Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор работ в избранном направлении исследований 7
2. Задачи теплопроводности для однослойных и многослойных конструкций 16
2.1. Ортогональные методы в задачах теплопроводности с переменными свойствами 16
2.2. Задачи теплопроводности для многослойных тел 25
2.3. Использование асимметричной единичной функции в краевых задачах теплопроводности для многослойных тел 31
2.4. Краевые задачи с нелинейностью в уравнении и граничном условии 43
2.5. Решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности 45
2.6. Расчет теплообмена при турбулентном движении жидкости в плоском канале 52
3. Термоупругость с переменными физическими свойствами конструкций 56
3.1. Нахождение аналитических решений краевых задач термоупругости с переменными свойствами среды 56
3.2. Термоупругость в многослойных конструкциях 59
3.3. Температурные напряжения в многослойном полом цилиндре при тепловом ударе на его внешней поверхности 69
3.4. Исследование температурного и термонапряженного состояния барабанов котлов тепловых электрических станций 76
4. Математическое моделирование теплообмена и гидродинамики с учетом конечной скорости распространения теплоты 82
4.1. Нестационарный теплообмен в цилиндрическом канале при ламинарном течении жидкости 82
4.2. Математическое моделирование гидравлического удара в трубопроводе 87
4.3. Получение решений гиперболических уравнений теплопроводности при граничных условиях третьего рода 98
4.4. Гидродинамика и теплообмен в турбулентном пограничном слое 103
5. Компьютерные программы решения задач термоупругости для многослойных тел с кусочно-однородными свойствами среды 111
5.1. Реализация метода построения систем координатных функций для решения задач термоупругости в среде mathcad 109
Выводы 116
Список используемых источников и литературы .
- Задачи теплопроводности для многослойных тел
- Температурные напряжения в многослойном полом цилиндре при тепловом ударе на его внешней поверхности
- Получение решений гиперболических уравнений теплопроводности при граничных условиях третьего рода
- Реализация метода построения систем координатных функций для решения задач термоупругости в среде mathcad
Задачи теплопроводности для многослойных тел
К группе вариационных относится также метод Л.В. Канторовича [22, 23], при использовании которого вместо неизвестных коэффициентов в соотношениях (в) принимаются функции, зависящие от одной из переменных задачи. Затем, как и в методе Бубнова–Галеркина, определяется невязка уравнения и требуется ее ортогональность к координатным функциям jj (x) (j =i = 0,n) . Тогда для неизвестных функций времени будем иметь систему дифференциальных уравнений.
Эффективным способом нахождения решений краевых задач является совместное применение точных и приближенных аналитических методов. Объединение этих методов позволяет наилучшим образом использовать их положительные свойства, и, в частности, появляется возможность без выполнения сложных математических расчетов в довольно простой форме находить соотношения, эквивалентные основной части точного решения, включающего бесконечный ряд. Для расчетов, обычно, достаточно использовать лишь сумму нескольких слагаемых [8, 18, 22, 23, 35, 41, 68]. Для использования таких методов при получении высокоточных решений на начальном участке времени необходимо принимать большое число приближений. Однако с увеличением n получаются плохо обусловленные системы алгебраических линейных уравнений.
Эффективными приближенными аналитическими методами, позволяющими получать решения на начальном участке времени, являются методы, основанные на определении фронта температурного возмущения. Тепловой процесс в данном случае разделяется на две стадии, первая из которых включает участок времени, на котором фронт возмущения достигает центра тела. Во второй стадии в теплообмене участвует весь объем конструкции до наступления стационарного режима. Такое разделение теплообмена на две стадии позволяет поэтапно решать задачи нестационарной теплопроводности, для каждой из которых обычно уже в первом приближении можно находить простые и удобные приближённые решения. К недостаткам метода относятся необходимость априорного выбора тепловой функции. Как правило, используемая квадратичная или кубическая парабола не позволяет получать высокой точности решения. Идея конечной скорости распространения теплоты используется в интегральном методе теплового баланса [9, 10, 14, 17, 18, 35 – 42, 56, 71]. В данном случае уравнение в частных производных приводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям с известными начальными условиями, решение которых довольно часто, в том числе и для нелинейных задач, можно получить в аналитическом виде.
Примеры использования интегрального метода даны в работе Т. Гудмена [17], где наряду с изложением больших возможностей этого метода рассмотрены и его недостатки.
Для повышения точности этого метода необходимо использовать температурные функций высокого порядка. В данном случае основных граничных условий задачи недостаточно для нахождения неизвестных коэффициентов. Поэтому, необходимо использовать дополнительные граничные условия. Методы их получения приведены в работах [34 – 40]. При их получении используются исходные граничные условия и основное дифференциальное уравнение. Путём дифференцирования уравнения и граничных условий соответственно по пространственной координате и по времени и сопоставления полученных соотношений можно получить любое требуемое число дополнительных граничных условий.
При исследовании многих задач теплообмена предполагается, что физические свойства не зависят от температуры. Однако, если диапазон изменения температуры тела достаточно велик, то вследствие зависимости свойств от температуры уравнение оказывается нелинейным. Его решение так усложняется, что известные точные методы не могут быть применены. Преимущество интегрального метода при решении нелинейных задач состоит в том, что он позволяет свести решение исходного уравнения в частных производных к решению одного (или двух) дифференциального уравнения в обыкновенных производных, решение которого (пусть даже и нелинейного) получить значительно проще, чем уравнение в частных производных.
В основу интегрального метода положено разделение нестационарного процесса на два процесса по временной переменной 0 Fo Fo1 и Fo1 Fo . В данном случае вводится фронт температурного возмущения, с помощью которого рассматриваемая область разделяется на две области – прогретую 0 x q1(Fo) и не прогретую q1(Fo) x 1, где q1(Fo) – функция, которая определяет движение границы раздела во времени. Окончание первой стадии происходит, когда возмущение дистигает центра тела (x =1) , то есть при Fo= Fo1. Во второй стадии, то есть для всех Fo Fo1, понятие фронта температурного возмущения не имеет смысла, и в данном случае используется дополнительная функция q2 (Fo) = Q(1,Fo) , характеризующая изменение безразмерной температуры Q(1,Fo) в точке x =1. Модификации этого метода объединяются под названием «методы термического слоя», среди которых известны: интегральный метод Т. Гудмена [17]; метод А.И. Вейника [14]; метод М.Е. Щвеца [71], методы М. Био и Л.В. Канторовича [9, 22, 23]; метод Э.М. Гольдфарба; метод осреднения функциональных поправок Ю.С. Постольника [56] и др.
Для определения температурного состояния объектов применяются: экспериментальные методы; физическое моделирование – обследование на модели; математическое моделирование, включающее этапы [18]: 1. Разработка математической модели, то есть составление дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями. 2. Анализ модели с целью выбора оптимального метода решения с учётом его точности и трудоёмкости. 3. Нахождение аналитического решения и проведение исследований. 4. Исследование результатов и оценка точности решения. Следовательно, математическое моделирование включает решение комплекса проблем, среди которых наиболее важной является проблема построения модели, адекватной данному физическому процессу. При этом модель должна быть простой, и в тоже время, с достаточной точностью отражающей конкретный процесс.
К используемым при математическом моделировании методам относятся: численные, точные и приближенные аналитические методы.
Численные методы практически невозможно использовать для случаев, когда решение исходной задачи представляет промежуточную стадию какого-то другого исследования, например, решения краевой задачи термоупругости, обратной задачи теплопроводности, задачи оптимального управления и др.
Использование точных аналитических методов приводит к получению решений в виде бесконечных рядов, плохо сходящихся при малых значениях времени. К ним относятся: метод разделения переменных, метод источников, метод тепловых потенциалов, интегральные преобразования в бесконечных и конечных пределах.
Основной недостаток этих методов в том, что они могут быть использованы лишь для линейных дифференциальных уравнений.
При использовании приближённых аналитических методов решение принимается в виде ряда, ограниченного числом его членов. При их использовании выполнение дифференциального уравнения сводится к решению степенного алгебраического уравнения. Решение таких уравнений для большого числа приближений, несмотря на наличие стандартных компьютерных программ, представляет существенные вычислительные трудности.
Температурные напряжения в многослойном полом цилиндре при тепловом ударе на его внешней поверхности
Используя аналитическое решение прямой задачи нестационарной теплопроводности, а также значения величин искомой функции, полученные численным методом, выполнена идентификация начального условия краевой задачи. Аппроксимация полученной из численного решения температуры в одной из точек пространственной переменной выполнялась кубической параболой в некотором диапазоне времени нерегулярного режима. После подстановки аппроксимационной функции в аналитическое решение и интегрирования полученного выражения в диапазоне времени аппроксимации относительно величины начального условия было получено алгебраическое линейное уравнение, из решения которого следует, что точность идентификации составляет 0,018%.
В математическом моделировании разделение краевых задач на прямые и обратные основывается на анализе причинно-следственных связей в исследуемой прикладной математической модели. Причинными характеристиками являются: граничные условия и их параметры; коэффициенты, характеризующие физические свойства среды; начальные условия, определяющие значения искомых функций в начальный момент времени; геометрические характеристики, определяющие границы изменения независимых переменных задачи. К следственным характеристикам относятся поля определяемых при решении задачи величин (температуры, напряжения, скорости движения сред и проч.). При этом следует отметить, что причинные характеристики, задаваемые произвольно, не зависят от следственных. Однако изменение причинных характеристик приводит к соответствующему изменению следственных величин. Определение этой причинно-следственной зависимости представляет решение прямой задачи, в которой по известным (заданным) причинным характеристикам находятся следственные составляющие процесса. В случае, когда по известным характеристикам, требуется идентифицировать (восстановить) отдельные причинные составляющие процесса, будем иметь обратную краевую задачу.
В случае, когда имеется точное аналитическое решение прямой задачи, и из эксперимента получены точные значения искомой функции, то можно получить точное решение обратной задачи теплопроводности. Однако ввиду того, что практически из любого эксперимента могут быть получены лишь приближенные значения искомой функции, то и решение обратной задачи будет приближенным. Причем точность этого решения будет определяться лишь точностью экспериментального исследования.
Обратные задачи подразделяются на ретроспективные, граничные, коэффициентные и геометрические. Ниже будут представлены результаты решения ретроспективной обратной задачи или задачи с обратным временем, в которой восстанавливается временная предыстория физического процесса. К их числу относится задача по идентификации начального условия краевой задачи. Рассмотрим последовательность восстановления начального условия на примере решения следующей прямой задачи теплопроводности [39]
Ограничиваясь десятью членами ряда (2.184), получим девять неизвестных коэффициентов bk , (так как b0 =1), а граничных условий для них лишь два (2.182) и (2.183). В связи с чем, следует добавить еще семь дополнительных условий, которые определяются из уравнения (2.180). Дополнительные условия здесь будут
Таким образом, при таком методе решения ввиду цепочности системы алгебраических уравнений (2.186) проблемы, связанной с плохой обусловленностью матрицы этой системы, не возникает.
Первые два корня уравнения (2.188): 1 = 3,404278 ; 2 =17,593928 . Так как уравнение (2.188) выполняется лишь для некоторых дискретных значенийn (собственных значений), то остальные корни этого уравнения не используются, как не удовлетворяющие ему.
С целью уточнения собственных значений определим невязку уравнения (2.180) и потребуем ее ортогональности к собственной функции (2.184) [d2y(x)/dx2 + ny(x)]y(x)dx = 0. (2.189) После вычисления интегралов в (2.189) для собственных чисел будем иметь степенное алгебраическое уравнение, корни которого, удовлетворяющие уравнению (2.180), следующие: 1 = 3,404290 ; 2 =17,689298 . Сравнивая собственные числа с точными их значениями (см.
Из анализа видно, что температуры, найденные по формуле (2.195), при m = 5 для Fo 0,001 практически совпадают с точными, определяемыми по формуле (2.192) при использовании 30 членов ряда.
Преимущества полученного выше аналитических решений вида (2.195), в том, что при использовании экспериментальных (или расчетных) данных по изменению во времени температуры в какой-либо одной точке пластины (например, x =1) посредством решения обратной задачи могут быть получены физические характеристики среды, коэффициенты граничных условий, геометрические условия, а также начальные условия краевой задачи. И, в частности, используя точное аналитическое решение, приведенное в [39], с помощью соотношения (2.195) выполним идентификацию начального условия (2.169) задач (2.168) – (2.171) для исходных данных вида приближение; девятое Заключение. Разработана методика получения высокой точности приближенных аналитических решений квазистатических нелинейных задач термоупругости (плоская деформация, плоское напряжённое состояние) с переменными свойствами. Решение, найденное с помощью ортогонального метода Бубнова - Галеркина при использовании полученной в данной работе системы координатных функций в любом приближении удовлетворяющих неоднородным краевым условиям задачи, представляет быстро сходящийся ряд. Так, уже в девятом приближении найденное решение почти совпадает с точным, что подтверждается оценкой невязки основного дифференциального уравнения краевой задачи. Отметим, что ввиду нелинейности этого уравнения, точные аналитические решения этих задач пока еще не получены.
Получение решений гиперболических уравнений теплопроводности при граничных условиях третьего рода
На графиках рис. 3.21 - 3.25 даны кривые изменения окружных ое и радиальных о напряжений при тепловом ударе на внешней (г= п) поверхности цилиндра. Для отдельных вариантов температура была равной 250;500;750;1000C. Температура во втором слое принималась линейно меняющейся от нуля в точке контакта (г= п) до температуры на поверхности соответствующего варианта расчёта. Температура по ширине первого слоя была равной 0C. При изменении положения фронта возмущения меняется и координата точки контакта (г-п) между слоями, которая находится на фронте возмущения и перемещается вместе с ним. На рис. 3.19 - 3.22 даны варианты расчёта при совпадающих физических свойствах слоёв. То есть находились напряжения при движении в однослойном теле фронта температурного возмущения. Из рисунков видно, что на внешней поверхности (г=п), где происходит тепловой удар, появляются отрицательные окружные (ое) напряжения, величина которых зависит от величины теплового удара. На внутренней поверхности (r=r1) возникают положительные окружные напряжения (см. рис. 3.19, 3.21). Соотношение между напряжениями сжатия и растяжения зависит от глубины продвижения фронта температурного возмущения. При малой его величине напряжения на внешней поверхности максимальны, и они значительно больше, чем напряжения на внутренней поверхности. При движении фронта возмущения отрицательные окружные напряжения на внешней грани уменьшаются, а положительные напряжения на внутренней возрастают.
Радиальные напряжения для аналогичных температурных кривых даны на рис. 3.20, 3.22. На внутренней и наружной гранях, согласно условиям (3.45), (3.46), радиальные напряжения нулевые. Внутри цилиндра они положительны. следующие: a1 =a2
Данные для расчета напряжений, показанных на рис. 3.21 - 3.24, = 15 \0 6К 1 Е = Е =19,5-104МПа. На рис. 3.23, 3.24 даны результаты определения окружных и радиальных напряжений для различных физических свойств слоёв, из анализа которых следует, что окружные напряжения на границе раздела слоев (г=г2) имеют скачок (см. рис. 3.25). Для радиальных напряжений отмечается наличие излома кривых на контакте слоёв (см. рис. 3.26). Свойства слоёв для двухслойного цилиндра принимались следующими: а = 15 10 6К 1; а=3 10 5К 1; Е, =10,5 -104 МПа; Е. =40,5 -104 МПа.
На рис. 3.25, 3.26 дано распределение окружных и радиальных напряжений в случае, если температура второго слоя не изменяется и равна 0C при неизменной температуре первого слоя. Такое изменение температуры может иметь место в случае, когда теплопроводность второго слоя больше первого.
Из анализа температурных напряжений следует, что окружные напряжения на контакте слоёв имеют скачок (см. рис. 3.27). Причем, на внешнем слое возникают окружные напряжения сжатия, а на внутреннем – растяжения. Радиальные напряжения являются положительными при изломе кривых на контакте слоёв. Исходные данные здесь приняты такими же, как и для случая расчётов, приведённых на рис. 3.25, 3.26.
Максимальных величин окружные напряжения растяжения, а также их скачок в точке контакта слоёв, наблюдаются в случае, когда температура внешнего слоя постоянна по его толщине (высокотеплопроводный материал) и превышает температуру внутреннего слоя. Этот факт позволяет сделать заключение о том, что удаление различного рода отложений (накипь, кокс и прочее) на внутренних поверхностях трубопроводов посредством создания в слое отложений значений окружных напряжений, превышающих предел прочности их материала, возможно путём создания теплового удара на их наружных поверхностях.
Исследование температурного и термонапряженного состояния барабанов котлов тепловых электрических станций
В процессах пусков и остановов в элементах паровых котлов возникают температурные градиенты, обусловливающие появление температурных напряжений. В случаях, когда напряжения превышают предел прочности для данного материала, происходит возникновение трещин. Применительно к барабанам котлов появлению трещин способствует наличие отверстий (для крепления экранных труб), являющихся концентраторами напряжений. При этом особенно опасным является переохлаждение воды в барабане, возникающее в процессах планового или аварийного сброса давления, при котором в охлаждающихся поверхностях отверстий появляются температурные напряжения. Для их определения необходимо иметь распределение температуры в материале барабана вблизи отверстий, определение которой возможно лишь при известной величине коэффициента теплоотдачи на внутренней поверхности стенки барабана. В работе [15] величина этого коэффициента была найдена из решения обратной задачи теплопроводности, которая оказалась равной а = 470Вт 1(м2 -К).
Однако для оценки градиента температур в отверстиях барабанов котлов необходимо знать коэффициенты теплоотдачи не только на его внутренней поверхности, но и в отверстиях барабанов, скорость течения воды в которых составляет около 2м/с.
Найдем напряжения в случае, когда наряду с внутренним давлением имеется градиент температуры в отверстии, причем температура по толщине стенки принимается неизменной. Перепад температуры в отверстии равен А/ = 15С на расстоянии 15см от края отверстия. Анализ результатов позволил сделать вывод, что окружные напряжения растяжения достигают 33,35кг/мм2. Таким образом, возрастание окружных напряжений в сравнении с вариантом отсутствия градиента температуры в зоне отверстий составляет А = 33,35 - 26,75 = 6,6кг/мм2. Предел прочности на растяжение для этого материала составляет =35кг/мм2. Оценка напряжений в зоне, где отверстия в барабане отсутствуют, показывает, что =12кг/мм2. Полученные по методу конечных элементов значения хорошо согласуется с величиной напряжений = 12,6кг/мм2, найденных по формуле (3.56).
Реализация метода построения систем координатных функций для решения задач термоупругости в среде mathcad
В случае обтекания плоской поверхности потоком жидкости на стенке возникает ламинарный динамический пограничный слой 5л. При больших скоростях потока на расстоянии х наблюдается срыв ламинарного потока, и течение пограничного слоя переходит в турбулентное. В турбулентном пограничном слое 5т вблизи поверхности пластины наблюдается тонкий вязкий подслой 8п, где сохраняется ламинарное течение.
При турбулентном течении происходят неравномерные изменения во времени скоростей, давлений и температур, называемые пульсациями. Для анализа турбулентного течения выполняется его разложение на осредненное и пульсационное движения. Актуальное (мгновенное) значение составляющей скорости 1), осредненное во времени, обозначается через Т), а пульсационная составляющая - через 1) . Отсюда можно записать D = tJ + я/; = + ; р— Р Р\ t = t + t , (4.120) где х - скорость; - кинематическая вязкость; р- давление; /-время. За осредненное значение принимается среднее актуальное значение физической величины за определенный интервал времени, принимаемый таким, чтобы осредненное значение не изменялось от величины этого интервала. Таким образом, пульсация физической величины представляет разность между её актуальным и осредненным значениями.
Например, осредненное значение скорости в некоторой точке турбулентного потока принимаются в виде соотношения - продольная и поперечная пульсационные скорости. В уравнении (4.121) первое слагаемое правой части описывает микроскопическое движение молекул, а второе - макроскопическое движение турбулентных объемов. Осредненное во времени значение г) г7 по теории Прандтля в предложении, что продольная пульсация скорости равна поперечной ее пульсации х х = г/ = ld\)x I dy, записывается в виде где l – длина пути перемешивания – расстояние по оси y , на которое должен переместиться элементарный объем жидкости из одного слоя (с его средней скоростью) в другой, причем так, чтобы разность скоростей этого элемента и соседнего слоя была бы равна осредненной пульсации скорости первоначального слоя.
Как следует из уравнения (4.124), пульсационное течение со скоростями Х) х и 1) влияет на осредненное движение со скор остями Х)х и Х)у так, что в осредненном движении как бы возрастает вязкость. Если осредненные значения величин, характеризующих турбулентное течение, не изменяются во времени, то оно называется стационарным. При зависимости осредненной скорости ТЗ от времени в левую часть уравнения (4.124) следует добавить слагаемое dbx/dt Сопоставляя уравнения движения для ламинарного и турбулентного пограничного слоя, можно заметить, что во втором уравнении появляется дополнительное слагаемое, представляющее турбулентное касательное напряжение тт=\1тдх)х/ду. Отсюда полное касательное напряжение для турбулентного потока жидкости будет
Для замыкания уравнения (4.128) необходимо исключить из него пульсационные величины. Аналогично, как это было сделано для уравнения (4.121), предположим, что слагаемое, содержащее пульсационные величины, можно выразить через градиент осредненной температуры следующим образом пограничного слоя (граница фронта возмущения); tст - температура стенки. Рассмотрим определение приближенного решения краевой задачи (4.130), (4.132) - (4.134) в случае, когда сумма коэффициентов молекулярной и турбулентной теплопроводности и температуропроводности представлены в виде некоторых эквивалентных величин
В диссертации разработан комплекс программ для моделирования задач термоупругости для многослойных тел с переменными (кусочно-однородными) свойствами среды.
Вычислительный процесс включает: исходные данные, вычисление основных параметров, и графики результатов расчетов.
В качестве среды для расчетов используется математический пакет Mathcad, имеющий удобный интерфейс для просмотра результатов расчетов при изменении исходных данных, и содержащий алгоритмы решения дифференциальных и алгебраических уравнений, операции с векторами и матрицами, аппарат встраивания программных модулей в процесс вычислений.
Максимальные значения величин окружных напряжений растяжения, а также их скачка в точке контакта слоёв, наблюдаются в случае, когда температура внешнего слоя постоянна по его толщине (высокотеплопроводный материал) и превышает температуру внутреннего слоя. Этот факт позволяет сделать заключение о том, что удаление различного рода отложений (накипь, кокс и прочее) на внутренних поверхностях трубопроводов посредством создания в слое отложений больших значений окружных напряжений, превышающих предел прочности их материала, возможно путём создания теплового удара на наружных поверхностях трубопроводов.
