIR Я(0,Г) выступает в качестве исходных данных модели. Понятно, что в случае безарбитражных моделей initial interest rate curve fitting problem не может возникнуть в сввзяи со способом построения модели. Расплачиваться за это приходится более сложной оценкой параметров модели. Наиболее известным примером no-arbitrage model является модель HJM, подробное описание которой будет дано в главе 2.
Выше были описаны методы моделирования динамики базовых активов долгового рынка - стоимостей кредитных инструментов, а также таких неотъемлемых показателей рынка, как значений процентных ставок. Опишем методику определения стоимости производных финансовых инструментов, т.е. финансовых инструментов, стоимость которых зависит от значений базовых активов. Однако для начала нам необходимо определить стоимость (цену), а точнее справедливую стоимость производного финансового инструмента.
Прежде всего, определим понятие мартингальпой меры (см. [26]). Мера Q на (Q,3,3r), эквивалентная р9 называется мартингальной, если вектор цен дисконтированных активов (z t)} , является мартингалом относительно Q.
Методология оценки производных финансовых инструментое
Численные методы при расчете опционов могут использоваться в следующих случаях:
1) при получении цены опциона при известных параметрах модели динамики процентных ставок при отсутствии аналитического решения, что представляет собой наиболее часто встречающуюся ситуацию;
2) при получении количественных оценок параметров математической модели динамики процентных ставок на основе статистических данных долгового рынка.
При получении цены опциона при известных параметрах (самого опциона и модели динамики процентных ставок) необходимость применения численных методов возникает, когда аналитическое решение соответствующей задачи получить не удается. В этом, случае для решения задачи вычисления стоимости опциона мы вынуждены либо применять метод Монте-Карло в вычислению соответствующего интеграла, либо сводить задачу к дифференциальному уравнению (обыкновенному дифференциальному уравнению или уравнению с частными производными) и затем применять численные методы для решения полученного уравнения.
Проверка адекватности модели рынка реальным данным долгового рынка производится в случае необходимости применения на практике получаемых значений для стоимости исследуемых финансовых инструментов. При этом может использоваться широкий спектр статистических и эконометрических методов и подходов (например, метод наименьших квадратов и пр.).
Мы рассматриваем TV-факторную модель HJM (ниже приводится ее полное описание). Рассматриваемый временной отрезок - [0,г].
Как и прежде (см. Главу 1), через B(t,T) обозначим цену в момент t бескупонной облигации или с номиналом 1 и погашением в момент времени Т (т.е. B(T,T)=J почти наверное). Множество {й(гэ7)}назовем долговым рынком или рынком облигаций. Пусть 7є(0,г). Положим, что —lnB(t,T) существует для всех / ВТ из (Од). Обозначим F(tfT) - значение в момент / мгновенной форвардной процентной ставки в момент Т: дТ Отсюда B(t,T) = cxp\-\F(ttv)dv и5 как следствие, условие В(Т,Т)-1 автоматически выполняется. Будем считать, что F(t, Т) для любого Т удовлетворяют следующему случайному процессу в R1: F(tJ)[_Q=F(Q,T) где If, ,..., WN- N независимых в совокупности и от F(Q,T) винеровских процессов и F(0J):Rl - М.\ mF(tJ):R2 - R\ cr rjrR2 - М -детерминированные функции. Отсюда: F(t,Т) = F(0, Т) + \mF(s,T)ds + \a F(s, T)dWt(s). 0 = 0 Спот-ставка в момент времени t r{t)\=F(tyt). Назовем счетом і \r(v)dv о . Как и указывалось в денежного рынка величину Af(0:=exp главе 1, будем считать, что инвестор в любой момент времени может приобретать M(t). Легко видеть, что имеет место О =1 о Нормализованная (дисконтированная) цена облигации Z(t,T) := B(t,T)/M(t), {Z(i,T}} - нормализованный рынок облигаций. Динамика B(t,T) и Z(t,T). Имеем /-і dZ(t,Т)IZ(t, Т) = mz(t, T)dt + X т в(t, T)dW,, где &B{tJ) = -\aF\uv)dv mz{tJ) -\mF{t7v)dv j aJ{tJ)K Мартингальное представление и оценка Г-исков в рамках модели. Будем считать, что параметры описанной модели удовлетворяют следующим условиям. Условие 1- vrG[0,r] выполняются неравенства г
Вывод цены спрэд-ощиоиа
.Подставляя указанные параметры в (2.2) с учетом (2.3), (2.4), (2.5), (2.6), получаем значение стоимости спрэд-опциона в размере 0.02879 у.е. Под у.е. (условной единицей) в данном случае подразумевается любая денежная величина, которая дополнительно устанавливается в договоре купли-продажи опциона и соответствует сумме, выплачиваемой в момент исполнения опциона на каждый процент величины (5(0) - К) .
Экономическая интерпретация данного результата следующая. В случае, если величина спрэда S(T0,T T FiT T -FiT ) в момент времени Т0 превышает уровень 0.05879 (это сумма стоимости опциона P(t0) и цены исполнения опциона К), то покупатель опциона зарабатывает положительную прибыль, в противном случае, величина, полученная от реализации опциона (если такое вообще происходит) не покрывает расходов, связанных с приобретением опциона.
Приведем также результаты расчетов зависимости стоимости опциона от отдельных параметров модели долгового рынка и условий опционного контракта. При построении всех графиках использовалось, что TQ =Tt = 0.25, Г3=0.5. На рис. 2.1 продемонстрирована зависимость цены опциона от коэффициента волатильности ст, при следующих параметрах: X = 0.0276, К = 0.03, S(0) = 0.02.
Ныжоды, Как можно йидегь ш щжведе ККЬЕХ (ЇЬЕШІЄ графиков, дена опциона доложительным образом ткснт от коэффициента шшіт&яьносга а-, » качлдь-зого зиачєїздя ве-шчш-ы спр: да .между :;а&исїіт от параметра рассмотренной модели процентных стаеок Я и цены исполнения опциона К. Указанная зависимость может быть легко обоснована. Действительно, чем выше коэффициент волатильности модели, тем выше вероятность, что спрэд превысит цену исполнения, и выше ожидаемый доход владельца опциона. Чем выше величина (S(0)-K), тем выше ожидаемый доход держателя опциона. Это объясняет соответствующую зависимость цены спрэд-опциона от параметров о-,, 5(0) и К.
Наиболее интересной является зависимость цены опциона от показателя Я. Чем выше Л, тем ниже волатильность спрэда и тем ниже, соответственно, цена рассматриваемого опциона.
Приложение 1. Вывод импликации «Отсутствие арбитража =3- Стандартное условие теории финансов». Покажем, почему стандартное условие финансов 5 является необходимым условием отсутствия арбитражных возможностей на рассматриваемом рынке. Будем считать при этом, что условия типичности 1-4 выполняются.
Продемонстрируем сначала идею доказательства для рынка с N = \. Фактически, нужно доказать, что если арбитража нет, то существует функция y{t), такая что УГ выполняется: Отметим, что выполнение условия 4 в данном случае означает, 4TOaB(t,T) 0,VT.
Зафиксируем VT,S и рассмотрим самофинансируемый портфель П(0 из двух облигаций - B(t,T) и B{t,S)- с весами Яг =—" и Xs = а соответственно, т.е. n(t) = ZTB(t,T) + XsB(t,S). B(t,S) Тогда динамика стоимости портфеля описывается уравнением: гіП(0 = ATdB(t,T) + Л5еІВ(і, S) = = {-{r(t) + mz(tJ))(TB(t,S) + {r(t) + mz(t,S))aB(t,T)}dt-Y + {-aB(t,S)aB(t,T) + jB(t,S)aB(t,T}dW = = {-(r{t) + mz(tJ))cTB{t,S) + (r{t) + mz{t,S))cjB{tJ)}dt.
Как можно видеть, в уравнении динамики данного портфеля отсутствует стохастическая составляющая. Поэтому прирост стоимости этого портфеля должен составлять r(t), в противном случае на рынке будут существовать возможности для арбитража (если дрейф портфеля меньше r(t), то арбитражем будет стратегия открытия короткой позиции по портфелю при одновременном открытии длинной позиции по счету денежного рынка, если дрейф больше величины безрисковой процентной ставки, то арбитражем будет обратная стратегия). Поэтому -(f/)+I«z( Л гЛ s)+(K0+мz J))ffл( n = K/)(лгж Л+Asд 5))= = r(t){-cJB(t,S) + cTB(t,S)). Отсюда mz(t,T) = mz(t,S) aB{t,T) aB(t,S) Поскольку T и S были выбраны произвольным образом, это и означает, что существует функция y(t), такая что vr выполняется тождество
Аналитические выражения для С(0) для некоторых частных случаев
Пусть нам заданы следующие параметры: R(0),a(-). Требуется предъявить алгоритм, который сможет определить С(0)? удовлетворяющее системе (3.1). Введем функцию л-(С(0)). Для этого для фиксированного С(0) найдем решение ут(х) системы
Тогда пусть ;r(C(0)) = yqo)(0). Искомое С(0) является решением уравнения л-{С(0)) = 0. Это решение можно найти с помощью простого метода дихотомии (деления отрезка пополам) после того, как будет найден отрезок, которому принадлежит решение системы (3.1). Это также сделать очень просто: мы знаем, что решение находится на промежутке [Л(0),+со]? тогда последовательным расширением отрезка вида [R(0)fA] находим такое Л, что 7г(И(0))л(А) 0. Суммируя все вышесказанное получаем следующий алгоритм численного решения системы (3.1): 1. Определяем функцию я(С (0)) как было описано выше 2. Перебирая Л = 2Д(0),4Д(0),8Д(0),.„ находим А: (Я(0)) (Л) 0, тогда искомое С(0) принадлежит отрезку [R(Q\A]. 3. Методом дихотомии находим С(0): л-(Ст(0)) = 0.
В данном параграфе мы будем рассматривать рынки кредитных инструментов, в которых функция волатильности процентной ставки по кредиту без возможности досрочного погашения имеет вид степенной функции, т.е. a{R) = (7RQ, где а - константа. Отметим, что при этом нас пока совершенно не интересует вид функции m(R)9 поскольку, как показано было в Следствии ЗЛ, ее вид не влияет на значение С(0). Мы решили сосредоточить свое внимание на изучении именно степенных функций волатильности на том основании, что функции такого вида являются наиболее часто встречающимися в экономико-финансовой литературе. В частности, в таких распространенных моделях процентных ставок, как моделях Vasicek (см (24Ї), Hull, White (см. П) ш др, фунщш волатидьности яредешвлнют собой именно степенные функции,
В этом случае уравнение (3.1.1) принимает следующий вид; }%х)х ш г---2(: Ил), Воеподьіовшшшеь тюрштоы чшетпиот решения системы (3.1), описанием в предыдущем разделе, мм можем нзучнть некоторые свойства поставленной задачи, например, :шшеимоеть значений (Щ от параметров система. 11а рис, ЗЛ представлен результат расчета зависимости шачепвя С(0) от яошшггеж степени я: при следующих значениях остальных параметров; Й(0) - 0.1, а х і.
Для применения полученных результатов на практике, которое может представлять собой, например, конкретные численные рекомендации кредитным организациям по вопросу величины процентной ставки по ипотечному кредиту, нам необходимо научиться оценивать параметры используемых моделей на основании реальных исторических данных.
Например, в случае степенных моделей, рассмотренных в п.4, в качестве входных данных при оценке параметров может выступать временной ряд исторических значений процентных ставок но кредитам без возможности досрочного погашения за определенный период времени, взятых с определенной частотой (годовые, квартальные, ежемесячные, еженедельные или ежедневные). Выходные данные при оценке параметров модели представляют собой величину а, если значения показателя а известно, или пару (а,а) при неизвестном а.
После того, как эти параметры определены, мы сможем определить для каждого текущего значения Я(0) справедливую величину С(0).
В данном разделе мы продолжим рассматривать степенные модели динамики процентных ставок. Однако нам придется наложить некоторые дополнительные ограничения на эти модели. Как мы уже не раз отмечали, значение опциона при известных параметрах модели не зависит от вида функции дрейфа, вместе с тем, для калибровки модели, вид такой функции, как несложно понять становится критичным. Например, если говорить о тех же степенных моделях, то при заданных входных исторических временных рядах значения (а,а) будут сильно зависеть от того, каков предполагаемый вид функции дрейфа.
