Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор исследований по проблемам теплопроводности и постановки задач исследования 8
1.1 Обзор и анализ нелинейных математических моделей теплопроводности 8
1.2. Постановки задач исследования моделей теплопроводности 18
1.3. Выводы 20
2. Обобщенные задачи теплопроводности и разностные схемы 21
2.1. Обобщенные математические модели и задачи теплопроводности для многослойных объектов 21
2.2. Кусочно-линейные и кусочно-квадратичные операторы и их свойства 26
2.3. Явные разностные схемы для одномерных кусочно-линейных уравнений теплопроводности 35
2.4. Частично-неявные разностные схемы для одномерных кусочно-линейных уравнений теплопроводности 46
2.5. Явные разностные схемы для двумерных кусочно-квадратичных и кусочно-линейных уравнений теплопроводности 51
2.6. Частично-неявные разностные схемы для двумерных кусочно-квадратичных уравнений теплопроводности 61
2.7. Моделирование тепловых процессов в сверхпроводящих элементах линий электропередач 63
2.8. Выводы 71
3. Анализ сходимости и исследование устойчивости разностных кусочно-линейных схем для обобщенных уравнений теплопроводности 72
3.1 Сходимость и устойчивость кусочно-линейных разностных схем 72
3.2. Устойчивость разностных схем по правой части 77
3.3. Методика анализа устойчивости разностных схем для нелинейных уравнений теплопроводности 80
3.4. Достаточные условия устойчивости частично-неявных разностных схем 89
3.5. Выводы 97
4. Синтез управлений для распределенных объектов и систем 98
4.1. Обзор методов и постановки задач синтеза 98
4.2. Синтез локально-оптимальных стабилизирующих управлений 99
4.3 Синтез управлений для теплопроводящих объектов 106
4.4. Выводы 116
Заключение 116
Список литературы 119
Приложение 1. программа для моделирования тепловых процессов в сверхпроводящих элементах линий электропередач 128
- Постановки задач исследования моделей теплопроводности
- Кусочно-линейные и кусочно-квадратичные операторы и их свойства
- Устойчивость разностных схем по правой части
- Синтез локально-оптимальных стабилизирующих управлений
Введение к работе
Актуальность работы. Фундаментальные исследования в области математических, физических и технических наук требуют непрерывного совершенствования и разработки новых математических моделей для практической реализации сложных технических объектов. Фундаментальные результаты в области моделирования и исследования процессов распространения тепла получены в работах академиков РАН А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, С.К. Годунова, Г.И Марчука, А.И. Леонтьева, А.Е. Шейндлина, О.Н. Фаворского, В.Е. Фортова и др., а также ведущих ученых Э.М. Карташева, Г.М. Кондратьева, В.А. Кудинова, А.В.Лыкова, С.Г. Михлина, Ю.Г. Назмеева , B.C. Рябенького и др.
Для объектов с тепловой природой процессов целесообразна модернизация и обобщение моделей теплопроводности, расширяющих границы их применения. При этом целесообразно обобщать модели на основе преобразования координат уравнений теплопроводности операторами, позволяющими учесть изменения тепловых свойств многослойных объектов в условиях идеального контакта.
В данной диссертационной работе разработан комплекс математических моделей многослойной теплопроводности в рамках применения кусочно-квадратичных (локально-сглаженных) и кусочно-линейных преобразований переменных, включая преобразование температуры и ее производных. Использование аппроксимирующих кусочно-линейных операторов позволяет разработать обобщенные разностные схемы распределенных многослойных систем. На основе описанных моделей в работе формулируются модифицированные методы моделирования, анализа и синтеза систем многослойной теплопроводности на основе явных и частично-неявных разностных схем.
Применение обобщенных моделей и разностных схем на этапах анализа и синтеза позволит расширить классы проектируемых объектов на основе методов математического моделирования. Поэтому модификация, обобщение моделей теплопроводности и разработка разностных схем для многослойных распределенных систем являются актуальными.
Цели и задачи работы. Цель работы состоит в обобщении и модификации моделей теплопроводности для анализа и синтеза систем управления тепловыми процессами на основе явных и частично-неявных разностных схем. В соответствии с целью работы необходимо сформулировать и решить ряд основных подзадач.
Методы исследования. В работе использовались методы математической физики, теории теплопроводности, теории управления распределенными процессами. Расчётные исследования выполнены с помощью метода сеток и программных сред: MathCAD, Mathematica, Microsoft Visual studio 6.0, Origin 7.0.
Научная новизна полученных в работе результатов состоит в следующем:
1. Разработаны обобщенные уравнения теплопроводности на основе преобразования переменных, учитывающие многослойную структуру объектов, а также явные и частично-неявные разностные схемы в условиях идеального контакта слоев.
2. Сформулированы условия устойчивости разработанных разностных схем на основе условий сжатия для операторов на временных слоях.
3. Выполнен комплекс исследований по математическому моделированию тепловых процессов в многослойных объектах с помощью разностных схем.
4. Предложена методика синтеза программных управлений на основе методов целевых неравенств и оптимизации для многослойных объектов теплопроводности.
Достоверность результатов, выводов и рекомендаций определяется корректным использованием математического аппарата, современных численных методов (сеточных методов), сравнительным анализом результатов, полученных в диссертационной работе и вычислительными экспериментами.
Практическая ценность. Результаты работы могут найти применение в процессе моделирования и расчета теплового состояния многослойных одномерных и двумерных объектов, а также при адаптации разработанных разностных схем для других классов задач.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Обобщенные математические модели теплопроводности для многослойных сред с идеальным контактом слоев на основе применение кусочно-квадратичных и кусочно-линейных преобразований переменных.
2. Методика формулировки явных и частично-неявных разностных схем для одномерных и двумерных обобщенных уравнений теплопроводности и условия их устойчивости.
3. Методика синтеза программных управлений на основе целевых неравенств и оптимизации для распределенных систем.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены: на VII всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы «Фундаментальные исследования в технических университетах»; на X международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки»; на VIII всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы «Фундаментальные исследования в технических университетах»; на XII международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии и генерация знаний в образования и науки»; на научно-техническом совещании «Современные наукоемкие технологии в промышленности России: Высокопроизводительные вычисления и CALS-технологии» (Уфа 2004г.); на научных семинарах кафедры «Системный анализ и управление» (2002-2005 гг.);
Постановки задач исследования моделей теплопроводности
Обзор методов математического моделирования позволяет определить направления обобщения математических моделей для описания тепловых процессов в многослойных средах (объектах). Одно из направлений обобщения моделей теплопроводности составляет функционально-операторный подход, который позволяет учесть изменения параметров путем введения в классические уравнения теплопроводности нелинейных преобразований функций температуры, в частности, с помощью кусочно-квадратичных (локально-сглаженных) и кусочно-линейных операторов. Применение операторов данных классов оправдано дальнейшей ориентацией моделей на построение явных или частично-неявных разностных схем, что обеспечивается выполнением условий монотонности обращаемых кусочно-линейных операторов. При этом для нового класса кусочно-линейных уравнений теплопроводности формируются разностные схемы, которые обобщают и дополняют известные схемы [76, 77].
На основе сказанного выше можно сформулировать следующие подзадачи для решения общей задачи по созданию обобщенных моделей теплопроводности для многослойных объектов, а также методы синтеза. Эти подзадачи представляются следующим образом:
Подзадача 1. Для учета комплексных условий распространения тепла в специальных средах необходимо выполнить обобщение уравнений теплопроводности за счет учета нелинейных (кусочно-линейных) зависимостей свойств теплопроводящеи среды от температуры и ее производных по координатам. При этом необходимо сформулировать комплекс обобщенных уравнений теплопроводности и дать физическую интерпретацию содержания моделей, которая направлена на адекватность предлагаемых моделей для анализа обобщенных характеристик распространения тепла. Данные классы моделей описывают процессы распространения тепла в элементах энергетических систем для передачи электроэнергии по сверхпроводящим линиям, а также при нестационарной передаче в тепловыделяющих элементах (ТВЭЛ) ядерных реакторов и других объектов.
Подзадача 2. Для предлагаемого комплекса обобщенных математических моделей теплопроводности необходимо разработать комплекс явных и частично-неявных разностных схем, которые могут быть использованы для анализа динамики распространения тепла в неоднородных средах, включающих многослойные структуры, а также для решения задач синтеза управлений в условиях целенаправленного формирования управляющих воздействий по обеспечению температурных режимов исследуемых сред. Применение данного класса методик возможно при анализе и синтезе температурных полей в сверхпроводящих линиях электропередач и в ТВЭЛ и других объектов.
Подзадача 3. Необходимо сформулировать методики формирования требуемых управлений для воспроизведения заданных температурных режимов многослойных теплопроводящих сред на основе использования минимизации функционалов суммарных или мгновенных ошибок и затрат на управления. Данный класс задач позволяет оптимизировать режимы работы сверхпроводящих линий электропередач энергетических систем, ТВЭЛ и других объектов при учете ограничений на температурные режимы.
1. Обзор и анализ методов обобщенного моделирования тепловых процессов позволил установить, что обобщение моделей возможно на основе преобразований зависимых и независимых переменных классических уравнений теплопроводнисти.
2. Для анализа процессов теплопроводности на основе обобщенных моделей необходимо разработать методику формулировки разностных схем различного типа, учитывыающих специфику нелинейных уравнений.
3. Анализ вариантов синтеза распределенных систем управления процессами теплопроводности позволил сформулировать основные подзадачи для синтеза, которые направлены на синтез программных управлений тепловыми процессами. 2. Обобщенные задачи теплопроводности и разностные схемы
В данной главе на основе кусочно-квадратичных и кусочно-линейных операторов разработана методика формирования обобщенных уравнений и задач теплопроводности. Приведены необходимые свойства, элементы исчисления нелинейных операторов, а также кусочно-линейные кусочно-квадратичные модели, методика построения которых используется далее при формулировке моделей «многослойной теплопроводности» и разностных задач для них. Представлены постановки и разработанные явные и частично-неявные разностные схемы для обобщенных задач теплопроводности.
Анализ вариантов формирования кусочно-квадратичных уравнений теплопроводности для задач многослойной теплопроводности будет рассмотрен для одномерных и двумерных объектов. Обобщения для трехмерных объектов также могут быть выполнены по предлагаемой методике.
Кусочно-линейные и кусочно-квадратичные операторы и их свойства
Моделирование, анализ и синтез на основе обобщенных моделей связан в значительной мере с возможностями нелинейной аппроксимации. Далее при решении задач моделирования, анализа и синтеза систем с нелинейными объектами будут использованы кусочно-линейные и кусочно-квадратичные операторы. Далее рассматриваются канонические формы и необходимые элементы исчисления используемых операторов [47,48,53].
Кусочно-квадратичные операторы. Данные классы операторов можно сформулировать на основе идей локального сглаживания. Методика формулировки локально сглаженных операторов заключается в следующем. В основу методику может быть положено локальное сглаживание, которое осуществляется путем добавления в є -окрестности узлов кусочно-линейных операторов типа (1) локальных сглаживающих квадратичных функций, которые равны нулю вне рассматриваемых є-окрестностей. Эти квадратичные функции синтезируются на интервалах следующим образом:
С помощью использования простейших сглаживающих операторов, можно определить сглаженные операторы, которые строятся на основе кусочно-линейных операторов с последующим локальным сглаживанием.
Анализ обобщенных уравнений теплопроводности с кусочно-квадратичными и кусочно-линейными операторами. Как было отмечено выше, обобщение уравнений теплопроводности возможно с помощью кусочно-квадратичных и кусочно-линейных операторов. Кусочно-квадратичные функции являются на основном интервале их рассмотрения кусочно-линейными, а локальные квадратичные аппроксимации как аддитивные квадратичные функции вводятся для дифференцируемости в окрестности узлов. Введенные модели позволяют исследовать содержательный смысл различных обобщенных уравнений теплопроводности. При рассмотрении каждого из видов функции, будем иллюстрировать типичный вид функции (р{и) и ее частной производной д(р{и)1ди. Теплопроводность в среде с разделенной теплопроводящей средой иллюстрируется на рис. 2.3.а. Характеристики среды с монотонно возрастающей и монотонно-убывающими параметрами теплопроводности приведены на рис. 2.3.6 и рис. 2.3.в, соответственно. Приведенные данные позволяют получить интерпретацию исследуемых свойств обобщенных кусочно-линейных моделей теплопроводности.
Анализ свойств операторов, используемых в обобщенных уравнениях теплопроводности, позволяет выявить определенные сложности при формулировке неявных и частично-неявных разностных схем в случае учета свойств многослойных сред «билинейными конструкциями» в классических уравнениях. Учет тепло проводящих свойств многослойных объектов «билинейными моделями» приводит к принципиальным трудностям при формулировке частично-неявных разностных схем за счет проблемы обращения соответствующих операторов.
Устойчивость разностных схем по правой части
Далее приводятся результаты исследования устойчивости разностных схем для кусочно-квадратичных и кусочно-линейных задач теплопроводности. Предлагаемая методика будет основана на методике, предложенной в [52].
Общая методика исследования устойчивости операторно-разностным методом. Решение линейных краевых или начально-краевых задач для уравнений теплопроводности сводится к решению линейных алгебраических систем [109], в частности, экономичными методами прогонки [102, 109]. Решение линейных начально-краевых задач и анализ устойчивости можно выполнить операторно-разностным методом А.А. Самарского [102]. Сформулированные выше кусочно-линейные разностные схемы явного и частично-неявного типов также позволяют сформулировать кусочно-линейные алгебраические задачи для задач Коши, краевых или начально-краевых задач. Однако разрешение алгебраических кусочно-линейных задач и соответствующих систем в общем случае является значительно более сложной задачей, чем решение линейных задач, поскольку связано с вычислением обратных операторов для векторных кусочно-линейных операторов общего вида.
Постановка задач исследования устойчивости по начальным данным может быть дана следующим образом [47, 52]. Пусть кусочно-линейные алгебраические уравнения, получаемые в силу разработанных разностных схем, формируют локальные кусочно-линейные операторы на временных слоях (аналоги линейных операторов для линейных задач на слоях [102]). Построение локальных операторов (действующих на слое) может использоваться для исследования устойчивости кусочно-линейных задач Коши операторно-разностным методом А.А. Самарского [102]. Поэтому можно определить локальный кусочно-линейный оператор задачи Коши на п-ом временном слое, а затем сформулировать достаточные условия устойчивости на основе принципа сжимающих отображений [102]. На первом этапе целесообразно определить кусочно-линейные операторы на отдельных слоях для явных и частично-неявных схем, а затем формулировать достаточные условия.
Анализ устойчивости может основываться на основной лемме об устойчивости. Основу метода исследования составляют: метрические пространства сеточных функций скалярного и векторного типов (в которых метрика задается нормой), оценки постоянных Липшица операторно-разностных схем и принцип сжимающих отображений [7].
Определение норм с учетом временных слоев требует введения соответствующих операторов, адекватных рассматриваемым разностным схемам. При этом целесообразно использовать первую норму, поскольку получаемые оценки имеют конструктивный вид, исходя из структуры кусочно-линейных операторов. Это обстоятельство иллюстрируется ниже при
Анализ условий устойчивости кусочно-линейных разностных схем далее требует: а). Формулировки уравнений для отклонений от стационарного решения; б). Вычисления оценок норм отклонений с учетом выполнения условий Липшица как наиболее общих свойств кусочно-линейных операторов; в). Формулировки условий сжатия для кусочно-линейных отображений и вывода из условий сжатия достаточных условий в виде ограничений на шаги по совокупности временного и координатных аргументов.
На основе общей методики можно сформулировать достаточные условия устойчивости разработанных кусочно-линейных разностных схем для обобщенных задач теплопроводности, подтверждающие существование устойчивых разностных схем.
Достаточные условия устойчивости явных разностных схем. Соотношение (2.а) и (2.6) для кусочно-линейного уравнения теплопроводности соответствует явной разностной схеме. Исследование устойчивости разностных схем, определяемых из (2), можно выполнить по следующей методике:
Количественное значение постоянной Липшица можно получить на основе утверждений леммы об оценке постоянной Липшица, сформулированной выше. Развернутая форма условий сжатия для оператора разностной схемы на временном слое с учетом (9) и (10) может быть получена с помощью цепочки следующих соотношений для оценки нормы разности нормы вектора на временном слое и вектора квазистационарного состояния. позволяют сформулировать следующее утверждение, определяющее достаточные условия устойчивости разностных схем для одномерных задач теплопроводности на временных слоях.
Синтез локально-оптимальных стабилизирующих управлений
Для синтеза управлений можно сформулировать различные типы функционалов, соответствующих локально-оптимальным требованиям. Эти требования можно представить несколькими типами функционалов. Математические формулировки задач вычисления управлений. Для рассматриваемых классов функционалов можно сформулировать различные типы законов программирования и стабилизации. Эти типы законов могут быть выбраны априорно на основе некоторых рассуждений. Далее будет рассмотрен вариант синтеза, когда тип закона формируется естественным образом на основе заданного функционала, используемой модели процесса нагревания и ограничений по области нагрева или охлаждения. Очевидно, что закон должен быть функцией времени и координат и должен формироваться с использованием прогнозирования по пространству и времени, что обобщает на случай распределенных объектов методику синтеза, рассмотренную в п. 4.4. Данная методика позволяет использовать целевые условия, сформулированные не только в виде минимизации функционалов, а при синтезе также могут быть учтены заданные соотношения между координатами на различных «срезах» пространства и времени. Формирование управлений на основе оптимизации процессов на многообразиях, когда требования к качеству могут быть формализованы заданием линейных многообразий. Алгоритм синтеза имеет вид:
Известно, что решение большинства стационарных или нестационарных линейных краевых задач сводится к решению линейных алгебраических систем высокой размерности со слабо заполненными матрицами специальной структуры. Тих соответственно. В функционале (9) заданы требования к точности поддержания температурного режима (первое слагаемое) и условия экономичности обеспечения (второе слагаемое). При этом смысл воздействия fxt определен выше.
Соотношения (8) и (9) могут использоваться как для программного синтеза как основы синтеза систем стабилизации. На основании «суженной» задачи формулируются законы стабилизации в виде воздействия fx t.
Вычисление оптимальных управлений являются частью общей проблемы синтеза. Важной составляющей проблемы является аналитическое описание управляющего устройства, что необходимо для анализа устойчивости замкнутой системы. В этой связи весьма важно использовать численно-аналитические методы решения экстремальных задач стабилизации. Один из подходов численно-аналитического решения может быть основан на применении операторов оптимизации, рассмотренных в приложении.
Операторы конечномерной оптимизации в численно-аналитической форме определяют решение экстремальных задач минимизации функционалов на пересечении линейного многообразия типа (4.88) (определяющем многошаговую модель теплового процесса по времени и пространству) с учетом технологических ограничений типа двухсторонних неравенств, и тем самым задать закон управления на основе приведенных соотношений. «Алгебраизация» задачи синтеза позволяет определить класс регуляторов и использовать для анализа устойчивости методы функционального анализа.
Первым уравнением системы (13) описывается процесс нестационарной теплопроводности в горючем, а вторым тепловой баланс теплоносителя. Для численного моделирования пространственно-временного распределения температур в цилиндрическом ТВЭЛ систему уравнений (13) приближают системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Приближение уравнения нестационарной теплопроводности в горючем выполняют дифференциально-разностными методами, а приближение уравнения теплового баланса теплоносителя - методом сосредоточения с приближением среднеинтегральной температуры по квадратурной форме трапеций, конечным отрезком степенного ряда или полиномами Эрмита. В ТВЭЛ, изготовленных из двуокиси урана, определяющее влияние на характер нестационарных процессов оказывает нелинейная зависимость коэффициента теплопроводности горючего от температуры Л(в).
Задачи (4) и (2 ) соответствуют первой (оптимизационной) задаче управления, разрешаемые методом рекуррентных целевых неравенств. Задачи (4) и (3 ) соответствуют экстремальной задаче оптимизации интегрального квадратичного функционала. Для задачи (2 ) можно сформулировать семейство алгебраических неравенств, которые могут быть приближенно решены аналитически. Задача (3 ) и (4) представляет собой задачу конечномерного математического программирования и является аналогом задачи линейной квадратичной оптимизации для сосредоточенных систем.
